D E P R I N C I P I I S
C A L C U L I V A R I A T I O N I S D I S S E R T A T I O .
QUAM
VENIA AMPL. FACULT. PHILOS. UPSAL.
^ ' ' / ' , ■ hi ' - r * '■ p. p.
E R U I S A L R O I I S T
A STRONOM . D O C EN S. S T IF . M £L A N D . ET A X E L G U S T A V U S V IR G IN NOB. VISTROGOTnCS. STIP. ORD. EQUESTR.IN A U D IT . GUSTAV. DIE X X II FEBR. MDCCCXXXVII. H , P. M. S.
P. II.
U P S A L I Æ
KONUNGENS HÔGT BE TR O D D E MAN
C A BIN ET TS-K A M M A R H ER R EN , G E N E R A L -L I E U T E N A N T E N S T Å T H Å L L A R E N P Å ROSERSBERGS SLOTT
R ID D A R E N OCH COMMENDEUREN AF KONGL. MAJîTS ORDEN R ID D A R E N AF KGL. SVÅRDS-ORDENS S T . KORS 2.A CLASSEN
R ID D A R E N A F KONGL. FR AN SK A H EDER S-LEG ION EN H Ö G VÅ L BO R N E H E R R GREFVE
GUSTAF FREDRIK MÖRNER
SAMT I H Ö G VÅLBORNA f r u g r e f v i n n a n
AUGUSTA MÖRNER
f ö d»v i r g i n
med djupaste vördn»KONUNGENS TROMAN B E R G S-RÅDE T VÄLBO RNE HERR
CARL HEIJKENSKÖLD
SAMT VÄLBORNA EÄU B E R C S -R A D IN N A NADELAIDE HEIJKENSKÖLD
föd.»VIRGIN
i ta ck sa m h et helgadt RGIN.PLURIMUM REVERENDO A TQ U E P R Æ C L A RISSIMo DOMINO
A I D R Ë Æ B L I X É A
A D COHORTEM PRÆTORIAM SECUNDAM CONCIONATORIpraeceptori et amico
g ia lissiin a e m e n t i s a f fe c t io n e m testificatu ru s
d. d. A . G. VIRGIN.
12. Jam v e r o , quum habemus Qy = s Sy - y Sx, fit et iam per derivationem: ( ê y f = z ( S y - y S x ) \ (0ÿ)"s s {Sy - y'Sx)'\ sed {Qy)' — Qy', (Q y)" ~ Q y" , &c. U n d e formulas (2) et (
5
) . . . in sequentes permutare licet:Sy - = Oy - y ' à x ) » S y " ~ [Sy - y'ßx)"i &c. A tq u e similes dat etiam functio z .
1
3
. Sit jam Su variatio completa functionis u, vel variatio ejusdem in .eo casu, quo x , quod in derivando primigenium habeatur variabile, variationem etiam subeat. H abemus itaque in hac hypothesiW »jr ^ J
) +
+
. . . (
^ fc
>3
02 ÖXS JCui aequationi, ope formularum (1 ), (2), (
3
) . . . . numeri undecim i, hanc speciem dare licet:( 014 _L b“ ' 1 bB ' , 1)74 o f bu , \ ,
U r * v +*•+*» +s* +••••)*
by by
bn ' t u . b»
+ T Z 6zt z + bs + iT " ôz"t z +
---Facile v er o apparet, coëffîciens, quod variationem Sx multiplicat, nil aliud es s e , nisi primam functiois «, ad x a t primigenium variabile relatæ^ derivatam completam,
quam u vel — designamus. R e liq u i vero termini confi- dx
ciunt functionis u variationem incompletam vel
9
« (r. form. A ). Ita ut tandem liat:Su = 0M -}- u Sx ; . . . (C). Similiter etiam invenitur: S ti^ z Qu -|- u" Sx ;
& c. &c. &c.
R x his facile etiam habebitur (v. n. 12)
Su — [Su- u' Sx)' i Su z z (Su- M Sx) ; &c.
1
4
. Q uia (0
#)' =0
a , est etiam Q u z z f d x Q u : quo ae quatio (C) in hanc mutatur:Su
=
f d x Q u-J“ «0* • • • • (°)
Faciam us u z z f V d x , ideoque u z z V i obtinebitur S f V d x
= Fife +
f d x W. . . . (D).
Posito vero u z z f V d x habebitur eadem ratione e x f o r
-mUla
$ f f y d x * = â x f F d x + f f < i x *6
r . . . . ( E ) .& C. & C . 6 c c .
1
5
. Si in formula ( ^ ) « in V permutatur; deinde , e r o ponitur g s ï V g = T t , &c etsimili-®B
7
z - ^ - = 2 , &e. illa formula in hanc
t e r t e ' i w '
abit
+ r. v + r
( rfl).
? Z
03
4 - Z,Ô2' “H ^ ,0 2 "4
“4
- * * *su n t, in v e n itu r , productum earum derivando; (« « )'= r* 'u
-J- v ' u : unde
u v = (mu)'- u'u . . . ( i )
sim iliter est etiam :
„ , , , u"'v = ( u " v ) '- u " v \
n v = (m u) - u v } „ , , „ , , „ I / #\
, ,
, v
„(••(<*) et
m u = ( » u ) - m u > - . . ( b )u v = [uv ) - uv > , „ //V L
u V = («u ) - «U r
E x aequationibus (a) evadit:
u v = (« u )'- (m v j -j- mu". . . , ♦ (a)
et ex aequationibus (b)
nt __ , n v/ / / V i / H\t >" / —\
u v =n (« u) - (m u ) H - (uu ) - mu . . . . (o).
L e x , quam sequuntur bæ formulae, facilis est perspectu; ita ut sin e ulteriori calculo scribere liceat:
«""u = («'"u)'- ( « v / + (« v y - («u'7 + *»"" • .. (4)
e t ceteras.
In his form ulis substituatur Qy pro m; in prima vero
T t pro u, in secunda , in tertia 7*^, et sic in ceteris.
Q uibus rite su b stitu tis, primani lineam aequationis ( A i ) in sequentem facile m utari fo rm am , apparet:
[r-{ry
+
(rf-(Tj"
+ ( rj &c.] +
[(r -
[rj
+
( r j - (r j
" + «ce.) ôÿj +.
[(r-(rj + (r„j-&e....)«/]'+
Kr , „ - ( r J ' + & c ...* • • • )9y"]' +Sim ilem speciem , litteris tantum mutatis, secundae et iam lineæ aequationis ( A i ) t eodem modo dare licet.
Quum aequationem [ A i) hoc modo pt reparatam cu m differential! dx multiplicemus, dein vero in teg rem u s, ha bebitur tandem , addendo V iïx atque S y - y ^ x pro Öy,
- z t x pro Qz, et sic pro ceteris variationibus i n c o m - pletis valores earum completos e numero undecim o, s u b stituendo: [ Z '- ( Z J +
( Z J -
( Z J " + & C . ] . ( * - • ' & ) + \ . r ,r( r j ’+ ( r j - ( r , j " + & c ] . • _ , * * ) +[*„- ( Z J + ( Z J ' - ( Z j " + &c ]. (ht- *"&)+
[ * > ( O + c r ,j " - ( r „J " 4 A c ] (% " -y '" ^ )+ [2
,„ - J +( 2
A c ] ,(hf-
+ dec. Æc. etc.4-
v ï x- f it
+ / « f y y 'M [( r - ( r ) ' + ( ( + ac.)\ + / ( h
zSx)((Z
- ( Z )' +(Z
J"- ( Z J + Ac.) rf*]/ Simili modo transformare æquationem (E ) liaud diiKcile est i / F i x Ji b . In æquatione Qk -+• Æ'Ja; rz: o (n. i o ) loco k' s u b
-bk bk , bk b$ , bfc
slituatur r + r - ÿ + r 2 + r ' ? + T ' 2 + &c -i
b* by bs by bs
exterm inatis dein variationibus ô y, Qz et ceteris, haec ae quatio in similem transmutatur s p eciem , quam habet ae quatio (B ) : ita ut habeamus
Q uia vero est (Qk)' z u Qk\ ex quo etiam Q kzzifdxQ k'; h a bebim us q uoque
Sk i n Sfk'dx : = k'Sx f dxQk' = o.
Quae aequatio ejusdem plane formae atque aequationis ( D ) similiter etiam in speciem aequationis ( F ) transmutatur.
17. d , B e t F> formulae sunt principales Calculi V a r ia tio n is, quum de uno solo quanto primigenio varia bili quaestio sit. Si vero plura primigenia occurrant v a riabilia, h a u d difficile erit eandem persequendo viam ad formulas ei casui adcommodatas pervenire. Q u o d tainen hoc loco o m it t im u s , ne lim ites, quas opellae nostrae pro p o su im u s, excedamus.
R e s t a t ig itu r, ut usum formularum earumque adpli- cationem ad problem ata, quae ope Calculi Variationis solvi solent, ostendam us. Q uod summatim tantum persolva mus. Pars enim Calculi Variationis practica in om nibus, qui nobis sunt n o ti, libris elementa hujus disciplinæ tra ctantibus, omni cura atque diligentia explicata aptisque exemplis adornata nobis Yidetur.
18. In quaestionibus ope Calculi Differentialis tra ctandis, n e x u s, q u e m inter se habent variabiles, vel ipsa forma functionis constans esse debet; quippe quum hac conditione adsum ta, omnes illius Calculi regulae atque formulae constructa» sint. Illis vero p rob lem atibus, in
quibus solvendis hic nexus variationem su bire p o te s t, ad hibendus est Calculus Variationis. U t , si V" dalain quan- dam functionem variabilium x et y eorum que differentia - lium vel derivatarum functionum rep ræ sen tet, haec ipsa fu n ctio
V
pro uno eodem que valorex
, ejusque in teg ra le intra limites semper eosdem valorum x , diversos tarnen valores amplecti potest. Ita ut quaerere l ic e a t , quaenam sit relatio inter y e t x vel qualis sit i] functio ipsius x , u t functio V , vel etiam integrale ejus intra datos l im ite s , majorem aut mitiorem habeat v alorem , quam quem dare possint reliquæ functionis forma;. In geometria integrale f l ^ d x , quum de relatione inter y et x nihil statuitur, proprietatem generalem vel omnibus curvis communem in d i cat: et curvam , quae hanc ipsam proprietatem maximum aut minimum reddat, quærere certe possumus.
Problematibus ejusmodi naturae, quae uno nomine / r o - ptrim eirica dicere solent, vulgo Calculus variationis a d h i
betur. Maxime tamen hic Calculus in scientia Mechanica yalet. Quod hoc loco obiter tantum admonemus.
19. Sit itaque propositum , relationem inter x et y q uæ rere, quæ functionem datam U = z / ( * , # » y \ y • • • • ) maximum aut minimum reddat. Jam igitur concedam us e x sistentiam ejusmodi relationis ; functionem v e r o , quæ illam exprimat variationem subire ponamus. Q u a variatione y i*1 V "h fy* y y + Qy' & c«> U autem in
£7
-f- AZ7
p er mutetur. E o d em plane modo atque in Calculo D ifferen tial! de Maximis et Minimis hic etiam demonstratur parsîncrem enti A £/, quæ primae est dimensionis respectu ad va riation es Qy,
9
y \ Qy" &c. h a b ito , nihilo »qualis esse; vel quod idem est, Ô C /rro . S ed ut hoc maximum aut minimum absolutum s it, necesge erunt om n ia atque singula varia tio n u m coëflicientia nihilo aequalia. Q uæ aequationes, si in ter se omnes con ven iun t, atque eandem inter x et y rela tio nem constituunt, possibilitatem tnaximi aut minimi absoluti comprobant: aliâs vero hoc maximum aut mininum relativum tantum esse potest.S i æquatio quædam conditionalis data est, ut F ( x , y , y , y" adhibebitur loco variationis incom plet*
QU variatio com pleta; ita ut in eo casu <$U zz,o: e qua, o p e aequationis aut sub forma B aut F , una quaelibet variationum Jjc, Sy Scc. exterm inetur: si plures sint aequa tiones conditionales, plures etiam variationes eliminentur.
20. Si ipsa fnnctio U est formæ f V d x *), adhibebitur formula i ï f F d x z z z o ; in q u a , si nulla æquatio conditiona lis data est, facere licet Jïr z r o, quo £y in Qy &c, m u tantur. D e reliquo observandum e s t , omnes æqüationis F term in os, qui extra signa integrationis sunt p o s iti, ad limites integralium spectare. Præterea hæc æquatio in duas dividetur partes distinctas, utram que nihilo »qualem , alteram terminos e x tra , alteram vero term in o s, qui intra signa integrationis inveniantur, continentem. Q uod supra
*) Dat» functiones differentiales k vel u vel v ~ f ( x ;y , z , d x , d y,
dz, d1x, d2y, d2z, . . . .) in ejusmodi lorinas, quas nos posuimus, fa
(n. 1 8 , 19) adnotavim us, ad eum casum , quo plures quam y quanti x functiones variabiles o cc u r ra n t, facile e x tenditur.
Regulae speciales ad diversos casus adcommodatas, atque exempla ad eas illustrandas apta, hoc quidem loco recte atque ordine sequerentur; sed , ut supra dixim us: h o c officium tam est diligenter expletum in libris M a th e m aticis, tironibus conscriptis, ut nobis nil fere aliud re sta ret, quam ad verba transscribere, sive G a m ie r sive L«acroix sive F r a n co e u r ; id quod prroposito nostro haud convenit. *
