böra få förekomma. D e t är därför av den största v i k t , a t t

B R Å K L Ä R A N S M E T O D I K .

Skolämnet l ä k n i n g h a r en a v g j o r t d u b b e l karaktär, det utgör nämligen på en g å n g Inro- och »övningsämne*. D e t l i g g e r förvisso frestande nära många gånger a t t b e h a n d l a räkningen som nästan e n b a r t »övningsämne»

d . v . s. låta eleverna h u v u d s a k l i g a s t syssla med m e k a n i s k räkning som tillämpning p å n å g r a h e l t h a s t i g t g i v n a r e g l e r . M e n m a n k a n h e l t v i s s t i c k e känna s i g t i l l f r e d s m e d en sådan metod för e t t ämne, som bör v a r a e t t a v skolans mest förstånds- övande. Synes också resultatet, efter provräkningar och a n d r a p r o v a t t döma v a r a a l d r i g så b r a . så länge u p p g i f t e r ges i n o m , d e t »drillade» området, k o m m e r svagheten i me- toden f r a m , då även n o g så e n k l a u p p g i f t e r från a n d r a om- råden k o m m a i fråga. H u r v i k t i g t det är, a t t det matema- t i s k a vetandet förståndsmässigt tillägnas, ser m a n t y d l i g t på en elev, som av någon a n l e d n i n g v a r i t b o r t a från s k o l a n en t i d . D e t är i c k e n o g m e d a t t h a n i c k e k a n det, som gc- noingåtts under hans frånvaro, h a n k a n i c k e h e l l e r följa med det n y a , som behandlas. D e t är nämligen så, a t t i n o m m a t e m a t i k e n mer än i n o m något a n n a t ämne den ena a v d e l - n i n g e n i n t i m t sam man hänger med den föregående. E l e v e n f a l l e r lätt för frestelsen a t t räkna m e k a n i s k t och gissa s i g f r a m , och så småningom får h a n den u p p f a t t n i n g e n , a t t m a t e m a t i k e n är för svår för h o n o m . A v det sagda framgår t y d l i g t , a t t i n g a l u c k o r i fråga öm b e g r i p a n d e t av ämnet

böra få förekomma. D e t är därför av den största v i k t , a t t

6 4

undervisningen göres så åskådlig, a t t i n g e n k a n undgå a t t förstå det genomgångna. A l l t s å bör n i a n k n y t a exemplen t i l l verkliga föremål och icke för t i d i g t räkna med ab- strakta tal. I c k e m i n s t i n o m bråkläran torde det v a r a av v i k t a t t i a k t t a g a detta.

Ordningsföljden mellan allmänna bråk och decimalbråk.

Den framstående räknemetodikern K . P . N o r d l u n d , som kanske mer än någon a n n a n i vårt l a n d k ä m p a t för åskåd- l i g h e t i räkneundervisningen, h a r p å e t t ställe

g j o r t föl- jande u t t a l a n d e : » V i d a l l u n d e r v i s n i n g gäller den lagen, a t t m a n s k a l l börja m e d det k o n k r e t a , e n k l a och påtag- l i g a och sedan så småningom övergå t i l l det a b s t r a k t a , m e r i n v e c k l a d e och svårfattliga. D e t är m o t denna a v a l l a v e r k l i g a pedagoger erkända l a g m a n felar, då m a n låter läran o m decimalbråken o m e d e l b a r t följa efter läran o m de h e l a talen.» D e t synes m i g , som o m denna k r i t i k av en förr m e r än n u v a n l i g lärogång är f u l l t r i k t i g . M e n därav följer icke, som N o r d l u n d själv t y c k s h a menat, a t t hela den allmänna bråkläran s k a l l föregå b e h a n d l i n g e n av decimalbråken. I stället t a l a r åtskilligt för lämpligheten av a t t v i s s e r l i g e n först g e n o m g å en ej alltför snäv i n l e - dande k u r s i allmänna bråk, såsom också den för f o l k - s k o l o r n a gällande u n d e r v i s n i n g s p l a n e n förutsätter, och se- dan t a decimalbråkläran. K l a r t är, a t t m a n t i l l a t t börja med i den i n l e d a n d e k u r s e n sysslar m e d de enklaste de- l a r n a , såsom hälfter, tredjedelar o. s. v . D å m a n genomgår exempel på t i o n d e l a r , märka eleverna snart, a t t de i vissa avseenden äro lättare a t t räkna m e d än »enklare» delar.

Så är e x e m p e l v i s , o m m a n väljer a r k och a r k d e l a r som åskådningsmateriel, 1 h e l t och 2 t i o n d e l s a r k - 12 t i o n - delsark, 3 h e l a och 7 t i o n d e l s a r k == 37 t i o n d e l s a r k e t c ,

1

K. P. Nordlund: Lärogäng v i d den grundläggande u n d e r v i s n i n g e n i räkning, 1897, s i d . I X .

5— 269650. Arbetssättet i folkskolan. TU.

och omvänt är 23 t i o n d e l s a r k = 2 h e l a och 3 tiondelsark o» s. v . P å samma sätt förhålla s i g h u n d r a d e l s a r k e n t i l l t i o n - delsarken och t u s e n d e l s a r k e n t i l l h u n d r a d e l s a r k e n . T a c k v a r e vårt t a l s y s t e m s u p p b y g g a n d e med hjälp av 1 0 s i f f r o r b l i r dccimalbråkräkningen e n k l a r e i d e t t a och även i a n d r a s t y c k e n . Sålunda behöva decimalbråken i c k e göras l i k - nämniga v i d a d d i t i o n och s u b t r a k t i o n , v i l k e t framgår a v följande e x e m p e l :

,10

3,85 3,85 7,5 2,3 _ — — 4 ^ 3

1-236 1,55 3,27 7,386

I e n l i g h e t med den i c i t a t e t omnämnda pedagogiska, regeln k u n n a därför vissa d e l a r av dccimalbråkräkningen b r y t a s u t och tas före de allmänna bråken. D e t k a n dess- u t o m innebära en fördel, a t t småttingarna få bråkläran i repriser. E f t e r genomgången av decimalbråken i e n l i g - h e t m e d ovanstående b l i r det i femte klassen tillfälle t i l l y t t e r l i g a r e i n ö v n i n g av sorter och positionssystemet (be- t y d e l s e n av s i f f r o r n a s p l a c e r i n g i t a l e t ) , och i sjätte k l a s - sen k a n därefter den fullständiga k u r s e n i allmänna bråk k o m m a . A t t även i d e t t a s a m m a n h a n g decimalbråksexem- pel böra tas och övas, t o r d e i c k e behöva framhållas.

Inledande huvs i bråk.

I s i n d a g l i g a e r f a r e n h e t och särskilt u n d e r räknetim-

m a r n a v i d d i v i s i o n i h e l a t a l h a n a t u r l i g t v i s b a r n e n g j o r t

b e k a n t s k a p med e n k l a r e d e l a r såsom hälfter, tredjedelar,

fjärdedelar. S j ä l v a g r u n d b e g r e p p e t f i n n s således, och u p p -

g i f t e n b l i r a t t dels inöva detsamma, dels så småningom

k n y t a det t i l l det s e d v a n l i g a skrivsättet med täljare, bråk-

streck och nämnare. Såsom förut framhållits, böra åt-

minstone i början a l l a e x e m p e l avse föremål och h e l s t så-

dana, som lätt k u n n a a v r i t a s p å t a v l a n och i böckerna.

Ex. 2 äpplen — 4 h a l v a äpplen — 6 tredjedelsäpplen, o. s. v . Sä s n a r t nian ger exempel med äpplen, känna s i g eleverna p å r i k t i g t fast m a r k . Sådana k n y t a s i g t i l l ei ra- renheten u t a n l o i ' s k o l a n , och b a r n e n k o m m a s i g ej för med a t t gissa. Dessutom k u n n a äpplen lätt a v r i t a s som c i r k l a r .

oBcg

2 h e l a och 1 tredjedelsark = 7 t r e d j e d e l s a r k .

8 fjärdedelsark = 2 h e l a r k .

7 h a l v a äpplen = 3 h e l a och 1 h a l v t äpple.

M a n får i c k e g l ö m m a b o r t , a t t i dessa exempel det hela måste v a r a u p p r i t a t , i n n a n m a n k a n åskådliggöra delarna.

S k o l a således 7 femtedelsark r i t a s u p p , börjar m a n m e d 1 h e l a r k , v a r e f t e r d e t t a delas i 5 l i k a delar. Sedan k u n n a 7 sådana r i t a s efter v a r a n d r a .

E n k l a e x e m p e l p å a l l a räknesätt böra här genomgås.

Ä v e n de k u n n a lämpligen åskådliggöras.

Addition.

Ex. 1 åttondelsark + 3 åttondelsark = 4 åttondels- a r k = 1 h a l v a r k .

1 h e l t och 1 h a l v t a r k + 2 h e l a och 1 fjärdedelsark =

= 3 h e l a o c h 3 fjärdedelsark.

I h e l t och 1 h a l v a r k + 1 t r e d j o d e l s a r k = 1 h e l t och 5 sjättedelsark.

Subtraktion.

Ex. 6 äpplen — 2 h e l a o c h 1 t r e d j e d e l s ä p p l e = a) 4 h e l a — 1 t r e d j e d e l s ä p p l e = 3 h e l a och 2 t r e d j e ­ dels ä p p l e n =

OOOOOOOOO- -OOOO-O-OOOD

b ) 5 h e l a och 3 t r e d j e d e l s ä p p l e n - 2 hela och 1 t r e d j e ­ delsäpple = 3 h e l a o c h 2 tredjedelsäpplen.

oooooo-ooo-

-OOOD

Det synes m i g v a r a av v i k t , a t t m a n här i den i n l e d a n d e k u r s e n l i k a m y c k e t övar den ena metoden som den .andra.

D e n för b a r n e n n a t u r l i g a s t e t o r d e v a r a a ) . Mn UipUkation.

Ex. 4 • 2 t r e d j e d e l s a r k = 8 t r e d j e d e l s a r k = 2 h e l a och

2 t r e d j e d e l s a r k .

3 • 2 och 1 h a l v t ä p p l e = 6 h e l a och 3 h a l v a äpplen =

= 7 och 1 h a l v t äpple.

oo oo oo oooooo

0 Q Q ~ 0 Q

A v g j o r t m i n d r e n a t u r l i g t är d e t a t t t a g a 3 g g r 5 h a l v a ä p p l e n = 15 h a l v a ä p p l e n = 7 och 1 h a l v t ä p p l e .

Division.

Ex. 12 s j u n d e d e l s a r k : 4 = 3 s j u n d e d e l s a r k .

* -

O m k u r s e n i decimalbråk tas före de allmänna bråken, är det i c k e n ö d i g t och k a n s k e i c k e l ä m p l i g t a t t p å detta s t a d i u m införa skrivsättet för allmänna bråk, då detsamma i c k e p å länge k o m m e r a t t behövas.

Decimalbråk.

Sedan bråkbegreppet genom tillräckligt många åskåd- n i n g s e x e m p e l , v a r p å p r o v o v a n anförts, b l i v i t elevernas säkra egendom, k a n m a n specialisera e x e m p l e n t i l l a t t u t e s l u t a n d e hänföra s i g t i l l t i o n d e l a r , h u n d r a d e l a r och t u - sendelar. A v e n dessa b ö r a g i v e t -

v i s v a r a i v a r j e s ä r s k i l t f a l l

å s k å d l i g g j o r d a . H ä r v i d r e k o m -

menderas o c k s å a r k och a r k -

delar, som v a r j e b a r n b ö r h a

med s i g . F ö r s t ö v a s tillräck-

l i g t m e d e x e m p e l p å ö v e r g å n g -

en m e l l a n t i o n d e l a r och h e l a

och o m v ä n t , sedan p å h u n d r a d e l a r o c h t i o n d e l a r resp.

h e l a o. s. v . T i l l sist böra b a r n e n v a r a f u l l t förtrogna med exempel a v följande t y p : 7 t i o n d e l s a r k , 5 h u n d r a d e l s a r k , 6 t u s e n d c l s a r k = 750 t u s e n d e l s a r k . D å är det lämpligt a t t o m t a l a det v a n l i g a skrivsättet för decimalbråk och framhålla l i k h e t e n m e d det för h e l a t a l använda. L i k s o m 2 t i o t a l s k r i v a s 20, s k r i v a s 2 t i o n d e l a r 0 , 2 . P å s a m m a sätt 7 h u n d r a t a l = 700 och 7 h u n d r a d e l a r = 0 , 0 7 o. s. v . L i k a - ledes 7 h u n d r a t a l och 2 t i o t a l = 720 samt 2 h u n d r a d e l a r och 7 t i o n d e l a r = 0 , 7 2 .

N u är det t i d a t t ö v a exempel på d e k a d i s k a sorter. Här- v i d framgår ännu k l a r a r e överensstämmelsen m e l l a n be- teckningssättet för decimalbråken och de hela t a l e n . Så- l u n d a är 7,56 m detsamma som 756 c m . I bägge t a l e n u t - gör sjuan h u n d r a t a l i förhållande t i l l sexan och t i o t a l t i l l f e m m a n . I s a m b a n d med sorterna b l i r det alltså tillfälle a t t y t t e r l i g a r e ö v a betydelsen av en s i f f r a s p l a c e r i n g i t a l e t . A t t a n a l o g i e n m e l l a n räkningen m e d h e l a t a l och decimalbråk är fullständig, framgår särskilt t y d l i g t av det första e x e m p l e t här nedan.

Addition. Ex. 7 m 5 d m 6 c m + 8 m !) d m + 7 d m 2 c m + 3 m 4 c m + 6 m .

a) 7 m 5 d m 6 c m b) 756 c m c) 75,6 d m d) 7,56 m 8 9 890 89 8,9

7 2 72 7,2 0,72 3 4 304 30,4 3,04 6 6 60 _ _6 _

24 m 21 dra 12 c m 2622 c m 262,2 d m 26,22 m e l l e r

26 m 2 d m 2 c m .

Subtraktion. Ex. 75 - 9,58 — 65,42.

.100

a) 75 b) 7 5 , 0 0 9,58 _ 9^58

65,42 65,42

a) F r å n 75 lånas 1 h e l , s o m är 100 h u n d r a d e l a r . 58 h u n d r a d e l a r från 100 h . = 42 h . o. s. v .

b) F r å n 25 lånas 1 h e l = 10 t i o n d e l a r och från 10 t i o n d e l a r l å n a s 1 t i o n d e l = 10 h u n d r a d e l a r , o. s. v .

Multiplikation m e d h e l t a l s m u l t i p l i k a t o r . Ex. 7 • 5,89 = 41,23.

E n k l a s t s y n e s v a r a a t t l ö s a u t e x e m p l e t 5,89 7 • 589 h u n d r a d e l a r , v a r a v framgår, a t t 589 7 s k a l l tas 7 g å n g e r . Sedan r e s u l t a t e t erhål- 41,23 l i t s , s k a l l d e t e m e l l e r t i d s k r i v a s s o m 4123

h u n d r a d e l a r och ej 4123 h e l a . E t t a n n a t t i l l v ä g a g å n g s - sätt är a t t s ä g a 7 • 9 h u n d r a d e l a r = 63 h u n d r a d e l a r =

= 6 t i o n d e l a r o c h 3 h u n d r a d e l a r o. s. v . M a n k a n väl i hörjan l ä m p l i g e n a n v ä n d a än d e n ena än d e n a n d r a me- t o d e n för a t t ä n d o c k t i l l s i s t ge företrädet åt d e n först- nämnda. V i d n e r s i f f r i g m u l t i p l i k a t o r bör e n d a s t den före- k o m m a .

Division m e d h e l t a l s d i v i s o r . Ex. 7 , 3 2 : 6 = 1,26.

Ä v e n här k u n n a s a m m a två metoder som för m u l t i p l i - k a t i o n k o m m a ifråga. Således å ena s i d a n 732 h u n d r a - delar : 6, v a r v i d räkningen b l i r en v a n l i g h e l t a l s d i v i s i o n . S l u t r e s u l t a t e t 126 är e m e l l e r t i d i c k e h e l a u t a n h u n d r a - delar. E n l i g t den a n d r a metoden fås följande. 7 h e l a delat med 6 ger 1 h e l t i l l k v o t och 1 h e l , d . v . s. 10 t i o n d e l a r , t i l l rest. 13 t i o n d e l a r delat med 6 ger k v o t e n 2 t i o n d e l a r och resten 1 t i o n d e l = 10 h u n d r a d e l a r . S l u t l i g e n ger 12 h u n d r a d e l a r d e l a t m e d 6 t i l l k v o t 2 h u n d r a d e l a r . V i l k e n - dera metoden som bör ges företrädet, synes t v e k s a m t . M e d hänsyn t i l l den r e n t m e k a n i s k a räkningen torde den senare böra t i l l sist föredragas.

Allmänna bråk.

Då m a n n u övergår t i l l en fullständig k u r s i allmänna

bråk, äro eleverna åtminstone e t t halvår äldre, än då i n -

l e d n i n g e n påbörjades. D e t t a är en d i r e k t v i n s t , och dess- u t o m h a de förvärvat l i t e t större m a t e m a t i s k träning. I en h a s t i g r e p e t i t i o n genomgås e x e m p e l , sådana som g i v i t s i i n l e d n i n g e n , och i s a m b a n d med dem införes n u det v a n - l i g a skrivsättet för bråken, o m det ej t a g i t s förut. D e t är v i k t i g t a t t r i k t i g t klargöra täljarens och nämnarens h e l t o l i k a u p p g i f t e r , såsom d i r e k t framgår av benämningarna, i det a t t täljaren ger delarnas antal och nämnaren deras

namn.

Förlängning och förkortning.

E h u r u e x e m p e l p å f ö r l ä n g n i n g och f ö r k o r t n i n g g i v i t s r e d a n i den i n l e d a n d e k u r s e n , h a l i k v ä l i c k e dessa be- g r e p p b e h ö v t införas. N u s k r i v e r m a n t . ex. f a r k = § a r k och t a l a r o m , a t t § säges h a erhållits u r § g e n o m för- l ä n g n i n g m e d 2 och o m v ä n t | u r f g e n o m f ö r k o r t n i n g m e d 2. F ö r l ä n g n i n g e n innebär följande. D e n y a d e l a r n a g ö r a s hälften så s t o r a som de u r s p r u n g l i g a — v a r j e åt- t o n d e l u t g ö r hälften a v v a r j e fjärdedel — . A a n d r a s i d a n i n g å r a v de m i n d r e d e l a r n a e t t d u b b e l t så s t o r t a n t a l som a v de u r s p r u n g l i g a . F å g r u n d härav k o m m e r b r å k e t s s t o r l e k i c k e a t t ändras. D e t är d e t t a r e s o n e m a n g , som bör f ö r a s ; r e g e l n a t t täljare och nämnare m u l t i p l i c e r a s e l l e r d i v i d e r a s m e d s a m m a t a l u p p t ä c k a e l e v e r n a s n a r t på egen h a n d .

Addition.

a) N ä m n a r n a äro l i k a .

A

Ex. \ \ a r k + g a r k = 1 |

D

a r k = 1 | a r k .

b ) D e n ena nämnaren i n n e - håller de a n d r a som f a k t o r e r .

Ex. % a r k ( A B C D ) + | a r k ( B C E F ) = \ a r k ( A F E D ) .

B r å k e t f b ö r alltså förlängas

m e d 2, då \ erhålles, v a r e f t e r

h o p l ä g g n i n g e n k a n utföras.

1 | a r k + 2 i a r k + ;

; a r k = 1$ a r k + 2g a r k + § a r k =

=s o

,.- a r k = 5 a r k .

c) I n g e n a v de u r s p r u n g l i g a nämnarna d u g a som ge- mensam n ä m n a r e .

Ex. 5 | a r k + 4 | a r k = 9 | a r k .

H ä r k l a r g ö r e s , a t t h a l v a r k ej k a n förvandlas t i l l t r e d j e - d e l s a r k , m e n a t t b å d a l å t a s i g f ö r v a n d l a s t i l l sjättedels- a r k , såsom f ö r e g å e n d e e x e m p e l v i s a r . A l l t s å fås \ + ?, =

= | + | = $. D å dessa e x e m p e l å s k å d l i g g ö r a s , göres l ä m p - l i g e n u p p d e l n i n g e n i h a l v a r k g e n o m en v e r t i k a l l i n j e och

i t r e d j e d e l s a r k g e n o m v å g r ä t a l i n j e r , v a r i g e n o m d e l n i n g e n i sjättedelar d i r e k t erhålles.

d ) S v å r a r e e x e m p e l a v s a m m a t y p s o m föregående.

F ö r a t t få reda p å v i l k a d e l a r v i här böra använda för- länga v i bråken successivt ined 2, 3 o. s. v . och få föl- jande u p p s t ä l l n i n g :

Härav framgår, a t t dc största delar, t i l l v i l k a 12-, 15- oeh 20-delar låta förvandla s i g , är 60-delar.

• • • 3 ^ + 2 ^ + 4 ^ = 8 M + W + 4 f t = 9$=1018 = 10$.

"Pis n~j. i i • L b _ : p_n .°

D å det e n l i g t k u r s p l a n e n ej bör i f o l k s k o l a n genomgås a n n a t än bråk m e d små nämnare, k a n det väl v a r a onödigt a t t hos h e l a klassen inlära metoden m e d u p p d e l n i n g i f a k - torer. A t t cle d u k t i g a r e eleverna, som släppas p å svårare u p p g i f t e r , få a n v i s n i n g a r härufi, synes däremot v a r a m y c - ket påkallat.

Subtraktion.

D e t förefaller v a r a l ä m p l i g t a t t t a s u b t r a k t i o n p a r a l - l e l l t med a d d i t i o n . M e l l a n dem råder j u i n g e n p r i n c i p i e l l o l i k h e t , a n n a t än den, a t t m a n måste » l å n a » i vissa exem- pel, såsom i de följande. G e n o m a t t g å genom dem sam-

Ex. 3 •> + 2 ^ + 4 & .

5

T2 9

LM)

t i d i g t v i n n e r m a n l i t e t v a r i a t i o n i fråga om exemplen, och alltför slentrianmässig räkning u n d v i k e s .

l$x. 10 - g | 2 - | = 1|

e l l e r

10 - 8* = 9g - 8» = H

8 i - 6 i = 8 | - 6 |

7 j f - 0 | = 1 | = 1*.

Anknytning till decimalbråken.

1 s a m b a n d m e d de ö v r i g a e x e m p l e n tas också sådana med e n b a r t nämnarna 10, 100 och 1 0 0 0 .

Ex 5 J L + ^ j r j * * i o o ~ " l o o o ~ 7_uv + ä 4 | L 4 . fi

i o o ^ 1 0 0 0 ~ ' 1000 ~ " 1 0 0 0 ~

~ = - f 7

- + 3-£4- + - l (\J±<> — 91JEIS

~ "lOOO M 0 0 0 "

^ «j^00) H ä r m e d j ä m f ö r e s r ä k n i n g e n , såsom den 7 18(0) förut g e n o m g å t t s . T i l l s ä t t a s h ä r n o l l o r p å e t t 3 058 P

^ U e n , b l i r ä k n i n g a r n a i d e n t i s k a . 6 09(0) V i d d e n n a å t e r g å n g t i l l d e c i m a l b r å k e n b ö r

« T T n ~

*

t i l l f ä l l e t i a k t och y t t e r l i g a r e öva

2 L , G 2 b ,

e x e m p e l p a s o r t e r .

Multiplikation.

a ) H e l t a l s m u l t i p l i k å t o r .

Ex. E n l i t e n ost v ä g e r $ k g . V a d v ä g a 7 sådana o s t a r ? S v a r : 7 • $ k g = y k g = 4 | k g . S k u l l e d e t v i s a s i g be- h ö v l i g t , k a n m a n som l e d n i n g ge e x e m p e l , där d e t är f r å g a o m e t t h e l t a n t a l k i l o , såsom 7 • 4 k g . M a n känner

v a r j e dels s t o r l e k och a n t a l e t d e l a r .

7 • 41 k g = 28 k g + y k g = 28 k g + 4* k g = 32g k g e l l e r

7 • 4 | k g = 7 • y k g = k g = 32§ k g .

b) M u l t i p l i k a t o r n e t t bråk, m u l t i p l i k a n d e n e t t h e l t t a l . Ex. 1 k g kaffe k o s t a r b' k r . V a d k o s t a r h k g ? M a n t a r n a t u r l i g t v i s t i l l s v a r 3 k r . P å fråga h u r det erhålles, s v a r a s väl a n t i n g e n , a t t (> k r delas m e d 2, e l l e r a t t m a n t a r hälften a v 6 k r . O m s v a r e t t e c k n a s , fås alltså a n - t i n g e n ö k r : 2 e l l e r | k r . A t t det här kan sägas v a r a

7 1

fråga o m en m u l t i p l i k a t i o n , m å s t e förefalla v a k n a e l e v e r m y c k e t e g e n d o m l i g t och t a r v a r n a t u r l i g t v i s en i n g å e n d e u t r e d n i n g . D e t s y n e s i c k e v a r a en s u n d m e t o d a t t b a r a säga, a t t »av b e t y d e r g å n g e r » . I j u s t d e t t a e x e m p e l är d e t e m e l l e r t i d a v m i n d r e p r a k t i s k t v ä r d e a t t få i n s k r i v - sättet | • 6 k r . V i k t i g a r e är d e t i e x e m p e l a v f ö l j a n d e t y p . Ex. 1 k g k a f f e k o s t a r (5 k r . V a d k o s t a l k g ? S v a r :

| a v 6 k r . F ö r e l e v e r n a t o r d e t a n k e g å n g e n b l i , a t t 1 k g k o s t a r 6 k r : 5 = § k r , o c h a t t § k g k o s t a 3 g g r så m y c - k e t s o m \ k g , d . v . s. 3 • § k r . V i d u t r ä k n i n g e n fås alltså a) f k r = 1*- k r och b ) 3 • l i k r = 3 | k r ; e l ] e r också a ) 3 • 6 k r = 18 k r och b) 18 k r : 5 = 3 | k r . D e t i n n e b ä r u p p e n b a r t e n fördel a t t få i n såsom s v a r p r o d u k t e n a v

| och 6 l i k a v ä l s o m p r o d u k t e n av 7 och 6, o m d e t är fråga o m p r i s e t p å 7 k g . D e t v a n l i g a s t e t o r d e v a r a , a t t m a n d r a r s l u t s a t s e n u r l i k a r t a d e e x e m p e l , s å s o m d e t r e k o m m e n d e r a s i en n y u t k o m m e n r ä k n e m é t o d i k .

E m e l - l e r t i d k a n m a n även m e r a d i r e k t få f r a m , a t t r e s u l t a t e t u t g ö r en p r o d u k t a v 6 o c h l. D å s v a r e t är i; av 0 k r , frågar m a n , h u r m y c k e t | a v 1 k r u t g ö r . H ä r p å s v a r a s

§ k r . f a v 6 k r b l i r (> g g r så m y c k e t , alltså 6 • f k r . A v r e s o n e m a n g e t framgår, a t t § a v b' k r är d e t s a m m a som 6 • § k r , alltså en p r o d u k t a v f och 6. A t t l o g i s k t b e v i s a s k r i v s ä t t e t | • 6 k r låter s i g i c k e göra. M e n d e t torde i c k e s y n a s e l e v e r n a f r ä m m a n d e a t t k a s t a o m o r d - n i n g e n p å f a k t o r e r n a , d å de från heltalsläran äro v a n a därvid. M a n k o m m e r a l l t s å f r a m t i l l a t t »av b e t y d e r gånger».

c) M u l t i p l i k a t o r o c h m u l t i p l i k a n d äro b r å k .

Ex. 1 k g kaffe k o s t a r 6 | k r . V a d k o s t a § k g ? S v a r : I

3° kr. D e t t a t e c k n a s i e n l i g h e t m e d d e t föregående I •

jf k r . V i d u t r ä k n i n g e n fås i av

° k r = a n t i n g e n | g k r e l l e r o c k s å d i r e k t $ k r . , v a r e f t e r \ a v

^> b l i r d u b b e l t så m y c k e t , alltså § k r — 2

k r . B i b e h å l l a s de g i v n a t a l e n ,

1

Frits Wigforss: D e n grundläggande m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n ,

sid. 79.

fås i stället f ö r j j b r å k e t ~ och i s t ä l l e t f ö r s l u t -

r e s u l t a t e t * erhålles ~ E f t e r t i l l r ä c k l i g t m å n g a exem- ö • ö

p e l a v l i k a a n d e s l a g inse e l e v e r n a m e d l ä t t h e t r e g e l n f ö r m u l t i p l i k a t i o n i bråk.

Decimalbråk.

l i k s o m v i d a d d i t i o n och s u b t r a k t i o n s k o l a här ingå exempel p å decimalbråk. Såvitt de hänföra s i g t i l l h e l t a l s - m u l t i p l i k a t o r , utgöra de r e p e t i t i o n från den första k u r s e n i decimalbråk. H ä r följa e t t p a r exempel med m u l t i p l i k a - t o r n = ett bråk.

±J

^ - 10 100 1ÖT)0 1000

e l l e r

0,3 • 0,07 = 0 , 0 2 1 . 2 & . 7 $3

'lOÖ

e l l e r

— 2!l . 7 S 3 —

" 1(1 TÖO i BOOS — re nnn rob o — I O , O U J

2,3 • 7,83 = 18,009 7,83

_ ¥ 2340 1566 18,009

E f t e r e t t a n t a l d y l i k a exempel ges den för- den meka- n i s k a räkningen l ä m p l i g a r e g e l n för a n t a l e t decimaler i re- s u l t a t e t .

Division.

1) S. k. innehållsdivision.

a ) K v o t e n b l i r h e l t t a l .

Ex. E t t 8 m långt t y g s t y c k e s k a l l d e l a s så, a t t v a r j e d e l b l i r -§ m . H u r m å n g a b l i d e l a r n a ?

D e t h e l a , som s k a l l delas, u t g ö r 8 m . V a r j e del u t g ö r

?, i n . A l l t s å b l i r a n t a l e t d e l a r 8 : •-. F ö r uträkningen

t ä n k a v i oss 8 m delade så, a t t v a r j e d e l är 1 m . A n -

t a l e t d e l a r fås dä t i l l 8. O m v a r j e d e l u t g ö r b l o t t | m , b l i r a n t a l e t 3 g g r så m y c k e t s o m förut, d. v. s. 24 d e l a r . S k a l l s l u t l i g e n v a r j e del u t g ö r a I m , b l i r a n t a l e t b l o t t hälften så s t o r t , d . v . s. 12. V i d r ä k n i n g e n s t e c k n a n d e fås a l l t s å f ö l j a n d e : 8 : f = ^ 1 °

l l e r 8 • | .

tå

8 m , v a r j e d e l 1 m , a n t a l e t d e l a r = 8.

8 m , v a r j e d e l \ m , a n t a l e t d e l a r = 24.

8 m , v a r j e d e l \ m , a n t a l e t d e l a r = 12.

Ex. 9£ m t y g s k o l a delas så, a t t v a r j e d e l b l i r § m . H u r m å n g a b l i d e l a r n a ?

M a n s k u l l e k u n n a r e s o n e r a som i f ö r e g å e n d e e x e m p e l . L ä m p l i g a r e t o r d e d o c k v a r a , a t t , sedan r ä k n i n g e n teck- nats

^ : | , å s k å d l i g t v i s a , a t t d e t t a är d e t s a m m a som

28 3

28 : 2 e l l e r f . Förlftnges m e d 3, fås - °

e l l e r f • f.

b ) K v o t e n b l i r e t t b r å k .

Ex. H u r m å n g a g å n g e r s k a l l m a n t a g a 3 | m för a t t få 7 | m?

E f t e r a t t k a g e n o m g å t t e n k l a r e s å d a n a e x e m p e l med h e l t a l s u p p g i f t e r , t e c k n a r m a n r ä k n i n g e n 7^ : : \g =

2) S. k. delningsdivision.

a) D i v i s o r n h e l t t a l .

Ex. 5 ä p p l e n v ä g a \ \ k g . V a d v ä g e r 1 ä p p l e ?

^ k g : 5 = | k g . A n t a g e s i stället, a t t 5 äpplen v ä g a 2 ' k g , läs följande y k g : 5 = få k g .

b) D i v i s o r n e t t b l a n d a t t a l , d i v i d e n d e n h e l t t a l . Ex. 5 | k g , d . v . s. y k g , k o s t a 8 k r . V a d k o s t a r 1 k g ? S v a r e t t e c k n a s 8 k r :

j

. V i d u t r ä k n i n g e n frågas först v a d \ k g k o s t a , s v a r $ k r , och härav följer, a t t h e l a k i l o t k o s t a r

k r = \ \ k r . S j ä l v a r ä k n i n g e n ser alltså u t p å f ö l j a n d e sätt: 8 : \ f = ty = 8 •

c) D i v i s o r n e t t e g e n t l i g t b r å k , d i v i d e n d e n e t t h e l t t a l .

Ex. § k g k o s t a 8 k r . V a d k o s t a r 1 k g ?

I l i k h e t m e d f ö r e g å e n d e b l i r s v a r e t t e c k n a t 8 k r : f . V i d b e r ä k n i n g e n fås p r i s e t p å

k g = hälften a v 8 k r =

3 • 8

= | k r och a l l t s å h e l a k i l o t = -

r - k r = 8 k r • f.

d ) D i v i d e n d o c h d i v i s o r ä r o b r å k .

Ex. 51 k g k o s t a % k r . V a d k o s t a r 1 k g ? S v a r : 2\

k r : 5\• = | k r :

<.

D å

- k g k o s t a -J k r , b l i r p r i s e t p å J k g = | k r : 2 1 = 7 . . 4 - 7

= «—är k

p r i s e t p å h e l a k i l o t ., —

- k r . = $ • i\ k r . E f t e r t i l l r ä c k l i g t m å n g a e x e m p e l k a n m a n t a f r a m r e g e l n , a t t en t e c k n a d d i v i s i o n ändras om t i l l en m u l t i - p l i k a t i o n m e d d i v i d e n d e n och d i v i s o r n s o m v ä n d a v ä r d e som f a k t o r e r . T i l l d e n n a r e g e l k a n m a n k o m m a f r a m p å r e n t f o r m e l l v ä g g e n o m a t t k n y t a a n t i l l e x e m p e l så- d a n a som 240 : 60, s o m k a n förenklas t i l l 24 : 6. M a n får alltså d i v i d e r a både d i v i d e n d och d i v i s o r m e d 10.

A l l m ä n t gäller a t t m a n får m u l t i p l i c e r a och d i v i d e r a d i v i - d e n d och d i v i s o r m e d s a m m a t a l , såsom e n k l a e x e m p e l v i s a . H a r m a n följande d i v i s i o n t e c k n a d 2J : 5 } , d . v s. \ : f r å g a r m a n s i g , v a r m e d m a n s k a l l m u l t i p l i c e r a , f ö r a t t d i v i s o r n s k a l l b l i så e n k e l s o m m ö j l i g t . D e t är t y d l i g e n med f

då d i v i s o r n b l i r så e n k e l som m ö j l i g t , n ä m l i g e n en h e l , v a r f ö r d e n i c k e b e h ö v e r s k r i v a s u t . M a n får alltså a -»i •

>

-

-

* 3 K*

7 8

Decimalbråk.

L i k s o m v i d de föregående räknesätten s k o l a även här exempel t i l l decimalbråkläran g e n o m g å s .

W

74. . 2 — .74 , 10 __ | 7 — ^U 7 100 ' 10 100 2 10 " i o -

D e t a n d r a l e d e t k a n s k r i v a s 0,74 • 10 : 2. M a n g ö r så- ledes d e n u r s p r u n g l i g a d i v i s o r n 0,2 t i l l h e l t t a l g e n o m a t t m u l t i p l i c e r a m e d 10, v a r v i d ä v e n m u l t i p l i k a n d e n måste m u l t i p l i c e r a s m e d 10. M a n k o m m e r p å det s ä t t e t ö v e r från d e n a l l m ä n n a m e t o d e n t i l l d e n s p e c i e l l a f ö r d e c i m a l b r å k .

Den lärogång, som j a g här o v a n förordat, förutsätter, a t t läraren genomgår a l l a n y a saker för klassen i s i n h e l - het. Sålunda k a n ungefär % av l e k t i o n e n användas för räkning e n b a r t p å t a v l a n eller i k o m b i n a t i o n m e d räkning i böckerna, v a r e f t e r eleverna få räkna p å egen h a n d den återstående delen a v l e k t i o n e n . U n d e r dessa 15 m i n . k u n n a alltså eleverna utföra exempel analoga m e d de förut u n d e r t i m m e n genomgångna och sedan fortsätta m e d d e m som hemläxa. S a m t i d i g t får läraren tillfälle a t t genomse det sista hemarbetet och ge v i n k a r och råd.

J a g förutsätter alltså ett e f f e k t i v t hemarbete, v a r i g e n o m den rent m e k a n i s k a innötningen av metoderna, v i l k e n är av a l l r a största betydelse för en g o d behållning a v räkne- u n d e r v i s n i n g e n , i v i s s utsträckning k a n göras a v b a r n e n själva. O m m a n l y c k a s uppehålla det k r a v e t på s i n under- v i s n i n g i räkning, a t t v a r j e elev förstår det som genom- gåtts, b l i r ej h e l l e r hemarbetet i räkning någon svår börda, som det h e l t v i s s t eljest k a n v a r a . R ä k n e l ä x a n torde tvärt- om b l i den r o l i g a s t e , o m den göres l a g o m lång. B a r n e n be- höva j u ej v a r a i ängslan för h u r länge de böra hålla p å för a t t k u n n a s i n l ä x a ; då t a l e n äro räknade och helst också k o n t r o l l e r a d e , h a de g j o r t v a d de böra och k u n n a .

Nils Alsén.