Q
DE
PRINCIPIO 'VELOCl TATUM UT
DICUNT VIRTUALIUM
DISSEUTATIO
QUAM CONS. AMPL. FAC. PHILOS. UPSAL.
PUBLICO EXAMINI OFFERUNT
mag. HENRICUS FALCK
PHYSICES EXPERIMENTALIS DOCENS
i. \
ET
JO II. MATH. LINDENSTRÖM
VESTRO GOTHUS.
IN AÜDIT. GUSTAV. DIE XIH NOV. MDCCCXIX
H. A. M. S.
UPSALIJE,
«XCUDEBANT REGLE ACADEMUE TYPOGRAPHI.
HÖGAREVORDIÖEOCH HÖGLÅRDE
HERR MAG.
BIRGER
SAMT
D ES S FRU
BRITA JOHANNA KNÖS
FÖDD S I L V I U S.
Åt min Vördade och Älskade fordne Lärare, samt Dess Fru, tillegnas dessa blad såsom ett, ehuru svagt, bevis på
min upprigtiga och beständiga fastän tysta tacksamhet för den
foraildralik» kärlek och godhet, hvarmed De altid omfattat mig.
Måtte Försynen alticl utgjuta sin välsignelse öfver Eder,
hvilka jag *äst Gud och Föräldrar har att tacka för alt, och
göra Eber lefnad lång och lycklig!
J. M. LlNDENST&Öltf.
de
PRINCIPIO VELOCITATUM
UT DICUNT VIRTUALiUM.
§ ^
U x partibus Mechanicae duabus, ^Equilibrii fcilicer <5c
Motus theoria, illa quidem inde ab Archimedis de cequiponderantibus traffiatu usque ad noftram aetatem cognita
fuit, certisq.ue principiis itabilita; hsec autem Galileo
demum fundamenta <Sc inclynsfirnis poft eum duorum
faeculorurn Geometris debet rapidos progresfus. Sed poftquam diverfis principiis, diverfaque tra£landi methodo
Mechanicae fcientiae leges diu eranr dedu«£tae, fuccesfit
tandem Cel. Lagrange ex unica illa formula, quae ana- lyticam fiftit expresfionem principii velocitatum virtua-
lium i. e. ex fyftemate pendentium (vitesfes virtuelles) non Statices modo do£trinam eruere fed Dynamicen quoque tamquam fpecialem Statices partem proponere. Cum ab
una parte conftat, principium hocce non modo esfe uni- verfale, fed naturali quoque cum primis motus ideis nexu cohaerere, ab altera tarnen negari vix poteft, confuetam ejus enuntiationem baud minus quam ipfam velocitatis il-
lius virtualis definitionem obfcuritate quadam laborare.
Nam Ii omittas, quod infinite parvi mentio in omni Ma-
thefi aut inepta fit aut omnino non necesfaria, hic tarnen
fruftra determinabis, quid per impetum movendi vel affiomm
A
in primo hiftanü debeat intelligi, nifi ad effc£tum hujus
conams finitum artendas. Quare non inucile prorfus erit*
principium hocce ex axiomate quodam motus fundamea-
tali deducere & expticare:.
§. IL
Jam vero, fi compofitionis virium Theorema tam¬
guam demonftratum pot imus (quod tarnen ipfum Stevhj.
ope annuii funicularis ad trianguli latera applicati & ex vertice ejus pendentis, ut aequüibrii fpeciem explicavit),,
facile patebic, ämnes asfertiones de gravium per planum
inclinatum. defcenfu eodem jure ad quarncunque lineam,
qute cum dire£tione vis cujuslibet moventis f, accéieiarri-
eis conjungitur, posfe extendi. Quare li ex puncto quo- libet ejusmodi lineae ducitur re£ta ipfi vi rnovenri paral-
lela & aequalis, ex puncto autemredtje fic oriundo norma¬
lis ducitur ad curvas in pundto illo rangentem , pars tirir-
gentis inter pundtum & normalem exprimet ipfam iilam
pro hoc pundto vim virrualern. Datis igitur in fpatio
viribus P, Q, R Sic., quae Luis fingiiiae diredtionibus p, q, v Sic. idem corpus vel materiale pundtum A follici-
tanr, cujusvrs harum virium ad arbitrium omnino fumra
velocitcs e. g. ipfius P per fy (= AP') denoteturj
tum vero, normalibus P'Q, PR' Sic. ad reliquas dudtis diredtiones, érunt AQ, AR' Sic. velocitates in bis dire-
dtionibus virtuales, Nam fi punctum A, fola vi P ver- fus AP' follichatum in qualibet ceierarurn direcdionum
fnoveri cogeretur, eodem omninotempore defcriberet ^Q',
AR' Sic. a c libero motu defcribit AP'. Defignatis vero-
AQi, AR' Sic., ut vulgo fit, per fy, dr, Sic. facile ostendi poterit (vid. Traite de Mecaniquep. Poisson T. I. N:o 167)
£ fy ad contrariam parrem fumitur, esfe in cafu aequilibrii;
Pfy -j- Qjq -H Rfy -J- Sic. =2: o.
§. ur.
Sit ACB (Big- O vedis quilibec in piano frcclus vel
■angularis) circa pundirm fixum C rnobilis, in cujus ex¬
tremis corpora vel quantitates materioc A, B pundorum
inftar confideratse viribus quibuslibet ad vedern norrnali-
bus & verfus P, Q vergennbus aguntur. Centro C, ra- diis CA, CB defcribantur circuli ADA, BEB, qui, sequi-
Jibrio fnblaro, tamquam Axis in Perirrochio iimul omnino circa C rotabuntur. Fingarur ukerius in periphena cir¬
culi ADA filum pofirum esfe ornnino fiexibile AB'DPi periphcnam ira aubiens, ut alrcrum ejus extremum in pundo A iit circulo :•fbxum; alrerum autem in diredione
jam data AP a corpore //, quod anrea vedi erat jun- dum, follicitetur, fi ilittrque iit filiim BSEQ in pundo
B circulo BSE ffixum, Öl verfus BQ ab ipfo corpore B follicitatum. Sinr M m .
orpoi um A, B quantitates ma»
teriae f masfae Öl G, g vires eorum accelerarrices verfus P Se Q i. e. (patia, q i in fecunda temporis unitate cor¬
pora libere p ruiucr t ii usque ;tb initio hujus unitatis
motus maneret u raformis. Sit AP velocitas ipfius A ad
arbitrium (un ra virtualis i, e. fpatium quodlibet a corpo¬
re A unifornitti percurfum» & erit fpatium, quod corpus B propter fyftema vedis . odem tempore cogirur defcri-
bere h. e. ipfius B velocitas virtualis (= BQ) = —-—CBC A AP .
Quo autem corpora A, B ad aequales vires accelerarrices (G, GJ re rera ntur, mgsfam ipfius B oportet esfe = g
G
(eft enim m .g = g m):G). Cum vero corpora A, B
A 2
axem illum in peritrochio dire&ionibus omnino oppofitis AB'Dr BSE volvere conentur, eandem hic oporret esfe quieris f. aequilibrii condiiionem ac in dire&ionibus op¬
pofitis re&is, ut fcilicet sequafes & oppofitae fint motus
quantitates. Unde patet, quoniam corporis B vis virtua-
CB BQ
Iis . G ~—— . G, ad tequilibrium obtinendum esfe
CA AP u
g BQ
debere M. G = (—m). C"^pGf)> unde fequitur esfe mo-
mentum rotationis M. G. AP-=mom. rotat. m .g . i?Q. Ob-
fervetur aurem fic absque ullo alio poftulato ex lege o- mnis morus cornmunicati fundamentali theoriam cujus-
cunque ve£lis in plano> fuo utrirnque foliicitati esfe de-
du£taro. Si AH, Bh esfent dire£tione$ virium Si. AU i-
pfius A ad arbitrium fumta veloc. Virtual. Bh autem huic refpondens veloc. virrual. ipfius B, quoniam nihil inrerfit
in quonam punfto ipfius AH corpus A vim fuam exfe-
rat, nec in quo puncto ipfius hB corpus B (ollicitet ve¬
ttern, eodem modo ac antea patebit esfe AH ad Bh ut normalis, quse a C ipfi //^ducirur,. ad normalem ipfi Bh
ab eodem pun£to C du£tam h. e. ut CA Sin. CAH ad CB. Sin CBh vel ut AP. Sin CAH ad BQ. Sin CBh. Eric igitur aequilibrii conditio £
M . G. AP Sin CAH = m . g. BQ Sin CBh.
Velocitas autem Virtual. AH erit ad veloc. virrual. in di- re&ione APut CA SinCAH ad CA (=r AL : AH), fimi- iiterque Bh ad veloc* Virtual, fecundum Bq ut Bl ad Bh.
§. IV.
Sollicitentur (Fig.. 2) duo> corpora A\ B in fpatio
äatis quibuslibet viribus ac dire&ionibus, fint autem jun-
5
&a ve&e quovls circa punåum fixum C in omnem {en-
fum mobili (quem tarnen in fig. perfpicuitatis causfia o- tnifimus). Sit AP veloc. Virtual, ipfius A in dire£lione hujus corporis ad arbitrium fumta; fir aurem veloc. vir-
tualis in corporis B dire£tione invenienda. Sint TOX, TOZ, ZOX tria plana invicem orthogcrnalia, ad^quae or-
thographice projiciatur linea in fpatio data PACBS cum
pun£lo dato P; exprimantur vero hae proje£liones per YÄC'B'S', P"Å'C"B"S", P'"A"C"B"f$" cum puntfis P\P'\
P". Eft igitur velocttas AP in tres alias foluta, quae
quidem iplis A'P'\ A"P"\ A"'P"r parallelae funt & äqua¬
les. Per §. praec. quaerantur punAorum B\ B", Bvelo-
citatesvirtualesB'Q, B"Q\ B"'Q", ipfis A'P\A" P", A'"P'"
refpondentes. Jam vero fumarur in BS ejusmodi recta BQ, cujus proje£tio fit e. g. B'Q. Dico esfe BQ velo- citarern, quam quaerimus, virtuaiem. Nam cum eodem
omnino tempore percurrantur BQ, B"X£\ B"'Q">
fequitur omnino, eas ipfius BS partes, quae in B"Q\
B"Q" funt proje£lae, cum ipfa B Q congrnere.. Si vero,
ut anrea, corporum A, B masfae defignantur per M, tn,
& vires acceleratrices per G, g; vis autem corporis B
virtualis ipfi G refpondens per y, nec non proje&iones
harum virium orthogonalem per Gr, G"r G"; g'y g", g";
7> v"> y'"■> facile patebit, ad idem omnino redire, iive
moveatur corpus A fola vi G, five iilis conjun£tim viri¬
bus G\ G", G'" quae ipfam G componunt, nec quidquam interesfe, five corpus B fola vi y follicitetur, five viribus y\ y"y y'" conjun&im. Si autem aequilibrium quoad plana TOX, TOZy ZOX obtinget,. necesfe erit ut corpus B
masfam habeat == —g m 6c viribus follicitetur y\ y", y"'-
Nec circa alium quemcunque axem pun&um C permearr-
tem &. ab axium OX> OT, OZ parallells diverfum pose?»
rit e. g. A circulum rotando defcribere eidem axi nor¬
malem; femper enim motus ipfius A in hoc circulo tan¬
gentiale in tres refolvi posfet motus ipfis tangenribus in
A', Ä' A" paralleles. Erit igitur in cafu sequilibrii:
p
MG = G in) 7 8c MG . G =: mg . y, unde ( fumto jöQ
ad contrariam partem 8c AP^ PQ. per fy, fy dcfignatis) quoniam G ; y =cjp : fy, hic quoque erit eequiiibrii con¬
ditio: MGfy -1- mgfy — o.
Sed ut valorem ipfius Z?Q calculo etiam inveniamus,
déilgnare liceat re£las AC, CB, AP, BQ per A, B, D,
V 8c proje£liones earum in planis TOX, TOZ,ZOX per A', B', D\V; Ä',B" 8cc. A'\ B'" Öcc. nec non pundtorum A, B. C, P, Q coordinatas per fl', 0", a"; b', b"0 b'"; c , c", /, d", d"' & z/, i/', t/". Prodibit autem
(V* = (&' - v'y (£" - VV]
.jr"* = (2-" - o")4 +• (i'"- ! ... (1)
lF""2 = (b- v'"y- + (b' - v'y-J
Sint praeterea (p\(p",(p"' anguli, quos facit BQ cum axi-
bus coordinataiurii. Ducantur (Fig. 3) p 1 punktum B ipfius BS (quae quidem ponatur eadem esfe recta ac in
fig. 2} reftae BT, BX, BS', ipfis OV, OX, B'S' in fig. 2.
parallele; in BS fumatur BN = 1 8c ducantur NS' ad
BS' 8c S'T ad BT normales, unde erit eriam NS' piano
TBX & NT re&ae BT normalis. Gum vero ang. BNS'
= qt", BS' = Sin <p"' 8c BT 2= Cof. <p", erit utique:
Cof. <p"
Cof. TBS (=== Cof T'B'S' in fig. 2) =
Dabitur de cetero (fig. a) Cof CJBT =
Sin.qf"
b" - c"
W" = O a-K^-0:
7
Ef! enim in Fig. 4, quse Fig. 3 omnino analoga pona- tur, CC = /' - b"\ CT = b' - e atque TB = b" - e\
In rriang, autem AC'P' (Fig. 2.), cujus ornnia latera funt
data, dabitur quoque ang. CAP', Similiter omnino ana¬
logi in ceteris planis anguli inveniantur. Jam veio fi ex- pnmantur finus angulorum CA'P', C'A''P'\ CA"P'r' per
m, m", m"Sc finns ang. C'K'Q[,C"B"'C(" per ntri\
n", ex principio' ve&is in piano foilicitati fequitur esfe
Tt> "ro" T.i'"
11B n B n B
V'= U V" = D" V" = T)"'
y / A' * " s," 5 A"' *
mA m si m A
quibus cognitis, fi addantur aequationes fyflem. (1) Sc ob-
fervetur esfe V = y/[{b'-v * q- {b" - v")* 4- U>!"
V+ K* 4- V
erit omnino V = VC ).... (z).
2
§. v.
Examinemus autem, an formula noftra velociratum
virtualium ad tria quoque aut plura corpora fyftematis cujusdam invariabilis posfit apphcari. Sint igitur corpora A, B, C, redis geometricis & conflantibus jun&a, &
foilicitentur in diredionibus utcunqiie daiis p, q, r. Sint Sq velocitstes viituales ipforum A, i? ad arbitrium
fumtae, fit autem hisce refpondens ipfius C veloc. Virtual.
Jr quaerenda. Si produda ex masfis corporum A, B, C
Sc viribus acceler. dicuntur P, R, prodibunt per §.
praec. aequationes
P$p-\-Q$q~°, . .(j), Pjp-j-ßcfrzzzo...(4), =2 0... (jj
prout l'cilicet C, i?t A fuerint fixo, i. e.prout r=zo,qzz: o», p = o Sed quoniam variabilis r fit fun&io quaedam Vä*
riabilium p, q, ponamus r ==/($, qj; & fimiliter
1 = <PCPr r); r = rj; & erit
dY Jr
= -t- • • • (S)
Q% = QAs? + q^oV. .. r7;
J/7 n fy .
PJP = T-a* + P7/V ...o;
Jr
denorando, ur fölet fieri, e. g. per -^Jp differentialem i-
pfius y refpe&u folius p. Sed cum ejusmodi dtfferentiaiio
eadem lir ac fl fieret fub hyporheli esfs B fixum, erit
Jr
urique RySp idem omnino ac R$r vel - P$p in aequatio*
P "
Jr
ne (4), eademque de causfa erit Ry^ idem ac R$r vel
-Qjq in aequat. (5) &c« His igitur fubftituris in aequat. (6)
erit; i?Jr = - P$p - Q$q vel Pcip -4- Qßq 4- R$r = o.
Haud dispari ratiocinio pro quolibet numero corporutn in fyftemate invariabili prodibit in genereformula acquilibrii
jPjp -4" QJ? 4" R$v -f— &c. zzz o fpJ.
§. VI.
Facillime autem haec Staticae formula fundamentalis ad Dynamicen applicatur. Scilicet, ubi cesfat aequilibrium
& motus locum habet, membrum hujus aequationis (9) primum non erit =0; fed aequale fummae momentorum, quae ex fingulorum corporum masfis, viribus abfolutis, &
velocitatibus virtualibus componuntur. Adeoque hic etiain
omnia ad propofitionem illam mere identicam redigentur:
affiioiiem reaffiionem esfe cequales & fenfu dire&e- oppoßto fieri. Si autem Syftema non fuerit liberum, fed unum vel plura corpora fuperficiebus vel curvis datis impediantur,
tum harum quidenr presfiones tamquam novae vires con-
liderari posfunt normaliter ad planum tångens agentes, adeo ut res ad liberum femper redeat Syftema.
