DE
FUNCTIONIBUS ALGEBRAICI5 DISSERTATIO CRITICA.
CUJUS PARTUM TERTIAM
VENIA AMPL. FAC» PHILOS. UPSAL.
P II M S I D E
Mag. HENRICO FALCK
Mathematum & Plnlosophiae Naturalis Adjuucto
PRO GRADU PHILOSOPIIICO
P. P.
GUSTAVUS RAMSTRÖM
Sudermaimo-Nericius.
IN AUDIT. GUSTAV. DIE IX JUNII MDCCCXXXVI.
v H. A. M. S.
UPSALIAE,
EXCDDÉBANT KEGIAE ACADEMIAE TYPOGKAPHI,
*7
aeuquantumquiecunque resnon modoaugeri sedminuiquoque
potest, unde perperam vulgo dicitur, quantum esse, quod
aut augeri possit auf minui. Duabus vero aeque necessariis
notio magnitudinis efficilur partibus, quarum altera est no*
tio Crescendi et decrescendi, altera auttm continuitatis. No«
tio illa, quam vulgo perhibent, quanti discreti aeque sibi
lepugriat ac notio quadrati triang\ili. Numerus enim 8 et l non est lina quantitas; sed octo distinctae quantitates; si
autem summa harum octo cogitetur, htec summa tamquam
una et continua quantitas cogitanda, quae prioribus octo si*
mul 8umtis aequetur, neque datur magnitudo nisi continua,
Jarn vero duae rectae linete J322, AF circa puncta fixa A Gl B suum quseque describat angulum continue crescen- tem et variabilem KBXet FAT, hac autem lege, ut quem- cunque FAT attingat vatorem, dum temporibus utcunque
parvis aequalibus^ aequalia capiat incrementa, Semper in eo- dem temporis puncto fiat angulus EBXrr: FAT, quod qui«
dem solå multiplicatione efficitur, erit aliquando angulus
aeque interrupte et uniformiter crescens EBX zz B} et in
hoc ipso momento erit per hypothesin valor ipsius FATrs angulo quaesito A, ila ut i. e. A= \ B. Quam*
diu igitur ratio, quam habet A ad B, est fiactio quaelibet
arithmética, sive pars sive partes, Semper poterit sola mul- tiplicatione ab EtJCLIDE concesså cogitari. Facile autem
jam patebit, hoc idem multiplicandi principium sequé suifi.
cere ad rationem surdarn, mente saltem, fingendarm Ek
hac enim §. satis evincitur, quo jure in §. V. rectam de- finitonem struere licuerit non modo quantitatis abstractas 15 sed producti quöque I5. 5 in sequatione A sas
V- 15. B, qute quidem quantitas abstracta multiplicatrix
est profecto ipsa ratio vel proportio, quam habet A ad B,
atque hoc quidem eodem utique jure, quo in aequatione
A zu Bnumerus multiplicans || et est et dlcitur ratio i- psius Ä ad B.
Ouando autem de ratione surdå agitur, quam habet angulus A ad ineommensurabilem B, plerique dubitant, an hanc rationem quantitatis abstractse nomine salutare liceat, quarnvis nihil hassitantes rationem commensurabilem in aequatione A = B quantitatem appellant. Hic vero tarn
vulgaris scrupulus in natura quantitatis rationi suidas com cedendå primo quidem debetur obscuris istis nec quidquara
definientibus proportionis definitionibus, quibus scatent tra-
ctatus elementares. Nam ut ab EUC.LIDE ordiamur, quid
quaeeo significat locutio illa non modo obscura sed inepte
19
prorsus ambigua: mutuasecundum quantitateni habitudo? Num
vero meliores tot ad hoc exemplum postea format«e definl»
tiones, quae logices regulas evidentissimae in hoc ad versank
tur, ut definito non sint clariores? Exempla sunt non mo¬
do phrasis rnox allata Euclidea, sed multa illa proportion!
prorsus synonyma et aeque obscura vocabula: ratio; modus
quantitativ (Svethice; män); modus, quo ex B oritur A;
exponens et index rationis; quantitas rationis (Eucl. VJ: De-
fin. 5.)> pars muitiplicativa; mutua quantitas; quantitas ipsius
A respectu ipsius B; quotiens
j
ipsius A per B 8cc. BCc.Ex hIs omnibus plus minusve vitiosis ejusdem rei nomi-
nibus, nornen quotientis minima forsan laborat obscuritate,
omnem vero, quae definitionem decet, haberet evidentiam
et praicisionem, modo antea exacte esset definitum, quid
A
sit quotiens ille quoties A et B non fuerint quanti-
tätes abstractse, sed ex. gr. veri anguli. Quamdiu hoc, ut vulgo mos est7 negligitur, nequotientis quidem vocabulum,
quamvis aptius, clarifate superat proportionem. Sed am.
biguitate quoque laborant phrases vulgatissimas: mutua pro¬
portion mutua quantitas 8Cc., quod euivis statim patetadmaxi-
mam illam adlendenti differentiarn inter rationem 100 et
T35 in asquatione A rs 100 B et, qaae iiute coneluditu?»
sequatione B*zzzA.
Ipse autem EUCLIDES significat profecto, rationern
surdam esse quantitatem. Quo enlm alio jure ralionem di»
eere posset aliå majorem vei minorem, qtiibus quidem notio- nibus nullus omnino inest sensus nisi de magnitudine di-
cuntur? Hoe vero inde ne minimum quidem infringitur, quod EUCLIDES in casu aequalitaiis rationum A:Bet C:D ipsam denominationem rationis czqualir sol1leite evitavif, cujus Ioco semper dicit, illam esse cum hae eandem, quip™-
pe cum isla sollrcitudo et präster necessitatem sic et contra yeritatem. Nam si ex. gr. A sa ( 5 -+* 7}. B et C a=s
(33——-—2 9\J. D, sunt profeeto ha? duse rationes ctquales?rni-
✓
nime autem illa cum hac eadem di.ci potest, quippe cum diversis numeris et diversis operatlonibus seu functionibus oriantur. Eationes igitur eoder« sensu esse dicuntur aequa- les, quamvis de cetero divers®, atque hoc de paralfelogram-
misdicitur, quorurn et anguli et latera et bases et altitudines discrepant, discrepantiå illå nil nisi diversam constructionem area» constantis arguente. Similiter
J^/a s et
aqttalia sunt; non eadem, quod idein de 3.1og-7 et log. (y3)
a'frirmandum. Quod vero obsutit et forsan diu adhuc ob-
stabit rationi surdss tamquam quantitati recte concipiendae9
est ipsum illud definitionum specie eonamen lectori diver-
X
sam eorumdem vocabulorum, majorir> minorit et aqualiff persuadendi signifi.cationem, quando de diversis quanti?»
ut trianguUs, circulis, peripheriis, ration.ibus et solidis, dicuntur, quod quidemvitiunijubiqueemendandum^in circulis
et solidis ipsi Euclideani (STRÖMER, ROB.SIMSON SCc.J eorrigere studuérunt. Quid vero insulsius et evidentiae
mathematicae repugriantius, quamipsam fundamentalem uni-
versas matheseos notionem, quantitatem seilicet majorem et minorem abstcactam, halritudinem majorem minoremve nan-
cupare:?
Quisquis rigorem antiquorum geometramm considera-
\erit eximium, non potent non, primo saltem adspectu,
magnapere miraiij quomodo factum sit, ut ex. gr. EUCLI- DES, qui in extendendis ad curvifinea veritaubus, quae de reetilineis compertae fuerunt, omnem ab exbaustionum
methodo petere studuit demonstrationum severitatem» hane
tarnen eandem accurationem in notione ipså pFoportionis formandå et in assertionibus, quae de coramensurabilibuE
AÜqua tarnen, neque contemnenda, hujus negligentiaexcu- satio in ipså indole matheseos antiquae cernitur, qua seiIi-
cet nihil pro demonstrato concedebatur, antequam exemplo geometrico coram oculis erat constructum, quae vero indo-
les a nostri aevi methodo raathematica in hoc differt, ut constructio illa geometrica, quamvis non ad veritates ma-
thematicas eruendas et demonstrandas necenaria censeatur,
tarnen propter summam sive illustrandi utilitatem sive de«
lineandi praestantiam magni sestimetur. EUCLIDI autem notionem rectam proportionis, ut profecto quantitatem quan-
danoj obscure fuisse obversatam, ulterius ex ipso illo po.
stulato evincitur, quo absque omni constructione per se patere existimat, quartam semper esse aliquam proportiona¬
lem, ad quam data C ut data A ad datam B sese habeat.
Cum vero omnis omnium temporum rigor mathematicus in
hoc versetur, ut construetiones fundamentales, sive has po- stulata salutentur, sive definitiones sive äxiomata, quoad
fieri potest paucissimae assumantur, reliqusa autem omnes, sive problemata" dicantur sive definitiones sive denique theo-
remata, corollarla, scholia SCc., ihde justa ratiocinationede*
riventur, facile concluditur, EUCLIDEM, quandq postu-
23
latum illud absque constructione assumserit, in via substi-
tisse, quam viam modo persequi voluisset, usqueduro prö- portionem (Al B) quanti A ad quantum B &eu quotientem
A
—> i. e. multiplicatorem q, cujus ope A=q B, ut fas est,
B
construxisset, nulli dubiiamus, quin motum illum conti-
nuum in subsidium vocasset, quo B et unitas quselibet si-
mul ita crescant, ut quoties B fractionem quamcunque va¬
loris sui primitivi adtingat, unitas eidem sernper eodem mo-
ménto ipsius 1 aequetur fractioni, atque hoc modo simul
quoque B ad A et unitas ad proportionem quaesitam q per-
veniant Hac vero constructione prtetermisså LEGEN-
DRE et reliqui recentiorum, qui ad EUCLIDIS exem-
plum quartam proportionalem postulant, non construunt, eo
gravius peccare videntur, quo magis nostro tempore ina—
thesis stricte sie dicenda seu pura existimetur explicata.
Qui vero antiquse geometrise convenienter proportionalem
ejusmodi continuam et abstractam repudiantes quantitatis
geometricae constructionem praeferurit, pro unitate rectam
quamlibet lineam seque ac triangulum quodvis et paralle-
logramrnum ad libitum sumere hujusque unitatis concretas
fractionem quamlibet non modo, ut jam exposuimus, men-
24
te concipere sed reverå construere potérunt. Tum veroj
si motus ille continuus, cujus mentionem mox fecimus, concedalur, neque in conatractione gtomtiriu perficiendå proportionis, quam ex. gr. angulus A ad angulum B ha¬
bet, sive fractae sive surUse, minimus restabit scrupulus,
§. vnr:
Ex allatis evidenter patet, primo quidem, nullarn esse
proportionis nisi quantitatis abstractes multiplicatricis di-
stinctam et determinatam notionem, tum, vero partis et fractionis constructionem ad hane omnis matheseos notionem fundamentalem formarvdam prorsus esse necessariam, deinde
autem fractionem quarnlibet datae cujusvis magnitudinis
menle semper, re noo sernper posse construi. Hasc vero
constructio, etiamsi mere mentalis, qua tarnen LEGEN-
DRE et fere omnes recentiorum fuerunt contenti, sufFicit etiam reverå ad omnem, qui demonsirationi debetur ma-
thematicas, rigorerru Quod ut exemplo illustremus, sint A
et B duo anguliad centra eirculorum, quorum radii äqua¬
les, constituti; sint vero C et D arcus circulares, quibus
insisturt. et proponatur demonstrandum, esseA:B~C'.D*
Sa vero C~qD et A zz vB, demonstrandum sane propo-
