Lösningsförslag till tentamen i Modern Fysik, 5A1246, 2006-03-16 Hjälpmedel: 1 A4-blad med egna anteckningar (på båda sidor), Beta och fickkalkylator samt institutionens tabellblad utdelat under tentamen.
Examinatorer: Vlad Korenivski och Bengt Lund-Jensen
Tentamen har 8 problem som vardera ger 5 poäng. För godkänt krävs preliminärt 16 p.
1. I ett partikelfysikexperiment skapades en stråle av KS0-mesoner. (S står för short pga kort livslängd jämfört med en annan variant, men detta har ingen betydelse för talet). I ca 69% av fallen sönderfaller KS0 till π+ + π-. I laboratoriet mäts energin hos π+.. Högst uppmätt energi får π+ när sönderfallet sker så att dess riktning i sönderfallet är längs KS0-strålen riktning. Beräkna i ett sådant fall KS0 hastighet i labbet om man i labbet har mätt kinetiska energin hos π+ till 2,00 GeV.
Lösning:Energi och rörelsemängd bevaras. Detta gör att om vi beräknar i KS0 vilosystem, kommer π+ och π-, pga att de har samma massa, dela lika på den tillgängliga energin i sönderfallet. Deras kinetiska energi blir då vardera: Ek = mK0 c2/2 - mπ+c2 ≈
497.6/2 – 139.6 MeV = 109.2 MeV.
I KS0 vilosystem blir då π+ totala energi E=497.2/2 MeV = γ mπ+c2 där
)2
/ ( 1
1 c
− v
γ = Ur detta kan nu hastigheten v beräknas:
v c c 0.828c
2 . 497
6 . 139 1 2
1 1
2
2 ⎟ ≈
⎠
⎜ ⎞
⎝
−⎛ ⋅
≈
−
= γ
Hastigheten för π+ i labbet beräknas på motsvarande sätt där π+ totala energi I labbet nu blir E=2000 + 139.6 MeV = γlabb mπ+c2 vilket ger
vlabb c c 0.9979c 6
. 2139
6 . 1 139 1 1
2
2 ⎟ ≈
⎠
⎜ ⎞
⎝
−⎛
≈
−
= γ
Ur Lorentz-transformation av hastigheterna fås nu KS0 hastighet. Välj system så att vi jämför labbet med π+. I π+ system har KS0 hastigheten riktad ”mot” labbobservarören.
Vi får då KS0 hastighet
u uu vv c ( c c) c c
x labb x labb
x 0.9779 0.978
997 . 0 828 . 0 1
997 . 0 828 . 0 ) / (
1 2 ≈ ≈
⋅
− +
+
= − + ′
′+
=
π
π
6. Raman-spridning kan användas för att identifiera föroreningar men även för att studera molekylinnehåll i damm på månen. Genom att bestråla med laser med hög intensitet kommer man att kunna få spritt ljus som har karakteristiskt spektrum för olika molekyler. Låt oss som exempel tänka oss att vi studerar röken från en fabrik med hjälp av laserljus av våglängden 514,5 nm. Om vi antar att det spridda ljuset detekteras att ha våglängd 520 nm kan man beräkna tröghetsmomentet hos den molekyl som orsakar sprindningen under förutsättning att molekylen ursprungligen var i grundtillståndet och att eftersom processen är en 2-fotonersprocess,
rörlesemängsmomentskvanttalet ändras två enheter. Utför beräkningen och bestäm tröghetsmomentet för molekylen.
Lösning: Skillnad i energi mellan inkommande och spritt ljus är
4
2 =
=
−
= Δ
l l
hc E hc
λ
λ vilket
ger ΔE =1240/514.5 - 1240/520 ≈ 24 meV.
Med ( 1)
2
2 +
= h l l
CM
rot I
E där ICM är tröghetsmomentet, fås energiskillnaden till
( ) ( )
l CM CM
CM
rot I I I
E
2
2 2
2 7
3 2 )
1 ( ) 3 )(
2 2 (
l h l h
l l
h l+ + − + = + =
= Δ
=
Detta ger ett tröghetsmoment av 16 2 3
2
10 24 / ) 10 582 . 6 (
7 7 − −
⋅
⋅
⋅ Δ ≈
=
rot
CM E
I h eVs2
≈ 1.264⋅10-30 eVs2 ⋅ 1.602⋅10-19 J/eV ≈ 2.02⋅10-49 kgm2
7. Super novor av typ Ia lyser alla med ungefär samma ljusstyrka vid samma tidpunkt i super novans livscykel och dessa kan därför användas som ”standardiserad ljuskälla” i kosmologin. Om man från ljusstyrkan mäter att avståndet till en super nova är 9,0⋅109 ljusår, vilken våglängd förväntar vi oss att ljus från
övergången n=3 till n=2 i väteatom nära super novan kommer att ha. I labbet mäter vi att denna övergång har våglängden 656,5 nm.
Lösning: Hubbles lag ger v = H0R vilket med H0= 23⋅10-6 km/(s⋅ljusår) ger v = 2,07⋅108 m/s. Doppler-skiftet ger då att
≈
−
≈ +
−
= +
′ 656,6
998 . 2 / 07 . 2 1
998 . 2 / 07 . 2 1 /
1 /
1 λ
λ v c
c
v 1573 nm
8. I en doktorsavhandling som försvaras i morgon diskuteras en ny detektor att användas vid bestrålning av cancerpatienter. I denna detektor mäts γ-fotoner som passerat patienten från bestrålningen. I en av de studerade detektoruppställningarna uppskattades att det krävdes 8 mm av wolfram innan hälften av inkommande fotoner med 18 MeV energi har växelverkat.
Densiteten hos wolfram ur tabell är 19,3 ⋅ 103 kg/m3.
a) Beräkna tvärsnittet för att 18 MeV fotoner växelverkar i wolfram. (3p)
b) Detektorn består av ett antal 0.5 mm tjocka wolframplattor. Hut många plattor behövs för att 80% av de inkommande fotonerna skall ha växelverkat? (2p) Lösning: Linjära absorbtionskoefficienten fås som μ =ln2/L1/2 där L1/2 är
halvvärdestjockleken. Ur detta fås tvärsnittet som σ = μ/n där n är antal wolframatomer per volymsenhet.
n = densitet ⋅ NA /molvikt
= 19,3⋅103 kg/m3 ⋅ 6,022⋅1023 atomer/mol / 0,1834 kg/mol ≈ 6,34⋅1028 m-3 a) Detta ger σ = ln2/( L1/2 ⋅ n) = 0,693/(8⋅10-3 m ⋅ 6,34⋅1028 m-3) ≈ 13,7 ⋅ 1028 m ≈ 14 b
b) Sök x så att e-μx = (1-0,80) = 0,20 ger
x = - (ln0,2/ln2) ⋅ L1/2 ≈ 1.609/0.693 ⋅ 8 mm ≈ 18,6 mm, dvs det behövs 37 plattor
