Mat Grundkurs i matematik 3-I

(1)

Mat-1.1531 Grundkurs i matematik 3-I

G. Gripenberg

Aalto-universitetet

24 oktober 2010

(2)

(3)

Komplexa tal

Reell och imagin¨ar del, konjugering, absolutbelopp z = x + iy = x + y i, x , y ∈ R, i² = −1

C ¨ar m¨angden av komplexa tal

Reell del: Re (x + iy ) = x

Imagin¨ar del: Im (x + iy ) = y s˚a Im (z) ¨ar allts˚a ett reellt tal

Konjugering: x + iy = x − iy (= x + i(−y ))

Absolutbelopp (eller modul) |x + iy | = mod (x + iy ) =p

x²+ y² R¨akneregler

|z|²= zz, z₁+ z₂= z₁+ z₂, z₁− z₂ = z₁− z₂ z = z, z₁z₂ = z₁ z₂,

z1

z2

= ^z_z¹

2

|z₁+ z₂| ≤ |z₁| + |z₂|, |z1| − |z2|

≤ |z1− z2|

(4)

Komplexa tal

C ¨ar m¨angden av komplexa tal Reell del: Re (x + iy ) = x

z1

z2

= ^z_z¹

2

|z₁+ z₂| ≤ |z₁| + |z₂|, |z1| − |z2|

≤ |z1− z2|

(5)

Komplexa tal

x²+ y²

R¨akneregler

z1

z2

= ^z_z¹

2

|z₁+ z₂| ≤ |z₁| + |z₂|, |z1| − |z2|

≤ |z1− z2|

(6)

Komplexa tal

z1

z2

= ^z_z¹

2

|z₁+ z₂| ≤ |z₁| + |z₂|, |z1| − |z2|

≤ |z1− z2|

(7)

Exempel

Vid addition och subtraktion av komplexa tal adderar och subtraherar man de reella och imagin¨ara delarna var f¨or sig s˚a att tex.

(8 + 2i) + (−3 − 4i) = (8 + (−3)) + (2 + (−4))i = 5 − 2i.

Vid multiplikation g¨aller det bara att komma ih˚ag att i²= −1:

(8 + 2i)(−3 − 4i) = 8 · (−3) + 8 · (−4)i + 2 · (−3)i + 2 · (−4)i²

= −24 − 32i − 6i − 8 · (−1) = −16 − 38i.

Division av komplexa tal kan räknas s˚a att man förlänger med nämnarens konjugat s˚a att man i nämnaren f˚ar ett reellt tal, tex.:

8 + 2i

= (8 + 2i)(−3 + 4i)

= −24 + 32i − 6i + 8i²

(8)

Kommentar

Ett annat, formellt mera korrekt, sätt att definiera de komplexa talen är att inte alls (explicit) tala om den imaginära konstanten i utan tala om punkter (eller vektorer) (x , y ) i planet R² och definieraräkneoperationer för dem som motsvarar räkneoperationerna för vanliga reella tal. Addition

¨

ar inget problem eftersom det enda f¨ornuftiga ¨ar att definiera (x1, y1) + (x2, y2) = (x1+ x2, y1+ y2),

vilket ¨ar addition av vektorer. Ett viktigt villkor som multiplikationen skall uppfylla ¨ar att produkten av tv˚a ”punkter” endast f˚ar vara ”noll” (dvs.

(0, 0)) om ˚atminstone den ena faktorn ¨ar ”noll”. Detta uppn˚as om man definierar

(x1, y1) · (x2, y2) = (x1x2− y₁y2, x1y2+ x2y1) och man kan d˚a visa att ”alla r¨akneregler g¨aller”.

(9)

Argument eller fasvinkel

Ifall Re (z) = x och Im (z) = y s˚a ¨ar argumentet θ = arg(z) av z

θ =









 arctan

y x

(+2kπ), x > 0, arctan

y x

+ π (+2kπ), x < 0, y

|y | π

2 ^(+2kπ), x = 0

x + iy•

. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..

...

.....

....

. .. . .. .. .. .. . .. . .. . .. . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . ..

. θ

atan2

I de flesta programmeringsspr˚ak finns en funktion atan2 som r¨aknar ut det argument av x + iy som ligger i intervallet (−π, π] med kommandot atan2(y,x). Observera att i tex. Excel och OOCalc skall man skriva atan2(x;y) dvs. byta ordning p˚a argumenten.

(10)

Argument eller fasvinkel

Ifall Re (z) = x och Im (z) = y s˚a ¨ar argumentet θ = arg(z) av z

θ =









 arctan

y x

(+2kπ), x > 0, arctan

y x

+ π (+2kπ), x < 0, y

|y | π

2 ^(+2kπ), x = 0

x + iy•

. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..

...

.....

....

. .. . .. .. .. .. . .. . .. . .. . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . ..

. θ

atan2

I de flesta programmeringsspr˚ak finns en funktion atan2 som r¨aknar ut det argument av x + iy som ligger i intervallet (−π, π] med kommandot atan2(y,x). Observera att i tex. Excel och OOCalc skall man skriva atan2(x;y) dvs. byta ordning p˚a argumenten.

(11)

Pol¨ar framst¨allning

z = r (cos(θ) + i sin(θ)) = r e^iθ, r ≥ 0

⇔ |z| = r och arg(z) = θ

⇔ Re (z) = r cos(θ) och Im (z) = r sin(θ)

Kommentar

Om x är ett reellt tal kan man skriva x = |x |sign (x ) vilket motsvarar den polära framställningen z = |z|eîθ med den skillnaden att teckenfunktionen sign (x ) bara f˚ar tv˚a värden (eftersom man inte behöver bry sig om sign (0)).

(12)

Exempel

arg(−3) =?

Eftersom den reella delen ¨ar negativ ¨ar argumentent arctan(₋₃⁰ ) + π (+2kπ)= π (+2kπ).

arg(2 − 2i) =?

Argumentet ¨ar arctan(⁻²₂ ) (+2kπ)= −^π₄ (+2kπ). arg(−3e^{−i 0.1234}) =?

Argument ¨ar arg(−3) + arg(e^{−i 0.1234}) = π − 0.1234 (+2kπ).

(13)

Exempel

arg(−3) =?

arg(2 − 2i) =?

(14)

Exempel

arg(−3) =?

arg(2 − 2i) =?

(15)

Exempel

arg(−3) =?

arg(2 − 2i) =?

Argumentet ¨ar arctan(⁻²₂ ) (+2kπ)= −^π₄ (+2kπ).

arg(−3e^{−i 0.1234}) =?

(16)

Exempel

arg(−3) =?

arg(2 − 2i) =?

(17)

Exempel

arg(−3) =?

arg(2 − 2i) =?

(18)

R¨akneregler

|z₁z₂| = |z₁||z₂|, arg(z₁z₂) = arg(z₁) + arg(z₂)

|zⁿ| = |z|ⁿ,

z1

z₂

= |z₁|

|z₂| arg (zⁿ) = n arg(z), arg z₁

z₂

= arg(z₁) − arg(z₂)

z1 = z2 ⇔ Re (z₁) = Re (z2), Im (z1) = Im (z2)

⇔ |z₁| = |z₂|, θ1= θ2+ 2kπ d¨ar θ1 = arg(z1) och θ2 = arg(z2)

“Tv˚a personer som har samma födelsedag är inte nödvändigtvis lika gamla men skillnaden i ˚alder är ett antal hela ˚ar”.

(19)

R¨akneregler

|z₁z₂| = |z₁||z₂|, arg(z₁z₂) = arg(z₁) + arg(z₂)

|zⁿ| = |z|ⁿ,

z1

z₂

= |z₁|

|z₂| arg (zⁿ) = n arg(z), arg z₁

z₂

= arg(z₁) − arg(z₂)

z1 = z2 ⇔ Re (z₁) = Re (z2), Im (z1) = Im (z2)

⇔ |z₁| = |z₂|, θ1= θ2+ 2kπ d¨ar θ1 = arg(z1) och θ2 = arg(z2)

(20)

Exponentfunktionen

exp(x + iy ) = e^{x +iy} = e^x cos(y ) + i sin(y ) e^z¹^+z² = e^z¹e^z²

|e^z| = e^{Re (z)}, arg(e^z) = Im (z) e^z 6= 0, z ∈ C, |e^iθ| = 1 θ ∈ R d’Moivres formel

cos(nt) + i sin(nt) = e^int = e^itn

= cos(t) + i sin(t)n

(21)

Logaritmfunktionen z = ln(w ) ⇔ w = e^z Om z = x + iy s˚a ¨ar |e^z| = e^x och arg(e^z) = y

och om w = e^z m˚aste |w | = |e^z| = e^x och arg(w ) + 2kπ = arg(e^z) = y

dvs. x = ln(|w |) s˚a att z = ln(w ) = ln(|w |) + i(arg(w ) + 2kπ). För att f˚a en ”ordentlig” logaritmfunktion med bara ett värde i varje punkt kan man tex. definiera Ln(w ) = ln(|w |) + iArg(w ) där Arg(w )

¨

ar argumentet valt s˚a att −π < Arg(z) ≤ π s˚a att tex. ln(|w |) egentligen ¨ar Ln(|w |)

(22)

Logaritmfunktionen z = ln(w ) ⇔ w = e^z Om z = x + iy s˚a ¨ar |e^z| = e^x och arg(e^z) = y och om w = e^z m˚aste |w | = |e^z| = e^x och arg(w ) + 2kπ = arg(e^z) = y

dvs. x = ln(|w |) s˚a att z = ln(w ) = ln(|w |) + i(arg(w ) + 2kπ). För att f˚a en ”ordentlig” logaritmfunktion med bara ett värde i varje punkt kan man tex. definiera Ln(w ) = ln(|w |) + iArg(w ) där Arg(w )

¨

(23)

dvs. x = ln(|w |) s˚a att z = ln(w ) = ln(|w |) + i(arg(w ) + 2kπ).

För att f˚a en ”ordentlig” logaritmfunktion med bara ett värde i varje punkt kan man tex. definiera Ln(w ) = ln(|w |) + iArg(w ) där Arg(w )

¨

(24)

dvs. x = ln(|w |) s˚a att z = ln(w ) = ln(|w |) + i(arg(w ) + 2kπ).

För att f˚a en ”ordentlig” logaritmfunktion med bara ett värde i varje punkt kan man tex. definiera Ln(w ) = ln(|w |) + iArg(w ) där Arg(w )

¨

(25)

R¨otter: z = w¹ⁿ ⇔ w = zⁿ

Om z = |z|e^iϕ, dvs. ϕ = arg (z) s˚a ¨ar |zⁿ| = |z|ⁿ och arg(zⁿ) = nϕ

och om w = zⁿ s˚a ¨ar |w | = |z|ⁿ och arg(w ) + 2kπ = nϕ s˚a att om arg(w ) = θ s˚a ¨ar

|z| = |w |ⁿ¹ och ϕ = ^θ_n+^2kπ_n dvs. z = w¹ⁿ =√ⁿ

w =p|w|ⁿ

cos

θ+2kπ n

+ i sin

θ+2kπ n

,

där k = 0, 1, . . . , n − 1 eftersom man f˚ar samma värden för k + n som för k.

(26)

Om z = |z|eîϕ, dvs. ϕ = arg (z) s˚a är |zⁿ| = |z|ⁿ och arg(zⁿ) = nϕ och om w = zⁿ s˚a är |w | = |z|ⁿ och arg(w ) + 2kπ = nϕ s˚a att om arg(w ) = θ s˚a är

|z| = |w |ⁿ¹ och ϕ = ^θ_n+^2kπ_n

dvs. z = w¹ⁿ =√ⁿ

w =p|w|ⁿ

cos

θ+2kπ n

+ i sin

θ+2kπ n

,

(27)

Om z = |z|eîϕ, dvs. ϕ = arg (z) s˚a är |zⁿ| = |z|ⁿ och arg(zⁿ) = nϕ och om w = zⁿ s˚a är |w | = |z|ⁿ och arg(w ) + 2kπ = nϕ s˚a att om arg(w ) = θ s˚a är

|z| = |w |ⁿ¹ och ϕ = ^θ_n+^2kπ_n dvs.

z = w¹ⁿ =√ⁿ

w =p|w|ⁿ

cos

θ+2kπ n

+ i sin

θ+2kπ n

,

(28)

Exempel

L˚at w = 1 + i . Best¨am den l¨osning till ekvationen z⁴ = w , vars argument ligger i intervallet [π,³₂π].

L¨osning: Absolutbeloppet av talet w ¨ar |w | =√

1²+ 1² =√

2 ≈ 1.4142, och w :s argument ¨ar arctan(¹₁) = ^π₄. Ifall |z| = r och arg(z) = ϕ, s˚a ¨ar

|z⁴| = r⁴ och arg(z⁴) = 4ϕ. Om nu z⁴= w s˚a är r⁴= |w | =√ 2 och 4ϕ = ^π₄+ 2kπ där k är ett heltal. Av detta följer att r =√⁸

2 ≈ 1.0905 och ϕ = ₁₆^π +^π₂k = 0.19635 + 1.5708k. Nu f˚ar man olika l¨osningar d˚a

k = 0, 1, . . . , 3 eftersom man d˚a tex. k = 4 f˚ar samma tal som d˚a k = 0 osv. Eftersom argumenten för dehär lösningarna är ₁₆^π, ₁₆^π +^π₂, ₁₆^π + π och

π

16+^3π₂ s˚a ser vi att den l¨osning vars argument ligger i intervallet [π,³₂π] f˚as d˚a k = 2 och ¨ar allts˚a

z2 = 1.0905

cos(0.19635 + 1.5708 · 2) + i sin(0.19635 + 1.5708 · 2)

= −1.0696 − i 0.21275.

(29)

Exempel

1²+ 1² =√

2 ≈ 1.4142, och w :s argument ¨ar arctan(¹₁) = ^π₄.

Ifall |z| = r och arg(z) = ϕ, s˚a ¨ar

π

z2 = 1.0905

cos(0.19635 + 1.5708 · 2) + i sin(0.19635 + 1.5708 · 2)

= −1.0696 − i 0.21275.

(30)

Exempel

1²+ 1² =√

|z⁴| = r⁴ och arg(z⁴) = 4ϕ. Om nu z⁴= w s˚a är r⁴= |w | =√ 2 och 4ϕ = ^π₄+ 2kπ där k är ett heltal.

Av detta f¨oljer att r =√⁸

π

z2 = 1.0905

cos(0.19635 + 1.5708 · 2) + i sin(0.19635 + 1.5708 · 2)

= −1.0696 − i 0.21275.

(31)

Exempel

1²+ 1² =√

k = 0, 1, . . . , 3 eftersom man d˚a tex. k = 4 f˚ar samma tal som d˚a k = 0 osv.

Eftersom argumenten för dehär lösningarna är ₁₆^π, ₁₆^π +^π₂, ₁₆^π + π och

π

z2 = 1.0905

cos(0.19635 + 1.5708 · 2) + i sin(0.19635 + 1.5708 · 2)

= −1.0696 − i 0.21275.

(32)

Exempel

1²+ 1² =√

k = 0, 1, . . . , 3 eftersom man d˚a tex. k = 4 f˚ar samma tal som d˚a k = 0 osv. Eftersom argumenten för dehär lösningarna är ₁₆^π, ₁₆^π + ^π₂, ₁₆^π + π och

π

16+^3π₂ s˚a ser vi att den l¨osning vars argument ligger i intervallet [π,³₂π]

f˚as d˚a k = 2 och ¨ar allts˚a z2 = 1.0905

cos(0.19635 + 1.5708 · 2) + i sin(0.19635 + 1.5708 · 2)

= −1.0696 − i 0.21275.

(33)

Trigonometriska funktioner sin(z) = _2i¹ e^iz− e^−iz cos(z) = ¹₂ e^iz+ e^−iz

sin(x + iy ) = sin(x ) cosh(y ) + i cos(x ) sinh(y ) cos(x + iy ) = cos(x ) cosh(y ) − i sin(x ) sinh(y ) M¨obius-avbildning

z 7→ ^az+b_cz+d, ad − bc 6= 0

Cirklar och linjer avbildas p˚a cirklar eller linjer

(34)

Oppna och slutna m¨¨ angder En mängd Ω ⊂ C är öppen ifall

f¨or varje z₀ ∈ Ω finns ett tal δ > 0 s˚a att { z ∈ C : |z − z0| < δ } ⊂ Ω

En mängd A ⊂ C är sluten ifall C \ A = { z ∈ C : z /∈ A } är öppen En mängd Ω ⊂ C är öppen när

den inte inneh˚aller n˚agon randpunkt, dvs. ∂Ω ∩ Ω = ∅ där randen ∂Ω best˚ar av de punkter z ∈ C för vilka det för varje δ > 0 finns en punkt zi∈ Ω och en punkt zu∈ C \ Ω s˚a att |zi− z| < δ och |zu− z| < δ

En mängd Ω ⊂ C är sluten när

den inneh˚aller alla randpunkter, dvs. ∂Ω ⊂ Ω

(35)

En mängd A ⊂ C är sluten ifall C \ A = { z ∈ C : z /∈ A } är öppen

En mängd Ω ⊂ C är öppen när

(36)

den inte inneh˚aller n˚agon randpunkt, dvs. ∂Ω ∩ Ω = ∅

där randen ∂Ω best˚ar av de punkter z ∈ C för vilka det för varje δ > 0 finns en punkt zi∈ Ω och en punkt zu∈ C \ Ω s˚a att |zi− z| < δ och |zu− z| < δ

(37)

(38)

(39)

Sammanh¨angande m¨angder

En öppen mängd Ω ⊂ C är sammanhängande ifall det för alla z0, z1∈ Ω finns en kontinuerlig funktion γ : [0, 1] → Ω s˚a att γ(0) = z0 och γ(1) = z1

(och allts˚a γ(t) ∈ Ω, t ∈ [0, 1], dvs. en kurva i Ω fr˚an z0till z1).

Mera allmänt: A ⊂ C är sammanhängande om följande gäller (som allts˚a är ekvivalent med ovanst˚aende villkor d˚a A är öppen): Ifall A ⊂ Ω1∪ Ω₂ där Ωj ⊂ C, j = 1, 2 är öppen och

Ω1∩ Ω₂ = ∅ s˚a ¨ar A ∩ Ω1 = ∅ eller A ∩ Ω2 = ∅ Kontinuerliga funktioner

Om Ω ⊂ C s˚a ¨ar funktionen f : Ω → C kontinuerlig i Ω om

z→zlim0

z∈Ω

f (z) = f (z0) z0 ∈ Ω.

(40)

Mera allmänt: A ⊂ C är sammanhängande om följande gäller (som allts˚a är ekvivalent med ovanst˚aende villkor d˚a A är öppen):

Ifall A ⊂ Ω1∪ Ω₂ där Ω_j ⊂ C, j = 1, 2 är öppen och Ω1∩ Ω₂ = ∅ s˚a är A ∩ Ω1 = ∅ eller A ∩ Ω2= ∅

Kontinuerliga funktioner

z→zlim0

z∈Ω

f (z) = f (z0) z0 ∈ Ω.

(41)

Mera allmänt: A ⊂ C är sammanhängande om följande gäller (som allts˚a är ekvivalent med ovanst˚aende villkor d˚a A är öppen):

Ifall A ⊂ Ω1∪ Ω₂ där Ω_j ⊂ C, j = 1, 2 är öppen och Ω1∩ Ω₂ = ∅ s˚a är A ∩ Ω1 = ∅ eller A ∩ Ω2= ∅ Kontinuerliga funktioner

(42)

Derivator

En funktion f ¨ar deriverbar i punkten z₀ ifall lim_z→z₀^{f (z)−f (z}_z−z ⁰⁾

0 = f⁰(z₀)

f¨or n˚agot komplext tal f⁰(z0) dvs.,

för varje > 0 finns det ett tal δ > 0 s˚a att om 0 < |z − z0| < δ s˚a är f definierad för z och z₀ och

f (z) − f (z₀)

z − z₀ − f⁰(z₀)

<

Alla normala deriveringsregler g¨aller och tex.

d

dzz^m = mz^m−1 ( d˚a m inte ¨ar ett heltal)

d

dze^z = e^z

d

dz ln(z) = ¹_z

d

dz sin(z) = cos(z) _dz^d cos(z) = − sin(z)

d

dzg f (z) = g⁰ f (z)f⁰(z)

d

dz f (z)g (z) = f⁰(z)g (z) + f (z)g⁰(z)

(43)

Derivator

En funktion f ¨ar deriverbar i punkten z₀ ifall lim_z→z₀^{f (z)−f (z}_z−z ⁰⁾

0 = f⁰(z₀)

f¨or n˚agot komplext tal f⁰(z0) dvs.,

för varje > 0 finns det ett tal δ > 0 s˚a att om 0 < |z − z0| < δ s˚a är f definierad för z och z₀ och

f (z) − f (z₀)

z − z₀ − f⁰(z₀)

< Alla normala deriveringsregler g¨aller och tex.

d

dzz^m = mz^m−1( d˚a m inte ¨ar ett heltal)

d

dze^z = e^z

d

dz ln(z) = ¹_z

d

dz sin(z) = cos(z) _dz^d cos(z) = − sin(z)

(44)

Analytiska funktioner

En funktion f är analytisk i mängden A ⊂ C ifall det finns en öppen mängd Ω ⊂ C s˚a att A ⊂ Ω och f är deriverbar i varje punkt i Ω

Cauchy-Riemann ekvationerna

Ifall f (z) = u(x , y ) + iv (x , y ) d˚a z = x + iy s˚a g¨aller u_x(x , y ) = v_y(x , y )

u_y(x , y ) = −v_x(x , y )

i de punkter d¨ar f ¨ar deriverbar

(45)

Analytiska funktioner

En funktion f är analytisk i mängden A ⊂ C ifall det finns en öppen mängd Ω ⊂ C s˚a att A ⊂ Ω och f är deriverbar i varje punkt i Ω

Cauchy-Riemann ekvationerna

Ifall f (z) = u(x , y ) + iv (x , y ) d˚a z = x + iy s˚a g¨aller u_x(x , y ) = v_y(x , y )

u_y(x , y ) = −v_x(x , y )

i de punkter d¨ar f ¨ar deriverbar

(46)

Stig

En stig, eller bitvis differentierbar glatt kurva ¨ar en kontinuerlig funktion γ : [a, b] → C s˚a att det finns ¨andligt m˚anga punkter

a = t0 < t1 < . . . < tn= b s˚a att γ är kontinuerligt deriverbar i varje intervall [t_{j −1}, t_j] och derivatan (höger- eller vänster- i ändpunkterna) är aldrig 0.

γ^{∗ def}= { γ(t) : t ∈ [a, b] }

Stigintegraler Ifall γ ¨ar en stig ¨ar

Z

γ

f (z) dz = Z b

a

f (γ(t))γ⁰(t) dt Ofta skriver man R

Cf (z) dz ist¨allet f¨orR

γf (z) dz där C är en ”riktad kurva” om det är klart hur parameterframställningen γ för C (som allts˚a är γ^∗ ”med riktning”) skall väljas.

(47)

Stig

γ^{∗ def}= { γ(t) : t ∈ [a, b] } Stigintegraler Ifall γ ¨ar en stig ¨ar

Z

γ

f (z) dz = Z b

a

f (γ(t))γ⁰(t) dt

Ofta skriver man R

(48)

Stig

γ^{∗ def}= { γ(t) : t ∈ [a, b] } Stigintegraler Ifall γ ¨ar en stig ¨ar

Z

γ

f (z) dz = Z b

a

f (γ(t))γ⁰(t) dt Ofta skriver man R

(49)

Exempel p˚a integraler

Om C är ”sträckan fr˚an z₀ till z₁” s˚a är Z

C

f (z) dz = Z

γ

f (z) dz = Z 1

0

f (γ(t))γ⁰(t) dt, d¨ar γ(t) = (1 − t)z0+ tz1, t ∈ [0, 1]. Alternativt,

R

Cf (z) dz =R_b

a f (γ(t))γ⁰(t) dt d¨ar γ(t) = _b−a^b−tz0+_b−a^t−az1

Om C är ”cirkelb˚agen |z − z₀| = r fr˚an z₀+ r eîα till z₀+ r eîβ motsols” (där α < β) s˚a är

Z

C

f (z) dz = Z

γ

f (z) dz = Z β

α

f (γ(t))γ⁰(t) dt, d¨ar γ(t) = z₀+ r e^it, t ∈ [α, β].

(50)

Exempel p˚a integraler

Om C är ”sträckan fr˚an z₀ till z₁” s˚a är Z

C

f (z) dz = Z

γ

f (z) dz = Z 1

0

f (γ(t))γ⁰(t) dt, d¨ar γ(t) = (1 − t)z0+ tz1, t ∈ [0, 1]. Alternativt,

R

Cf (z) dz =R_b

a f (γ(t))γ⁰(t) dt d¨ar γ(t) = _b−a^b−tz0+_b−a^t−az1

Om C är ”cirkelb˚agen |z − z₀| = r fr˚an z₀+ r eîα till z₀+ r eîβ motsols” (där α < β) s˚a är

Z

C

f (z) dz = Z

γ

f (z) dz = Z β

α

f (γ(t))γ⁰(t) dt, d¨ar γ(t) = z₀+ r e^it, t ∈ [α, β].

(51)

Lemma

Tv˚a stigar γ1: [a, b] → C och γ2 : [c, d ] → C d¨ar γ1(b) = γ2(c) kan kombineras till en stig γ = γ₁⊕ γ₂,γ : [a, b + d − c] → C, s˚a att

γ(t) =

(γ1(t), t ∈ [a, b], γ2(c + t − b), t ∈ [b, b + d − c],

och d˚a ¨ar

Z

γ

f (z) dz = Z

γ1

f (z) dz + Z

γ2

f (z) dz.

(P˚a motsvarande s¨att kan en stig delas upp.)

Lemma

Om γ : [a, b] → C ¨ar en stig och −γ eller γ ¨ar stigen

γ(t) = γ(a + b − t), t ∈ [a, b], dvs. stigen γ ”i omv¨and riktning”, s˚a ¨ar Z

γ

f (z) dz = − Z

γ

f (z) dz.

(52)

Lemma

Tv˚a stigar γ1: [a, b] → C och γ2 : [c, d ] → C d¨ar γ1(b) = γ2(c) kan kombineras till en stig γ = γ₁⊕ γ₂,γ : [a, b + d − c] → C, s˚a att

γ(t) =

(γ1(t), t ∈ [a, b], γ2(c + t − b), t ∈ [b, b + d − c],

och d˚a ¨ar

Z

γ

f (z) dz = Z

γ1

f (z) dz + Z

γ2

f (z) dz.

(P˚a motsvarande s¨att kan en stig delas upp.) Lemma

Om γ : [a, b] → C ¨ar en stig och −γ eller γ ¨ar stigen

γ(t) = γ(a + b − t), t ∈ [a, b], dvs. stigen γ ”i omv¨and riktning”, s˚a ¨ar Z

γ

f (z) dz = − Z

γ

f (z) dz.

(53)

Slutna stigar

En stig γ : [a, b] → C ¨ar sluten ifall γ(a) = γ(b) ochH

γf (z) dz betyder att γ ¨ar sluten.

Lemma

Ifall |f (z)| ≤ M d˚a z ∈ γ^∗, (a < b) och längden av γ är ≤ L s˚a gäller

Z

γ

f (z) dz

≤ Z b

a

|f (γ(t))||γ⁰(t)| dt ≤ ML.

Lemma

Om γ : [a, b] → C är en stig och f är en kontinuerlig funktion s˚a att det finns en deriverbar funktion F s˚a att F⁰(z) = f (z) d˚a z ∈ γ^∗ s˚a är

Z

γ

f (z) dz = F (γ(b)) − F (γ(a)).

(54)

Slutna stigar

Lemma

Z

γ

f (z) dz

≤ Z b

a

|f (γ(t))||γ⁰(t)| dt ≤ ML.

Lemma

Z

γ

f (z) dz = F (γ(b)) − F (γ(a)).

(55)

Slutna stigar

Lemma

Z

γ

f (z) dz

≤ Z b

a

|f (γ(t))||γ⁰(t)| dt ≤ ML.

Lemma

(56)

Vridningstal

Ifall γ ¨ar en sluten stig s˚a ¨ar ν(γ, w ) = _2πi¹ H

γ 1 z−w dz

stigens vridningstal i f¨orh˚allande till w /∈ γ^∗.

Lemma

ν(γ, w ) ett heltal som anger hur m˚anga varv γ g˚ar runt w i positiv riktning och är konstant i varje öppen sammanhängande delmängd av C \ γ^∗.

ν(γ, w ) = −ν(γ, w ), w /∈ γ^∗

(57)

Vridningstal

Ifall γ ¨ar en sluten stig s˚a ¨ar ν(γ, w ) = _2πi¹ H

γ 1 z−w dz

stigens vridningstal i f¨orh˚allande till w /∈ γ^∗. Lemma

ν(γ, w ) ett heltal som anger hur m˚anga varv γ g˚ar runt w i positiv riktning och är konstant i varje öppen sammanhängande delmängd av C \ γ^∗.

ν(γ, w ) = −ν(γ, w ), w /∈ γ^∗

(58)

Cauchys integralteorem

Om γ ¨ar en sluten stig och f ¨ar analytisk p˚a γ^∗ och i alla punkter

”innanf¨or” γ^∗ s˚a ¨ar H

γf (z) dz = 0

Antagandet mera exakt: γ är en sluten stig, f är analytisk i en öppen mängd Ω s˚a att γ^∗ ⊂ Ω och ν(γ, z) = 0 för alla z ∈ C \ Ω

(59)

Cauchys integralteorem

Om γ ¨ar en sluten stig och f ¨ar analytisk p˚a γ^∗ och i alla punkter

”innanf¨or” γ^∗ s˚a ¨ar H

γf (z) dz = 0

Antagandet mera exakt: γ är en sluten stig, f är analytisk i en öppen mängd Ω s˚a att γ^∗ ⊂ Ω och ν(γ, z) = 0 för alla z ∈ C \ Ω

(60)

Exempel

Visa hur man kan r¨akna ut integralen R∞ 0

sin(t)

t dt med hjälp av Cauchys integralteorem. Lösning: Vi bildar en sluten stig γ som är sammansatt av stigarn γ_S, γ_{[−S,−r ]}, γ_r och av γ_{[r ,S]} där 0 < r < S och γ_S är den stig som best˚ar av sträckorna fr˚an S till S + i√

S , fr˚an S + i√

S till −S + i√ S och fr˚an −S + i√

S till −S , γ_{[−S,−r ]} ¨ar str¨ackan fr˚an −S + 0i till −r + 0i, γ_r

¨

ar cirkelb˚agen |z| = r i negativ riktning fr˚an −r to r och γ_{[r ,S]} är sträckan fr˚an r + 0i till S + 0i. Av Cauchys integralteorem följer att H

γ e^iz

z dz = 0 dvs. R

γS

e^iz

z dz +R

γ[−S,−r ]

e^iz

z dz +R

γr

e^iz

z dz +R

γ[r ,S]

e^iz

z dz = 0 s˚a det g¨aller att visa att R∞

0 sin(t)

t dt = limr →0 S→∞

1 2Im

R

γ_{[−S,−r ]} e^iz

z dz +R

γ_{[r ,S]}

e^iz z dz

och sedan r¨akna ut lim_S→∞R

γS

e^iz

z dz och lim_{r →0}R

γr

e^iz z dz.

(61)

Cauchys integralteorem, ver. 1.1

Om γ₁ och γ₂ är slutna stigar och f är analytisk p˚a γ₁^∗ och γ₂^∗ och i alla punkter ”mellan” γ₁^∗ och γ₂^∗ s˚a är

I

γ1

f (z) dz = I

γ2

f (z) dz.

Antagandet mera exakt: γ1 och γ2 ¨ar slutna stigar, f ¨ar analytisk i en

¨

oppen m¨angd Ω s˚a att γ₁^∗ ⊂ Ω, γ₂^∗ ⊂ Ω och ν(γ₁, z) = ν(γ2, z) f¨or alla z ∈ C \ Ω.

(62)

Cauchys integralteorem, ver. 1.1

Om γ₁ och γ₂ är slutna stigar och f är analytisk p˚a γ₁^∗ och γ₂^∗ och i alla punkter ”mellan” γ₁^∗ och γ₂^∗ s˚a är

I

γ1

f (z) dz = I

γ2

f (z) dz.

Antagandet mera exakt: γ1 och γ2 ¨ar slutna stigar, f ¨ar analytisk i en

öppen mängd Ω s˚a att γ₁^∗ ⊂ Ω, γ₂^∗ ⊂ Ω och ν(γ₁, z) = ν(γ2, z) för alla z ∈ C \ Ω.

(63)

Cauchys integralformel, ver 1.0

Om γ är en sluten stig som g˚ar ett varv runt punkten w och f är analytisk p˚a γ^∗ och i alla punkter ”innanför” γ^∗ s˚a är

f (w ) = 1 2π i

I

γ

f (z) z − w dz.

Om γ är en sluten stig, f är analytisk i en öppen mängd Ω s˚a att γ^∗ ⊂ Ω och ν(γ, z) = 0 för alla z ∈ C \ Ω s˚a är

f (w )ν(γ, w ) = 1 2π i

I

γ

f (z) z − w dz, f¨or alla w ∈ Ω \ γ^∗.

(64)

Om γ är en sluten stig som g˚ar ett varv runt punkten w och f är analytisk p˚a γ^∗ och i alla punkter ”innanför” γ^∗ s˚a är

f (w ) = 1 2π i

I

γ

f (z) z − w dz.

Om γ är en sluten stig, f är analytisk i en öppen mängd Ω s˚a att γ^∗ ⊂ Ω och ν(γ, z) = 0 för alla z ∈ C \ Ω s˚a är

f (w )ν(γ, w ) = 1 2π i

I

γ

f (z) z − w dz, f¨or alla w ∈ Ω \ γ^∗.

(65)

Exempel

Ber¨akna integralen I

γ

z + 2

(z + 1)(z − 2)dz d˚a γ ¨ar randen (i positiv riktning) av rektangeln med h¨orn i punkterna −2 + 3i, −2 − 3i, 1 − 3i och

1 + 3i.Lösning: Vi konstaterar att funktionen som skall integreras är analytisk i alla punkter utom −1 och 2 och av dessa är det bara −1 som ligger innanför γ^∗. Därför väljer vi f (z) = z + 2

z − 2 och eftersom f är analytisk i alla punkter utom 2 och eftersom denna punkt ligger utanför rektangeln kan vi använda Cauchys integralteorem. Punkten −1 ligger inne i rektangeln och vi f˚ar därför

I

γ

z + 2

(z + 1)(z − 2)dz = I

γ

f (z)

z − (−1)dz = 2π if (−1) = 2π i−1 + 2

−1 − 2 = −2π 3 i.

(66)

Om f är en analytisk funktion i en öppen mängd Ω ⊂ C, γ1, γ₂, . . . , γ_när slutna stigar s˚a att γ_j^∗ ⊂ Ω ochPn

j =1ν(γj, z) = 0 f¨or varje z ∈ C \ Ω s˚a ¨ar f (w )

n

X

j =1

ν(γ_j, w ) = 1 2π i

n

X

j =1

I

γj

f (z)

z − w dz, w ∈ Ω \ ∪ⁿ_{j =1}γ_j^∗

n

X

j =1

I

γj

f (z) dz = 0

(67)

Teorem

Om f är analytiski den öppna mängden Ω s˚a är ocks˚a f⁰ deriverbar i Ω, dvs. f oändligt m˚anga g˚anger deriverbar i Ω.

Cauchys olikheter

|f⁽ⁿ⁾(w )| ≤ n!M rⁿ

ifall f ¨ar analytisk i { z : |z − w | ≤ r } och |f (z)| ≤ M d˚a |z − w | = r eller ifall f ¨ar analytisk i { z : |z − w | < r } och |f (z)| ≤ M d˚a

|z − w | < r .

(68)

Liouvilles teorem

Om f är analytisk i C och f är begränsad(dvs. |f (z)| ≤ M < ∞ för alla z ∈ C) s˚a är f en konstant.

Moreras teorem

Om f är kontinuerlig i den öppna mängden Ω ⊂ C och I

∂T

f (z) dz = 0 f¨or varje triangel T ⊂ Ω s˚a ¨ar f analytisk i Ω.