Sida 1 av 10 Från en variabelanalys vet vi
att integral över ett symetrisk intervall [−𝑎𝑎, 𝑎𝑎]
av en udda funktion 𝑓𝑓(𝑥𝑥) är lika med 0.
∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0−𝑎𝑎𝑎𝑎 om 𝑓𝑓(𝑥𝑥) är udda.
T ex ∫ 𝑥𝑥−44 5𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0
Här upprepar vi def. av udda ( och jämna ) funktioner
Låt 𝑓𝑓 vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden 𝐷𝐷𝑓𝑓 som är symmetrisk i origo.
DEFINITION 1: Vi säger att funktionen 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) är jämn om 𝑓𝑓(−𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑓𝑓ö𝑟𝑟 𝑣𝑣𝑎𝑎𝑟𝑟𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑥𝑥 ∈ 𝐷𝐷𝑓𝑓
DEFINITION 2: Vi säger att funktionen 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) är udda om 𝑓𝑓(−𝑥𝑥) = −𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑓𝑓ö𝑟𝑟 𝑣𝑣𝑎𝑎𝑟𝑟𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑥𝑥 ∈ 𝐷𝐷𝑓𝑓
Exempel 1. Följande funktioner är jämna:
a) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 + 1 b) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥4 c) 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑥𝑥) d) 𝑦𝑦 = |𝑥𝑥|
e) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 − 4 f) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥4− 3𝑥𝑥2 + 3 g) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥8 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑥𝑥) + 5 Exempel 2. Några udda funktioner:
a) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥 b) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥23 c) 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥) d) 𝑦𝑦 = 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠(𝑥𝑥) e) 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡(𝑥𝑥) Exempel 3. Följande funktioner är varken jämna eller udda:
a) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥4 b) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥5+ 𝑥𝑥2 − 5 c) 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥) + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑥𝑥) d) 𝑦𝑦 = 𝑙𝑙𝑠𝑠(𝑥𝑥) e) 𝑦𝑦 = 𝑣𝑣𝑥𝑥
Anmärkning: Följande regler kommer direkt från definitionen
UDDA + UDDA= UDDA ( funktion) ( Ex: 𝑥𝑥7+ 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑐𝑐𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠(𝑥𝑥) är en udda funktion) TAL*UDDA=UDDA ( Ex: 23 ∗ 𝑥𝑥7är en udda funktion)
UDDA*JÄMN= UDDA ( Ex: 𝑥𝑥23∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑥𝑥) är en udda funktion) UDDA* UDDA = JÄMN ( Ex: 𝑥𝑥3∗ 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥) är en jämnfunktion) JÄMN * JÄMN = JÄMN ( Ex: 𝑥𝑥4 ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑥𝑥) är en jämnfunktion)
När vi beräknar integral över ett symetriskt intervall [−𝑎𝑎, 𝑎𝑎] förenklar vi beräkning om det finns udda termer i integranden, som i nedanstående exempel:
Uppgift 1. Beräkna integralen
a) ∫−3/23/2[𝑥𝑥7+ 3𝑥𝑥5 + 8𝑥𝑥 + 5𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥) + 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑐𝑐𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠(𝑥𝑥) + 5]𝑑𝑑𝑥𝑥 b) ∫ [𝑥𝑥−1010 7+ 3𝑥𝑥2+ 8𝑥𝑥 + 5𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠(𝑥𝑥) + 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑐𝑐𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠(𝑥𝑥) + 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥)]𝑑𝑑𝑥𝑥 c) ∫ [3𝑡𝑡−44 2𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠(𝑡𝑡) + 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑡𝑡) + 5𝑡𝑡 ]𝑑𝑑𝑡𝑡
d) ∫ [3𝑦𝑦−55 3 + 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑐𝑐𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠(𝑦𝑦) − 23𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(5𝑦𝑦) ]𝑑𝑑𝑦𝑦
Lösning a)
Sida 2 av 10
Sida 3 av 10
lika med 0 ( vi har kvar endast integralen av icke-udda termen 5:
∫−3/23/2 [𝑥𝑥7 + 3𝑥𝑥5 + 8𝑥𝑥 + 5𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥) + 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑐𝑐𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠(𝑥𝑥) + 5]𝑑𝑑𝑥𝑥 =0+0+0+0+0+0+ ∫−3/23/2 5𝑑𝑑𝑥𝑥 =15 b) ∫ [𝑥𝑥−1010 7 + 3𝑥𝑥2 + 8𝑥𝑥 + 5𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠(𝑥𝑥) + 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑐𝑐𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠(𝑥𝑥) + 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥)]𝑑𝑑𝑥𝑥 =∫ 3𝑥𝑥−1010 2𝑑𝑑𝑥𝑥 = 2000 c) 0 d) 0
UDDA FUNKTIONER OCH DUBBELINTEGRAL
Ovanstående förenkling vid beräkning av en enkelintegral av udda funktioner över ett symmetrisk interval [−𝑎𝑎, 𝑎𝑎] kan vi också använda vid beräkning av en dubbelintegral om integrationsområde är symmetriskt i en av axlarna.
FALL 1. Om
i) integrationsområde D i xy-planet definieras av
𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏, − 𝑢𝑢(𝑥𝑥) ≤ 𝑦𝑦 ≤ +𝑢𝑢(𝑥𝑥) ( alltså området är symetrisk i x-axeln ) och
ii) 𝑓𝑓( 𝑥𝑥, 𝑦𝑦) är en udda funktion med avseende på y ( dvs 𝑓𝑓( 𝑥𝑥, −𝑦𝑦) = −𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) för alla (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ 𝐷𝐷 ) då gäller
∬ 𝒇𝒇(𝒙𝒙, 𝒚𝒚)𝒅𝒅𝒙𝒙𝒅𝒅𝒚𝒚𝑫𝑫 = 𝟎𝟎 .
Bevis:
Enligt regler för enkelintegraler med udda integranden över symmetriskt intervall gäller
∫−𝑢𝑢(𝑥𝑥) 𝑢𝑢(𝑥𝑥) 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 𝑑𝑑𝑦𝑦 för varje ( fixt ) x.
Därför
∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝐷𝐷 = ∫ 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑎𝑎𝑏𝑏 ∫−𝑢𝑢(𝑥𝑥) 𝑢𝑢(𝑥𝑥) 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 𝑑𝑑𝑦𝑦 = ∫ 0 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑎𝑎𝑏𝑏 = 0
Exempel. Beräkna ∬ 𝑥𝑥𝐷𝐷 2𝑦𝑦33𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦
där 𝐷𝐷 = { (𝑥𝑥, 𝑦𝑦), 2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 5, − 𝑣𝑣3𝑥𝑥 ≤ 𝑦𝑦 ≤ +𝑣𝑣3𝑥𝑥}.
Lösning
� 𝑥𝑥2𝑦𝑦33
𝐷𝐷
𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0
eftersom D är symmetrisk i x-axeln och 𝑥𝑥2𝑦𝑦33 är en udda funktion på D med avseende på y ( uppenbart 𝑓𝑓(𝑥𝑥, −𝑦𝑦) = −𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) )
Uppgift 2. Låt 𝐷𝐷 = { (𝑥𝑥, 𝑦𝑦), 1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 3, − 𝑣𝑣2𝑥𝑥≤ 𝑦𝑦 ≤ +𝑣𝑣2𝑥𝑥}.
Beräkna
a) ∬ [𝑥𝑥𝐷𝐷 4𝑦𝑦3 − 8𝑥𝑥3𝑦𝑦25+ 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦 + 8𝑥𝑥4𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠(𝑦𝑦) + 𝑥𝑥3𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠(𝑦𝑦) ] 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 b) ∬ [𝑥𝑥𝐷𝐷 4𝑦𝑦25+ 𝑥𝑥3𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠(𝑦𝑦) +�1+𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 2+ 5] 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦
c) ∬ [𝑥𝑥𝐷𝐷 4𝑦𝑦25+ 𝑦𝑦3𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑦𝑦) +�1+𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 2] 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 Lösning b)
Första tre termer i integranden 𝑥𝑥4𝑦𝑦25, 𝑥𝑥3𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠(𝑦𝑦) och �1+𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 2 är
är udda med avseende på y ( för, tillfälligt, fixt x). T ex för tredje term gäller 𝑓𝑓3(𝑥𝑥, −𝑦𝑦) = 𝑥𝑥(−𝑦𝑦)
�1 + (−𝑦𝑦)2 = − 𝑥𝑥𝑦𝑦
�1 + 𝑦𝑦2 = −𝑓𝑓3(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) Kontrollera själv för första två termer.
Om vi integrerar termviss får vi
�[𝑥𝑥4𝑦𝑦25+ 𝑥𝑥3𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠(𝑦𝑦) + 𝑥𝑥𝑦𝑦
�1 + 𝑦𝑦2+ 5]
𝐷𝐷
𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 + 0 + 0 + � 5
𝐷𝐷
𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦
Sida 4 av 10
-v(y) v(y)
c d
x y
0
= � 𝑑𝑑𝑥𝑥
1
� 5𝑑𝑑𝑦𝑦
− 𝑒𝑒2𝑥𝑥
= � 10𝑣𝑣2𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 =
1
�10𝑣𝑣
2 �1 = 5(𝑣𝑣6− 𝑣𝑣2)
Svar: a) 0, b) 5(𝑣𝑣6− 𝑣𝑣2) c) 0
==============================================================
FALL 2. Om
i) integrationsområde D i xy-planet definieras av
𝑐𝑐 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 𝑑𝑑, − 𝑣𝑣(𝑦𝑦) ≤ 𝑥𝑥 ≤ +𝑣𝑣(𝑦𝑦) ( alltså området är symetrisk i y-axeln ) och
ii) 𝑓𝑓( 𝑥𝑥, 𝑦𝑦) är en udda funktion med avseende på x ( dvs 𝑓𝑓( −𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = −𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) för alla (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ 𝐷𝐷 ) då gäller
∬ 𝒇𝒇(𝒙𝒙, 𝒚𝒚)𝒅𝒅𝒙𝒙𝒅𝒅𝒚𝒚𝑫𝑫 = 𝟎𝟎 .
( Detta bevisas på samma sätt som i FALL 1)
Exempel. Beräkna ∬ 𝑦𝑦𝐷𝐷 3 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(5𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦
där 𝐷𝐷 = { (𝑥𝑥, 𝑦𝑦), 2 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 4, − 𝑦𝑦2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ +𝑦𝑦2}.
Lösning
� 𝑦𝑦3 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(5𝑥𝑥)
𝐷𝐷
𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0
eftersom D är symmetrisk i y-axeln och 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(5𝑥𝑥)𝑦𝑦3 är en udda funktion på D med avseende på x.
Sida 5 av 10
D 3 Uppgift 3. Låt 𝐷𝐷 = { (𝑥𝑥, 𝑦𝑦), 1 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 3, |𝑥𝑥| ≤ 2}. Beräkna a) ∬ [𝑥𝑥𝐷𝐷 3𝑦𝑦3 − 4𝑥𝑥5𝑦𝑦25+ 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑥𝑥 + 𝑦𝑦4𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠(𝑥𝑥) ] 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦
b) ∬ 𝑥𝑥𝐷𝐷 3𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑦𝑦) +√1+𝑥𝑥3𝑥𝑥𝑥𝑥4+ 10] 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 c) ∬ [𝑥𝑥𝐷𝐷 3𝑦𝑦25𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑦𝑦 + 𝑥𝑥2] 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 Svar:
{ Området 𝐷𝐷 = { (𝑥𝑥, 𝑦𝑦), 1 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 3, − 2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2} är symmetriskt i y axeln. }
a) 0
b) ∬ 𝑥𝑥𝐷𝐷 3𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑦𝑦) +√1+𝑥𝑥3𝑥𝑥𝑥𝑥4+ 10] 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 =0+0+ ∬ 10 𝐷𝐷 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 =10∙arean(D)=80 c) ∬ [𝑥𝑥𝐷𝐷 3𝑦𝑦25𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑦𝑦 + 𝑥𝑥2] 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 =0+ ∬ 𝑥𝑥𝐷𝐷 2 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 = ∫ 𝑑𝑑𝑦𝑦13 ∫ 𝑥𝑥−22 2𝑑𝑑𝑥𝑥 = 323
=========================================================
I nedanstående uppgift är integrationsområdet symmetriskt i både x- och y- axeln som vi utnyttjar för att förenkla beräkningen.
Uppgift 4. Beräkna
∬ (𝑦𝑦𝐷𝐷 5 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(5𝑥𝑥) + 𝑥𝑥5 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑦𝑦) + 4) 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 där = { (𝑥𝑥, 𝑦𝑦), 𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2 ≤ 9}.
( D är cirkeln som har radien=3 och centrum i origo) Lösning
∬ (𝑦𝑦𝐷𝐷 5 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(5𝑥𝑥) + 𝑥𝑥5 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑦𝑦) + 4) 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦
= ∬ 𝑦𝑦𝐷𝐷 5 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(5𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 + ∬ 𝑥𝑥𝐷𝐷 5 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑦𝑦) 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦+∬ 4 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝐷𝐷 (*)
=0+0 + 4∙arean(D) = 4∙ 9 𝜋𝜋=36 𝜋𝜋
Anmärkning : 1. Den första integralen i (*) är 0 eftersom integranden 𝑦𝑦5 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(5𝑥𝑥) är en udda funktion på y och D är symmetrisk i x-axeln.
2. Den andra integralen i (*) är 0 eftersom integranden 𝑥𝑥5 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑦𝑦) är en udda funktion på x och D är symmetrisk även i y-axeln.
Sida 6 av 10
x y
D1
a b
u(x)
-u(x) D2
-v(y) v(y)
c d
x y
0 D1 D2
Vi kan ( lite) förenkla beräkning av dubbelintegralen för funktioner som är jämna i en variabel ( t ex y) om området är symmetrisk kring en axel ( t ex x-axeln):
FALL 3. Om
i) integrationsområde D i xy-planet definieras av
𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏, − 𝑢𝑢(𝑥𝑥) ≤ 𝑦𝑦 ≤ +𝑢𝑢(𝑥𝑥) ( alltså området är symetrisk i x-axeln ) och
ii) 𝑓𝑓( 𝑥𝑥, 𝑦𝑦) är en jämn funktion med avseende på y ( dvs 𝑓𝑓( 𝑥𝑥, −𝑦𝑦) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) för alla (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ 𝐷𝐷 ) då gäller
∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝐷𝐷1 = ∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 𝐷𝐷2
och därför
∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝐷𝐷 = ∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝐷𝐷1 + ∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 𝐷𝐷2
= 2 ∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝐷𝐷1 .
FALL 4. Om
i) integrationsområde D i xy-planet definieras av 𝑐𝑐 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 𝑑𝑑, − 𝑣𝑣(𝑦𝑦) ≤ 𝑥𝑥 ≤ +𝑣𝑣(𝑦𝑦)
( alltså området är symetrisk i y-axeln ) och ii) 𝑓𝑓( 𝑥𝑥, 𝑦𝑦) är en jämn funktion med avseende på x ( dvs 𝑓𝑓( −𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) för alla (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ 𝐷𝐷 ) då gäller
∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝐷𝐷 = 2 ∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝐷𝐷1 .
Sida 7 av 10
D1
D2 (x,y)
(x’,y’)
y
x o
x+y=1 0
1
1 FALL 5.
Alla fall F1-F4 kan generaliseras och användes på allmänna symmetriska område:
Låt D vara ett integrationsområde i xy planet symmetriskt kring linjen L som är delad i två symmetriska områden 𝐷𝐷1 𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ 𝐷𝐷2 . Låt (𝑥𝑥′, 𝑦𝑦′) beteckna den punkt i D2 som är symmetrisk till (𝑥𝑥, 𝑦𝑦).
A) Om
𝑓𝑓( 𝑥𝑥′, 𝑦𝑦′) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ( för alla (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ 𝐷𝐷1 ) då är ∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝐷𝐷1 = ∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 𝐷𝐷2 och därför ∬ 𝒇𝒇(𝒙𝒙, 𝒚𝒚)𝒅𝒅𝒙𝒙𝒅𝒅𝒚𝒚𝑫𝑫 = 𝟐𝟐 ∬ 𝒇𝒇(𝒙𝒙, 𝒚𝒚)𝒅𝒅𝒙𝒙𝒅𝒅𝒚𝒚𝑫𝑫𝑫𝑫 .
B) Om
𝑓𝑓( 𝑥𝑥′, 𝑦𝑦′) = −𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ( för alla (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ 𝐷𝐷1 ) då är ∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝐷𝐷1 = − ∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 𝐷𝐷2 och därför ∬ 𝒇𝒇(𝒙𝒙, 𝒚𝒚)𝒅𝒅𝒙𝒙𝒅𝒅𝒚𝒚𝑫𝑫 = 𝟎𝟎 .
Anmärkning: A, B kan enkel bevisas med hjälp av dubbelintegralens definition ( Riemannsummor ).
Uppgift 5 . Låt 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2. Beräkna ∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝐷𝐷 om
a) D är triangeln med hörn i (0,0), (1,0) och (0,1).
b) D är triangeln med hörn i (1,0) , (0,1) och (-1,0) Tipps: Använd a) .
c) D är rektangeln med hörn i (1,0) , (0,1), (-1,0) och (0,-1) Tipps: Använd a) eller b) .
d) D definieras av |𝑥𝑥| + |𝑦𝑦| ≤ 1 Lösning a)
∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝐷𝐷 =
Sida 8 av 10
Sida 9 av 10
0 0 0 3 3 6
b) Punkten ( 𝑥𝑥′, 𝑦𝑦′) = (−𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ä𝑟𝑟 𝑐𝑐𝑦𝑦𝑠𝑠𝑠𝑠𝑣𝑣𝑡𝑡𝑟𝑟𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑡𝑡𝑠𝑠𝑙𝑙𝑙𝑙 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦).
Eftersom 𝑓𝑓( 𝑥𝑥′, 𝑦𝑦′) = 𝑓𝑓( −𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = (−𝑥𝑥)2+ 𝑦𝑦2 = 𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) (för alla (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ 𝐷𝐷1 ) har vi ∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝐷𝐷1 = ∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 𝐷𝐷2
och därför
∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝐷𝐷 = 2 ∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝐷𝐷1 =( enligt a) =2 ∙16=𝑫𝑫𝟑𝟑
c) På grund av symmetri, eftersom
𝑓𝑓(−𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑓𝑓(−𝑥𝑥, −𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥, −𝑦𝑦) = 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) gäller att
∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝐷𝐷 = 2 ∗ (𝑟𝑟𝑣𝑣𝑐𝑐𝑢𝑢𝑙𝑙𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡 𝑏𝑏) = 4 ∗ (𝑟𝑟𝑣𝑣𝑐𝑐𝑢𝑢𝑙𝑙𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡 𝑎𝑎) = 4 ∙16=23
d)
Lägg märke till att randlinjen består av fyra delar
|𝑥𝑥| + |𝑦𝑦| = 1 ⇔ �
𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 1 𝑐𝑐𝑠𝑠 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 𝑙𝑙𝑠𝑠𝑙𝑙𝑙𝑙𝑣𝑣𝑟𝑟 𝑠𝑠 𝑓𝑓ö𝑟𝑟𝑐𝑐𝑡𝑡𝑎𝑎 𝑠𝑠𝑣𝑣𝑎𝑎𝑑𝑑𝑟𝑟𝑎𝑎𝑠𝑠𝑡𝑡𝑣𝑣𝑠𝑠
−𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 1 𝑐𝑐𝑠𝑠 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 𝑙𝑙𝑠𝑠𝑙𝑙𝑙𝑙𝑣𝑣𝑟𝑟 𝑠𝑠 𝑎𝑎𝑠𝑠𝑑𝑑𝑟𝑟𝑎𝑎 𝑠𝑠𝑣𝑣𝑎𝑎𝑑𝑑𝑟𝑟𝑎𝑎𝑠𝑠𝑡𝑡𝑣𝑣𝑠𝑠
−𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 1 𝑐𝑐𝑠𝑠 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 𝑙𝑙𝑠𝑠𝑙𝑙𝑙𝑙𝑣𝑣𝑟𝑟 𝑠𝑠 𝑡𝑡𝑟𝑟𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑠𝑠𝑣𝑣𝑎𝑎𝑑𝑑𝑟𝑟𝑎𝑎𝑠𝑠𝑡𝑡𝑣𝑣𝑠𝑠 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 1 𝑐𝑐𝑠𝑠 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 𝑙𝑙𝑠𝑠𝑙𝑙𝑙𝑙𝑣𝑣𝑟𝑟 𝑠𝑠 𝑓𝑓𝑣𝑣ä𝑟𝑟𝑑𝑑𝑣𝑣 𝑠𝑠𝑣𝑣𝑎𝑎𝑑𝑑𝑟𝑟𝑎𝑎𝑠𝑠𝑡𝑡𝑣𝑣𝑠𝑠 Därför är definitionsområde, |𝑥𝑥| + |𝑦𝑦| ≤ 1, samma som i frågan c.
Integranden i d är också samma som i c frågan, och därmed har integralen i d samma värde som den i frågan c dvs 23.
Svar: a) 1/6, b) 1/3, c) 2/3, d 2/3
y=x
(1,1)
1 1
(1,1)
1 1
(x’,y’)
(x,y)
Uppgift6 . Låt 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 2𝑥𝑥𝑦𝑦�𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2.
a) Beräkna ∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝐷𝐷 om D är triangeln med hörn i (0,0), (1,0) och (1,1).
b) Använd resultat i a) för att beräkna ∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝐷𝐷 om D är rektangeln med hörn i (0.0), (1,0) , (1,1) och (0,1).
Lösning:
∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝐷𝐷 = ∫ 𝑑𝑑𝑥𝑥01 ∫ 2𝑥𝑥𝑦𝑦�𝑥𝑥0𝑥𝑥 2+ 𝑦𝑦2𝑑𝑑𝑦𝑦 (∗)
Först beräknar vi integralen ∫ 2𝑥𝑥𝑦𝑦�𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 𝑑𝑑𝑦𝑦
med hjälp av substitutionen 𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2 = 𝑡𝑡 ; 2𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 𝑑𝑑𝑡𝑡
( Vi tillfälligt betraktar x som en konstant )
∫ 2𝑥𝑥𝑦𝑦�𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2 𝑑𝑑𝑦𝑦 = ∫ 𝑥𝑥√𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑥𝑥𝑡𝑡 3/23/2 + 𝐶𝐶 =23𝑥𝑥(𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2) 3/2+ 𝐶𝐶 Från (*) har vi
∫ 𝑑𝑑𝑥𝑥01 ∫ 2𝑥𝑥𝑦𝑦�𝑥𝑥0𝑥𝑥 2+ 𝑦𝑦2𝑑𝑑𝑦𝑦 = ∫ �01 23𝑥𝑥(𝑥𝑥2+ 𝑦𝑦2) 3/2�𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑦𝑦 = 0𝑑𝑑𝑥𝑥 =
= ∫ [ 01 2 35/2𝑥𝑥4 −23 𝑥𝑥4 ] 𝑑𝑑𝑥𝑥 = ∫ �01 2 5/23 −23� 𝑥𝑥4𝑑𝑑𝑥𝑥 = �2 5/23 −23� 𝑥𝑥55� 𝑥𝑥 = 1𝑥𝑥 = 0 =4√215 −152
b) Området är symmetrisk kring linjen 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥.
Om (𝑥𝑥′, 𝑦𝑦′) är symmetrisk punkt till (x,y) kring linjen 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 då är
(𝑥𝑥′, 𝑦𝑦′) = ( 𝑦𝑦, 𝑥𝑥) [alltså y och x byter plats].
Därför
𝑓𝑓(𝑥𝑥′, 𝑦𝑦′) = 𝑓𝑓( 𝑦𝑦, 𝑥𝑥) = 2𝑦𝑦𝑥𝑥�𝑦𝑦2+ 𝑥𝑥2 = 2𝑥𝑥𝑦𝑦�𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 = 𝑓𝑓( 𝑥𝑥, 𝑦𝑦) .
Därför ∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝐷𝐷1 = ∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 𝐷𝐷2 och därmed ∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝐷𝐷 = 2 ∬ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦𝐷𝐷1 =( enligt a) =815�2 −154 Svar: a) 4√215 −152 b) 8√215 −154
Sida 10 av 10
