DFig 1 ∫∫

(1)

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Dubbelintegraler. Polära koordinater

00 y

1 2

D Fig 1 DUBBELINTEGRALER. POLÄRA KOORDINATER

POLÄRA KOORDINATER

Variabelbyte i dubbelintegraler från rektangulära (x,y) till polära koordinater (r, θ) Om integrationsområde D är en del av en vinkel då är det lämpligt att beräkna integralen genom variabelbyte från rektangulära (x,y) till polära koordinater (r, θ).

Samband mellan rektangulära och polära koordinater:

𝑥𝑥 = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 , 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 = 𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟 (därmed 𝑥𝑥²+ 𝑦𝑦² = 𝑟𝑟²)

� 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦

𝐷𝐷

= � 𝑑𝑑𝑟𝑟 � 𝑓𝑓(𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟) ∙ 𝑟𝑟 ∙ 𝑑𝑑𝑟𝑟

𝑟𝑟2(𝜃𝜃) 𝑟𝑟1(𝜃𝜃) 𝜃𝜃2

𝜃𝜃1

Anmärkning: Lägg märke till att 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 ersätts med 𝑟𝑟 ∙ 𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟 . Exempel 1.

Beräkna dubbelintegral

(

x y

)

dxdy

∫∫

D ² ⁺ ² ²

då D är sektorringen i Fig1.

Lösning:

Från figuren har vi gränserna för 𝑟𝑟 och 𝑟𝑟:

0 ≤ 𝑟𝑟 ≤^𝜋𝜋₂ och 1 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 2.

Vi byter till polära koordinater

𝑥𝑥 = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 , 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 = 𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟 (och därmed 𝑥𝑥²+ 𝑦𝑦² = 𝑟𝑟²),

(2)

00 y

x

1 2

a)

00 y

1 2

y=x

y= - x 2

1

b)

1

Y=x D Fig 2 �(𝑥𝑥²+ 𝑦𝑦²)²𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦

𝐷𝐷

= � 𝑑𝑑𝑟𝑟 � 𝑟𝑟⁴∙ 𝑟𝑟 ∙ 𝑑𝑑𝑟𝑟

2 1 𝜋𝜋/2

0

= � 𝑑𝑑𝑟𝑟 � 𝑟𝑟⁵𝑑𝑑𝑟𝑟

2 1 𝜋𝜋/2

0

= � 𝑑𝑑𝑟𝑟 �𝑟𝑟⁶ 6 �₁

𝜋𝜋/2 2 0

= � 21 2 𝑑𝑑𝑟𝑟

𝜋𝜋/2

0

= �21 2 𝑟𝑟�0

𝜋𝜋/2

= 21𝜋𝜋 4 . Exempel 2.

Beräkna dubbelintegral ∬ 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦_𝐷𝐷

då integrationsområdet D definieras i figuren Fig2.

Lösning:

Från figuren har vi gränserna för 𝑟𝑟 och 𝑟𝑟:

0 ≤ 𝑟𝑟 ≤^𝜋𝜋₄ och 0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 1.

Vi byter till polära koordinater 𝑥𝑥 = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 = 𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟,

� 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦

𝐷𝐷

= � 𝑑𝑑𝑟𝑟 � 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 ∙ 𝑟𝑟 ∙ 𝑑𝑑𝑟𝑟

1 0 𝜋𝜋/4

0

= � 𝑑𝑑𝑟𝑟 � 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 ∙ 𝑟𝑟²∙ 𝑑𝑑𝑟𝑟

1 0 𝜋𝜋/4

0

= � 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 ∙ �𝑟𝑟³ 3 �₀

1

𝑑𝑑𝑟𝑟

𝜋𝜋/4

0

= � 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 3 𝑑𝑑𝑟𝑟

𝜋𝜋/4

0

= �𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 3 �₀

𝜋𝜋/4

=√2 6 .

Uppgift 1. Ange gränserna för 𝑟𝑟 och 𝑟𝑟 för nedanstående integrationsområden

(3)

0 y

1 2

d)

0 y

1 3

c)

2

Svar: a) 0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 𝜋𝜋 och 1 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 2 b) ^𝜋𝜋₄ ≤ 𝑟𝑟 ≤^3𝜋𝜋₄ och 1 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 2 c) 0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ ^𝜋𝜋₂ och 0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 3 d) 0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 𝜋𝜋 och 0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 2 e) 𝜋𝜋 ≤ 𝑟𝑟 ≤^3𝜋𝜋₂, 1 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 2 .

Uppgift2.

Beräkna dubbelintegral f x y dxdy

∫∫

D ⁽ ^, ⁾ ^om

a) f(x,y)=

(

x² + y²

)

² och D definieras genom 0 ≤ 𝑟𝑟 ≤^𝜋𝜋₂ och 0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 2

b) f(x,y)= x² + y² och D definieras genom 0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ ^𝜋𝜋₂ och 0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 1 c) f(x,y)=10+x² + y² och D definieras genom x≤0, y≤0 , 1≤ x² +y² ≤4 d) f(x,y)=2+x² + y² och D definieras genom x≥0, y≥0 , y ≤x ,x² +y² ≤4 e) f(x,y)=x och D definieras genom x≥0, y≥0 , x² +y² ≤9

(4)

00 y

D 1

f) f(x,y)= y och D definieras genom x≥0, y≥0 , x² + y² ≤9 g) f(x,y)= x+y och D definieras genom x≥0, y≥0 , x² +y² ≤9 Svar:

a) 3 16π

, b) 6 π

c) Tips: 1 ≤ 𝑥𝑥² + 𝑦𝑦² ≤ 4 ⇒ 1 ≤ 𝑟𝑟² ≤ 4 ⇒ 1 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 2 och 𝑥𝑥 ≤ 0, 𝑦𝑦 ≤ 0⇒ 𝜋𝜋 ≤ 𝑟𝑟 ≤^3𝜋𝜋₂

∬ (10 + 𝑥𝑥_𝐷𝐷 ² + 𝑦𝑦²)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦

= ∫_𝜋𝜋^3𝜋𝜋/2𝑑𝑑𝑟𝑟 ∫ (10 + 𝑟𝑟₁² ²) ∙ 𝑟𝑟 ∙ 𝑑𝑑𝑟𝑟=…

… Svar c:

8 75π

d) π2 e) 9 f) 9 g 18