1 av 14
ARCUSFUNKTIONER
Definitionsmängd Värdemängd derivatan udda/jämn
arcsin(x) [-1, 1]
2] 2, [−π π
1 2
1
−x
udda arccos(x) [-1, 1]
[0,π]1 2
1
−x
−
varken udda
eller jämn arctan(x) alla reella tal
2) 2, (−π π
1 2
1 +x
udda arccot(x) alla reella tal
(0,π)1 2
1 +x
−
varken udda
eller jämn
1. y= arcsin(x)
DEFINITION 1. Funktionen sinus är inte inverterbar på intervallet (−∞,∞) (varför? ) .
Restriktionen av sinusfunktionen till intervallet [−π/2, π/2] är inverterbar och inversen kallas arcussinus.
Alltså restriktionen av sinusfunktionen till intervallet [−π/2, π/2]
x x
f( )=sin , ]
,2 [ π2 π
−
∈
x med värdemängden Vf =[−1,1] har inversen f −1(x)=arcsinx, x∈[−1,1].
Eftersom ]
,2 [−π2 π
f =
D och Vf =[−1,1] har vi −1
= [ − 1 , 1 ]
D
f och ],2 [ 2
1
π
−π
=
f−
V .
Egenskaper för funktionen y=arcsin(x) :
1. Funktionens definitionsmängd är D=[−1,1]och värdemängd ] ,2 [−π2 π
= V 2. Funktionen är en udda funktion eftersom arcsin(–x ) = – arcsin(x ) och därför är grafen symmetrisk med avseende på origo.
3. Funktionen är växande.
4. Derivatan:
1 2
) 1 (arcsin
x dx x
d
= − Uppgift 1. Beräkna
a) arcsin(− b)1) ) 2
arcsin(−1 c) arcsin(0) d) ) 2 arcsin(1
e) )
2
arcsin( 2 f) ) 2
arcsin( 3 g) arcsin(1)
Tipps: Använd följande tabell vinkeln v
2
− π
3
− π
4
− π
6
− π 0
6 π
4 π
3 π
2 π sin(v) − 1
2
− 3
2
− 2
2
− 1 0
2 1
2 2
2
3 1
2 av 14
Svar: a)
) 2 1
arcsin( π
−
=
− eftersom ) 1
sin(−π2 =−
b) ) 6
2
arcsin( 1 π
−
=
− c) arcsin(0)=0 d)
) 6 2 arcsin(1 π
=
e) ) 4
2 arcsin( 2 π
= f)
) 3 2 arcsin( 3 π
= g)
) 2 1 arcsin( = π
Uppgift 2. a) Bestäm definitionsmängden D och värdemängden f V till funktionen f )
4 2 arcsin(
5 1 )
(x = + x+
f
b) Bestäm inversen f −1(x) samt −1
Df och −1
Vf . Lösning: a)
Funktionen är definierad om 1
4 2 1≤ + ≤
− x Vi lägger till −4 ( Vi löser samtidigt båda olikheter.) 3
2 5≤ ≤−
− x Vi delar med 2
2 3 2
5≤ ≤−
− x
Alltså ]
2 , 3 2 [−5 −
f =
D
Värdemängden: När x antar värden i intervallet ] 2 , 3 2
[−5 − så antar 2x+4 alla värden i intervallet [−1,1], och därmed
) 2 4 2 arcsin(
2
π
π ≤ + ≤
− x
Härav ( efter multiplikationen med 5)
2 ) 5 4 2 arcsin(
2 5
5π π
≤ +
≤
− x , vi adderar 1 och får
2
1 5 ) 4 2 arcsin(
5 2 1
1 5π π
+
≤ + +
≤
− x
Därmed ]
2 1 5 2 , 1 5
[ − π + π
f = V
Svar a ) ]
2 , 3 2 [−5 −
f =
D och ]
2 1 5 2 , 1 5
[ − π + π
f = V
3 av 14
Lösning: b) Först: −1
Df ]
2 1 5 2 , 1 5
[ π π
+
−
=
=Vf och −1
Vf ]
2 , 3 2 [−5 −
=
=Df .
Vi löser ut x ur ekvationen ) 4 2 arcsin(
5
1+ +
= x
y ( lägg till –1 )
) 4 2 arcsin(
5
1= +
− x
y (dela med 5)
) 4 2 arcsin(
5
1= +
− x
y ( inversfunktion)
5 ) sin( 1 4
2 + = y−
x ( lägg till –4) 5 )
sin( 1 4
2 =− + y−
x (dela med 2)
5 ) sin( 1 2
2 1 −
+
−
= y
x
Till slut byter vi plats på x och y och får inversen som funktion av x.
5 ) sin( 1 2
2 1 −
+
−
= x
y
Svar b) )
5 sin( 1 2 2 1 )
1( =− + −
− x
x
f där
−1
Df ]
2 1 5 2 , 1 5
[ − π + π
=
=Vf och −1
Vf ]
2 , 3 2 [−5 −
=
=Df .
Uppgift 3. Bestäm alla lösningar till ekvationen 2
. 0 sinx=
Lösning: En lösning är x1 =arcsin(0.2)≈0.2013579 ( med miniräknare) Alla lösningar (oändligt många) ges av följande två talföljder:
π k
xk =arcsin(0.2)+2 , där k =0,±1,±2, och π
π n
xn =[ −arcsin(0.2)]+2 , där n=0,±1,±2,
Uppgift 4.
a) För vilka x gäller sin(arcsin(x))=x ?
4 av 14
b) Beräkna sin(arcsin(−0.82)).
Svar a) För alla x i intervallet[–1, 1] . b) −0.82
Uppgift 5.
a) Bestäm definitionsmängden till f(x)=arcsin(sin(x)) . b) För vilka x gäller arcsin(sin(x))=x ?
c) Beräkna ))
(5 arcsin(sin π
d) Beräkna ))
5 (4 arcsin(sin π
e) ))
7 (11 arcsin(sin π
Lösning: a) Df= (−∞,∞) sinx är definierad för alla reella tal. Eftersom −1≤sinx≤1 är ))
( arcsin(sin )
(x x
f = också definierad för alla reella tal. Alltså Df=R= (−∞,∞)
b) arcossin(x) är inversen till restriktionen av sinusfunktionen på intervallet ] ,2 [−π2 π Därför arcsin(sin(x))=x om x ligger i ]
,2 [−π2 π
.
Anmärkning. Om x ligger utanför ] ,2 [ π2 π
− då är
)) 1
(
arcsin(sin x = där vi bestämmer x x1 i intervallet ] ,2 [ π2 π
− så att sin(x)=sin(x1).
c) )) 5
(5
arcsin(sin π π
= eftersom 5
π ligger i ]
,2 [ π2 π
− .
d) )) 5
(5 arcsin(sin 5 ))
(4
arcsin(sin π = π =π
{ Notera att vi "ersätter"
5 4π
med 5 π som
ligger i intervallet ] ,2 [−π2 π
och uppfyller )
sin(5 5 )
sin(4π = π
}
e) 7
)) 2 7 ( 2 arcsin(sin 7 ))
(9
arcsin(sin π = − π =− π
5 av 14
Svar: a) Df=R= (−∞,∞) b) För ] ,2 [ π2 π
−
∈
x c)
)) 5 (5
arcsin(sin π π
=
d) )) 5
5 (4
arcsin(sin π π
= e)
7 )) 2 7 (9
arcsin(sin π π
−
=
Uppgift 6. Bestäm a) cos(arcsin x b) ( )) tan(arcsin x( )) c) ) 2 (1 cos(arcsin Lösning:
a) Notera att definitionsmängden för cos(arcsin x är intervallet ( )) [−1,1]. Vi betecknar arcsin(x)=v och därmed x=sinv där ]
,2 [ π2 π
−
∈
v . Då blir
v x)) cos (
cos(arcsin = . Vi bestämmer cosv med hjälp av "trigonometriska ettan"
v v
v
v 2 2
2 cos 1 cos 1 sin
sin + = ⇒ =± − = (cosv≥0 eftersom ]
,2 [−π2 π
∈
v ) )=
= 1−sin2v = 1−x2
b) Vi betecknar arcsin(x)=v och därmed x=sinv, där ] ,2 [ π2 π
−
∈
v . Då blir
v x)) tan (
tan(arcsin = . Från x=sinv ( och ] ,2 [ π2 π
−
∈
v ) beräknar vi först
2
2 1
sin 1
cosv= − v = −x och slutligen
1 2
cos tan sin
x x v
v v
= −
= .
Alltså
1 2
tan )) ( tan(arcsin
x v x
x = = − .
c) Vi kan använda a) men vi kan även beräkna direkt:
2 ) 3 cos(6 2)
(1
cos(arcsin = π =
.
Svar: a) 1−x2 b) 1 x2
x
− c) 2
3
Uppgift 7. Beräkna derivatan av funktionen a) y =arcsin( x3 ) b) y=arcsin(ln( x4 )) Svar a)
2
2 1 9
3 3 ) 3 ( 1
1
x x
y ⋅ = −
= −
′ b)
x x x
x y
4 ln 1 4 1 4
1 4 ln 1
1
2
2 ⋅ ⋅ = −
= −
′
6 av 14
7 av 14
2. y= arccos(x)
DEFINITION 2. Restriktionen av cosinus till intervallet [0, π] är inverterbar.
Inversen kallas arcuscosinus och betecknas arccos(x) Alltså restriktionen av cos till x intervallet [0, π] ,
] , 0 [ , cos )
(x = x x∈ π
f
har inversen f−1(x)=arccosx, x∈[−1,1] Eftersom Df =[0,π] och Vf =[−1,1] har vi −1
= [ − 1 , 1 ]
D
f och −1 =[0,π
] Vf .Egenskaper för funktionen y=arccos(x):
1. Funktionens definitionsmängd är D=[–1, 1] och värdemängd V=[0, π]
2. Funktionen är varken udda eller jämn Anm: arccos(−x)=π −arccos(x) 4. Funktionen är avtagande
5. Derivatan:
1 2
) 1 (arccos
x dx x
d
−
= −
Uppgift 8. Beräkna
a) arccos(− b) 1) arccos(−1/2) c) arccos(0) d) arccos(1/2) e) arccos( 2/2) f) arccos( 3/2) g) arccos( 1)
Tipps: Använd följande tabell vinkeln v 0
6 π
4 π
3 π
2 π
3 2π
4 3π
6
5π π
cos(v) 1
2 3
2
2
2
1 0
2
− 1
2
− 2
2
− 3 − 1
Svar. a) π b) 2π/3 c) π/2 d) π /3 e) π/4 f) π/6 g) 0 Uppgift 9.
a) För vilka x gäller cos(arccos(x))=x ? b) Beräkna cos(arccos(−0.13)).
Svar a) För alla x i intervallet[–1, 1] . b) −0.13 Uppgift 10.
a) Bestäm definitionsmängden till f(x)=arccos(cos(x)) . b) För vilka x gäller arccos(cos(x))=x ?
c) Beräkna ))
5 (4 arccos(cos π
d) Beräkna ))
5 (7 arccos(cos π
e) ))
( 5 arccos(cos −π
Svar: a) Df=R= (−∞,∞) b) För x∈[0,π]
c) ))
5 (4 arccos(cos π
= 5 4π
( eftersom 5 4π
ligger i intervallet [0,π]
d) 5
)) 3 5 (3 arccos(cos 5 ))
(7
arccos(cos π π π
=
= ( Notera att )
5 cos(7π
= )
5 cos(3π
och att 5 3π
ligger i intervallet [0,π].
e) )) 5
(5 arccos(cos 5 ))
(
arccos(cos π π π
=
− =
.
Uppgift 11. Beräkna a) 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑠𝑠(1/3)) b) 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠(𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑠𝑠(1/3)) . Lösning:
a) Beteckna arccos(1/3)=v. Då gäller cos(v)=3 där v ligger i första kvadranten ( enligt definitionen av arccos(v)) och vi ska bestämma sin 𝑣𝑣
.
8 av 14
Eftersom sin 𝑣𝑣 = ±√1 − cos2 𝑣𝑣 ( vi väljer tecken + eftersom v ligger i första kvadranten) har vi
sin 𝑣𝑣 = +�1 − (1/3)2 = �8/9 = 2√23 .
b) 2 2
cos tan sin
)) 3 / 1 (
tan(arccos = = =
v v v
Uppgift 12. a) Bestäm sin(arccos x b) Bestäm ( )) tan(arccos x ( )) Lösning:
a) Vi betecknar arccos(x)=v. Härav x=cos(v) där v ligger i [0, π]. Vi ska beräkna v
x)) sin (
sin(arccos = . Från sinv=± 1−cos2v , eftersom v ligger i [0, π] , ( där sinv≥0)har vi sinv=+ 1−cos2v = 1−x2 .
b) tan(arccos x =( ))
x x v
v v
1 2
cos
tan = sin = −
Svar: a) 1−x2 b) x
x2 1−
Uppgift 13. Bestäm definitionsmängden till 𝑦𝑦 = e3x +2arccos(𝑥𝑥) + ln(𝑥𝑥 − 1/2) Lösning:
Uttrycket e3x är definierad för alla x. Funktionen är definierad om följande två villkor är uppfyllda:
Villkor 1 ( för uttrycket arccos x) : −1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1
Villkor 2 ( för uttrycket ln(𝑥𝑥 − 1/2)) : 𝑥𝑥 − 1/2 > 0 d v s 𝑥𝑥 > 1/2 Båda villkor är uppfyllda om 1
2 < 𝑥𝑥 ≤ 1.
Svar: 𝐷𝐷𝑓𝑓 = ( 12, 1].
Uppgift 14. Beräkna derivatan av funktionen a) y =arccos(5x2) b) y =arccos(x2 +3x+4) Svar a)
4 2
2 1 25
10 10 ) 5 ( 1
1
x x x
x
y −
= −
− ⋅
= −
′
b) 2 2 2 2
) 4 3 ( 1
) 3 2 ) (
3 2 ( ) 4 3 ( 1
1
+ +
−
+
= − + + ⋅
+
−
= −
′
x x x x
x x y
9 av 14
Uppgift 15. Bevisa att
arcsin 𝑥𝑥 + arccos 𝑥𝑥 = 𝜋𝜋 2 för alla 𝑥𝑥 ∈ [−1,1]
Tipps. Använd första derivatan.
Bevis: Låt 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = arcsin 𝑥𝑥 + arccos 𝑥𝑥 ( 𝐷𝐷𝑓𝑓 = [−1,1] ) Då gäller 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) =� 1
1−𝑥𝑥2−� 1
1−𝑥𝑥2= 0 för alla 𝑥𝑥 ∈ (−1,1)
Eftersom f′ x( )=0 för alla x i intervallet (−1,1) är funktionen 𝑓𝑓(𝑥𝑥) konstant i detta intervall.
Alltså
arcsin 𝑥𝑥 + arccos 𝑥𝑥 = 𝐶𝐶 För att bestämma C insätter vi t ex x=0 och får
𝐶𝐶 = arcsin 0 + arccos 0 = 0 +𝜋𝜋 2 =
𝜋𝜋 2 Därför
arcsin 𝑥𝑥 + arccos 𝑥𝑥 = 𝜋𝜋 2 för alla 𝑥𝑥 ∈ (−1,1).
I ändpunkterna har vi
arcsin 1 + arccos 1 = 𝜋𝜋
2 + 0 = 𝜋𝜋 2 och
arcsin(−1) + arccos(−1) = −𝜋𝜋
2 + 𝜋𝜋 = 𝜋𝜋 2 Därmed har vi bevisat att
arcsin 𝑥𝑥 + arccos 𝑥𝑥 = 𝜋𝜋 2 för alla 𝑥𝑥 ∈ [−1,1].
10 av 14
11 av 14
3. y= arctan(x)
DEFINITION 3. Restriktionen av tangens till intervallet (−π/2, π/2) är inverterbar.
Inversen kallas arcustangens och betecknas arctan(x)
Alltså restriktionen av tangensfunktionen till intervallet (−π/2, π/2)
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠𝑥𝑥 , 𝑥𝑥 ∈ (−π/2, π/2) med värdemängden 𝑉𝑉𝑓𝑓 = (−∞, ∞) har inversen
𝑓𝑓−1(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 , 𝑥𝑥 ∈ (−∞, ∞) Eftersom 𝐷𝐷𝑓𝑓= (−π/2, π/2) och 𝑉𝑉𝑓𝑓 = (−∞, ∞) har vi 𝐷𝐷𝑓𝑓−1 = 𝑉𝑉𝑓𝑓 = (−∞, ∞) och 𝑉𝑉𝑓𝑓−1 = 𝐷𝐷𝑓𝑓 = (−π/2, π/2).
Egenskaper för funktionen y=arctan(x)
1. Funktionens definitionsmängd är D = (−∞,∞) och värdemängd V= ) ,2 ( π2 π
−
2. Funktionen har två vågräta asymptoter
2
−π
=
y och
2
=π y
𝑥𝑥→+∞lim 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠𝑥𝑥 =𝜋𝜋
2, lim𝑥𝑥→−∞𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠𝑥𝑥 = −𝜋𝜋 2 3. Funktionen är en udda funktion eftersom
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠(−𝑥𝑥) = −𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠(𝑥𝑥) och därför är grafen symmetrisk med avseende på origo.
4. Funktionen är växande.
5. Derivatan: 2
1 )) 1 (arctan(
x x dx
d
= +
Uppgift 16.
a) För vilka x gäller tan(arctan(x))=x ? b) Beräkna tan(arctan(35)).
Svar a) För alla x . b) 35
Uppgift 17.
a) Bestäm definitionsmängden till f(x)=arctan(tan(x)) . b) För vilka x gäller arctan(tan(x))=x ?
c) Beräkna ))
(11 arctan(tan π
d) Beräkna ))
11 (9 arctan(tan π
Svar a) π π
k x≠ +
2 , k=0,±1,±2, b) För de x som ligger i )
,2 (−π2 π
.
c) )) 11
(11 arctan(tan π π
= {eftersom 11
π ligger i )
,2 ( π2 π
− }
d) 11
)) 2 11 ( 2 arctan(tan 11))
(9
arctan(tan π = − π = − π
Uppgift 18. Bestäm a) cos(arctan x b) ( )) sin(arctan x ( ))
Lösning: Om vi delar likheten sin2v+cos2v=1 med cos2v får vi ( om cos2v≠0)
v 2v
2
cos 1 1
tan + =
som vi använder för att beräkna
v
v 2
tan 1 cos 1
+
= ± om tanv är känd. Därefter kan vi beräkna v
v v cos tan
sin = .
a) Vi betecknar arctan(x)=v. Därmed x=tanv där ) ,2 (−π2 π
∈
v . Vi beräknar
12 av 14
13 av 14
2
2 1
1 tan
1 cos 1 )) ( cos(arctan
x v
v
x = +
+
= ±
=
(tecken + eftersom ) ,2 (−π2 π
∈
v där cosv>0)
b) 2 2
1 1
tan 1 cos sin
)) ( sin(arctan
x x x
x v
v v
x ⋅ = +
= +
=
=
Uppgift 19. Beräkna derivatan av funktionen a) y=arctan(3x4) b) y =arctan(ln( x))
Svar: a) 4 2
3 3
2
4 1 (3 )
12 12 ) 3 ( 1
1
x x x
y x
= + + ⋅
′=
b) (1 ln )
1 1
ln 1
1
2
2 x x x x
y ⋅ = +
= +
′
4. y= arccot(x)
DEFINITION 3. Restriktionen av cotangens till intervallet (0, π) är inverterbar.
Inversen kallas arcuscotangens och betecknas arccot(x)
Alltså restriktionen av cotangensfunktionen till intervallet (0, π)
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠𝑥𝑥 , 𝑥𝑥 ∈ (0, π) med värdemängden 𝑉𝑉𝑓𝑓 = (−∞, ∞) har inversen
𝑓𝑓−1(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 , 𝑥𝑥 ∈ (−∞, ∞) Eftersom 𝐷𝐷𝑓𝑓= (0, π) och 𝑉𝑉𝑓𝑓 = (−∞, ∞) har vi
𝐷𝐷𝑓𝑓−1 = 𝑉𝑉𝑓𝑓 = (−∞, ∞) och 𝑉𝑉𝑓𝑓−1 = 𝐷𝐷𝑓𝑓 = (0, π).
Egenskaper för funktionen y=arccot(x)
1. Funktionens definitionsmängd är D = (−∞, ∞) och värdemängd 𝑉𝑉 =(0, π) 2. Funktionen har två vågräta asymptoter 𝑦𝑦 = 0 och 𝑦𝑦 =π
𝑥𝑥→+∞lim 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠𝑥𝑥 = 0, lim𝑥𝑥→−∞𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠𝑥𝑥 =π 3. Funktionen är varken udda eller jämn
Anm: arccot(−x)=π −arccot(x) 4. Funktionen är avtagande
5. Derivatan: 2
1 )) 1 ( (arccot dx
d
x x
+
= − .
Uppgift 20. Beräkna
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠(1) + 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡(1) Lösning:
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠(1) + 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡(1) =𝜋𝜋 4 +
𝜋𝜋 4 =
𝜋𝜋 2
Uppgift 21. Bevisa att
arccot 2
arctan + =π
x
x för alla reela tal.
Bevis: Låt f(x)=arctanx+arccotx då gäller för alla x
𝑓𝑓′(𝑥𝑥) =
1
1 + 𝑥𝑥
2−1
1 + 𝑥𝑥
2= 0.
Därför är f(x)en konstant funktion, dvs C
x x+ arccot = arctan
För att finna C insätter vi till ex. x=1 och får
2 4 1 4
arccot 1
arctan + =π +π =π
= C
Alltså
1 2 arccot 1
arctan + =π
V.S.B.
14 av 14
