- strain = sp¨ anning eller utt¨ ojning eller deformation = j¨ annitys tai venym¨ a. ¨ Ar enhetsl¨ os.

5. Fasta ¨ amnens elastiska egenskaper (h˚ ardhet o. dyl)

[AM 22, Kittel s.80- ]

Med elasticitet menas enkelt sagt det hur fasta ¨ amnen ger efter n¨ ar man pressar p˚ a dem. Den klassiska elasticitetsteorin ¨ ar i sj¨ alva verket en kontinuitets-teori men utg˚ aende fr˚ an atomernas v¨ axelverkningsmodeller ¨ ar det m¨ ojligt att h¨ arleda denna teori.

Den grundl¨ aggande terminologin ¨ ar p˚ a engelska, svenska och finska:

- stress = tryck eller sp¨ anning = j¨ annitys. Har tryck-enheter, kraft/area.

- strain = sp¨ anning eller utt¨ ojning eller deformation = j¨ annitys tai venym¨ a. ¨ Ar enhetsl¨ os.

Den svenska terminologin ¨ ar allts˚ a lite problematisk d˚ a ordet sp¨ anning kan ha tv˚ a olika betydelser, men engelskan ¨ ar klar. Med “stress” menas allts˚ a trycket som ett material uts¨ atts f¨ or, och “strain”

hur mycket den dras ut (positiva v¨ arden) eller pressas ihop (negativa v¨ arden). P˚ a svenska ¨ ar det bra att anv¨ anda ordet “utt¨ ojning” f¨ or det kan inte missf¨ orst˚ as och har intuitivt r¨ att f¨ ortecken.

Den klassiska elasticitetsteorin ger sambandet mellan tryck och utt¨ ojning, och h¨ arleds till n¨ asta

utg˚ aende fr˚ an atom¨ ar struktur i material.

5.1. H¨ arledning av elasticitetstensorn

Betrakta en godtycklig interatom¨ ar potential V . Vi s˚ ag i f¨ orra kapitlet att de alltid har en t¨ amligen j¨ amn potentialgrop kring atomernas j¨ amviktsl¨ agen R . Allts˚ a kan vi utveckla potentialen med hj¨ alp av den tredimensionella versionen av Taylors serie

f (r + a) = f (r) + a∇f (r) + 1

2! (a · ∇)

²

f (r) + 1

3! (a · ∇)

³

f (r) + . . . Vi betraktar atomer som har f¨ orflyttats fr˚ an positionerna

R till r . Nu kan man skriva:

r(R) = R + u(R) (1)

d¨ ar u ¨ ar en m¨ angd vektorer som beskriver f¨ orflyttningarna.

Om vi nu har en potentialfunktion V (r), och utvidgar den kring j¨ amviktsavst˚ andet R f¨ or en atom som har f¨ orflyttats lite fr˚ an potentialgropens mitt till positionen r , f˚ ar vi f¨ or

den totala energin U i systemet

^R

Interatomär potential V(r)

r

Interatomärt avstånd r

u(R)

U ≈ N 2

X V (R − R

⁰

) + 1 2

X

RR0

(u(R) − u(R

⁰

)) · ∇V (R − R

⁰

) (2)

+ 1 4

X

RR0

[(u(R) − u(R

⁰

)) · ∇]

²

V (R − R

⁰

) + . . . (3)

d¨ ar summorna l¨ oper ¨ over atomens och dess grannars j¨ amviktspositioner R och R ’.

Den f¨ orsta termen i utvecklingen P V (R) ¨ar ju bara gittrets j¨amviktsenergi eller kohesions-energi.

Inom elasticitetsteori har nollpunktens l¨ age ingen skillnad, och man v¨ aljer f¨ or enkelhets skull att flytta nollpunkten s˚ a att U = 0 d˚ a alla atomer ¨ ar i sina j¨ amviktsl¨ agen.

Termen ∇V (R − R

⁰

) f¨ orsvinner uppenbart, ty den ¨ ar ju helt enkelt kraften p˚ a atomer i deras j¨ amviktsl¨ agen, som m˚ aste vara ≡ 0 i en kristall i j¨amvikt.

Den andra derivatan ¨ ar den f¨ orsta termen i utvecklingen som blir kvar. I den harmoniska ap-

proximationen f¨ or fasta ¨ amnen arbetar man bara med denna term. De h¨ ogre termerna kallas

anharmoniska termer, och har betydelse t.ex. f¨ or v¨ arme-expansion.

I den klassiska f¨ orsta ordningens elasticitetsteori anv¨ ander man sig av den harmoniska approxi- mationen. Omr˚ adet d¨ ar denna approximation fungerar bra kallas linj¨ ar elasticitet.

Den harmoniska termen

[(u(R) − u(R

⁰

)) · ∇]

²

V (R − R

⁰

) har inalles 9 termer, som ocks˚ a kan skrivas

X

µ,ν

[u

_µ

(R) − u

_µ

(R

⁰

)]D

_µν

(R − R

⁰

)[u

_ν

(R) − u

_ν

(R

⁰

)]

d¨ ar µ och ν l¨ oper ¨ over koordinaterna x, y, z. Vi har allts˚ a ersatt vektornotationen med en index-notation. D inneh˚ aller nu derivatorna i formen:

D

_µν

= ∂

²

V (r)

∂r

_µ

∂r

_ν

och vi kan skriva hela den harmoniska potentialenergin

U = − 1 4

X

R,R0 µ,ν

[u

_µ

(R

⁰

) − u

_µ

(R)]D

_µν

(R

⁰

− R)[u

_ν

(R

⁰

) − u

_ν

(R)]

(Bytet av ordning ¨ ar m¨ ojligt p.g.a. gittrets inversions-symmetri och den harmoniska formen: ett teckenbyte i f¨ orflyttningen leder till samma energi.)

Hittills har f¨ orflyttningarna i atomernas platser u (R ) kunnat vara helt godtyckliga:

Men detta ¨ ar inte s¨ ardeles sannolikt f¨ or en elastisk f¨ orflyttning av atomer i j¨ amvikt. Mycket troligare

¨ ar att f¨ orflyttningsf¨ altet u(R) varierar j¨ amnt och kontinuerligt. Detta ¨ ar intuitivt enkelt och f¨ orst˚ a

om man t¨ anker p˚ a hur f¨ orflyttningarna kan uppst˚ a fr˚ an ett sk. dilatationscenter (t.ex. en st¨ orre atom i en kristall); det ¨ ar t¨ amligen klart att dessa ¨ ar kontinuerliga kring den st¨ orre atomen:

F¨ or att komma vidare m˚ aste antar vi dessutom att v˚ art gitter ¨ ar ett monatom¨ art Bravais-gitter,

s˚ a att alla punkter och “bindningar” ¨ ar ekvivalenta ((det kan uppst˚ a intressanta komplikationer i

icke-Bravais-gitter, som dock ¨ ar klart ¨ overkurs f¨ or denna kurs)).

Om vi nu definierar en kontinuerlig funktion u (r ), som ¨ ar = u (R ) i Bravais-gittrets punkter R kan vi g¨ ora Taylor-approximationen

u(R

⁰

) = u(R) + (R

⁰

− R) · ∇u(r)  

r=R

och d¨ armed

U = − 1

4

X

R,R0 µ,ν

[(R

⁰

− R) · ∇u

_µ

(R)]D

_µν

(R

⁰

− R)[(R

⁰

− R) · ∇u

_ν

(R)]

= − 1

4

X

R,R0 µ,ν,σ,τ



(R

⁰_σ

− R

_σ

) ∂u

_µ

(R)

∂x

_σ



D

_µν

(R

⁰

− R)



(R

⁰_τ

− R

_τ

) ∂u

_ν

(R)

∂x

_τ



d¨ ar vi allts˚ a bara i senare steget skrivit om nablorna i summeringsnotation.

Nu kan man ytterligare ta ut ∇-termerna som ju beror bara p˚ a R , och s¨ atta in termerna med R

⁰

i

en inre summa. D˚ a dessutom nu (R

⁰

− R) ju m˚ aste ocks˚ a vara en vektor i Bragg-gittret, kan man

byta summerings-indexet R

⁰

till R

⁰⁰

och f˚ a:

U = − 1 2

X

µ,ν,σ,τR

∂u

_µ

(R)

∂x

_σ

∂u

_ν

(R)

∂x

_τ

1 2

X

R00

R

⁰⁰_σ

D

_µν

(R

⁰⁰

)R

⁰⁰_τ

(4)

Den senare termen ¨ ar en tensor av fj¨ arde rang, betecknas med

E

_{σµτ ν}

= − 1 2

X

R

R

_σ

D

_µν

(R)R

_τ

(5)

och kallas elasticitetstensorn.

Det viktiga ¨ ar nu att E

_{σµτ ν}

enbart beror p˚ a vektorerna R , dvs. atomernas perfekta positioner, inte p˚ a utt¨ ojningsf¨ altet. Allts˚ a ¨ ar E

_{σµτ ν}

en konstant (med 81 komponenter) f¨ or ett specifikt material.

Nu vidare f¨ or att u ju varierar l˚ angsamt, kan man skriva om ekv. 4 som en integral,

U = 1 2

X

µ,ν,σ,τ

Z

dr ∂u

_µ

(R)

∂x

_σ

∂u

_ν

(R)

∂x

_τ

E ¯

_{σµτ ν}

(6)

d¨ ar

E ¯

_{σµτ ν}

= E

_{σµτ ν}

Ω

d¨ ar Ω ¨ ar volymen per en primitiv enhetscell i Bravais-gittret (och allts˚ a ocks˚ a volymen per atom).

Ekvation 6 ¨ ar utg˚ angspunkten f¨ or hela den klassiska elasticitetsteorin. Den ger energin f¨ or ett specifierat utt¨ ojningsf¨ alt u om man k¨ anner materialets elasticitetstensor E.

Trots att vi utgick fr˚ an atomer i v˚ ar h¨ arledning, ser man att ekvationen ¨ ar en ren kontinuitetsekvation.

F¨ or att sammanfatta detta ur fysikalisk synvinkel: med en h¨ arledningen som b¨ orjar fr˚ an interatom¨ ara potentialer, kommer man med ett par fysikaliskt mycket rimliga approxi- mationer fram till en helt kontinuerlig teori! D¨ armed ¨ ar klassisk (linj¨ ar) elasticitetsteori v¨ almotiverad, och anv¨ ands vitt uttryckligen som en kontinuum-teori! Moderna “Fini- te Element Method”-simuleringar av materials mekanisk egenskaper, som ¨ ar mycket anv¨ anda i industrin, baserar sig p˚ a linj¨ ar elasticitetsteori.

Tensorn E har hela 81 element(!), s˚ a detta verkar inte alltf¨ or trevligt att arbeta med. Det visar sig

dock att man snabbt kan drastiskt minska p˚ a antalet termer som m˚ aste beaktas genom att betrakta

olika symmetrier.

Den f¨ orsta symmetrin ¨ ar enkel. Det ¨ ar uppenbart att ekvation 5 ¨ ar symmetrisk med avseende p˚ a utbyte av indexena σ ↔ τ . Likas˚ a ¨ ar D

_µν

symmetrisk med avseende p˚ a utbyte av µ ↔ ν p.g.a.

den harmoniska approximationen. Allts˚ a r¨ acker det med att best¨ amma E

_{σµτ ν}

f¨ or de sex v¨ ardena

xx, yy, zz, yz, zx, xy

f¨ or indexparet µν och στ var f¨ or sig. Detta har redan s¨ ankt antalet element som b¨ or betraktas till 6 × 6 = 36.

N¨ asta steg f¨ or att reducera index f¨ oljer fr˚ an att betrakta en rotation av kristallen. Det ¨ ar uppenbart att en rotation kan inte ¨ andra p˚ a kristallens energi. S˚ a om vi nu g¨ or rotationen

u(R) = ∂ω × R,

s¨ atter in denna modifikation av gittret i ekv. 4 och kr¨ aver att U = 0, kan man l¨ att visa att U kan bero bara p˚ a en symmetrisk kombination av u-derivatorna,

ε

_σµ

= 1 2

 ∂u

_µ

∂x

_σ

+ ∂u

_σ

∂x

_µ



(7)

Nu kan man skriva om ekv. 4 i formen

U = 1 2

Z dr





X

µ,ν,σ,τ

ε

_σµ

c

_{σµτ ν}

ε

_{τ ν}



 (8)

d¨ ar

c

_{σµτ ν}

= − 1 8Ω

X

R

[R

_σ

D

_µν

R

_τ

+ R

_µ

D

_σν

R

_τ

+ R

_σ

D

_µτ

R

_ν

+ R

_µ

D

_στ

R

_ν

] (9)

Betraktelse av dessa ekvationer visar att uppenbart ¨ ar ekvationerna symmetriska vid utbyte av σµ ↔ τ ν. Fr˚ an den senare ekvationen ser man ocks˚ a genast att c

_{σµτ ν}

¨ ar invariant vid transformationerna σ ↔ µ och τ ↔ ν. Detta reducerar antalet oberoende index i c

_{σµτ ν}

till 21 (antalet kommer av de 6 diagonal-elementen som bildas av matrisen som bildas av de 6 indexparena σµ plus de 6 indexparena τ ν = σµ + de 15 elementen i ena halvan av matrisen p˚ a n˚ agondera sidan diagonalelementen).

I deth¨ ar skedet ¨ ar det dags att introducerar en ny notation, med l˚ angt f¨ arre index ¨ an i notationen

ovan.

5.1.1. Interlud: samband med termiska f¨ orskjutningar

F¨ ore vi forts¨ atter med elasticitet, p˚ apekar vi en viktig fysikalisk till¨ aggsaspekt om f¨ orskjutningarna. Vi ser senare p˚ a kursen att atomernas termisk f¨ orskjutningar kring j¨ amviktsl¨ ahet ¨ ar av storleksordningen 0.1 ˚ A vid normala temperaturer.

F¨ orskjutningarna fr˚ an elasticitetsf¨ alt kan vara mycket mindre, ∼ 0.001 ˚ A. Betyder detta att de ¨ ar betydelsl¨ osa vid normala temperaturer?

Nej! Sambandet ¨ ar det att de elastiskaf¨ orskjutningarna f¨ orflyttar p˚ a j¨ amviktspunkten f¨ or de termiska.

I andra ord, om man tar atomernas momentana platsers medeltal ¨ over en l˚ ang tid, f˚ ar man den

elastiskt f¨ orskjutna positionen.

F¨ orskjutningar i kristaller kan m¨ atas med t.ex. r¨ otngen- eller elektrondiffraktion. D˚ a de m¨ ater ¨ over

makroskopiska tider, medan atomers vibrationer sker p˚ a ps-tidskalor, ger m¨ atningarna uttryckli-

gen medeltalsf¨ orskjutningarna av atomer (de termiska f¨ orskjutningarna p˚ averkar breddningen av

diffraktionspikarna).

5.1.2. Ingenj¨ orsnotation f¨ or elasticitet

Notation som anv¨ andes ovan ¨ ar den vetenskapligt b¨ ast motiverade och elegantaste, men samti- digt ocks˚ a n˚ agot otymplig med alla sina index. Den ¨ overl¨ agset vanligare notationen ¨ ar den s.k.

ingenj¨ orsnotationen (“engineering notation”) f¨ or elasticitet. Den utg˚ ar fr˚ an det att man ens i v¨ arsta fall inte beh¨ over mer ¨ an 36 olika element f¨ or att beskriva elasticitet.

I notationen ¨ overf¨ or man koordinatparena µν och στ till index fr˚ an 1-6 enligt f¨ oljande:

xx → 1, yy → 2, zz → 3, , yz → 4, zx → 5, xy → 6 (10) Nu introduceras nya elasticitetselement C

_αβ

enligt transformationerna

C

_αβ

= c

_{σµτ ν}

d¨ ar α ↔ σµ, β ↔ τ ν enligt samma regler som i (10). P˚ a liknande s¨ att omvandlas komponenterna ε

_µν

till komponenter e, men s˚ a att

e

_µν

=

 ε

_µν

d˚ a µ = ν

2ε

_µν

d˚ a µ 6= ν

och nu kan vidare e ocks˚ a betecknas e

_α

enligt transformationsreglerna 10.

Nu kan allts˚ a ekvationen f¨ or energit¨ atheten i kristallen skrivas i den betydligt enklare formen U =

¹₂

X

αβ

Z

dre

_α

C

_αβ

e

_β

(11)

Konstanterna C

_αβ

kalla elastiska styvhets-konstanter eller elastiska moduler och bildar allts˚ a en 6 × 6-matris. Elementen i den inversa matrisen S = C

⁻¹

kallas “elastic compliance constants”

eller helt enkelt elastiska konstanter.

5.1.3. Geometrisk tolkning av e och C

Efter all denna h¨ arledningsrumba har man l¨ att tappat taget till vad i all v¨ arlden detta nu hade och g¨ ora med materials h˚ ardhet, och hurdan modifiering av materialet e:s komponenter nu egentligen betyder ?

F¨ or att f¨ orst˚ a detta b¨ orjar vi med att betrakta f¨ oljande enkla, likformiga modifikation av ett r¨ atvinkligt koordinatsystem med enhetsvektorerna i , j och k

x

⁰

= (1 + 

_xx

)i + 

_xy

j + 

_xz

k

y

⁰

= 

_yx

i + (1 + 

_yy

)j + 

_yz

k (12)

z

⁰

= 

_zx

i + 

_zy

j + (1 + 

_zz

)k

vars geometriska tolkning ¨ ar en utt¨ ojning av koordinataxlarna som beskrivs av 

_xx

, 

_yy

och 

_zz

,

samt en vridning eller skjuvning som beskrivs av de ¨ ovriga indexena:

Notera: detta  6= ε som anv¨ andes ovan! Men vi ser snart att de nog har ett samband.

Variablerna  << 1 d˚ a vi r¨ or oss inom det linj¨ ara elastiska omr˚ adet.

Om man g¨ or denna deformation av koordinataxlarna, hur p˚ averkas d˚ a positionen av en atom som ursprungligen ligger vid r = (xi + yj + zk) ? Efter deformationen kommer dess plats att vara r

⁰

= xx

⁰

+ yy

⁰

+ zz

⁰

, och f¨ orflyttningen (“displacement”) u (samma som i ekvation (1))

u(r) = r

⁰

− r = x(x

⁰

− i) + y(y

⁰

− j) + z(z

⁰

− k)

som genom ins¨ attning i 12 blir

u(r) = (x

_xx

+ y

_yx

+ z

_zx

)i + (x

_xy

+ y

_yy

+ z

_zy

)j + (x

_xz

+ y

_yz

+ z

_zz

)k som kan ocks˚ a skrivas i en mer allm¨ an form

u(r) = u

_x

(r)i + u

_y

(r)j + u

_z

(r)k

H¨ ar ser vi allts˚ a att deformationf¨ altet u(r) kan skrivas med hj¨ alp av enkla transformationer av koordinataxlarna som beskrivs av koefficienterna . Vidare ser man genast att



_xx

= ∂u

_x

∂x , 

_xy

= ∂u

_y

∂x , osv.

Dessa ekvationer g¨ aller f¨ or ¨ ovrigt som f¨ orsta approximation ocks˚ a f¨ or icke-likformiga distortioner av rymden.

Nu kan man igen definiera koefficienter e

_αβ

p˚ a basen av koefficienterna . Koefficienterna med samma index ¨ ar helt enkelt

e

_xx

= 

_xx

= ∂u

_x

∂x ; e

_yy

= 

_yy

= ∂u

_y

∂y ; e

_zz

= 

_zz

= ∂u

_z

∂z (13)

och koefficienter med olika index definieras s˚ a att de beror p˚ a ¨ andringen av vinkeln mellan koordinataxlarna

e

_xy

= x

⁰

· y

⁰

u 

^yx

+ 

_xy

= ∂u

_x

∂y + ∂u

_y

∂x e

_yz

= y

⁰

· z

⁰

u 

^zy

+ 

_yz

= ∂u

_y

∂z + ∂u

_z

∂y (14)

e

_zx

= z

⁰

· x

⁰

u 

^zx

+ 

_xz

= ∂u

_x

∂z + ∂u

_z

∂x

J¨ amf¨ orelse med ekvationerna f¨ or e ovan visar att dessa definitioner faktiskt ¨ ar helt samma.

I.o.m. att ¨ andringarna i koordinataxlarna ¨ ar sm˚ a, g¨ aller e

_xy

= x

⁰

· y

⁰

= |x

⁰

||y

⁰

| cos θ ≈ √

1 + 2

_xx

p1 + 2

_yy

cos θ

≈ (1 + 

_xx

)(1 + 

_yy

) cos θ ≈ (1 + 

_xx

+ 

_yy

) cos θ d¨ ar alla termer av ordningen 

²

l¨ amnats bort omedelbart.

Nu ser vi vad sambandet med koefficienterna ε,  och e ¨ ar. F¨ or koefficienterna med samma index

g¨ aller helt enkelt



_αα

= ε

_αα

= e

_αα

= e

_n

medan f¨ or koefficienterna med olika index g¨ aller



_αβ

+ 

_βα

= 2ε

_αβ

= e

_αβ

= e

_n

d¨ ar indexet n best¨ ams av villkoren (10).

F¨ or att notationens-konfusionen skulle vara fullst¨ andig, anv¨ ander en del k¨ allor ε n¨ ar de menar e som ¨ ar definierat h¨ ar, osv. Om man arbetar med dessa borde man d¨ arf¨ or alltid definiera sin notation i b¨ orjan p˚ a n˚ agot entydigt s¨ att !

Alla dessa index kallas “strain” p˚ a engelska, p˚ a svenska kan man kalla dem sp¨ annings-komponenter eller utt¨ ojnings-komponenter.

Men h¨ ar kommer vi i forts¨ attningen att anv¨ anda fr¨ amst ingenj¨ orsnotationen med C

_ij

och e

_ij

.

Nu kan vi ocks˚ a l¨ att ber¨ akna hur en transformation av gittret ¨ andrar p˚ a volymen. Efter deformationen blir volymen

V

⁰

= V (x

⁰

· y

⁰

× z

⁰

) u V (1 + e

^xx

+ e

_yy

+ e

_zz

)) (15)

d¨ ar vi igen l¨ amna bort termer O(e

²

), och volymf¨ or¨ andringen, dilatationen, δ = V

⁰

− V

V u e

^xx

+ e

_yy

+ e

_zz

Sambandet med tryck ¨ ar nu l¨ att att h¨ arleda. Enligt termodynamikens andra grundlag ¨ ar dE = T dS − P dV

Vid T = 0 g¨ aller allts˚ a dE = −P dV . Detta ¨ ar allts˚ a ekvationen f¨ or gaser, och P ¨ ar en skal¨ ar som kallas hydrostatiskt tryck. F¨ or gitter arbetar man dock med ett generaliserat tryck i tensorform som ofta betecknas σ

_ij

och kallas “stress” p˚ a engelska. Det kunde kallas p˚ afrestning eller belastning p˚ a svenska, men vi anv¨ ander helt enkelt tryck. Med “stress” menas det yttre arbete som g¨ ors p˚ a ett system, och dess komponenter har motsatt tecken till det inre trycket i systemet. Notera att detta leder ocks˚ a till att det ¨ ar fullt m¨ ojligt att ha negativa tryck inom materialfysiken, i motsats till klassisk termodynamik f¨ or gaser d¨ ar tryck ¨ ar alltid positiva.

Energiekvationens generalisering blir nu

dU/V = X

ij

σ

_ij

de

_ij

d¨ ar U/V ¨ ar energit¨ atheten i systemet. J¨ amf¨ orelse med ekv. (8) visar nu att

σ

_ij

= X

kl

c

_ijkl



_kl

(16)

Denna lag som vi h¨ arlett s¨ ager allts˚ a att trycket har ett linj¨ art beroende p˚ a utt¨ ojningen, och kallas ocks˚ a Hookes lag.

(Lagen var ursprungligen var inte precis given i denna tensorform: Hooke sj¨ alv levde p˚ a 1600-talet och framf¨ orde lagen i formen “ut tensio sic vis”).

Komponenterna i tryck-tensorn σ har en klar geometrisk tolkning. De ¨ ar helt enkelt en kraft

per enhetsarea som p˚ averkar ett r¨ atvinkligt block av ett material som ¨ ar arrangerat l¨ angs med

koordinataxlarna

T.ex. σ

₁₁

= X

_x

¨ ar en kraft/area i X-riktningen som verkar p˚ a x-sidan, σ

₁₂

= X

_y

en kraft/area i X-riktningen som verkar p˚ a y-sidan osv. Den stora bokstaven betecknar alltid kraftens riktning, den lilla sidan den verkar p˚ a. Storheterna har enheter av kraft/area eller energi/volym, allts˚ a tryck-enheter.

Det existerar allts˚ a nio av dessa kraft-komponenter. Men f¨ or att kroppen skall h˚ allas i statiskt

j¨ amvikt, kan skjuvningskomponenterna inte vara oberoende. Betrakta t.ex. f¨ oljande fall:

Nu m˚ aste Y

_x

= X

_y

ty annars hamnar blocket i en rotation. P˚ a motsvarande s¨ att g¨ aller Y

_z

= Z

_y

och Z

_x

= X

_z

. De kvarvarande sex komponenterna kan v¨ aljas vara t.ex. X

_x

, Y

_y

, Z

_z

, Y

_z

, Z

_x

och

X

_y

.

Nu kan man skriva om ekvationen (16) i ingenj¨ orsnotation s˚ a att















 σ

₁₁

σ

₂₂

σ

₃₃

σ

₂₃

σ

₃₁

σ

₁₂

















=















 X

_x

Y

_y

Z

_z

Y

_z

Z

_x

X

_y

















=

















C

₁₁

C

₁₂

C

₁₃

C

₁₄

C

₁₅

C

₁₆

C

₁₂

C

₂₂

C

₂₃

C

₂₄

C

₂₅

C

₂₆

C

₁₃

C

₂₃

C

₃₃

C

₃₄

C

₃₅

C

₃₆

C

₁₄

C

₂₄

C

₃₄

C

₄₄

C

₄₅

C

₄₆

C

₁₅

C

₂₅

C

₃₅

C

₄₅

C

₅₅

C

₅₆

C

₁₆

C

₂₆

C

₃₆

C

₄₆

C

₅₆

C

₆₆































 e

_xx

e

_yy

e

_zz

e

_yz

e

_zx

e

_xy

















(17)

H¨ ar har vi anv¨ ant oss av det faktumet att de sj¨ alvst¨ andiga elastiska konstanterna C ¨ ar h¨ ogst 21 till

antalet och skrivit t.ex. C

₁₄

i st¨ aller f¨ or C

₄₁

.

5.1.4. Ytterligare reducering av antalet elastiska moduler

Hittills har v˚ ar h¨ arledning g¨ allt f¨ or alla Bravais-gitter. Om man nu dessutom betraktar symmetrier hos ett specifikt gitter, kan man reducera antalet ytterligare.

T.ex. f¨ or kubiska system p˚ ast˚ ar vi att energins (11) t¨ athet U

_t

kan skrivas enbart med

U

_t

=

¹₂

C

₁₁

(e

²_xx

+ e

²_yy

+ e

²_zz

) +

¹₂

C

₄₄

(e

²_yz

+ e

²_zx

+ e

²_xy

) + C

₁₂

(e

_yy

e

_zz

+ e

_zz

e

_xx

+ e

_xx

e

_yy

) (18)

dvs. att termer som inneh˚ aller

(e

_xx

e

_xy

+ · · ·); (e

_yz

e

_zx

+ · · ·); (e

_xx

e

_yz

+ · · ·);

inte f¨ orekommer. Detta kan visas genom att betrakta rotationer av gittret runt de fyra < 111 >-

axlarna s˚ a att koordinat-axlarna byts:

Lite omtanke visar att detta ¨ ar ekvivalent med f¨ oljande permuteringar av koordinat-axlarna:

x → y → z → x

−x → z → −y → −x x → z → −y → x

−x → y → z → −x

Dessa permuteringar ¨ andrar ocks˚ a tecken p˚ a utt¨ ojningsskomponenterna, t.ex. e

_x,−y

= −e

_xy

.

Uppenbart ¨ ar nu energit¨ atheten (18) invariant vid transformationerna. D¨ aremot kan tecknet p˚ a

termer av typen e

_xx

e

_xy

¨ andras vid transformationen, vilket kan komma att ¨ andra p˚ a energin.

D¨ armed kan dessa termer inte f¨ orekomma, och allts˚ a m˚ aste d¨ artillh¨ orande elastiska moduler vara

≡ 0.

Genom ins¨ attning i energit¨ athetens ekvation (11) kan man f¨ orvissa sig om att de numeriska faktorerna ocks˚ a ¨ ar r¨ att.

Allts˚ a beh¨ over vi bara tre (!) elastiska moduler C

₁₁

, C

₁₂

och C

₄₄

f¨ or att fullst¨ andigt beskriva de elastiska egenskaperna f¨ or kubiska system !

Detta ¨ ar en ganska dramatiskt framg˚ ang om man t¨ anker p˚ a att vi b¨ orjade med 81 m¨ ojliga index.

Genom att betrakta liknande transformationer kan man reducera antalet elastiska moduler f¨ or andra

Bravais-gitter. H¨ ar f¨ oljer en tabell ¨ over antalet moduler som beh¨ ovs:

De elastiska konstanterna kan i princip h¨ arledas om man k¨ anner till v¨ axelverkningarna mellan

atomer. Men de kan ocks˚ a m¨ atas direkt genom ultraljudsm¨ atningar (de har ett n¨ ara samband med

gittervibrationer, som behandlas senare p˚ a kursen).

5.2. Elastiska egenskaper f¨ or kubiska gitter

H¨ adanefter betraktar vi enbart kubiska system. F¨ or dessa kan allts˚ a samband mellan yttre tryck och utt¨ ojning skrivas p˚ a f¨ oljande s¨ att:















 X

_x

Y

_y

Z

_z

Y

_z

Z

_x

X

_y

















=

















C

₁₁

C

₁₂

C

₁₂

0 0 0

C

₁₂

C

₁₁

C

₁₂

0 0 0

C

₁₂

C

₁₂

C

₁₁

0 0 0

0 0 0 C

₄₄

0 0

0 0 0 0 C

₄₄

0

0 0 0 0 0 C

₄₄































 e

_xx

e

_yy

e

_zz

e

_yz

e

_zx

e

_xy

















(19)

Vi h¨ arleder nu n˚ agra makroskopiska h˚ ardhets-egenskaper utg˚ aende fr˚ an dessa mikroskopiska defini- tioner.

Det enklaste m˚ attet p˚ a ett materials elastiska h˚ ardhet ¨ ar bulkmodulen B, som helt enkelt ber¨ attar

hur mycket volymen p˚ a ett material ¨ andras om man trycker ihop det med ett hydrostatiskt yttre

tryck P . Den definieras som

B = −V dP dV

Inversen p˚ a bulkmodulen K = 1/B kallas kompressibilitet.

Ett konstant positivt yttre tryck motsvarar fallet X

_x

= Y

_y

= Z

_z

= −dP , som leder till en storleksf¨ or¨ andring e

_xx

= e

_yy

= e

_zz

. Alla skjuvningskomponenter X

_y

, e

_xy

etc. ¨ ar nu noll. Allts˚ a f˚ as

dP = −X

_x

= −(C

₁₁

e

_xx

+ C

₁₂

e

_xx

+ C

₁₂

e

_xx

) = −(C

₁₁

+ 2C

₁₂

)e

_xx

Volymf¨ or¨ andringen vid en transformation ¨ ar nu (se ekv. 15)

dV = V (e

_xx

+ e

_yy

+ e

_zz

) = 3e

_xx

V Allts˚ a f˚ as

B = −V −(C

₁₁

+ 2C

₁₂

)e

_xx

3e

_xx

V = 1

3 (C

₁₁

+ 2C

₁₂

)

Notera att B inte alls beror p˚ a C

₄₄

. Detta har sin f¨ orklaring i att C

₄₄

¨ ar ett m˚ att p˚ a skjuvning (vridning) av en kristall, och en j¨ amn ihoppressning leder ju inte till n˚ agon skjuvning..

Allts˚ a har vi p˚ a detta s¨ att visat att utg˚ aende fr˚ an rent mikroskopiska begrepp kan man h¨ arleda fasta

¨ amnens makroskopiska transformationsegenskaper.

H¨ ar ¨ ar en tabell p˚ a n˚ agra experimentella elastiska konstanter f¨ or grund¨ amnen:

F¨ or att g¨ ora en uppskattning p˚ a storleksordningen av den elastiska kompressionen, l˚ at oss ber¨ akna

hur mycket perfekt koppar skulle pressas ihop av ett tryck p˚ a 1 kbar. Med v¨ ardena i tabellen f˚ as B = 1.42×10

¹¹

N/m

²

= 1420 kbar. Nu f˚ as dV /V = −dP /B = 0.0007 = 0.07%. Kompressibiliteten

¨ ar allts˚ a ganska s˚ a liten, vilket ju inte ¨ ar ¨ overraskande d˚ a den vardagliga erfarenheten ju klart s¨ ager att metaller inte g˚ ar att pressa ihop mycket.

Tv˚ a andra viktiga m˚ att f¨ or materials h˚ ardhet ¨ ar Youngs modul Y och Poissons kvot µ. Young’s modul kallas ocks˚ a ibland vilseledande den elastiska modulen E eller skjuvningsmodulen (“shear modulus”).

Dessa definieras p˚ a f¨ oljande s¨ att. Betrakta ett fritt block av material, som dras ut med ett tryck

X

_x

, medan alla andra tryck-komponenter ¨ ar = 0.

Nu kommer dess form att ¨ andras s˚ a att e

_xx

> 0 och e

_yy

= e

_zz

< 0. Youngs modul definieras som Y = X

_x

e

_xx

och Poissons kvot som

µ = δw/w

δl/l = −e

_yy

/e

_xx

Genom ins¨ attning i ekv. 19 kan man visa att f¨ or kubiska kristaller g¨ aller (jfr. r¨ akne¨ ovningen) f¨ or utt¨ ojning l¨ angs med en h100i-riktning:

Y = (C

₁₁

+ 2C

₁₂

) C

₁₁

− C

₁₂

C

₁₁

+ C

₁₂

och

µ = C

₁₂

C

₁₁

+ C

₁₂

Notera att dessa ¨ ar de mikroskopiska definitionerna p˚ a Young’s modul. De ¨ ar inte n¨ odv¨ andigtvis

alls samma v¨ arden som kan erh˚ allas med en makroskopisk m¨ atning, och dessutom beror de p˚ a

kristallriktning (dessa ekvationer antar implicit att man betraktar en kubisk kristall och drar den ut

i 100-riktning).

F¨ or ber¨ akningar om Youngs modul i andra kristallriktingar, se

[Heino et al, Europhys. Lett. 41 (1998) 273]

.

Fr˚ an tabellen ovan kan man r¨ akna ut Young’s modul f¨ or n˚ agra vanliga metaller. H¨ ar ges ocks˚ a v¨ arden f¨ or j¨ amf¨ orelses skull f¨ or diamant, kolnanor¨ or och grafen (de tv˚ a sistn¨ amnda ¨ ar ¨ annu inte k¨ anda med h¨ og noggranhet, olika m¨ atningar ger avvikande v¨ arden, som dock ¨ ar av samma storleksordning som de i tabellen).

Amne ¨ Y (GPa)

W 408

Cu 72.5

Ni 150.8

Au 46.5

K 1.1

Diamant 1040

Grafen upp till ∼ 2400 har rapporterats

[Lee et al, Nano Lett. 12 (2012) 4444]

Kolnanor¨ or upp till ∼ 1800 har rapporterats

[Treacy et al, Nature 381 (1996) 678]

Diamant ¨ ar faktiskt ur denna synvinkels¨ att det h˚ ardaste materialet som finns – men samtidigt ¨ ar det mycket sk¨ ort, vilket begr¨ ansar dess nyttighet i praktiska till¨ ampningar!

D¨ aremot ¨ ar grafen och kolnanor¨ or inte sk¨ ora, vilket g¨ or dem mycket intressanta f¨ or mekaniska

till¨ ampningar – om man bara kunde ¨ overs¨ atta den h¨ oga mekaniska styrkan fr˚ an enskilda atomlager

till makroskopisk skala...

5.2.1. Isotropiska material

[Hirth and Lothe]

Fr˚ an beskrivningen ovan ¨ ar det klart att kristallens inre orientation kan p˚ averka dess elastiska egenskaper. Ett viktigt specialfall ¨ ar dock det d¨ ar s˚ a inte ¨ ar fallet, allts˚ a d˚ a de elastiska egenskaperna

¨ ar oberoende av riktning. S˚ adana material kallas isotropiska material.

F¨ or att se vad detta inneb¨ ar f¨ or de elastiska konstanterna, betrakta en expansion av x − axeln utan skjuvning eller modifikation av de ¨ ovriga axlarna. F¨ or enkelhets skull g¨ or vi detta f¨ or ett kubiskt system. Vi anv¨ ander nu indexena ε, som g˚ ar att transformera, men f¨ or vilka ekv. (19) g¨ aller p˚ a samma s¨ att som f¨ or e pga. den kubiska symmetrin. Allts˚ a ¨ ar ε

_xx

> 0 och alla andra ε = 0 . Ins¨ attning i ekv. 17 ger

σ

₁₁

= C

₁₁

ε

_xx

(20)

σ

₂₂

= σ

₃₃

= C

₁₂

ε

_xx

= C

₁₂

C σ

₁₁

(21)

Betrakta nu en rotation av 45

^◦

runt z-axeln, som har en transformations-matris

T

_ij

=





√1 2

√1

2

0

−

^√1

2

√1

2

0

0 0 1





Man kan visa att en rotation omvandlar ε och σ enligt formeln ε

⁰_ij

= X

lm

T

_il

T

_jm

ε

_lm

och motsvarande. f¨ or σ. D¨ armed f˚ as t.ex.

ε

⁰_xy

= T

₁₁

T

₂₁

ε

_xx

= −

¹₂

ε

_xx

(i.o.m. att alla andra termer utom ε

_xx

¨ ar 0 blir bara detta kvar) och

σ

₁₂⁰

= T

₁₁

T

₂₁

σ

₁₁

+ T

₁₂

T

₂₂

σ

₂₂

= −

¹₂

σ

₁₁

+

¹₂

σ

₂₂

Men nu om vi betraktar den sista raden i ekv. (19) f¨ or det roterade koordinatsystemet, ser vi att

σ

₁₂⁰

= 2C

₄₄

ε

⁰₁₂

och genom sammanslagning av de tv˚ a senaste ekvationerna med ekv. (20) f˚ as

2C

₄₄

= C

₁₁

− C

₁₂

(22)

Detta ¨ ar allts˚ a villkoret f¨ or att ett kubiskt material ¨ ar isotropiskt. I.o.m. att ett isotropiskt material inte beror p˚ a gitterriktningar, kan man ocks˚ a f¨ or ¨ ovriga symmetrier visa att de oberoende gitterkonstanternas antal faktiskt reduceras till bara 2.

Allts˚ a har vi nu f¨ or isotropiska material reducerat antalet beh¨ ovliga elastiska konstanter ytterligare, till 2. L¨ angre ner ¨ an det kan man inte komma f¨ or fasta ¨ amnen.

F¨ or icke-isotropiska material beskrivs graden av anisotropi (“anisotropy ratio”) A som

A = 2C

₄₄

C

₁₁

− C

₁₂

som ¨ ar allts˚ a ≡ 1 f¨ or isotropiska material. H¨ ar ¨ ar n˚ agra v¨ arden p˚ a A

[Hirth-Lothe s. 837]

:

Al 1.21

Cr 0.67

Cu 3.21

Au 2.9

W 1.00

C (diamant) 1.21

Si 1.56

Ge 6.35

F˚ a grund¨ amnen ¨ ar allts˚ a isotropiska: n˚ agra av de f˚ a exemplen ¨ ar W och (n¨ astan) Al. Men isotropiska

¨ amnen ¨ ar ¨ and˚ a extremt viktiga inom ingenj¨ orsvetenskapen i.o.m. att m˚ angkristallina ¨ amnen, vilket ju metaller oftast ¨ ar i praktiken, ¨ ar n¨ astan perfekt isotropiska p.g.a. den slumpm¨ assiga orientationen av kristallkornen. D¨ arf¨ or ¨ ar beskrivning av isotropiska material mycket viktig i praktiskt byggnaddsarbete och val av material. F¨ or deras beskrivning anv¨ ands ocks˚ a oftast i st¨ allet f¨ or de elastiska modulerna C helt enkelt Youngs modul Y och Poissons f¨ orh˚ allande µ, som allts˚ a nu r¨ acker f¨ or fullst¨ andig beskrivning av materialets linj¨ ara elastiska egenskaper.

Youngs modul Y och Poissons f¨ orh˚ allande µ ¨ ar ocks˚ a l¨ atta att m¨ ata genom att makroskopiskt dra

ut eller pressa ihop ett material och m¨ ata dess l¨ angd- resp. bredd-f¨ or¨ andring.

5.3. V¨ atskor

Nu har vi allts˚ a kommit ner fr˚ an 21 oberoende elastiska moduler till bara 2, genom att kontinuerligt f¨ orenkla strukturen i materialet. En logisk n¨ asta fr˚ aga ¨ ar att vilken f¨ orenkling skall man g¨ ora f¨ or att komma ner fr˚ an 2 till 1?

Svaret ¨ ar att man skall g¨ ora materialet till en v¨ atska! Definition p˚ a en v¨ atska ¨ ar i sj¨ alva verket att det ¨ ar ett kondenserat ¨ amne d¨ ar man inte kan m¨ ata en skjuvmodul, allts˚ a t.ex. Y . D˚ a ¨ ar den enda kvarvarande elastiska modulen hur mycket v¨ atskans volym kan kompresseras vid yttre tryck, dvs.

bulkmodulen B!

Den exakta definitionen f¨ or en v¨ atska inneh˚ aller i sj¨ alva verket ett numeriskt gr¨ ansv¨ arde f¨ or en

skjuvnings-effekt, som s¨ ager att ett fast ¨ amne ¨ ar ett material vars skjuvviskositet ¨ ar st¨ orre ¨ an 10

^14.6

poise.

5.4. Plasticitet och h˚ ardhet

5.4.1. Plasticitet

Hittills har vi hela tiden antagit att den harmoniska approximationen g¨ aller, och sett att det leder till ett enkelt linj¨ art f¨ orh˚ allande mellan en yttre kraft p˚ a ett material och dess deformation.

Fr˚ an vardaglig erfarenhet vet vi dock v¨ al att detta f¨ orh˚ allande inte kan h˚ alla f¨ or godtyckligt stora deformationer: f¨ or eller senare g˚ ar materialet s¨ onder.

Men redan f¨ ore ett material g˚ ar s¨ onder kan man skilja p˚ a olika beteende-omr˚ aden. Det elastiska omr˚ adet (av vilket den linj¨ ara delen som beskrevs ovan ¨ ar den f¨ orsta) k¨ annetecknas av att deformationer inte ¨ ar best˚ aende, utan att om man upph¨ or att p˚ averka p˚ a materialet med en kraft,

˚ aterst¨ aller den sig i sitt ursprungliga l¨ age.

Med plasticitet menas s˚ adana transformationer av material som leder till en best˚ aende ¨ andring i dess form efter att man slutat deformera det. H¨ ar ¨ ar det allts˚ a fr˚ aga om en sorts hysteresis-effekt.

Att man deformerar materialet s˚ a starkt att det ursprungliga l¨ aget inte ˚ aterst¨ alls betyder dock inte n¨ odv¨ andigtvis ¨ annu att det g˚ ar s¨ onder: materialets egenskaper p˚ a atomniv˚ a kan ¨ andras f¨ ore den g˚ ar slutgiltigt s¨ onder.

Skillnaden mellan elastiskt och plastiskt beteende syns tydligt i s.k. stress-strain-kurvor, t.ex.

Tv˚ a storheter som anv¨ ands f¨ or att beteckna denna praktiska h˚ ardhet ¨ ar flytgr¨ ansen “yield strength”.

Den best¨ ams genom som punkten d¨ ar trycket har l¨ att till en f¨ orflyttning av 0.002 i utt¨ ojningen fr˚ an

slutet p˚ a det elastiska omr˚ adet (se bilden ovan). En annan viktig storhet ¨ ar den dragh˚ allfastheten

(“tensile strength”), som ¨ ar helt enkelt punkten d¨ ar utt¨ ojningen b¨ orjar minska i ett utdragningstest:

H¨ ar ¨ ar en tabell ¨ over n˚ agra vanliga metallers flytgr¨ anser och tensila styrkor:

Det m˚ aste dock betonas att dessa v¨ arden varierar starkt inom samma material beroende p˚ a hur den

har tillverkats. En massa faktorer: kornstorlek, dislokationst¨ athet, orenhetsgrad, tom. hur metallen

har processerats, kan inverka med mer ¨ an en storleksordning p˚ a dess makroskopiska styrka! Dessa

beroenden ¨ ar i allm¨ anhet inte v¨ al k¨ anda eller f¨ orst˚ adda.

Ett undantag ¨ ar dock beroendet av flytgr¨ ansen σ

_y

p˚ a kornstorlek. F¨ or den g¨ aller, f¨ or en metall som annars har liknande egenskaper, den empiriskt erh˚ allna Hall-Petch-lagen som s¨ ager att

σ

_y

= σ

₀

+ k

_y

√ d (23)

d¨ ar d ¨ ar kornstorleken i medeltal, och σ

₀

och k

_y

materialkonstanter som b¨ or best¨ ammas.

Fr˚ an ekvationen ser man att desto mindre kornstorlek, desto h˚ ardare blir materialet. Detta ¨ ar orsaken till att nanokristallina material ¨ ar av stort intresse: bara med att minska p˚ a kornstorleken, kan man ¨ oka p˚ a h˚ ardheten. Experiment och datorsimuleringar visar att detta kan lyckas ner till storlekar d ∼ 10 nm.

Experimentellt har man kunnat visa att koppar med en kornstorlek d = 23 nm kan ha en flytgr¨ ans p˚ a ung. 770 MPa, allts˚ a faktiskt en storleksordning b¨ attre ¨ an v¨ ardet i tabellen ovan.

[Youssef, Appl. Phys.

Lett. 85 (2004) 929]

.

F¨ or mindre kornstorlekar ¨ an 10 nm blir materialet igen mjukare.

[Koch and Narayan, MRS Proceedings 634 (2001) B5.1.1]

5.4.2. Skjuvning (“slip”) och elastisk h˚ ardhet

Om man till¨ ampar ett skjuvningstryck (“shear”) p˚ a ett enhetskristallint material, och k¨ anner till atomstrukturen i den, kunde man t¨ anka sig att skjuvningen sker d˚ a atomplanen b¨ orjar glida bredvid varandra. Denna process, som kallas “slip” p˚ a engelska, och egentligen skjuvning p˚ a svenska, g˚ ar bra att observera och ser ut ungef¨ ar p˚ a f¨ oljande s¨ att:

Glidningen sker faktiskt i riktningen av kristallplan, s˚ a man kunde v¨ al t¨ anka sig att det sker genom

att plan glider bredvid varandra. En analys av de vanligaste gittrena visar att glidning kan b¨ ast

ske l¨ angs med vissa kristallplan (skjuvningsplan) i vissa kristallriktningar (skjuvningsriktning). I

tabellen h¨ ar visas dessa riktningar och deras antal i FCC- och BCC-metaller. En kombination av planet och riktningen kallas ett skjuvningssystem och betecknas t.ex. {111}h110i.

L˚ at oss uppskatta vad trycket f¨ or att detta sker kunde vara. Betrakta f¨ oljande situation, d¨ ar

atomerna i det ¨ ovre planet f¨ orflyttas med avseende p˚ a det l¨ agre:

F¨ or sm˚ a f¨ orflyttningar x ¨ ar nu trycket σ proportionell mot σ = Gx/d

d¨ ar d ¨ ar avst˚ andet mellan planena och G ¨ ar n˚ agon skjuvningsmodul (“shear modulus”), t.ex. C

₄₄

. N¨ ar f¨ orflyttningen har skett ¨ over hela avst˚ andet a, m˚ aste energin vara tillbaks i sitt ursprungliga l¨ age. Allts˚ a kan energin skrivas som n˚ agon periodisk funktion. Vi v¨ aljer t.ex. en sin-funktion, och genom att st¨ alla villkoret att σ(x) = Gx/d f¨ or sm˚ a x f˚ as

σ = Ga

2πd sin  2πx a



(genom att g¨ ora approximationen sin x ≈ x ser man att detta faktiskt reduceras till Gx/d f¨ or sm˚ a x). Maximi-skjuvnings-trycket σ

_c

som kr¨ avs f¨ or att f¨ orflytta atomer ¨ ar nu

σ

_c

= Ga 2πd

som ifall a ≈ d ¨ ar helt enkelt ∼ G/6. Denna styrka av kristallen att motst˚ a s¨ onderbrytning kallas dess teoretiska styrka. En noggrannare analys ger en lite noggrannare uppskattning p˚ a G/30.

N¨ ar man i b¨ orjan av f¨ orra seklet l¨ arde k¨ anna kristall-strukturer, gjordes en liknande uppskattning som ovan snabbt. N¨ ar man sedan m¨ atte kristallers styrka, fick man svar av samma storleksordning, och var n¨ ojd och glad. F¨ or en stund.

N¨ ar man sedan n¨ amligen b¨ orjade tillverka b¨ attre och b¨ attre makroskopiska enhetskristaller, f¨ oll

v¨ ardena stadigt, och blev till slut 1-3 stoleksordningar mindre ¨ an de teoretiska v¨ ardena! Detta ¨ ar

ocks˚ a ungef¨ ar niv˚ an d¨ ar de typiskt ligger ¨ annu idag. H¨ ar ¨ ar n˚ agra exempel:

Detta var f¨ or ett stort problem i materialfysiken, ¨ anda tills tre forskare ˚ ar 1934 (Orowan, Polanyi och Taylor) oberoende av varann uppfann dislokationen f¨ or att beskriva det underliga beteendet.

F¨ orklaringen till att metaller bryts s¨ onder mycket tidigare ¨ an kristallstrukturen skulle f¨ oruts¨ atta ligger

i att de alltid har n˚ agot antal dislokationer i sig. Som vi s˚ ag tidigare p˚ a kursen, kan dislokationer r¨ ora sig l¨ att i kristallen:

Detta g¨ or kristallen mycket mjuk och deformerbar, och d¨ armed ocks˚ a l¨ att att dra s¨ onder. Detta ¨ ar grundorsaken till att metaller som koppar, silver och speciellt guld ¨ ar mjuka och l¨ atta att bearbeta:

i FCC-strukturen ¨ ar det speciellt enkelt att l˚ ata atomplan glida bredvid varann, och allts˚ a finns det

utrymme f¨ or mycket dislokationsaktivitet. Det hj¨ alper inte heller n¨ odv¨ andigtvis att f¨ ors¨ oka s¨ anka

antalet dislokationer, f¨ or under deformation kan speciella k¨ allor skapa nya dislokationer kontinuerligt:

Men i kristaller av d˚ alig kvalitet (som i de fr˚ an b¨ orjan av f¨ orra seklet) finns det en massa orenheter.

Dessa har egenskapen att stoppa (“pin down”) dislokationernas r¨ orelse varmed s˚ a att de inte kan

leda till deformation, varmed kristallen igen blir h˚ ard i elastisk bem¨ arkelse. H¨ ar ¨ ar dislokationer i

MnO som har stoppats av orenheter:

Ett specialfall av kristaller som ¨ ar av s˚ a h¨ og kvalitet att man faktiskt uppm¨ att en h˚ ardhet med

brytning som ¨ ar ungef¨ ar den teoretiska styrkan ¨ ar s.k. whiskers, som ¨ ar perfekta, h˚ arliknande

kristaller som v¨ axer runt en enda skruv-dislokation. Med undantag av denna skruvdislokation, som

inte kan orsaka glidning av atomer under p˚ afrestning, ¨ ar “whiskers” i praktiken dislokationsfria, och

kan allts˚ a ha en styrka som motsvarar den teoretiska.

5.4.3. Mekanisk h˚ ardhet

H¨ ar ¨ ar det dock sk¨ al att p˚ apeka om att h˚ ardhet ¨ ar ett m˚ angtydigt begrepp. Om man f¨ ors¨ oker dra s¨ onder en kristall, som i bilden ovan, ¨ ar det det elastiska och plastiska beteendet som dominerar.

Men ett material som ¨ ar mycket stark elastiskt, kan dock samtidigt vara mycket spr¨ od (sk¨ or).

Med spr¨ odhet menas att ett material far l¨ att s¨ onder om man introducerar den minsta lilla spricka

eller utt¨ ojning n˚ agonstans, varifr˚ an den kan brytas s¨ onder genom en katastrof-liknande r¨ orelse

fram˚ at av sprickan. Motsatsen till spr¨ odhet ¨ ar duktilitet (t¨ anjbarhet), eng. “ductility”. P˚ a en

stress-strain-kurva ser skillnaden mellan spr¨ oda och t¨ anjbara material ut p˚ a f¨ oljande s¨ att:

Perfekta kristaller ¨ ar oftast mycket spr¨ oda, iom. att de inte har dislokationer eller andra orenheter som kunde stoppa en spricka fr˚ an att fortplanta sig. Detta f¨ orklarar varf¨ or t.ex. diamant och andra

¨ adelstenar (som har n¨ astan ingen dislokationsaktivitet) ¨ ar l¨ atta att spr¨ acka s¨ onder trots att de har extremt stor elastisk h˚ ardhet.

Bland metaller ¨ ar BCC- och FCC-metaller, som har ett stort antal aktiva skjuvningsystem, ¨ ar ocks˚ a oftast ganska duktila, medan HCP-metaller, som oftast har relativt f˚ a, ¨ ar ganska spr¨ oda.

Material med mycket h¨ og dislokationst¨ athet ¨ ar ocks˚ a spr¨ oda, d¨ arf¨ or att ett stort antal dislokationer kommer oundvikligen att korsa varandra och d¨ armed stoppa varandra, och kan ocks˚ a brytas s¨ onder katastrofalt. Detta ¨ ar t.ex. vad som h¨ ander n¨ ar man v¨ ander p˚ a ett gem eller en sked av och an tillr¨ ackligt l¨ ange s˚ a att det bryts: man skapar dislokationer inne i den ¨ anda tills de stoppar varandras r¨ orelse, varvid objektet brister.

F¨ or att testa praktisk (pseudo-)elastisk h˚ ardhet anv¨ ander man fr¨ amst olika indentations-test. Det

enklaste testet g˚ ar ut p˚ a att helt enkelt testa vilket material kan skrapa ett annat, och ordna de

efter detta. Modernare och lite mer exakta test ¨ ar s.k. indentations-test, d¨ ar man med v˚ ald f¨ ors¨ oker

pressa in ett prov i ett annat, och m¨ ater omr˚ adet eller djupet i vilket materialet har pressats in. Vi

g˚ ar inte in p˚ a dessa desto vidare, men f¨ or att ge en ytlig bild av hur det g¨ ors ¨ ar h¨ ar en lista av

vanliga h˚ ardhetstest:

Idealiska relativt mjuka material som g˚ ar att processera l¨ att ¨ ar d¨ arf¨ or just metaller av god renhetsgrad

som har en relativt l¨ agg dislokationst¨ athet och h¨ og dislokationsaktivitet. Materialtillverkningen g˚ ar i

mycket ut just p˚ a att spela med elastiskt h˚ arda vs. spr¨ oda material. T.ex. ¨ ar ett bra s¨ att att tillverka

en kniv att i dess mitt ha ett material med h¨ og dislokationst¨ athet och/eller mycket orenheter, som

d¨ armed ¨ ar mycket h˚ art och vasst. Men samtidigt ¨ ar det ocks˚ a spr¨ ott, s˚ a man vill omge det med

renare, mjukare material som hindrar kniven fr˚ an ett brista s¨ onder.

5.5. ¨ Oversikt ¨ over materials h˚ ardhet

Till slut f¨ or detta kapitel ges 3 grafer som sammanfattar materialklassers h˚ ardhet som funktion av 2 parametrar i taget. Grafernas k¨ alla:

[M. F. Ashby, Acta Metall. 37 (1989) 1273]

. Kolnanor¨ orens data (CNT) har satts in av Doc. Antti Kuronen (HU).

Bilderna ges fr¨ amst f¨ or allm¨ anbildning, detaljerade inneh˚ allet ¨ ar inte centralt f¨ or denna kurs.

Vad har du ˚ atminstone l¨ art dig i detta kapitel?

• Du k¨anner till begreppen stress = tryck och strain = sp¨anning, linj¨ar elasticitet, plasticitet, skjuv, hydrostatiskt tryck och isotropi.

• Du k¨anner till tensor- och ingenj¨ orsnotationen f¨ or elasticitet och hur de h¨ anger ihop

• Du kan r¨akna med ingenj¨ orsnotationen f¨ or tryck, utt¨ ojning inom linj¨ ar elasticitet. Du minns utantill elasticitetstensorn f¨ or kubiska kristaller.

• Du k¨anner till definitionerna p˚ a och kan r¨ akna med Youngs modul och Poissons kvot.

• Du vet hur man kommer ner fr˚ an 21 oberoende elastiska konstanter till 1.

• Du k¨anner till begreppen plasticitet, skjuvningplan, teoretisk styrka, whisker, spr¨ odhet och duktilitet.

• Du vet att ordet “h˚ ardhet” inte ¨ ar entydigt definierat vetenskapligt.