Calculi variationum integralium duplicium exercitationes quas venia ampl. facult. philos. Upsal. p. p. mag. Emanuel Gabriel Björling ... et Johannes Albertus Gille Holmiensis. In audit. Gustav. die VI Apr. MDCCCXLII. H. a. m. s., P. I

n

CALCUII

VARIATIONUM

INTEGRALIUM DUPLICIUM

EXERCITATIOIVES

QUAS

VENIA AMPL. FACULT. PHILOS. UPSAL.

p. p.

MAG.

BHMÜNtUb

MU1

MtoblWQ

MECHAMCES DOCENS

ET

JOHANNES ALBERTUS GILLE

HOLMIENSIS.

IN AUDIT. GUSTAV. DIE VI APR. MDCCCXLII.

II. A. M. 8.

P.

I-UPSALIiE

KONUNGENS

TRO_{TJENARE, ÖFVERJÄGMÄSTAREN}

HÖGÄDLE

HERR

JACOB

DANIEL

ARRHENIUS

SAMT

VÄLRORNA

fru

LOUISE

ARRHENIUS

FÖDD OYLLENSVÄHD

egnas dessa blad såsom elt

KYRKOHERDE 3V

HÖGAltEVÖRDIGE OCH IIÖGLÄRDE

heru MAG.

JOHAN PETER

SCHOULTZE

min forriiie Lärare

nliets- och _{tillgifvenhetsprof}

13ecem

_{jam, et quod excurrit, anni praeterlapsi sunt, postquam Cel.} Poisson in Academia Scientiarum Parisiensi memorabilcm _{per tempora} recitavit Dissertationen! de Calculo _{Yarialionum11, in qua perscriptis}

summalim at _{insigni doctrinse adparatu rebus fatisque liujus Calenli}

a

solutione inde Newtonis _{problematis illius superficiei rcsislentiic minima*}

ad sua _{usque tempora complelam, primus ille quidem, exhibuerat Va¬}

riationen! _{Integralis duplicis. Scilicet ante cum Geometrae, qui hane}

tractaverant _{materiem, in quaerenda Variatione derivatarum}

(difFerentia-rum) partialium functionis duarum variabilium x et y indepcndentium, in eo _{erraverant, quod Variationum dx et dy allerani ab}

x sola atquc altcram ab _{y sola pendere statuerant: id quod ex primis equidem} Cal-culi diflferentialis _{principiis conscqui, altamen nihilominus — obortis dubiis}

haudquaquam levissimis — solidiori quadam demonslratione habere _opus videbatur. — Nodum tarnen non _{expedivit sed abscidit Poisson.} Variabili-bus _{ipsis independentibus x et y positis functionibus aliarum variabilium}

duarum u et _{v, ad regulas tandem seu formulas diflerentialionis}

per d

derivatarum _{partialium justas, nullo}

usque de constitutione modo com-memorata _{ipsarum dr et dy}

sermonc illato, pervenit. Quo facto atque

restilutis variabilibus x et _{y loco illatarum u et v nec solila}

praeter-missa ratione _{per partes integrandi, completam quam diximus}

eonse-quitur > arjationem propositi Integralis duplicis. Deducit inde

aequa-tiones conditionum maximi minimive definiti _{Integralis duplicis, nec} so-lam _{aequationem illam indefinitam,}

a temporibus inde immorlalis Aucto¬ ris _{liujus Calculi cognitam, cui satisfaciendo invcnietur}

— licet iiondum

perfecte delinita — forma functionis quaisitae; sed ipsas _{quoque (omnium}

quidcm ille primus) aequaliones quas dicunt Limitum, quales sint dum

factor _{ipsius dxdy sub signis Integralis propositi functio fuerit}

secundi 11011

ultra ordinis derivatarum _{partialium, elicit atque ope considerationum}

mere _{Geometricarum}

explicatas reddere conatur.

Memoire sur le Calcul des Variations, lu a 1'Acadéniie le 10 Nov. 185t. (Méuioircs de 1'Acad. _ltoy. des Sciences de l'lnstit. de France. T. XII. _1855).

Veruuienimvero, qualemcumque eam dici jus fasque est, Dissertatio

isla _{priucipiis, qtiibus ab Auetore Lagrangio sufTulta fuerat metbodus}

Yariationum, quasi novum addendo illud, variabiles ipsas indcpendentes

putaudas esse functiones aliarum duaruui, rera praelerea non utique le-vissimam _{justo magis reddidit graviorem. Scilicet baud raulto}

post Cel.

Ostrogradsky _{excelleiiti de caleulo Yariationum Integralium inultiplieiura}

Dissertatione'1 controversiara _{supra comraemoratam diremit atque errore,}

quam diximus, Geometrarum praecedenlium in luccm prolato demonstrat

via, quam olim munierat Lagrangius, licere completam asscqui Varia¬

tionen! _{Integralis mulliplieis cujuscumque.}

Insignes, quos elegantissimis biscc Dissertationibus fecit Caleulus

Yariationum, progressus quis est qui ignoret? Nec ii nos surnus,

qui-bus inerita aliorum in iinibus _{cognitionum bumanarum proferendis male}

placeat interprelari. Sed tamen non possumus quin miremur, quid sit

quod illustres quos diximus ambo Geometrae, dum in bis rebus versabantur, generalium quas in lucem protulerant formularum applicatione usque eo

supersederint, ut ne problemalis quidem, _cujus ut suppositae quaestionum bujus generis simplicissimae mentio jam in Caleulo illo Functionum3J fa¬

cta _{est, problemalis inquam superficici minima: Solutionen! susceperint.}

Poisson _{equidem deinceps se scripsit lianc före adgressurum Solutionen!}

nec non alterum illud _{Problema superficiei,}

quae in omnibus (modo

ad-jicit "ab omni parte inclusis") dati voluminis maxima sit inslructa areåj

nec tamen id exsolvit _{quod proiniserat.4^}

Memoire sur le ealcul des variations des _{integrales multiples, lu a 1'Aead.} Imperiale de St. Petersbourg le 24 Jan. 1854. (Journal von Crelle, XV. B. 4:es II. Berlin _1850).

Calcul des Fonctions, Paris 1800. p. 471 seqq.

Forsitan vitio nobis esset, dam heje celebre illud _{opus viri celcberriiui}

at-tendimus, silentio _{praetermisisse quod in fine Dissertationis auetor problcmati, quod}

in _{opere illo "Methodus inveniendi lincas curvas tnaximi minimive proprietate}

guu-dentes &c," perillustris Eulekus tractaverat, problcmati inquam de curva Elastica simile _{quoddam de forma Laminae Elasticac invenienda, supposita equidem}

per ana¬

S

Verumtamen _{problema illud}

_superficiei

_minimae,

_cujus

ad hunc

us-que dieni

(ccrte

quod

nos

quidem

sciamus) solutio

inchoata relicta

est,

dignum plerisque visum

fuit

quod

in

perfectain

Solutionen»

promoveretur.

Conslat, Gel. illum Monge primum

invenissc

Integrale

(forma1 finita?)

»•quationis

liujus

superficiei

derivatarum

pariialium.

Scilicet in

opere

suo laudatissimo "Application de V

Analyse

_a

la Geometrie",

dum

super¬

ficies tractat _{quarum in puncto unoquoque}

principales

ambo

radii

cur-vcdinis _{aequales sint at}

_signi

_{contrarii,^ ad Integrale,}

strategemalibus

baud _{paucis Analyseos usus,}

_pervenit

_specie

_{quidem aliquatenus}

dissi-mile _{ei, quod alio}

_quodam

_loco

_{(referente M.}

_Lacroix6J)

transforma-tione illa variabilium adhibita faciliori admodum negotio invenit. Idein

praeterea liujus aequationis

Integrale

aliä via invenit

Cel.

Legendre.71

— Continet _{Integrale illud arbitrarias}

_{duas finictiones}

singularum

quantita-tum _{(si vis) indeterminatarum, quas}

determinatis

(dum

fieri potest)

for-mis functionum eliminari ex _systemate trium

Integralis aequationum

o-porlebit, quo optata

proveniat

relatio

variabilium

jc, y

et

z.

At

in

eo

ipso cardo rei vertitur, ut

inveniatur

modus

quidam

determinandi

fun-cliones arbitrarias. Quem quidem

nondum

fuisse inventuin,

in

caussa

ni _{quartum usque gradum} abeat aequatio ista indcfinila superficiei quaesitae auetor,

disquisitione in casum modo Laminae ad .vi/planum ferc parallel»?

reduetå,

tum vero

praetermisså <equatioois bujus superficiei integralione atque

iudicata summalim

me-tbodo arliitraria, quae in Intcgrali (dum erit olim comparatum) occurraiit,

determi¬

nandi datis curvis limitibus, calculi denique vim in tractanda positione singulari

fi-gurae Laminae superficiei revolutionis circa zaxim, datis curvis

limitibus,

scieutcr

ac

copiosissimc exbibet.

61 _{Scilicet, ut constat, aequatio superficiei minimae derivatarum partialium in} omnes _{quadrat superficies, quas in contextu} modo dixiuius: ita ut

(verbis

Cel.

Momgi: in _{opere citato p. 184) "la surface yue nous considérons jouit encore}

de

cette untre _{propriété rcmarquable, que, si Von circonscrit une}

partie

de

_son

airc

_par

un contour quelconque, continu _ou discontinu, eile est de toutes

les

surfaces

qui

passent par ce contour celle dont Vaire comprise dans le méme contour est

la plus

petite."

*1 _Traité du Calc. Diff. et du Calc. _{Integral, 2:de édit. T. II. 1814.} p. (52i.

(ut nobis videtur) ipsae sunt metbodi Integralis deducendi adhibitse. —

Quare q mun in animuui induxissemus, ut hane pro viriuin modulo

ex-pleremus Analyseos lacunam, id nobis potissimum videbatur _injunetum esse

negotium ut ab autea Iritis diverså _{aliquantiiluin atquc magis directå seu} eontinenti via _{Integrale optatum}

persequeremur. Quomodo jam et

qua-tenus ex sententia res nobis _{successerit, sequentia docebunt.} Attamen _{priusquam delectabile hoc Problema}

adgressuri essemus,

e re nobis fbre visum erat ut _universam,

qua fieri posset via brevissi-må, applicationem Caleuli Yariationum in maxima et minima _Inlegralium definitorum _{duplicium contuendam}

proponeremus, praesertim cum ea, qua; de hae re invenerat, Cel. Poisson tanto cum _{adparatu doctrinse}

ex-posuerit,8J ut non nisi majori admodum _{quam deceat labore pereipi}

possint: expositioni autem Cel. Ostrogradsky vixdum adiri liceat nisi

antea _{percepta aliquatenus doctrina illa Caleuli Yariationum}

Inlegralium

duplieium; in qua pra;terea expositione nullam prorsus intulerit auetor

mentioncm _{aequationum illarum maximi ininimive}

conditionum, sed tan-tum _{viam, qua persequenda ad formam Yariationis}

completa; Integralis multiplicis cujuscumque redactam aptamque applieationibus pervenire

tandem _{liceat, muniverit. — Nos tarnen ab hoc proposito}

eatenus decli-navisse, ut applicationem universam heic Caleuli Yariationum in ea sola

Integralia duplicia, qu-orum sub signis integrationis funetio _{primi modo} sit ordinis derivatarum _{partialium, summatim et breviter exposituri}

si-mus, id maxime metu factum est, ne prolixior _{(el lorsitan jure) vi¬}

deretur quam utilior opella.

81 _{Forsitan usui erit leetoribus Dissertationis Cel.}

Poisson futuris beic inifi-eavisse, incuriå quadam — ut videtur — Auctoris _{gravioreui in pag. JSOo seriptura:}

inc'dissc mendam. Rite enira subduetis calculis terminuin _{quendnm forma:}

iu linca V:a ab iuio deesse non licet. — Quo autein restituto formulas

sequentes

quentis, quo solo in applicationc finali utiturauetor, nullam inde _{patitur mutatiouem.}

o

§•

I.

I.

Quo

_{maximum sit vel minimum integrale quoddam duplex definitum}

//•<«

?!/>z5

z'>z

j

z"? z'\

z, i

&c.)

tlxdy,

(1)

[z denotante functionem ipsarum x et y quaesilam atque z',zt z", &c. par¬

tiales _{ejusdem derivatas p. r. a ar et y*>, relatioue dandas ipsarum ar,y, z}

quaesitå, cui maximum vel minimum (I) respondeatjj patet debere —

mutatis ar, y et z perfecte indefinite in ar +dar,y4-dy et z +dz, qua

qui-dem mutatione non modo relalioni _{ipsarum ar, t/ el z, sed ipsis quorue}

inlegrandi limitibus indcfinila contingit immutatio — incrementum illud

exinde _{Integrali obortum}

d^j^%dxdy

—

o esse.

De caetero _{quamquam universa de qua lieic quaeritur res ad puram}

proprie pertineat Analysin, tarnen expedit eam inde ab initio eum

do-ctrina illa _{superficierum conjungere. Quum enim tota res, nisi ad usum} Geometria? vel Mechanicae _{collata, baud multum nobis videatur aflerre ve!} utilitatis vel _{voluptatis, tum certe melhodus hujus generis quaestiones}

solvendi, ad quantitates abstractas initio relata, valde est molesta atque

abstrusa. E contrario aulem _{melkodum, semel ope considerationum}

Geometricarum _{explieatam, facili deinde negotio — si forte cuidam}

lu-beat — transferri licebit ad solvendas hujus generis quaestiones

quas-cumque purae Analyseos.

Nobis _{igitur in sequentibus ar, y, z coordinatas orthogonales puncti}

superficiei denotabunt, superficiei nimirum quaesitae cui maximum sit

mi-nimumve _{propositum quoddam Integrale duplex formae praecedcntis; at¬}

que ar +dar, y+dy, z+dz puncti liuic indefinite proximi superficiei alius

*) Scilicet A denotante functionem in genere variabilium independentiuiu a: el

y aliarumque (dum accidit) quantilatum ab iis pendentium, in sequentibus

denonii-nationes _{AAt, A", &c., signilicaturi coraplctas ejusdem derivalas p. r. a x et y,}

adbibebimus; verum — , —9 —_ , &c. derivatas hujus A p. r. a .x et y, ceteris

dx _{dy dxdy}

6

cujuseumquc. Denotant

igitur

dar, dy et dz

functioncs

ipsarum x et y

per-fectc indefinitas. — I)e caetero _quamquam ratione in prooemio

cxlii-l>itä de iis modo lieic _{Inlegralibus, quorum 5 functio est primi non ul¬} tra ordinis derivatarmn _{partialium, accuratius qnodammodo nobis sil}

disputandum; tarnen quum cerlum

quemdam exprimenda; inodum

Varia-tionis omnium forma; _{(i) Integralium una fcrc eådemque via liceat}

in-veniri, istam polius heic primo exponainus formulam generalcm, certe —

quoniam in

applicalionibus

liujus

doclrinae ad

problcmata

Geometri-ca 5 functio non fere est derivatarum 2:a superiorum, quippe _qua; ab

inclinationibus _{planorum tangentium}

_{radiisque curvedinis}

_{pendeat —}

ta-lein _{qua modum illum}

_{exprimenda; Variationis,}

_dum

_{$ secundi}

_{sil or¬}

dinis _{functio, uno adspeclu contueri liceat.}

2. Est _{quidem, ut constat,}

_Yariatio

_integralis

_=.

_integrali

Variatio-nuni elcmentorum, i. e.

äff*%dxdy

j

d(^dxdy)

— Sil _jam dd —Ldx4-Mdy4-Ndz+Pdz 4-Iidz'4-&c. 4-Qdz _4-2Sdz' 4-Tdz eril

d5=Ldx4-_Mdy4-Ndz_{4- &c. mutala d} in _d;

cui tarnen _{aptiorem dari licet formam}

_appcllando

_{(uli solet)}

dz—z'dx—zdy_{=w •}

ctenim inde _{consequitur*') esse}

*) Quum eniin dicuntur x et y indefinite variafri, lieitmn nun est statuend*

negare (uti autea erat usu reeeptum) Variationen! tfx ah y nee Jy ah x peudere.

Tali _{equidem ratione definita quodamuiodo esset lex variandi.}

**) Vid. dissert. Gel. Ostrogradsky superius commcmoratain, p. 557, 55&. —

Deducit ille has _{leges ex solis prineipiis #dz=dfz atque d'}

-d.V

7 atque ideo Tum vero åz =zåx+_z'åy+tö', dz,=z'öx+zåxj+«, åz —z"åx+z"dy+ <o &c. (m) (wt-j-i) » (»') „ ("») m _{genere ds =z} d.r_+z xty_{+w. ;} (n) («) (it-fi) J (») = åx₊r5,.<hj

+Nco+Peo+

Reo"

+ &c.

+_Qeot+2Stö',

+r«

d(dxdy) djx ddy

dxdy dx dy 7

*) Quam buic rei atlulit Cel. Ostrogradsky demonstratio,

xariabilibus

quot-cumque, suam fere debet explicationem considerationi duarum

variabilium

indepen-dentium, _quippe quarum Variationes coustructionc illa in spatio perfecte

oculis

sub-jici liceat. In bunc fere moduni eam licet exhiberi.

Est _{quidem, ut sanc patet,}

d(dxdy) = d(x-(- dx). d(y-f- dy) —dxdy, breviter =dXdY—

dxdy,

teruii-nis formae _dtfx.djy negligendis.

At _{dxdy projectionem denotat elemcnli superficiei, cui maximum sit}

vel mini¬

mum _{integrale propositum;} dXd Y _autem superficiei indefinite proximae.

Itaque

dX

incrementum denotat, _quod ipsiX tribuitur, servata Timmutalå, dY viceversåj seu

dX= +

e.=/,+

dx

d±)

dx + dy,i. dx 1 _{dy J> \} 1 _{dx/ 1 dy} *

adjunctå conditione dY—o seu

dY

i i dY / • J \ / i ddA i

" =

T*

dx

+

d'J'

'■'■=Tx

ix

+

V

+

T,),hji

ideoque, elimiuatå dy,

ddxv , . ddy > ddx ddy dX— I döx\/ I d,''J\ döxdöU ~dx)

(l~*~

T,' dT/ Tdy d.\ dx. Tum

'+7

dy

dY=> dx (i-\

p)

dy,

adjunctå conditione

rfX

=o,

i.

e.

secund.

praeced. dx=o,

ideoque, quoniam

<5'-dy+3. =(

5dy

)/7 rrit

6

J(

%dxdy

=

J'tidxdij

₊

/"^

/kvdy

_[iVw

+

/V

+ Ä« + &c.

+ ■+■ 2Sco'

... _, + Tw

Cujus in uilcgrando _{(ut solet)} p. part. terminos quiim

ff'2

Soo'

dxdy

sit

alterå via =

2iJdyS»,—

2

j"IxS'co

+

J%j„dxdy

_.25;,

altera autem = 2

/dxSu

—

2

fdySu

+

f

fndxdy.

_2St',

svinmetria* _{gratia demisumroam harum}

sumamus; unde solitå via

prove-iiiI forniula haecce:

!h h *,) _dxdy =

f,h,

f

%ix+ »

fP—R+

&c-1

+

a'(n

-

&<=•)

+

&c.|

Jv|_

l _s_

_/+»,(S

_—&C.)

_j

fdx{<5åy

+»{ö~y+

&C'}

+

M

_&«-)+&c-j

T"

■f*

+

+

f

f00dxdy

[iV—F

+

Il"—

&c.'

—Q,+2S;

_[

₍₂₎

+T

IV / I HfTu»

äY=(,+ _

\ dxJ ^ * _{dy) ~~dy}

dx\ -J —

dxdy,

Ifiruunis fori

Héx.d&y uegligcndis,

rfAf _rftfy

X- e- =