HF1703, Inledande matematik (Byggproduktion) Armin Halilovic
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
Två ekvationer med två obekanta variabler x och y.
= +
= +
) 2 (
) 1 ( f ey dx
c by ax
SUBSTITUTIONSMETODEN
Vi löser ut en av de obekanta ur den ena ekvationen och sätter in i den andra.
Exempel 1. Lös följande ekvationssystem exakt
= +
=
−
) 2 ( 7 3
) 1 ( 1 3 2
y x
y x
Lösning.
I andraekvationen är det lätt att lösa ut y:
1. Ekvation (2) ger y=7−3x.
2. I ekvation (1) ersätter (substituerar) vi därför y med (7−3x)
1 ) 3 7 ( 3
2x− − x = ⇒ 1
9 21
2x− + x= ⇒ 22
11x= Dividera båda leden med 11
=2 x
3. x=2 insättes i y=7−3x, vilket ger y=1 Kontroll:
= +
⋅
=
⋅
−
⋅
) 2 ( 7 1 2 3
) 1 ( 1 1 3 2 2
Svar: x=2, y=1
Exempel 2. Lös följande ekvationssystem med avseende på x och y
+
= +
+
= +
) 2 ( 5 3 3 2
) 1 ( 3 2 2
a y x
a y x
Lösning.
I förstaekvationen är det lätt att lösa ut x:
1. Ekvation (1) ger y a
x=2 +3−2
2. I ekvation (2) ersätter vi därför x med (2a+3−2y) 5
3 3 ) 2 3 2 (
2 a+ − y + y= a+ ⇒ 5
3 3 4 6
4a+ − y+ y= a+ ⇒
−1
−
=
−y a Multiplicera båda leden med (-1) +1
= a y
3. y= a+1 insättes i x=2a+3−2y, vilket ger x=2a+3−2a+2 d v s
=1 x
Svar: x=1, y= a+1
I ekvationen 2x− y3 =1 ersätter vi y med (7−3x)
1 av 2
HF1703, Inledande matematik (Byggproduktion) Armin Halilovic
Exempel 3. Linjerna i figuren har ekvationen y= x3 +2 och y= x−1. Bestäm exakt koordinaterna för linjernas skärningspunkt.
Lösning.
Vi ska lösa ekvationssystemet
−
= +
= 1
2 3 x y
x y
I andra ekvationen ersätter vi y med (3x+2) vilket ger 1
2
3x+ = x− ⇒ 3
2x=− ⇒ 2
−3
=
x .
Vi ersätter 2
−3
=
x i ekvationen y= x−1 och får 2
−5
= y Svar:
2
−3
= x ,
2
−5
= y
ÖVNINGAR: ( Substitutionsmetoden)
(1-4) Lös följande ekvationssystem med avseende på x och y:
1.
= +
= +
7 2 3
5 2
y x
y
x 2.
= +
= +
5 3
1 3 2
y x
y x
3.
+
= +
+
= +
3 4 3 2
1 2
a y x
a y
x 4.
−
=
−
+
= +
a b y x
b a y x
2 2 2
2
5. Bestäm exakt koordinaterna för skärningspunkten mellan de båda linjerna 2
2 +
= x
y och y= x+3 Svar:
1. x=1, y=2 2. x=2, y=−1 3. x=2a, y=1 4. x=2b, y= a 5. x=1, y=4
2 av 2
