hafhafaf  )()(lim)( hafhaf  )()(lim hafhafaf  )()(lim)(

(1)

DERIVATANS DEFINITION

Definition 1. Låt y f(x) vara en given funktion som är definierad i punkten a.

Om gränsvärdet

h a f h a f

h

) ( ) lim (

0





 existerar ( som ett reellt tal) säger vi att funktionen är deriverbar i punkten a. Gränsvärdet kallas derivatan av funktionen y f(x) i punkten a och betecknas f (a).

Alltså:

h

a f h a a f

f

h

def

( ) ( )

lim )

(

0



 



 .

Ekvivalenta definitioner :

x a

a f x a f

f

x a

def



 





) ( ) lim ( )

(

,

x

a f x a a f

f

x

def







 



 

) ( ) lim (

)

(

0

Ekvivalenta beteckningar för f ( x) :

)) ( ( )) ( ) (

) (

( f x D f x

dx d dx

x x df

f   

VÄNSTERDERIVATA OCH HÖGERDERIVATA

Definition 2 a) (Vänsterderivata) Låt y f(x) vara en given funktion som är definierad i en punkt a. Om gränsvärdet

h

a f h a f

h

) ( )

lim (

0





 

existerar kallas detta kallas detta gränsvärde för vänsterderivata av funktionen y f(x) i punkten a och betecknas

f

_

 (a )

. Alltså:

h

a f h a a f

f

h

def

( ) ( )

lim )

(

0



 



 

 .

(2)

Definition 2 b) (Högerderivata) Låt y f(x) vara en given funktion som är definierad i en punkt a. Om gränsvärdet

h

a f h a f

h

) ( ) lim (

0





 

existerar kallas detta gränsvärde för högerderivata av funktionen y f(x) i punkten x och betecknas

f

_

 (a )

. Alltså:

h

a f h a a f

f

h

def

( ) ( )

lim )

(

0



 



 

 .

Anmärkning 1: Funktionen y f(x)är deriverbar i punkten a om och endast om höger‐ och vänsterderivatan i punkten a existerar och har samma värde.

Anmärkning 2: Man använder oftast definitioner 2a och 2b för att bestämma vänster/ höger derivatan i ändpunkter samt för derivator i delintervallets ändpunkter för styckviss definierade funktioner.

Exempel 1: Låt f(x) x. Använd derivatans definition definitionen (inte formelblad) och beräkna f (3)

 

 

  h

f h f f

h

) 3 ( ) 3 lim ( ) 3

( 0

( 3 3 )

3 ) 3 lim ( 3 3

3 3

3 lim 3

0

 



 









h h

h

3 2

1 3 3

1 )

3 3

( lim 1 ) 3 3

lim (

0



 



 



 



h h h

h

Svar: f (3) =

3 2

1

Exempel 2: Visa att funktionen

f ( x ) 

³

x

² INTE är deriverbar i punkten x=0 .

Vi beräknar

(3)



f

h

0 lim (

0

Gränsvä

Grafen t

( f y 

=======

För att h beräkna

f  ( x )

Uppgift

 ^x

Lösning.

  ^x

³

^

^d

^

0

lim 3 x



h



Uppgift

a)



 h

f h) (0) 0

rdet är inte e

ill

3 2

) x

x 

===========

härleda anvä r f ( x) med

x f

h

def

(

lim

0





1. Använd d



²

3

3x

x  

.

h x

h def

0

lim ( 





2

3 h xh h

x  

2. Använd d

  ^x

2  

) 

 3

0

0 lim (

h

ett reellt tal

===========

ndbara deriv d hjälp av de

h f h x  ) 

definitionen

h x h

h 3 3

)   li

0 3

( h lim



h





definitionen

x 2

1 

 )

² ³

0 h h

medför att f

===========

veringsforml efinitionen

x) (

.

(inte formelb

x x

³ ²

0

im  3



2

3 3 x  xh 

(inte formelb

b)

 ^3x



 3 2

lim

0

0 h h

h

funktionen sa

=======

er betraktar

blad) och be

h h xh h  3

²



2 2

) 3 x h 



blad) och be

 2 1  

 x



0 1/3

lim 1 h

h

aknar deriva

r vi en godty

visa följande

x h

h 3 3

 li





V. S. B

visa följande

1 3

3  x





( ej r

tan i punkte

yckligt men

e formel

h x h x

²

0

3 m 3 



e resultat:

reellt tal)

en x=0.

fixt punkt x

h h xh

²



³

och

(4)

Lösning .

a)

 

) (

lim lim

lim

0 0

0

h x h x

x h x x

h x

x h x h

x h x x

h h

h def





 





 



 





x x

h x x

h x h

h

2 1 1

) (

lim 1 ) (

lim

0



 



 



 



b)

 

1 3 1 3 3

1 3 1 3 3 1 3 1 3 lim 3

1 3 1 ) ( lim 3 1

3

0



 







 







 

 



x h

x

x h

x

h

x h

x x

h

h def

) 1 3 1 3 3 ( lim 3 ) 1 3 1 3 3 (

) 1 3 ( ) 1 3 3 lim (

0

    







 



h x h x

h x

h x h

x h

x

h

1 3 2

3 )

1 3 1 3 (

3 )

1 3 1 3 3 ( lim 3

0

 



 



 



x h x x x x

h

Uppgift 3. Använd standardgränsvärdet

1 1 lim

0

 



t

e

^t

t , och derivatans definition för att bevisa formeln

 

^e^x ^ ^^e^x^.

Lösning .

 

^x ^h ^x ^x

h x h x h def

x

e e

h e e h

e

e   e      







( 1 ) 1

lim lim

0

( V S B)

Uppgift 4. Använd standardgränsvärdet sin 1 lim0 

 t

t

t ,

den trigonometriska formeln

cos 2 sin 2

2 sin

sin u v u v

v

u  





och derivatans definition för att bevisa formeln



sinx



 cosx . Lösning .

(5)

 

si lim sin

0

x

h





(Anmärk

Uppgift formeln

Lösning

 ^ln ^x

{ substit

lim

h





VÄNST

Uppgift Använd i) vänste ii) höge till funkt

|

) (x f

iii) Är fun



co lim 2 in 2

lim sin

0 0

h h

h h def



 



kning: Vi har

5. Använd s

 

x x ln  

.



h

def 0

 lim





tution : t 

 ¹

ln m

0





TERDERIVA

6.

derivatans d erderivatan

r derivatan tionen





 

| x

o x x

nktionen der

1 2 ) s(

sin ) (

x h h h x









r betecknat

standardgrän

x 1.

h h

x )

ln( 

x

h , dvs

t



t

¹^/^tx



ATA OCH

definition för



 0 0 x om

x om

riverbar i pu

co cos 1

s 2 n lim

0

x x

h









t= h/2 och a

nsvärdet

lim

t0

h

x l ln 



h tx 

där

t

ln{ 

lim

0

HÖGERD

att beräkna

unkten x=0?

. ( os

cos 2 sin 2

S V x

h x h

nvänt st. grä

   t

¹^/^t



0

1 m

h

x

0

ln lim   



 0

t

om

   ¹ ^ ^t

¹^/

ERIVATA

a i punkten x

.) . 2

B S

 h

änsvärdet:

l

h

e

, och der

h

x h

¹^/

 

 

 0 h

}



^x

t ¹^/

} 

x=0



 2 sin 2 lim

0

h h

h

ivatans defin

h 0

ln 1 lim   



e

^x

ln

¹^/

sin 1 lim0 

 t

t

nition för att

h

x h

¹^/

 



x

 1

1)

t bevisa

(6)

i) Först kollar vi om gräsvärdet

h a f h a f

h

) ( ) lim (

0





 

existerar i punkten a=0:

h f h f

h

) 0 ( ) 0 lim (

0





  =

h h

h

0 | lim |

0



 

( eftersom h 0^ har vi h<0 och |h| = –h )

1 lim

0



 

 

h h

h

Alltså vänsterderivatan till |x| existerar i punkten x=0 och har värdet

f

_

 ( 0 )   1

ii)

h

f h f

h

) 0 ( ) 0 lim (

0





  =

h h

h

0 | lim |

0



  ( eftersom h 0^ tar vi h > 0 och därmed |h| = h)

1 lim

0_





h h

h

Därmed existerar också högerderivatan till |x| i punkten x=0 men har inte samma värde, utan

1 ) 0 (  





f

iii) Funktionen y=|x| är inte deriverbar i punkten x=0 eftersom högerderivatan och vänsterderivatan har inte samma värde i denna punkt.

( Vi kan se på ovanstående graf att vänster och högerderivatan är inte lika i punkten x=0 ) Anmärkning; funktionen är deriverbar i alla punkter x≠ 0.

Uppgift 7.

Låt









 

2 2

) 2 (

2

x om x

x om x x

f

a) Är funktionen kontinuerlig i punkten x=2?

(7)

b) Är fun Lösning a)

( lim

2^



f

x

lim

2^



f

x

) 2 ( f

Funktion ( lim

2

x f

x ^

b) Vänsterd

 

f

h

lim (

0

Högerde

lim (

0^



f

h

Funktion samma v ( Vi kan s Anmärk

Uppgift Låt

 ) (x f

a) Är fun b) Är fun Svar

nktionen der .

lim ) (

2



_



x x

x

lim ) (

2



_

x



f

x

2 2 )   

nen är kontin )

x = lim (

2

f

x ^

derivatan:



 h

f h) 2 (

erivatan:

) 2 (  

h f h

nen är inte d värde i denn se på ovanst ning: Funkt 8.





 4 4

2

om x

nktionen kon nktionen der

riverbar i pun

4 2

²

2

  x

2 ) 2 ( x  

4

nuerlig i pun )

(x = f(2)

f ( 2 ) 

lim

0 h

) lim 2 (

0



_



f

h

eriverbar i p na punkt.

tående graf a tionen är der



 2 2 x m

x

ntinuerlig i pu riverbar i pun

nkten x=2?

4 4 2 2  

kten x= 2 eft (= 4).

) 2 m (

2 0





h

) 2 ((  

h h

punkten x=2

att vänster o riverbar i alla

unkten x=2?

nkten x=2?

tersom

4 lim



0



 

h

4 li ) 2  

 h

eftersom h

och högerder a punkter x≠

4 

²

 h

h h

1 im

0







h h

högerderivata

rivatan inte ä 2.

4 ( lim

0_





h

an och vänst

är lika i punkt

4 )  h

terderivatan

ten x=2 )

inte har

(8)

a) ja

Uppgift Låt

 ) (x f

a) Bestä b) Är, (fö

a) lim

0

f

x ^

Därför l

x

Svar a) O

b) nej (

Vi har sä deriverb I nedans måste de Uppgift Om en f samma p Bevis.

Låt y

b) ja (

f

_

 (

9.











2 2 x x

a x

m a om möj ör detta a) fu

) (x

f = a,

) ( lim

0 f x

x ^ =l

x

Om a=1 blir

( vänsterder

ätt i uppgifte bar i samma p

stående uppg en vara kont 10. Bevisa f funktion y  punkt.

) ( x

f vara e

4 ) 2

( 

,

f

_



 1

0 x om

x om

ligt så att fu unktionen de

lim ( )

0

x f

x ^

) ( lim

0_ f x

 = f

funktionen

ivatan= 1, hö

r 6 7, och 9 punkt.

gift visar vi a tinuerlig i a.

öljande påst ) ( x

 f är d

en funktion s

4 ) 2 ( 





och

 0

nktionen bl eriverbar i pu

) = 1 ,

1 ) 0 ( 

f , o

kontinuerlig

ögerderivata

att en funkt

att omvänt im

tående:

eriverbar i p

som är derive

h därmed f

ir kontinuerl unkten x=0?

f(0)1.

om a = 1.

g i punkten x=

an= –2)

tion, som är

mplikation g

punkten

x 

erbar (har de

4 ) 2 ( 

f )

lig i punkten

=0

kontinuerlig

äller d v s om

a

så måste

erivatan) i p x=0.

g i en punkt a

m en funktio

e funktionen

unkten a och

a, behöver in

n är deriverb

vara kontinu

h låt f (' a nte vara

bar i a så

uerlig i

A a) .

(9)

Enligt definitionen av derivatan är funktionen definierad i a och dessutom gäller