4 lim 12

TENTAMEN HF1006 och HF1008

Datum TEN2 12 jan 2015 Tid 13.15-17.15

Analys och linjär algebra, HF1008 (Medicinsk teknik), lärare: Jonas Stenholm Analys och linjär algebra, HF1008 (Elektroteknik), lärare: Marina Arakelyan Linjär algebra och analys , HF1006 (Datateknik), lärare: Armin Halilovic

Examinator: Armin Halilovic

Betygsgränser: För godkänt krävs 10 av max 24 poäng.

För betyg A, B, C, D, E, Fx krävs 22, 19, 16, 13, 10 respektive 9 poäng.

Hjälpmedel på tentamen TEN2: Utdelad formelblad. Miniräknare ej tillåten.

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) .

--- Skriv endast på en sida av papperet.

Skriv namn och personnummer på varje blad.

Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget.

---

Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med lösningarna.

--- Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter.

Uppgift 1. (4 p) (Student som är godkänd på KS2 hoppar över uppgift 1.) a) Låt f(x)= x² +4x+5 och g(x)= x+2, x∈R. Bestäm f(g(x)). b) Bestäm derivatan y′( x) där y( x) är implicitdefinierad genom x²y+ xy⁴ =−6

c) Beräkna

4 lim 12

2

4

−

−

−

→ x

x x

x

d) Beräkna

1 ) 2 3 lim ln(

₂

1

−

−

→ x

x

x

Uppgift 2. (4 p) Låt

2 9

) 1 (

3

⋅ +

=

x

x x

f _.

a) (2 p) Bestäm funktionens stationära punkter och deras typ (maximum, minimum eller terraspunkt).

b) (1p) Bestäm eventuella asymptoter till f( x). c) (1p) Skissa funktionens grafen.

Uppgift 3. (4 p) Beräkna följande integraler

a)

∫

²x^{⋅ 5}x²⁺⁷dx ( Tips: Använd substitutionen 5x² + 7=t)

b) dx

x x

∫

³x²⁺⁶₋₃⁻⁴⁹ ( Tips: Polynomdivision )

Var god vänd!

Uppgift 4. (2 p) Bestäm arean av det område som definieras av

x x

y cos

0≤ ≤ ² ,

0_{≤ x ≤}π2 .

( Med andra ord ligger området mellan kurvan y=x²cosx, x-axeln och linjerna x=0och 2

=π

x .) ( Tips: Partialintegration används två gånger )

Uppgift 5. (2 p) Ett objekt rör sig längs y-axeln med accelerationen a(t)=4cos(10t) ( i lämpliga enheter t ex m/s²). Partikelns position vid tidpunkten t betecknar vi med y(t) och partikelns hastighet med v(t).

Bestäm partikelns position y(t) och hastigheten v(t) om y(0) =2 och v(0)=3. Tips: v′(t)=a(t) ^, y′(t)=v(t)

Uppgift 6. (2 p) Bestäm den lösning till följande (separabla) differentialekvation

y y x

cos +2

′= som uppfyller ) 6 1 ( ₌π

y .

Uppgift 7. (3p) Lös följande differentialekvationer a) (1p) y′′+4y′+3y=0

b) (2p) y′′+2y′+2y= x+1

Uppgift 8. (3 p) Bestäm strömmen i(t) i nedanstående RC krets

där R= 1 ohm , C=

100

1 farad, u

(

t

) = 250 sin( 400

t

)

volt och i(0)=0 ampere.

Tips: Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R⋅i(t) . Spänningsfallet över en kondensator med kapasitansen C är lika med q(t)/C, där

) (t

q är laddningen ( i coulomb) och q′(t)=i(t).

Lycka till!

FACIT

Uppgift 1. (4 p) (Student som är godkänd på KS2 hoppar över uppgift 1.) a) Låt f(x)= x² +4x+5 och g(x)=x+2, x∈R. Bestäm f(g(x)). b) Bestäm derivatan y′( x) där y( x) är implicitdefinierad genom x²y+ xy⁴ =−6

c) Beräkna

4 lim 12

2

4

−

−

−

→ x

x x

x

d) Beräkna

1 ) 2 3 lim ln(

₂

1

−

−

→ x

x

x

Lösning:

a) f(g(x))=(x+2)² +4(x+2)+5=x²+4x+4+4x+8+5=x²+8x+17 b) Beräknas med hjälp av implicit derivering

) 5 ( )

( ² + ⁴ = −

dx xy d

y dx x

d

0 ) ( )

( ) ( )

( ² ⋅ + ²⋅ + ⋅ ⁴ + ⋅ y⁴ =

dx x d y dx x y d dx x d y dx x

d

0 4

2 + ² ⋅ + ⁴ + ⋅ ³ =

dx y dy x dx y

x dy xy

3 2

4

4 2

xy x

y xy dx

dy

+

− +

=

c) lim( 3) 7

4 ) 3 )(

4 lim( 4

lim 12

4 3

2

4 = + =

− +

= −

−

−

−

→

→

→ x

x x x

x x x

x x

x

Alternativ lösning ( L' Hospitals regel):

1 7 1 lim 2

0 0 4 typ

lim 12

4 2 '

4

⎥⎦ ⎤ = − =

⎢⎣ ⎡

− =

−

−

→

→

x x

x x

x H L x

d)

1

) 2 3 lim ln(

₂

1

−

−

→ x

x

x =

H L'

0 0 typ ⎥⎦⎤ =

⎢⎣⎡

2 3 2

2 3

3 lim

1

− =

→ x

x

x

Svar: a) f(g(x))=x²+8x+17 b) _{2 3}

4

4 ) 2

( x xy

y x xy

y +

− +

′ = c) 7 d) 2 3

Rättningsmall: 1p för korrektmetod och svar för varje del a, b, c ,d.

Uppgift 2. (4 p) Låt

2 9

) 1 (

3

⋅ +

=

x

x x

f _.

a) (2 p) Bestäm funktionens stationära punkter och deras typ (maximum, minimum eller terraspunkt).

b) (1p) Bestäm eventuella asymptoter till f( x). c) (1p) Skissa funktionens grafen.

Lösning:

a) Definitionsmängd: x≠−2

Stationära punkter. ₂

2 2

3 2

) 2 (

) 3 ( 9 2 )

2 (

) 2 ( 3 9 ) 1

( +

⋅ + + =

−

⋅ +

′ =

x x x x

x x

x x f

0 ) 3 ( 2 0 )

( = ⇒

²

+ =

′

x x x

f

3

0 = −

=

och x

x .

Förstaderivatans teckenstudie:

x − 3 −² 0

x2 + + + + + 0 +

) 3

(x+ − 0 + + + + +

)2

2

(x+ + + + 0 + + +

) ( x

f′ − 0 + ej def + 0 +

) ( x

f ↘ min ↗ ej def ↗ terrasspunkt ↗

I punkten x

= − 3

har funktionen (lokalt) minimum f(−3)=3. Punkten x

= 0

är en terrasspunkt där f(0)=0.

b) Asymptoter till

2 9

) 1 (

3

⋅ +

=

x

x x

f _:

I punkten x=−2 är nämnaren = 0 och täljaren

≠

0. Därför f(x)→±∞ då x→−2 och därmed är x=−2 en vertikal asymptot.

Horisontella asymptoter saknas eftersom

= ∞

⋅ +

=

_→∞

∞

→

9 2

lim 1 ) ( lim

3

x x x

f x

x

Sneda asymptoter saknas eftersom

= ∞

⋅ +

=

_→∞

∞

→

9 2

lim 1 ) lim (

2

x x x

x f

x x

c) Grafen

Svar: a) x

= − 3

är en minimipunkt. x

= 0

är en terrasspunkt.

b) x=−2 en vertikal asymptot.

c) se ovanstående graf

Rättningsmall: a) 1p för för två stationära punkter eller 1 stationär punkt och korrekt typ.

b) 1p för korrekt vertikal asymptot

c) 1p för korrekt graf ( med alla element från a och b)

Uppgift 3. (4 p) Beräkna följande integraler

a)

∫

²x^{⋅ 5}x²⁺⁷dx ( Tips: Använd substitutionen 5x² + 7=t)

b) dx

x x

∫

³x²⁺⁶₋₃⁻⁴⁹ ( Tips: Polynomdivision )

Lösning:

dx x

x⋅ + ⋅

∫

^{2 5 2 7}

= dt

t x

x 10

2 ⋅ ⋅ 1

∫

Variabelsubstitution:

t x + 7=

5 ² ,

dt xdx 1

10 =

xdt dx 10

= 1

= t C dt

t = +

∫

₅¹_3/2

5

1 _1/2 ^3/2

C

x + +

= (5 ² 7)³ 15

2 = ⋅(5x +7)⋅ 5x +7+C 15

2 _{2 2}

b) dx

x x

∫

³x²⁺⁶₋₃⁻⁴⁹

Täljaren har högre grad än nämnaren. Gör därför en polynomdivision och integrera därefter:

Polynomdivision ger att

3 15 4

3 3 49 6 3 ²

− − +

− =

− +

x x x

x x

Integrera:

x x x C

x dx x

x dx x

x ⎟⋅ = + − ⋅ − +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

− − +

=

− ⋅

−

+

∫

∫

^{3 2 6} ₃ ^{49 3 15 4}₃ ³₂^{2 15 4 ln 3}

Svar: a) (5x +7) 5x +7+C 15

2 _{2 2}

b) x x x C +

−

−

+15 4ln 3 2

3 ²

Rättningsmall: a) En poäng om man eliminerar x och kommer till ₅¹

∫

t^1/2dt^. b) 1p för korrekt polynomdivision .

Uppgift 4. (2 p) Bestäm arean av det område som definieras av

x x

y cos

0≤ ≤ ² ,

0_{≤ x ≤}π2 .

( Med andra ord ligger området mellan kurvan y=x²cosx, x-axeln och linjerna x=0och 2

=π

x .) ( Tips: Partialintegration används två gånger ) Lösning:

Arean ⁼

∫

²

0 2cos

π

xdx x

A

Först beräknar vi den obestämda integralen

∫

^{x cos2 xdx} genom att (2 gånger) använda partiell integration

∫

^{f ⋅g ⋅′dx= f ⋅g−}

∫

^{f ⋅′g⋅dx}

∫

^{x cos2 xdx=}

∫

^{⋅′ ⋅}

−

⋅

= f g f g dx

∫

⁼

−

⋅

=x² sinx 2xsinxdx

(

⁻

∫

^′

)

−

⋅

=x² sinx uv uvdx

(

^{⋅ − − ⋅ − ⋅}

)

⁼

−

⋅ ^{x x x}

∫

^{x dx}

x² sin 2 ( cos ) 2 ( cos )

=

−

+ ^{x x}

∫

^xdx

x

x²sin 2 cos 2cos C x x

x x

x + − +

= ²sin 2 cos 2sin

Arean ²

[

²

]

^0/2

0

2cos sin 2 cos 2sin ^π

π

x x

x x x xdx x

A=

∫

= + −

[

^{0 sin0 2 0 cos0 2 sin0}

]

sin 2 2 2

2 cos 2 2

4 sin

2 2

⋅

−

⋅

⋅ +

⋅

⎥−

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⋅ + ⋅ − ⋅

= π π π π π

4 2

2 −

=π

Svar: Arean 2 4

2

−

=π

Rättningsmall: Korrekt en partiell integration ger 1p. Allt korrekt= 2p

Uppgift 5. (2 p) Ett objekt rör sig längs y-axeln med accelerationen a(t)=4cos(10t) ( i lämpliga enheter t ex m/s²). Partikelns position vid tidpunkten t betecknar vi med y(t) och

Partiell Integration (1) : x2

f = ^, g′=cosx x

f′=2 , g=sinx

Partiell Integration (2) för

∫

^{2x sinxdx}

x

u=2 ^, v′=sinx

=2

′

u v=−cosx

partikelns hastighet med v(t).

Bestäm partikelns position y(t) och v(t) om y(0) =2 och v(0)=3. Tips: v′(t)=a(t) ^, y′(t)=v(t)

Lösning:

Från v′(t)=a(t) dvs v′(t)=4cos(10t)har vi

1

1 sin(10 )

5 ) 2

10 10sin(

) 4 10 cos(

4 )

(t t dt t C t C

v =

∫

= + = + ^.

För att bestämma C₁ använder vi villkoret v(0)=3 dvs 3

3 5 0

2

1

1 = ⇒ =

+

⋅ C C och därmed

3 ) 10 5sin(

) 2

(t = t +

v .

från y′(t)=v(t) , dvs sin(10 ) 3 5

) 2

( = +

′ t t

y har vi

2

2 cos(10 ) 3

25 3 1

) 10 50cos(

) 2 3 ) 10 5sin(

(2 )

(t t dt t t C t t C

y =

∫

+ =− + + =− + +

Villkoret

25 2 51

0 3 ) 0 25cos(

2 1 ) 0

( = ⇒− + ⋅ +C₂ = ⇒C₂ =

y och slutligen

25 3 51 ) 10 25cos(

) 1

(t =− t + t+ y

Svar:

25 3 51 ) 10 25cos(

) 1

(t =− t + t+ y

Rättningsmall: 1p för korrekt v(t)

Uppgift 6. (2 p) Bestäm den lösning till följande (separabla) differentialekvation

y y x

cos +2

=

′ som uppfyller ) 6 1 ( ₌π

y .

Lösning:

∫

∫

^{= +}

+ ⇒

⇒ =

= + ydy x dx ydy x dx

y x dx

dy cos ( 2) cos ( 2)

cos 2

C x x

y= + +

⇒ 2

sin 2

2

(den allmänna lösningen)

Från ) 6 1 ( ₌π

y har vi

2 2 2

1 2 1 1

2 2 1 sin6

2

−

⇒ = + +

⇒ = +

⋅ +

⇒ π = C C C och därmed

2 2 2

sin

2

− +

⇒ = x x

y

Svar: 2 2

sin 2

2

− +

= x x

y [eller 2 2)

arcsin( 2

2

− +

= x x

y ]

Rättningsmall: Korrekt allmän lösning x x C y= +2 + sin 2

2

ger 1p. Allt korrekt= 2p

Uppgift 7. (3p) Lös följande differentialekvationer a) (1p) y′′+4y′+3y=0

b) (2p) y′′+2y′+2y= x+1

Lösning:

a) Den karakteristiska ekvationen 0

3

2 + r4 + =

r ⇒ r₁ =−3 , r₂ =−1⇒ y=Ce^−x +C2e^−x

3 1

b) Den homogena ekvationen y′′+2y′+2y=0 har följande karakteristiska ekvation:

0 2

2 + r2 + =

r ⇒ r1,2 = 1− ±i

Därmed är y_H =C₁e^−xsinx+C₂e^−xcosx den allmänna lösningen till homogena delen.

En partikulär lösning får vi genom ansatsen B

Ax

y_p = + ^, y′_p =A ^och yp′′ =0 som vi substituerar i ekvationen 1

2

2 ′+ = +

′′+ y y x

y och får

. 1 2

2 2 1 )

( 2 2

0+ A+ Ax+B =x+ ⇒ Ax+ A+ B=x+ Härav

ekv1: 2A=1 och ekv2: 2A+ B2 =1

som ger A=1/2 och B=0. Alltså y_p x

2

=1 och slutligen

x x e

C x e C y y

y _{H p} ^{x x}

2 cos 1

sin ₂

1 + +

= +

= ^{− −}

Svar: a) y=Ce^−x +C2e^−x

3 1

b) y C e ^x x C e ^x x x 2 cos 1

sin ₂

1 + +

= ^{− −}

Rättningsmall: a) korrekt metod och svar =1p

b) 1p för homogena delen eller korrekt partikulär lösning. 2p om allt är korrekt.

Uppgift 8. (3 p) Bestäm strömmen i(t) i nedanstående RC krets

där R= 1 ohm , C=

100

1 farad, u

(

t

) = 250 sin( 400

t

)

volt och i(0)=0 ampere.

Tips: Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R⋅i(t) . Spänningsfallet över en kondensator med kapasitansen C är lika med q(t)/C, där

) (t

q är laddningen ( i coulomb) och q′(t)=i(t). Lösning:

a) Från kretsen får vi följande diff. ekv.

) ) ( ) (

( u t

C t t q i

R⋅ + = (ekv1) eller ( efter subst. R och C)

) 400 sin(

250 ) ( 100 )

(t q t t

i + = (ekv2)

För att eliminera q(t) deriverar vi ( ekv 2) och ( eftersom q'(t)=i(t)) får:

) 400 cos(

100000 )

( 100 )

(t i t t

i′ + = (ekv 3)

Härav i_H(t)=Ce^−100t (*) {den allmänna lösningen för i(t) } Vi substituerar ansatsen

) 400 cos(

) 400 sin(

)

(t A t B t

i_p = + ⇒i′_p(t)=400Acos(400t)−400Bsin(400t)

i ekv(3) och får

) 400 cos(

100000 )

400 cos(

100 ) 400 sin(

100 ) 400 sin(

400 ) 400 cos(

400A t − B t + A t + B t = t

Vi identifierar koefficienter framför sin(400t) och cos(400t) och får två ekv:

0 400

100A− B= (ekv 4) 100000

100

400A+ B= . (ekv 5)

Från ekv 4 har vi A=4B som vi substituerar i ekv 5 och får

17

=1000

B och därefter

17

= 4000

A .

Därmed är cos(400 )

17 ) 1000 400 17 sin(

) 4000

(t t t

i_p = + en partikulär lösning

och

) 400 17 cos(

) 1000 400 17 sin(

) 4000 ( ) ( )

(t i t i t Ce ¹⁰⁰ t t

i = _H + _p = ^{− t} + +

är den allmänna lösningen till ekv 3

För att bestämma C använder vi begynnelsevillkoren i(0)=0 ,

dvs 1 0

17 0 1000 17

1+4000⋅ + ⋅ =

⋅ C

och får

17

−1000

=

C . Därmed

) 400 17 cos(

) 1000 400 17 sin(

4000 17

) 1000

(t e ¹⁰⁰ t t

i =− ^{− t}+ +

Svar cos(400 )

17 ) 1000 400 17 sin(

4000 17

) 1000

(t e ¹⁰⁰ t t

i =− ^{− t} + + ( ampere)

Rättningsmall: 1p för korrekt i_H(t) eller i_p(t). 2p för den allmänna lösningen 3p om allt är korrekt.