xxx −−+ .2143lim xx .3)1ln(lim +

Tentamen 2 i Matematik 1, HF1903, 18 oktober 2012, kl. 13.15 – 17.15

Undervisande lärare: Fredrik Bergholm, Elias Said, Jonas Stenholm Examinator: Armin Halilovic

Hjälpmedel: Endast utdelat formelblad (miniräknare är inte tillåten) För godkänt krävs 10 poäng av 24 möjliga poäng.

Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 22, 19, 16, 13 respektive 10 poäng.

För betyget Fx krävs 9 poäng. Fx är ett underkänt betyg men med möjlighet till komplettering.

Kompletteringen kan endast göras upp till betyg E.

Fullständiga lösningar skall presenteras på alla uppgifter.

--- Börja varje ny uppgift på ett nytt blad, detta gör att rättningen blir säkrare.

Skriv endast på en sida av papperet.

Skriv namn och personnummer på varje blad.

Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget.

Lämna in denna tentamenslapp tillsammans med dina lösningar!

--- Uppgift 1. (Uppgift 1 kan du som är godkänd på K2 hoppa över.)

a) Ange värdemängd och definitionsmängd för den inversa funktionen till

0 2 ) ,

cos(

) 1

( _{= ≤ x <} π

x x

f

och ange även den inversa funktionen. (2p)

b) Beräkna gränsvärdet (1p)

3 . ) 1 lim ln(

0

x

x

x

+

→

c) Beräkna gränsvärdet (1p)

Var god vänd.

. 2 1 4

3 lim

2

2

1

−

− +

→

x

x x

x

Uppgift 2.

a) Givet ellipsen på parameterform (x,y ) = (cos(t), 3sin(t)). Ange var ellipsens

tangent för t= π/3 skär linjen y=x. Dvs, ange skärningspunktens koordinater. (2p) b) Med hjälp av derivatans definition bevisa formeln (x³) 3x²

dx

d = . (2p)

Uppgift 3.

a) Bestäm derivatan till f(x)=e ^sin(x2). (2p) b) Bestäm, för a>0, värdet på a så att följande gäller

).

5 1 ln(

1

2 =

∫

Uppgift 4. Betrakta funktionen

x x x x

f 3 1

) (

2 + +

= . Bestäm funktionens eventuella asymptoter (lodräta/vågräta/sneda), samtliga extrempunkter (min/max) och rita grafen till

funktionen. (4p)

Uppgift 5.

a) Bestäm volymen av den rotationskropp som bildas då området mellan kurvan ex

x

y= ⋅ , x-axeln och linjen x = 2, roterar runt x-axeln. (2p)

b) Beräkna integralen

∫

Uppgift 6.

a) Bestäm koordinaterna, (x,y,z), för eventuella stationära punkter till .

9 )

,

(x y x³ x y² f

z= = − −

Bestäm också dessa punkters karaktär (min/max/sadelpunkt). (2p) b) Använd dubbelintegraler för att bestämma tyngpunkten för det plana området D som begränsas av kurvan y = 4x³ , x-axeln, och linjen x=1.

( Tips. Formlerna för tyngpunktens koordinater finns på formelbladet) (2p)

Lycka till!

FACIT:

Uppgift 1

a) Ange värdemängd och definitionsmängd för den inversa funktionen till

0 2 ) ,

cos(

) 1

( _{= ≤ x <} π

x x

f

och ange även den inversa funktionen. (2p)

b) Beräkna gränsvärdet (1p)

x x

x

3

) 1 lim ln(

0

+

→

c) Beräkna gränsvärdet (1p)

Lösning:

a)

Enligt antagandet är funktionen

) cos(

1

y= x definierat för

0_{≤ x<}π2. För sådana x antar nämnaren cos ( x) alla värden i intervallet (0,1] ( exakt en gång) och därför

) cos(

1

x antar värden i intervallet [1,∞) ( exakt en gång).

Med andra ord funktionens definitions mängd är ) ,2 0 [ π

=

Df och värdemängd är Vf =[1,∞) Eftersom varje värde i V_fantas exakt en gång är funktionen inverterbar. Om vi betecknar inversfunktionen f ⁻¹ har vi

2) , 0

1 _{= =}[

π

− f

f D

V

och

) , 1 [

1

= = ∞

− f

f

V

D

2 / 1

4 / lim 3

2 2 /

1

−

− +

→

x

x x

x

För att bestämma inversfunktionen löser vi ut x ur ekvationen y=´.

1)

arccos(

) 1 ) cos(

cos(

1

x y x y

y= x ⇒ = ⇒ = ^.

Alltså 1)

arccos(

)

1( y y

f ⁻ = är inversfunktionen till

) cos(

) 1

(x x

f =

0_{≤ x<}π2_.

Anmärkning: Vi använder oftast x ( eller t) som oberoende variabel och därför kan vi ange inversfunktionen som en funktion av x ( eller t) t ex 1)

arccos(

)

1( x x

f⁻ = ^.

Nedanstående grafer visar funktionerna

) cos(

) 1

(x x

f = ,

0_{≤ x<}π2 _och 1)

arccos(

)

1( x x

f⁻ = ^, 1≤ x<∞ .

Svar a:

) , 1 [

1 = = ∞

− f

f V

D , )

,2 0 [

1 ₌ π

f−

V , 1)

arccos(

)

1( x x

f⁻ =

b) Vi har ett obestämt uttryck av typen ”[0/0]” . med hjälp av l’Hospitals regel har vi:

3 1 3

1 1 lim ] ' 3 [

) 1 lim ln(

0

0

+ = = + =

→

→

H x x L

x

x x

Svar b:

3 1

c) Ett obestämt uttryck av typen ”[0/0]” ; vi använder l’Hospitals regel:

1 2 1 lim 2

2 / 1

4 / lim 3

2 / 1 2

2 /

1 = + =

−

− +

→

→

x x

x x

x x

( Alternativ lösning: Faktorisering och förkortning) Svar c: 2

Svar:

a) Df−1 =Vf =[1,∞), ) ,2 0 [

1 ₌ π

f−

V , 1)

arccos(

)

1( x x

f⁻ = b) 1/3

c) 2

Rättningsmall

1 a) 1p för inversa funktionen, 1p för intervallen.

1b) och 1c) Rätt eller fel.

Uppgift 2.

a) Givet ellipsen på parameterform (x,y ) = (cos(t), 3sin(t)). Ange var ellipsens

tangent för t= π/3 skär linjen y=x. Dvs, ange skärningspunktens koordinater. (2p) b) Med hjälp av derivatans definition bevisa formeln (x³) 3x²

dx

d = . (2p)

Lösning:

a) Metod 1. För t= π/3 får vi elipsens punkt

P=(cos(π/3), 3sin(π/3))= ) 2

3 ,3 2

(1 .

Tangentens lutningskoefficient ges av

t t dt

dx dt dy dx dt dt dy dx k dy

sin cos 3

= −

=

=

= ^.

I punkten P har vi därför 3 3 3 2 / 3

2 / 3 sin

cos

3 =− =− =−

= − t k t

Tangentens ekvation är y−y₁=k(x−x₁)

dvs ) 2 ( 1 2 3

3

3 − −

= x

y .

Skärningspunkten med linjen y=x får vi ur ekvationen

3 1

2 3 2

3 3 2

3 2

3 3 3

2) ( 1 2 3

3 3

+

= + + ⇒

=

⇒ +

−

−

= x x x x

x

Efter förenkling 3 3

1 3

3

2 = −

= + x

Eftersom y= x har vi y=3− 3 Alternativ lösning: (metod 2)

Vi deriverar och (x,y )=(cos(t), 3sin(t)) och får tangentens riktningsvektor i den punkt som svarar mot parameter t:

v= (-sin(t), 3 cos(t)). .

Om t= π/3 har vi v=(-sin(π/3), 3 cos(π/3)).

Tangentens ekvation blir då :

(x, y)= (cos(π/3) , 3sin(π/3))+ s(-sin(π/3), 3 cos(π/3)). (1) Vi bestämmer s ur ekvationen

cos(π/3) -s sin(π/3)= 3sin(π/3)+3s⋅cos(π/3) eftersom x=y.

s = (-3sin(π/3)+cos(π/3))/(sin(π/3)+3cos(π/3)).

Eftersom cos(π/3)= 0.5 och sin(π/3)= √3/2 har vi . s= −3√3+1)/ √3+3).

Insättes i (1) så erhålls koordinaterna ( efter förenkling) : 3

3−

=

x och y=3− 3

b) Låt f(x)=x³. Med hjälp av binomialsatsen eller genom att multiplicera (x+h)(x+h)(x+h) och förenkla får vi (x+h)³= x³+3x²h+3xh²+h³ och därför

2 3 2

3 2 2

3 3 3

3 3 3

3 )

( ) ( )

( x xh h

h

x h xh h x x h

x h x h

x f h x

f + − = + − = + + + − = + +

Härav

− =

= +

→ h

x f h x x f

f h

def ( ) ( )

lim ) (

' 0

2 2

2 2

0(3 3 ) 3 0 0 3

lim x xh h x x

h + + = + + =

→ vad skulle bevisas.

Rättningsmall:

2 a) 1p för rätt linje. 2p allt rätt.

2 b) Allt korrekt=2p. I grunden korrekt bevis men med mindre räknefel ger 1p .

Uppgift 3.

a) Bestäm derivatan till f(x)=e ^sin(x2). (2p) b) Bestäm, för a>0, värdet på a så att följande gäller

).

5 1 ln(

1

2 =

∫

a) Enligt kedjeregeln har vi

) sin(

2 2 2

2 )

sin( ^{2 2}

) sin(

) 2 cos(

) ) cos(

sin(

2 ) 1

( ^x e ^x

x x x x

x x

e x

f′ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

b)

) 5 1 ln(

1

2 =

∫

Integralen i VL löses via variabelsubstitution, t.ex. dt

du u udu

dt u

t 2

2 1

2 +1 ⇒ = ⇒ =

=

[

]

2 ln 1 2 1 1 2 1 1

2 1

2

2 = = = + = + −

+

∫

∫

VL=HL ger

3 :

Svar 0

3 9

10 1 10

ln ) 1 ln(

10 ln 2 ln 5 ln ) 1 ln(

5 ln 2 ln ) 1 ln(

5 2ln ) 1 5 ln(

) 5 ln(

) 2 ln ) 1 2(ln(

1

2 2

2

2 2

2 / 1 2

⇒ =

>

±

⇒ =

⇒ =

=

⇒ +

= +

= +

=

⇒ +

=

− +

= ⇒

=

=

− +

a a

a a

a a

a a

a

Rättningsmall:

3 a) - Fel tillämpning av kedjeregeln och fel derivering av sin(x²), -2p - Rätt derivering av sin(x²) och resten fel, +1p

3 b)

- Fel bestämning av en primitiv funktion -2p - Rätt primitiv funktion +1p

- Rätt beräkning av värdet på a +1p

Uppgift 4. Betrakta funktionen

x x x x

f 3 1

) (

2 + +

= . Bestäm funktionens eventuella asymptoter (lodräta/vågräta/sneda), samtliga extrempunkter (min/max) och rita grafen till

funktionen. (4p)

Lösning:

Funktionen

x x x x

f 3 1

) (

2+ +

= är ej definierad för x=0 och dessutom →±∞

±

→ ( )

lim0 f x

x .

Detta innebär att linjen x=0 är en lodrät asymptot.

Vidare gäller att →±∞

±∞

→ ( )

lim f x

x , dvs. vågräta asymptoter saknas.

Polynomdivision av

x x x

x x x

f 1

1 3 ) 3

(

2 + + = + +

= ger att y= x+3är en sned asymptot.

Extrema punkter erhålls via:

1 0

1 1 0

) 1 3 ( ) 3 2 ) ( ( 0

)

( ₂ ²

2 2

2

±

⇒ =

=

⇒ −

− = + =

+

−

= +

′

= ⇒

′ x x

x x x

x x x x x

f x

f

3

2 2

) ( '' 1

) (

' x x f x x

f = − ⁻ ⇒ =

− ⇒

=

−1) 2 (

''

f maximum i punkten x=–1.

= 2 ⇒ ) 1 (

f '' minimum i punkten x=1.

Alternativt kan man använda teckentabell:

=

x −1 0 1

+1

x – 0 + + + + +

−1

x – – – – – 0 +

)

f′(x + 0 – ej def –

= )

f(x MAX

f(–1)=1

ej def MIN

f(1)=5

Grafen till funktionen

x x x x

f 3 1

) (

2+ +

= .

Rättningsmall, uppgift 4.

- Fel asymptotberäkning -2p

- Saknas någon asymptot samt motivering -1p

- Rätt beräkning av extrema punkter och dess karaktär +2p - Grafen är helt fel ger -1p

Uppgift 5.

a) Bestäm volymen av den rotationskropp som bildas då området mellan kurvan ex

x

y= ⋅ , x-axeln och linjen x = 2, roterar runt x-axeln. (2p) b) Beräkna integralen

∫

Lösning:

a)

Med skivmetoden kan integralen tas i x-led. Övre gräns är given som x = 2.

Undre gräns fås där kurvan skär x-axeln. Detta gör den i x = 0 (enda skärningspunkt med x-axeln).

Rotationskroppens volym blir då:

=

⋅

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

∫ ∫

∫

0 2 2 2

0 2 2

0

2 dx (xe ) dx x e dx

y π ^x π ^x

π

Vi använder partiell integration två gånger

=

⋅

−

⋅

−

⋅

=

⋅

⋅

−

⋅

=

⋅

⋅

−

⋅

=

⋅

⋅

∫ ∫ ∫

∫

4 2 2

2 2 2

2

x x

x e e

e x

x ⋅ − ⋅ +

=

) 1 5 4 ( 4) 1 2 4

( ^{4 4 4 4}

2

0 2

2 ⋅ ⋅ = ⋅ − + − = ⋅ −

⋅

∫

π

Svar a: Volymen blir (5 1) 4

4 − π ⋅ e

v.e.

b)

Vi faktoriserar nämnaren: x² +4x= x⋅(x+4), vilket ger följande ansats:

⎩⎨

⎧

=

⇒ =

⎩⎨

⎧

=

=

⇒ + +

⋅ +

⋅

= + + +

+ = +

1 2 8

4 3 )

4 (

4 ) ( 4 4

8 3

2 B

A A

B A x

x

A x B A x

B x A x x

x

C x

x x dx

dx x x x

x ⋅ = + + +

+ + + =

+

∫

∫

Svar b: dx x x C

x x

x = + + +

+

∫

Rättningsmall:

5a) Korrekt beräknad primitiv funktion 1p

5b) Korrekt partialbråksuppdelning 1p

Inget avdrag för utelämnad integrationskonstant

Uppgift 6.

a) Bestäm koordinaterna, (x,y,z), för eventuella stationära punkter till .

9 )

,

(x y x³ x y² f

z= = − −

Bestäm också dessa punkters karaktär (min/max/sadelpunkt). (2p) b) Använd dubbelintegraler för att bestämma tyngpunkten för det plana området D som begränsas av kurvan y = 4x³ , x-axeln, och linjen x=1.

( Tips. Formlerna för tyngpunktens koordinater finns på formelbladet) (2p)

a)

Lösning: Partiella derivator: =3 ² −9

∂

∂ x

x

f och y

y f =−2

∂

∂

Stationär punkt om =0

∂

= ∂

∂

∂ y f x

f :

3 3

0 9

3x² − = ⇒ x² = ⇒ x=± 0

0

2 = ⇒ =

− y y

Alltså finns stationära punkter i (− 3,0) och ( 3,0). Andraderivator behövs för att bestämma karaktären:

x x f 6

2 2

∂ =

∂ , ₂ 2

2

−

∂ =

∂ y

f , 0

2 2

∂ =

∂

= ∂

∂

∂

∂

y x

f x y

f

x x

B

AC− ² =6 ⋅(−2)−0² =−12

Punkten (− 3,0): AC− B² =−12⋅(− 3)=12 3>0 0

3 6 ) 3 (

6⋅ − =− <

=

A , Maximum.

Punkten ( 3,0): AC− B² =−12 3<0 Sadelpunkt Funktionsvärden bestäms i de stationära punkterna:

3 6 0 ) 3 ( 9 ) 3

( ^{3 2}

1 = − − ⋅ − − =

z

3 6 0 3 9 ) 3

( ^{3 2}

2 = − ⋅ − =−

z

Svar a: Funktionen har ett maximum punkten P(− 3,0,), f(P)=6 3 i Punkten Q( 3,0,) är en sadelpunkt, f(Q)=−6 3

b)

Vi använder formlerna för tyngdpunktens koordinater

1

1

Arean (D)= ¹⁴

[ ]

0

3 = =

∫

5 4 0 1 4 5

4 ⁵

1 0

4 4

0 1 0

3

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

=

=

∫ ∫ ∫

∫∫

D

7 8 0 1 8 7 2

16 0

4 2

1 7 0 1 6

0

3 4 2

0 1 0

3

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

=

∫ ∫ ∫ ∫

∫∫

D

Därför

1 1

1∙4 5

4 5

och

1 1

1∙8 7

8 7

Svar b: T=( 4/5, 8/7) Rättningsmall:

6 a) Korrekta koordinater för de båda stationära punkterna 1p Alt. Korrekta koordinater och rätt karaktär för en av punkterna 1p Inget avdrag för felaktig z-koordinat

6 b) Korrekt en dubbelintegral ger 1p. Allt korrekt = 2p.