) 5 lim ln(

(1)

ASYMPTOTER

Tips : Vertikala asymptoter kan finnas bland definitionsmängdens ändpunkter och bland diskontinuitetspunkter .

( Anm: En verikal asymptot kan INTE finnas I en punkt 𝑎𝑎 där funktionen är kontinuerlig för lim𝑥𝑥→𝑎𝑎−𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑎𝑎) = lim𝑥𝑥→𝑎𝑎+𝑓𝑓(𝑥𝑥) i en sådan punkt)

Exempel A1. Bestäm eventuella lodräta asymptoter till funktionen 𝑦𝑦 =_𝑥𝑥^𝑥𝑥+3₂₋₄ Lösning. Funktionen är definierad för 𝑥𝑥 ≠ ±2.

i) Eftersom 𝑓𝑓(𝑥𝑥) → +∞ då 𝑥𝑥 → 2+ har funktionen en lodrät asymptot i x=2.

( Anmärkning: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) → −∞ då 𝑥𝑥 → 2− )

ii) i) Eftersom 𝑓𝑓(𝑥𝑥) → +∞ då 𝑥𝑥 → −2− har funktionen en lodrät asymptot i x=-2.

( Anmärkning: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) → −∞ då 𝑥𝑥 → −2+ , se grafen nedan )

Svar: Funktionens lodräta (vertikala) asymptoter är 𝑥𝑥 = 2 och 𝑥𝑥 = −2.

𝑓𝑓(𝑥𝑥) → ±∞ 𝑑𝑑å 𝑥𝑥 → 𝑎𝑎₊ 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥 → 𝑎𝑎₋

𝑥𝑥→𝑎𝑎+lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = +∞ , lim_{𝑥𝑥→𝑎𝑎+}𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −∞ , lim_{𝑥𝑥→𝑎𝑎−}𝑓𝑓(𝑥𝑥) = +∞ 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 lim_{𝑥𝑥→𝑎𝑎−}𝑓𝑓(𝑥𝑥) = − ∞ Definition 1. Den räta linjen 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 är en lodrät (vertikal) asymptot till funktionen 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) om

dvs om minst en av följande påståenden gäller

1

(2)

På samma sätt definierar vi vänster, vågrät (horisontell) asymptot då 𝑥𝑥 → −∞

1. Bestäm eventuella vågräta asymptoter till funktionen 𝑦𝑦 =^2𝑥𝑥_𝑥𝑥₂²₊₂⁺⁶. Lösning:

Metod 1. (Direkt beräkning) Vi beräknar direkt

𝑥𝑥→±∞lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim_{𝑥𝑥→±∞}2𝑥𝑥²+ 6

𝑥𝑥²+ 2 = ( 𝑓𝑓ö𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑚𝑚𝑒𝑒𝑑𝑑 𝑥𝑥²) = lim_{𝑥𝑥→±∞}2 + 6/𝑥𝑥²

1 + 2/𝑥𝑥²= 2 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟𝑎𝑎𝑟𝑟 ä𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑒𝑒 (𝑟𝑟𝑜𝑜ℎ 𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊𝒊 ± ∞)

Därför är 𝑦𝑦 = 2 en vågrät asymptot till funktionen (se grafen nedan).

Metod 2. ( Används ofta för rationella funktioner för att enklare beräkna gränsvärdena då x går mot ±∞. )

När vi söker vågräta eller sneda asymptoter kan det vara praktiskt att skriva om funktionen 𝑓𝑓(𝑥𝑥) som summan av två delar

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓₁(𝑥𝑥) + 𝑓𝑓₂(𝑥𝑥) där andra delen går mot 0 då x går mot ±∞.

( Då är lim𝑥𝑥→±∞𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim𝑥𝑥→±∞𝑓𝑓1(𝑥𝑥) + 0)

Om 𝑓𝑓1(𝑥𝑥) = 𝑏𝑏 = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟 då har (uppenbart) funktionen en vågrät asymptot 𝑦𝑦 = 𝑏𝑏.

𝑥𝑥→+∞lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑏𝑏, 𝑑𝑑ä𝑒𝑒 𝑏𝑏 ä𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑒𝑒 ( 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑏𝑏 ≠ ±∞).

Definition 2. ( Höger, vågrät asymptot) Den räta linjen 𝑦𝑦 = 𝑏𝑏 är en vågrät (horisontell) asymptot till funktionen 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) då 𝑥𝑥 → +∞ om följande gränsvärde existerar

𝑥𝑥→−∞lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑏𝑏, 𝑑𝑑ä𝑒𝑒 𝑏𝑏 ä𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑒𝑒 ( 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑏𝑏 ≠ ±∞).

Definition 2. ( Vänster, vågrät asymptot) Den räta linjen 𝑦𝑦 = 𝑏𝑏 är en vågrät (horisontell) asymptot till funktionen 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) då 𝑥𝑥 → −∞ om följande gränsvärde existerar

2

(3)

I vårt exempel kan vi utföra polynomdivision

𝑦𝑦 =2𝑥𝑥²+ 6 𝑥𝑥²+ 2 = 2 +

2 𝑥𝑥²+ 2

Eftersom _𝑥𝑥₂²₊₂ går mot 0 då x går mot ±∞ har vi omedelbart att 𝑦𝑦 = 2 är en vågrät asymptot till funktionen ( se grafen nedan).

---

Definition 3a. ( Höger, sned asymptot) Den räta linjen 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟𝑥𝑥 + 𝑟𝑟 är en sned asymptot till funktionen 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) då 𝑥𝑥 → +∞ om följande gäller

𝑥𝑥→+∞lim (𝑓𝑓(𝑥𝑥) − (𝑟𝑟𝑥𝑥 + 𝑟𝑟)) = 0

Definition 3b. ( Vänster, sned asymptot) Den räta linjen 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟𝑥𝑥 + 𝑟𝑟 är en sned asymptot till funktionen 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) då 𝑥𝑥 → −∞ om följande gäller

𝑥𝑥→−∞lim (𝑓𝑓(𝑥𝑥) − (𝑟𝑟𝑥𝑥 + 𝑟𝑟)) = 0

Följande, ekvivalenta definitioner, använder vi ofta för att bestämma k och n:

𝑥𝑥→+∞lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

𝑥𝑥 = 𝑟𝑟, 𝑑𝑑ä𝑒𝑒 𝑟𝑟 ä𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑒𝑒 ( 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑟𝑟 ≠ ±∞).

𝑥𝑥→+∞lim (𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑟𝑟𝑥𝑥) = 𝑟𝑟, 𝑑𝑑ä𝑒𝑒 𝑟𝑟ä𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑒𝑒 ( 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑟𝑟 ≠ ±∞).

Definition 3A. ( Höger, sned asymptot) Den räta linjen 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟𝑥𝑥 + 𝑟𝑟 är en sned asymptot till funktionen 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) då 𝑥𝑥 → +∞ om följande gränsvärden existerar ( och är reella tal)

𝑥𝑥→−∞lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

𝑥𝑥 = 𝑟𝑟, 𝑑𝑑ä𝑒𝑒 𝑟𝑟 ä𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑒𝑒 ( 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑟𝑟 ≠ ±∞).

𝑥𝑥→−∞lim (𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑟𝑟𝑥𝑥) = 𝑟𝑟, 𝑑𝑑ä𝑒𝑒 𝑟𝑟ä𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑒𝑒 ( 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑟𝑟 ≠ ±∞).

Definition 3B. ( Vänster, sned asymptot) Den räta linjen 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟𝑥𝑥 + 𝑟𝑟 är en sned asymptot till funktionen 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) då 𝑥𝑥 → −∞ om följande gränsvärden existerar ( och är reella tal)

3

(4)

Exempel A3 Bestäm eventuella sneda asymptoter till funktionen 𝑦𝑦 =^𝑥𝑥_𝑥𝑥−1²⁺¹. Lösning:

Metod 1 ( direkt beräkning )

𝑟𝑟 = lim

𝑥𝑥→+∞

𝑓𝑓(𝑥𝑥)

𝑥𝑥 = lim^{𝑥𝑥→+∞}

𝑥𝑥²+ 1

𝑥𝑥²− 𝑥𝑥 = lim^{𝑥𝑥→+∞}

1 + 1/𝑥𝑥² 1 − 1/𝑥𝑥 = 1

𝑟𝑟 = lim_{𝑥𝑥→∞}(𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑟𝑟𝑥𝑥) = lim_{𝑥𝑥→+∞}�𝑥𝑥²+ 1

𝑥𝑥 − 1 − 1 ∙ 𝑥𝑥 � = lim^{𝑥𝑥→+∞}

𝑥𝑥 + 1

𝑥𝑥 − 1 = lim^{𝑥𝑥→+∞}

1 + 1/𝑥𝑥 1 − 1/𝑥𝑥 = 1 ( Samma resultat får vi om x går mot −∞ )

Alltså 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 1 är en sned asymptot till f(x) Metod 2

Vi skriver om funktionen 𝑓𝑓(𝑥𝑥) som summan av två delar 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓₁(𝑥𝑥) + 𝑓𝑓₂(𝑥𝑥) där andra delen 𝑓𝑓2(𝑥𝑥) går mot 0 då x går mot ±∞.

Om vi får att 𝑓𝑓1(𝑥𝑥) = 𝑟𝑟𝑥𝑥 + 𝑟𝑟 då är 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟𝑥𝑥 + 𝑟𝑟 en sned asymptot till 𝑓𝑓(𝑥𝑥).

Om 𝑓𝑓1(𝑥𝑥) är ett polynom av grad ≥ 2 då SAKNAR 𝑓𝑓(𝑥𝑥) sneda asymptoter.

I vårt exempel har vi ( med hjälp av polynomdivisionen)

𝑦𝑦 =𝑥𝑥²+ 1

𝑥𝑥 − 1 = 𝑥𝑥 + 1 + 2 𝑥𝑥 − 1 Uttrycket _𝑥𝑥−1² går mot 0 då x går mot ±∞.

Därför är 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 1 en sned asymptot ( både vänster och höger).

Anmärkning: Funktionen har också en lodrät asymptot x=1, se grafen nedan.

Övningsuppgifter:

4

(5)

1. Bestäm eventuella asymptoter till funktionen

x y = ln( x − 5 )

Lösning: Funktionen är definierad då x−5>0och x≠0. Båda villkor är uppfyllda om

>5 x .

a) Vertikal (lodrät) asymptot.

Vi beräknar

− = −∞

>

−

x

) 5 lim ln(

5 .

Alltså är x=5 funktionens vertikal (lodrät) asymptot.

b) Horisontell (vågrät) asymptot

1 0 5 1 lim ] Hospital ) [

5 lim ln( = ′ = − =

 

 

∞

= ∞

−

∞

>

−

∞

>

−

L x x

x

x x

Alltså är

y = 0

funktionens horisontell (vågrät) asymptot.

Svar: Funktionen har en vertikal (lodrät) asymptot x=5 och en horisontell (vågrät) asymptot y=0

3 4

³

= − x y x

Svar: En lodrät (vertikal) asymptot x=3

3. Ange eventuella asymptoter för

1 ) 1

(

2

− +

= − x

x x x

f

5

(6)

Lösning: Polynomdivision ger:

2

1 1

( ) 1 1

x x

f x x

x x

= − + = +

− −

Definitionsmängden :

x ≠ 1

.

En lodrät (vertikal) asymptot x=1 eftersom

1 1

lim ( ) , lim ( )

x x

f x f x

− +

→

= −∞

→

= ∞

.

Från

1 ) 1

( = + − x x x

f

ser vi att

1 ) 1

( − = − x x x

f

går mot 0 då x går mot ∞.

Därför är y=x en sned asymptot till funktionen.

Svar: 1) En lodrät (vertikal) asymptot x=1 2) En sned asymptot y=x.

4. Ange eventuella asymptoter för

2 3 ) 2

( −

= − x x x

f

Lösning: Polynomdivision ger:

2 2 1

2 3 ) 2

( = + −

−

= −

x x

x x f

Definitionsmängden :

x ≠ 2

. En lodrät (vertikal) asymptot x=2.

Från

2 2 1

)

( = + − x x

f

ser vi att

2 2 1

)

( − = − x x

f

går mot 0 då x går mot ∞.

Därför är 𝑦𝑦 = 2 en vågrät (horisontell) asymptot till funktionen.

Svar: 1) En lodrät (vertikal) asymptot x=2 2) En vågrät (horisontell) asymptot y=2.

1 ln

−

= + x y x

6

(7)

7

Svar: Definitionsmängd

x > 0

och lnx−1≠0 dvs

x ≠ e

. Alltså

D

_f

= ( 0 , e ) ∪ ( e , +∞ )

_.

1) En lodrät (vertikal) asymptot x=e.

2) En vågrät asymptot y=1, då x går mot +∞

y = 3 + e

⁻²^x

Svar: En vågrät asymptot y=3, då x går mot +∞

7 . Bestäm eventuella asymptoter till funktionen

y = 5 + e

⁻²^x²

Svar: En vågrät asymptot y=5, då x går mot

± ∞

8 . Bestäm eventuella asymptoter till funktionen

2

+ 1

= x y x

Svar: Två vågräta asymptoter:

En höger vågrät asymptot y = 1, då x går mot ∞ och

en vänster vågrät asymptot y= – 1, då x går mot −∞ .