hafhafaf  )()(lim)( hafhaf  )()(lim

DERIVERINGSREGLER

============================================================

DERIVATANS DEFINITION 

Definition 1.  Låt  y f(x) vara en given funktion som är definierad i punkten a. 

Om gränsvärdet 

h a f h a f

h

) ( ) lim (

0





  existerar  ( som ett reellt tal) säger vi att  funktionen är  deriverbar i punkten a.  Gränsvärdet kallas  derivatan av funktionen y f(x) i punkten  a  och  betecknas  f (a).   

Alltså: 

h

a f h a a f

f

h

def

( ) ( )

lim )

(

0



 



Ekvivalenta  definitioner  : 

  x

a f x a a f

f x

def







 

  

) ( ) lim (

)

( 0   ,       

x a

a f x a f

f

def



 



) ( ) lim ( )

(

VÄNSTERDERIVATA  OCH  HÖGERDERIVATA 

Definition 2 a) (Vänsterderivata)    Låt  y f(x) vara en given funktion som är definierad i en punkt  a.  Om gränsvärdet  

h

a f h a f

h

) ( )

lim (

0





    

existerar  kallas detta kallas detta gränsvärde för vänsterderivata  av funktionen y f(x) i punkten  a och betecknas  f_(a).    Alltså: 

h

a f h a a f

f

h

def

( ) ( )

lim )

(

0



 



 . 

Definition 2 b) (Högerderivata)     Låt  y f(x) vara en given funktion som är definierad i en punkt  a.  Om gränsvärdet 

h

a f h a f

h

) ( ) lim (

0





    

existerar kallas detta gränsvärde för högerderivata av funktionen y f(x) i punkten x och  betecknas  f_(a).    Alltså: 

h

a f h a a f

f

h

def

( ) ( )

lim )

(

0



 



 . 

Anmärkning 1:   Funktionen  y f(x)är deriverbar i punkten a om och endast om  höger‐ och  vänsterderivatan i  punkten a  existerar och har samma värde. 

Exempel: Funktionen y | x| har inte derivatan i punkten x=0 eftersom vänsterderivatan är –1  medan högerderivatan är +1 i punkten 0. 

Ekvivalenta beteckningar för  f (x)  :  

)) ( ( )) ( ) (

) (

( f x D f x

dx d dx

x x df

f     

Derivator av elementära funktioner )

(x

f f (x) f(x) f (x)

c (c = konstant) 0

x

arcsin ₂

1 1

x

x 1

x n nx^n1

x

arccos ₂

1 1

x



ex e^x

ax a^xlna arctan x ₂

1 1

x x

ln x

1 arccot x ₂

1 1

x

 x

sin cosx

ln ) ( ln

log a

x x

a 

a x ln

1 x

cos sinx

tan x cos² x

1 x

x 2

1

cot x sin² x

1

1. DERIVERINGSREGLER ), ( ) ( ) ) ( ) (

(f x g x  f x g x konstant

) ( )

) (

(af x af x a

konstanter är

), ( ) ( )

) ( ) (

(af x bg x af x bg x a,b

Produktegeln: (f(x)g(x)) f(x)g(x) f(x)g(x)

Kvotregeln: ( ( ))²

) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) (

x g

x g x f x g x f x

g x

f   







 





Kedjeregeln ( för sammansatta funktioner).

Om funktionen g är deriverbar i punkten x och f i punkten g(x) så är också f(g(x)) deriverbar i punkten x och

 ( )  ( ) )

)]

( [

( f g x   f  g x  g  x

Vi kan också skriva

dx dz dz dy dx

dy   då y  f( z) ochz g(x). Beteckningar:

Lagranges notation:

) (x

f  för förstaderivata (uttalas "f prim av x") ; f (x) för andraderivata (uttalas "f-bis av x") )

(x

f  för tredjederivata ; f⁽ⁿ⁾(x) för derivatan av ordning n >3.

Motsvarande Leibnitz notation:

dx x df( )

eller f(x) dx

d ; ₂

2 ( )

dx x f

d ; ₃

3 ( )

dx x f

d ; _n

n

dx x f d ( )

Eulers notation: Df(x); D²f(x); D³f(x), )Dⁿf(x Newtons notation: x(t) x(t), x(t)

används vanligen i mekaniken , endast för första och andra derivatan med avseende på tiden.

====================================

Uppgift 1. Bestäm derivatan till f(x) då

a) f(x) x⁵4x3³ x¹⁰ lnx2sinx3cosxe^x5^x

b) x x

x x x

x x

f 1 1 tan cot

3 4 10 )

( 4 3 5

2      



Svar: a) 1 2cos 3sin 5 ln5

3 4 10 5

)

( ^{4 73} x x e^{x x}

x x x

x

f        

(Notera att ³ x¹⁰ x^10/3, därför  ^{3 10 10/3 7/3} 3 ) 10 (

)

( x  x  x   )

b)

sin 1 cos

1 3

4 5 4 20 )

( ^{5 83} _{2 2}

x x x

x x

x

f    ^  ^  

Uppgift 2. Bestäm derivatan till f(x) då

a) f(x) x⁵sinx b) f(x)3xx² x³ lnxtanx c) f(x)2xsinxe^xcosx d) f(x)28(x² x)cosx

e) f(x) xsinx f) f(x) xtanx Svar: a) ( Produktregeln) f(x)5x⁴sinxx⁵cosx

b) x

x x x x

x x

f ² ₂

cos tan ln

3 1 2 1 ) (

'       c) f'(x)2cosxe^xcosxe^xsinx

d) f(x)(2x1)cosx(x² x)sinx e) x x x x x

f sin cos

2 ) 1

(  



f) x

x x x x

f ₂

tan cos 2

) 1

(  

 .

Uppgift 3. Bestäm derivatan till f(x) då

a) x

x x f( ) sin

5

 b) x x f

x

ln ) 3

(  c)

x x x

f 3

) 23

( ₂

  d)

25 ) sin

( x

x

f 

Svar: a) (Kvotregeln)

2 5 4

) (sin

cos sin

) 5

( x

x x x x x

f 

  , b) (ln )²

3 1 ln 3 ln 3 ) (

' x

x x x

f

x

x   



c) _{2 2 2 2}

2

) 3 (

) 3 2 ( 23 )

3 (

) 3 2 ( 23 ) 3 ( ) 0

( x x

x x

x

x x

x x

f 



 









 

 d)

25 ) cos

( x

x

f  . Lägg märke till att x x

x

f sin

25 1 25 ) sin

(   så att

25 ) cos

( x

x

f  beräknas direkt (utan kvotregeln).

Tipps för "nybörjare". För att snabbt lära sig kedjeregeln kan man skriva och använda en deriveringstabell för sammansatta funktioner f(v(x)), som är nästan samma som den för elementära funktioner. Endast skillnad är slutet med v(x)  (" gånger inre derivatan" ).

Anmärkning: v(x) betecknar oftast uttrycket i en parentes efter namn på en elementär funktion. 

)) ((

(v x

f derivatan f(x) f (x)

v n nv^n1v

ln ) ( ln

log a

v v

a  v

a

v  

ln 1

e v e^vv

av a^vlnav

v 2 v

1 v

ln v v

v  1 v

sin cosvv

v

cos  sinvv

tan v v

v  cos2

1

cot v v

v 

 sin2

1

Exempel. Bestäm derivatan till f(x) då

a) f(x)ln(x³ xsinx15) b) f(x)e^x35x5 Lösning.

a) sin 15

cos 1 ) 3

cos 1 3 ) ( 15 sin (

) 1

( ₃

2 2

3   



 





 



 

 x x x

x x x

x x x

x x f

[ Jämför med formeln i ovanstående tabell v v) 1 v 

(ln , där uttrycket inom parentesen uppfattas som v.]

b) f(x)e^x35x5(3x² 5)(3x² 5)e^x35x5 [ jämför med formeln (e^v)e^vv] Uppgift 4. Bestäm derivatan till f(x) då

a) f(x)ln(x⁵ 5x23) b) f(x)ln(sin(x² x1))

c)

f ( x )  x

 4 x  3  x cos x  e

Svar: a) (Kedjeregeln [f(v(x))]' f(v)v'(x) )

23 5

5 ) 5

5 5 23 ( 5 ) 1

( ₅

4 4

5  

 



 

 

 x x

x x x

x x

f

b)

) 1 sin(

) 1 cos(

) 1 2 ) ( 1 2 ( )]

1 [cos(

) 1 sin(

) 1

( ₂

2 2

2  





 









 

 

 x x

x x x x

x x x

x x f

c) (Produktregeln och kedjeregeln)

x

e

x x

x x x x

x

f  ( )  5

 4  cos  sin  (cos  sin )

8 2

1 ) 3

(

' 3

2





 

x x x x

f

e) Notera att sin⁵ x(sinx)⁵, därför  f(x)5sin⁴ xcosx

f) Notera att sinx⁵ sin(x⁵), därför  f(x)cos(x⁵)(5x⁴)5x⁴cosx⁵.

Uppgift 5. Bestäm dx

x df( )

, ₂

2 ( )

dx x f

d , ₃

3 ( )

dx x f

d , ₄

4 ( )

dx x f d

till f(x) då

a) f(x) x² 5x³ b) f(x)e^x c) f(x)sinx Lösning:

a) ( ) 2 15 ² x dx x

x

df   , x

dx x f

d ( ) 2 30

2

2   ; ( ) 30

3

3 

dx x f

d ; ( ) 0

4

4 

dx x f

d

b) e^x

dx x df( ) 

; e^x

dx x f d² (₂ ) 

; e^x

dx x f d³ (₃ ) 

; e^x

dx x f d⁴ (₄ ) 

c) x

dx x

df( ) cos ; x

dx x f

d ( ) sin

2

2  ; x

dx x f

d ( ) cos

3

3  ; x

dx x f

d ( ) sin

4

4  .

Uppgift 6. Använd formler (sinx)cosx , (cosx)sinx och kvotregeln för att bevisa formlerna a)

x ₂ x

cos ) 1

(tan  . b)

x ₂ x

sin ) 1

(cot 



Bevis för a) Vi deriverar

x x x

cos

tan  sin med hjälp av kvotregeln och får:

x x

x x

x

x x

x

x x _{2 2}

2 2

2 cos

1 cos

sin cos

cos

) sin ( sin cos ) cos

(tan  

 



 

 V. S. B.