De principiis calculi variationis dissertatio. Quam venia ampl. facult. philos. Upsal. p. p. ... Ericus Almquist ... et Isaacus Biberg Norrlandi. In audit. Gustav. die XXII Febr. MDCCCXXXVII. H. A. M. S. P.I.

a : ' ■ <*S/ . D E P R I N C I P I I S C A L C U L I V A R I A T I O N I S D I S S E R T A T I O . Q U A M V E N IA A M PL . F A C U L T . P H IL O S . U P S A L . p. p.

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a s t r o n o m, d o c e n s, s t i p. m k l a n d. ET I S A A C U S B I B E R G k o k r l a'n d i. I N A U D I T . G U S T A Y . D IE X X I I F E B R . M D C C C X X X Y 1 I . H . A . M. S. P. I. Ü P S A L I Æ

D e P r i n c i p i i s C a l c u l i V a r i a t i o n i s .

C 'o m p l u r e s c e rte su nt l i b r i , E le m e n ta M atheseos e t in fe­ r i o r i s e t s u p e r io r is t r a c t a n t e s , in q uibus singulae h u ju s ciiscipünæ p arte s et a d c u r a te e t d ilu c id e , a tq u e t i ro n ib u s a p t e , propositie sunt. Sed ipsam T h e o r i a m vel c o n s t r u ­ c tio n e m Calculi V a ria tio n is , cujus u su m q u id e m p r a c tic u m o m n i diligentia tra c t a t u m c e n s e m u s , m in o ri t a m e n , q u a m d e b u e r i n t , cura e t su b tilitate explicasse v id e n tu r h o r u m l i b r o r u m A u c to res. In eo praesertim p eccasse nobis q u i ­ d e m v i d e n t u r , q u o d , qui M e th o d u m Infinitesim alem e x e le m e n tis M atheseos purae in ce te ris re je c e r in t, eodem ni­ h ilo ta m e n minus C alculum V a riatio n is fu n d a v e r in t* ) . U t e n i m n o n ii s u m u s , qui C a lc u lu m Infinitesim alem c o n f e ­ c ta s j a m com p u tatio nes o m n in o a d c u ra tas re d d e re n e g e ­ m u s ; dissim ulare ta m e n non p o s s u m u s , illum ad ipsas v e ­ r i t a t e s M ath em a tica s d e m o n s tra n d a s m in u s a d c o m m o d a ta m n o b i s v id e ri: q u ip p e qui in d e m o n s tra n d o a b se n tia m e r ­ r o r i s n o n tam e d o c e a t, q u a m suo j u r e p o stu let M a t h e ­ sis p u r a .

*) D icit Lagrange in lib ro, qui inscribitur: L eçon s su r le C alcu l

(Tea F onctions. La m éthode des Variations fondée sur l’em ploi et la com binaison des caractéristiques d et d qui repondent à des différen­ tiations dilléreutes ne laissait rien à desirerj m a is cette m éthode a -

Q u æ c a u ssa e s t , c u r peric litari v o l u e r i m , si p r in c ip ia Calculi V a ria tio n is alia v ia , q u a m sec u ti s u n t c e t e r i , di«* re c to e t sine a m b a g i b u s , e v a r ia tio n e ip siu s formae f u n ­ ctionis in c ip ie n s , o m n i rig o re m a th e m a tic o e x p o n e r e p o sse m .

i . S it y fu n c tio quaelibet q u a n ti v a r ia b ilis x ; c o n ­ s t a t , h a n c f u n c tio n e m y , etiam si ipsa f o r m a functionis stabilis p o n a t u r , v a lo re m m u ta r e posse. I n Calculo D i f - fe re n tia li d e m o n s t r a t u r , in c r e m e n tu m e ju s m o d i fu n c tio n is

y , quo d c resce n ti a u t d ec re sc e n ti q u a n to x d e b e t u r , s e m ­ p e r , m o d o r e lin q u a tu r y a lo r i p s i u s - x i n d e f in itu s , in s e ­ r i e m , s e c u n d u m in te g ra s q u a n ti x in c r e m e n t i p o te s ta te s

affirm ativas a s c e n d e n te m , ex plicari p o sse : c u ju s s e rie i t e r ­ m inus p r i m u s , i. e. ille t e r m i n u s , in q u o i n e s t p r im a p o ­ testas q u an ti x i n c r e m e n ti, differentiale fu n c tio n is y n o ­ m i n a t u r , sig n o q u e dy vel y 'd x e x p r i m i t u r ; y , q u o d etiarn coëfficiens differentialis d i c itu r , p r i m a m fu n c tio n is y d e r i ­ v a t a m f u n c ti o n e m , d x vero a r b i t r a r i u m variabilis x i n c r e ­ m e n tu m significat.

2. Jam v e r o , u t con fu sio n e m e v ite m u s , q u o m o d o in

s e q u e n ti i n t e r signa d e t b nos q uidem d istin g u a m u s , di­ c e n d u m p u ta m u s . P o s ito i g itu r « zz: f ( x , y , Z, . . . ) : du differentiale c o m p le tu m functionis u , a tq u e ea d e m r a t i o n e d x , d y , d z differentialia q u a n t o r u m x t y , z , esse s ta tu i­ m u s ; sive h æ q u a n tita te s fu n c tio n e s a lio ru m q u a n t o r u m

du . . .

s in t, sive n o n sint. E x quo p a t e t , — divisionem m d i -d x

c a r e , vel fr a c tio n e m e sse , cujus n o m i n a t o r sit differen­ tiale fu n c tio n is m, d e n o m i n a t o r v e r o differentiale q u a n ti ät.

p e r — . nil a l i u d , q u a m fu n c tio n is « p rim a m func tione m bx

d e r i v a t a m , r e s p e c tu t a n t u m h a b ito ad x u t v a r ia b ile , c e ­ t e r i s q u a n tita tib u s p ro c o n s t a n t i b u s liab itis, n o t a m u s : ita . — e t u in eo s o lo casu e a n d e m h a b e a n t s ig n i- Ö* d x

f i c a tio n e m , q u o re v e r a n u l l a alia q u a n tita s q u a m x in f u n c tio n e « sit variabilis. Q u o d jam de q u a n to x d ix i­ m u s , in re liq u a s q u a n tita te s y , 2 , . . . etiam valet.

3. Q u u m a u te m y e s t fu n c tio variabilis x , si ipsam f o r m a m fu n c tio n is p e r m u t a m u s , v a lo re m m u t a r e e tia m p o t e s t h æ c f u n c ti o y ; sive i n c r e m e n t u m q u o d d a m q u a n ti­ ta t i y i t r i b u a t u r , sive v a lo r e m su u m p r i m u m co n se rv e t h oc q u a n tu m . E ju s m o d i f u n c t i o n e m , cujus ipsa f o r m a v a r i a ­ b ilis h a b e a t u r , fu n c tio n e m o r ig in a r ie v el im m e d ia te v a r ia ­ b ile m a p p e lla m u s : ipsum v e r o i n c r e m e n t u m , q u o d h æ c fu n c tio v a r ia tio n i ipsius formae functionis d e b e t , yaria tio dicitu r.

L i t t e r a s Graecas Ç , \ p , . . . sy m b o la f u n c tio n u m v a ­ r i a b iliu m a s su m a m u s; litte r æ v e r o f , F , . . , func tione s fo r m æ c o n s ta n tis repraesentent.

4. S it ig itu r y = Ç)(x) e t t r a n s m u t e t u r fo rm a f u n ­ ctionis (fi in \p ; sit etiam dy v a ria tio fu n c tio n is y , posito n e m p e x c o n s t a n t i , erit Qy zz: ( x ) - ( x ) . Q u u m v e ro est e tia m p r i m a functio d e r iv a ta fu n c tio n is y vel y = <£> (*)> s e c u n d a d e r iv a ta vel y " — Cp"(x), etc. h a b e b u n t u r e o d e m m o d o v a ria tio n e s fu n c tio n is y d e r iv a t a r u m f u n c ti o n u m , n e m p e : 1 Qy n r \pY xJ - <P'(x) > f y " = 3 ÿ " ( x ) ~ <P"(X)* e t c * P e r d e r iv a tio n e m v e ro h a r u m v a r ia tio n u m h a b e m u s (6y)' = V i * ) - $ { x ) > (öyT = V ( x ) " <P"(X) = ( f y ) » etc. un d e p a t e t esse

V = ( « , y . . . ( 0 ; ¥ = ( ¥ ï = ( W ' • • • ( * ! ;

• % ' ' ' = ( % r = ( ¥ ) ' = ( 0 y ) ~ •■•(5); «te.

F a c ile ja m est i n t e l l e c t u , has om nes y aria tio n e s om ni­ n o a r b i t r a r i a s esse fu n c tio n e s q u a n ti x , q u as ita s u m e r e l ic e t, u t e a r u m a se invicem v a l o r n o n p e n d e a t ; q u ia p e r d e r iv a tio n e m istam successivam c o n s ta n te s abduci p o ssu n t q u a n t i t a t e s , cæ que arbitrariae.

5. Si a u te m fu n c tio n e m f o r m å in v a ria b ile m q u a n ti x a tq u e e x eo d e p e n d e n tiu m f u n c tio n u m v a ria b iliu m «/, 2 , y \ s ' , y z \ . . . . n o b is p r o p o n i m u s , haec fu n c tio r e v e r a v a r ia b ilis est formae, si ad x s o l u m , e x te r m in a tis y , s , etc. r e f e r a t u r . E ju s m o d i fu n c tio n e s m e d ia te variabiles dici p o ssu n t.

S it ig itu r

y

a

/( x ,

y,

z ,

y \ z \ y \ z"

. . .

)

,

et y

zz

<p(x)

,

z = Z7r { x ) j e x qu o h a b e m u s u = . f { x t Ç ( x ) . w(x), <£>'(*)> 7r ' ( x ) . . . ) , vel u z z 7i{x): v a r ia tio n e m qu am lib et s u b e a n t

lu n c tio n e s y et 2 , e r i t eadem r a ti o n e u z z \ p ( x ) , U n d e t o t u m , q u o d h o c m odo accipit in c r e m e n tu m ipsa fu n c tio u , vel Ù u

zz

\f/(x) - ff (*)• Sed a n t e v a ria tio n e m f u n c ti o ­ n u m im m e d ia te variabilium y et

z

e r a t u t= t7 i\x )\ v a r ia ­ tio n e v e ro illa p e r a c t a , est t t ' = \ J / ( x ) : u n d e ea d e m o m n i­ no r a ti o n e a t q u e in n u m e r o praecedenti colligere licet :

Att' = (A v)'; ù u " z z (A « '/ = (Am)'', etc.

Q iue aequabilitates a v alo re o m n i u m , quae in fu n c tio n e u o c c u r r a n t , q u a n tita tu m m inim e p e n d e n t.

6. A t q u u m ipsae formae fu nc tionum (Ç) e t 7t ignotae

sint e a ru tn q u e m o d u s v aria n d i in d e fin itu s , fieri non potest, u t p e r e x t e r m in a ti o n e m , s u p r a in d ic a ta m , fu n c tio n u m im ­ m e d ia te -variabilium , a d L u r e ipsa p e r v e n ia tu r. Q u æ

p r a e t e r e a , etiam si co g n itæ e s s e n t, in c o m p u ta tio n e s , quae p l e r u m q u e perfici n e q u i r e n t , ad d u c ere n t.

Sed ad h a n c difficultatem s u p e ra n d a m m e th o d u m s u p ­ p e d i t a t C alculus D iflerentialis.

P o sito ita q u e u t s u p r a , u z = / ( * , y, z , y z , y"t 2", et y = <p(x), z = 7t{x), h a b e m u s , functionibus y , z , y \ % etc. v a r ia tis , ipso v ero ex p r o constanti h a b ito ,

. l A Q y + BQy + C 9 y ’ + Î .

1 aQz bQz' 4 " cQ z' “} * . • • 4~ ( • • • ) I

« „ b« bu bw b«

u b i a, B , b ecc, a d h ib e m u s p r o — dec.; o -by b z by b3

m n e s v ero te r m in i, q u i uncis inclusi p u t e n t u r , m a jo ru m q u a m primae s u n t d im e n s io n u m , si ad variationes fu n c tio ­ n u m y, z %y , z ' &c. re s p ic ia m u s. . D e r i v e t u r ipsa fu n c tio u , ita u t u' = f \ x , y, 3, y \ z \ y ' \ z , y " '} z " . . . . & c .) , e r it

eodem m o d o :

». >

f

+ NQy +

p fy" + Qfy'"+ • • • + ( • • • ) + )

* \ » ; 0 2 4" »6 2' 4 - pQz" 4* 4 " • • • “f" (• • •) ) ... S e d , q uia sunt Qy'ssi{0y)', Qz' = (0 2)' &c. (v. n. 4) , h a b e ­ m u s p e r d eriv a tio n e m in cre m en ti A « ,

+ ( / ? + 5 - ) 6 y ' - h ( H + C ) 6 y ’+ . . + ( . . ) + ) . - \ a-6z + (a + i ') % ' + (4 + c) f c " + i " * “ ' -A ntea v ero d e m o n s tr a tu m e s t , a r b itra ria s esse has o - m n e s variation es Qy, Qy\ Scc., a tq u e id e n tita tem in te r se h a b e r e Ati' e t (A») > e t e Calculo D ifierentiali c o g n itu m h a b e m u s , o m n i a , q uæ in serie b u s (b) et ( a ) o c c u r r a n t coëfficientia, ab ipsis v a r ia tio n ib u s , vel q u a n tita tu m y , z , y y z &C. in cre m en tis m in im e p en d e re . U n d e colligere li­ c e t , e am p a r te m seriei (b) , q u æ variationes istas p r i m »

t a n t u m dim ensionis c o n tin e t, id e n tita te m h a b e r e cum p a r t e sibi r e s p o n d e n ti in serie (o').

7# Hæc vero ip sa p a r s im c re m e n ti A v , quæ p rim æ t a n t u m dim ensionis e s t , si ad v a r ia tio n e s f u n e tio n iu n im ­ m e d ia te v aria b iliu m e t e a ru m quæ e x h is d e r iv a n t u r spe­ c t a s , d ic itu r v aria tio functionis u m e d ia te varia b ilis.

Q u æ q u u m ita s i n t , si p e r 6u v a ria tio n e m fu n c tio n is « r e p r a e s e n ta m u s , h a b ito n e m p e x c o n s ta n ti, facile i n v e ­ n i a t u r : Qu (ßu)\ A tq u e p a r i m odo h a b e b im u s e tia m :

Q u " = ( Q u ) f = z ^ u ; ' &c.

8. Æ q u a t i o (a), q u u m in ea p r o coefficientibus A , o , B , b t &c. valore s e o ru m s u b s t it u u n t u r , d a t :

Si p lu re s eju sd em q u a n ti x fu n c tio n e s im m e d ia te varia­ biles e a r u m q u e fu n c tio n e s derivatae in ip sa fu n c tio n e u i n - e s s e n t, unaquaeque e a r u m v a ria tio n i du a d d ita m e n tu m d a ­ r e t ei p a r ti sim ile , q u æ functioni y vel z d e b e tu r . Q u o d q u i d e m facile est intellectu.

g. H æ ta m e n om nes v a r ia tio n e s , quas signo Q in d ic a ­ m u s , eæ s u n t , q u ib u s c r e s c e re n t a u t d e c r e s c e r e n t f u n c tio ­ n e s v a r ia b ile s , ea c o n d itio n e , u t ip su m x , q u o d in diffe- r e n tia n d o p r im ig e n iu m variabile p o s itu m e s t , fo rm is fu n ­ c tio n u m v a r ia n tib u s , constans h a b e a t u r . Q u o d q u id e m s e m p e r licitum e s t, d u m m o d o n u lla alia conditio sit a d ­ jecta . T u m enim l i b e r t a t e m fu n c tio n u m v a ria b iliu m q u o ­ c u m q u e m o d o y a r ia n d i n e m in im e q u id em circ u m sc rib it

p o stu la tio illa x constantis (cfr. n. 4). Sed p r o p o s ita q u a ­ d a m fu n c tio n e ip s a ru m fu nc tio n u m im m ediate variabilium, cujus e t fo rm a sit in v aria b ilis, e t valor absolute constans; n e c e ssario v aria b ile erit x , n e a se invicem sint ipsae varia tio n es p r æ t e r n ecessitatem d ep end entes. Q u o d u t i l ­ l u s t r e t u r p o n a m u s y z z <£(*) et F (x , y, y . . . ) z z k; ex quo h a b e m u s etiam F ( x , <£>(*), Ç>'(x). . . . ) z z k. U n d e , q u i a io r m a fun ctionis F est in v aria b ilis, sed Ç), (p' . . . fu nctio­ nes f o r m a v ariabiles r e p r e s e n t a n t, e r it etiam k functio ipsius x r e ipsa variabilis. E x q u o s e q u i t u r , q u an titatem k c o n stan te m non h a b e r e v a lo r e m , nisi x variabile ce n ­ seatur.

1 0. _{Sit it a q u e £ z z a ( # ) , et a b e a t co p er variationem}

functionis <p in w , d e t u r q u e ipsi x increm entum A r , erit 7i(x -J- A#) - &>(#) ZZ 7j{x) - 0)(x) -J- 7l \ x ) Ax

. „ A * a A* 3

T" 71 W •" 77 ( * ) --- - I - & c * = °*

2 2 . J

H ic 7i[x) - cc(x) nil aliud est q u a m in cre m en tu m v a r i a ­ tis fu n ctionibus y t y . . . d e b itu m , nullo ad varietatem ipsius x r e s p e c tu habito. Q u o d si p e r AÆ repraesentatur, h abem us :

A v2 A4 Z= - ( T l\x ) Ax - f 7r " ( x ) ---}- &c. 2 E x qu o in v e n itu r A __ c A k n " (x ) A i4 A x z z - ) --- ! 8sr < * \ x ) 2 7 f \ x y + 0 C C Sed 7 t\x ) z z « '(*) -J- a å ' z z + A i ' ; u n d e — A k ' / Ai6Y ? + (t J ' & c , >* P r æ t e r e a est bk bk bk

t y

‘

t y ' *

‘

t y " ' * ' t y ”

e t sic p o r r o .

H i n c facile p a t e t , x fu n c tio n e m

y , y , y '

• • • m e d ia te v a ­ riab ilem c e n sen d am e s s e , e j u s q u e v a r ia t io n e m , q u a m signo Jx n o t e m u s , esse:

e i quo t a n d e m

Qk

k' $x

Si in fu n c tio n e k p lu res q u a n t i x func tione s v a r ia b ile s q u a m y in s u n t, ad e a n d e m t a m e n aequationem finalem Qk -f- k ' dx z z o simili om nino m o d o p e r v e n itu r.

i i . Quae q u u m ita sint; d e t u r q u a n to x i n c r e m e n t u m A x q u u m f o r m a fu n c tio n is Ç in a b it, ita u t i n c r e m e n ­ t u m fuuctionis y sit:

A y = \p(x + Ax) - Ç{x ) = - <P(X) Ax + Scc. E s t a u t e m \p(x)-<p(x)z=z9y; \J/ ( x ) - (p \x ) 9y' vel \ f /( x ) = ? f /'

9y't e t 6ic p o r r o ; e x q u o h a b e m u s :

A x 1, A y = Qy + ¥ + ¥ ) a * + (y ' + ¥ ' ) — +

U n d e , si p e r $y n o te m u s p a r te m in cre m en ti A y , quae p r i­ mae ta n tu m dim ensionis re s p e c tu v a r ia tio n u m 6 y, Qt/, &c. c o n tin e a t t e r m i n o s , fit:

h = f y + y S x ; . . . ( i ) . E a d e m ra tio n e h a b e m u s : y ^ »' • . • (2)

<5y"== f y " + » • • • (5) sic p o r r o .

S im ile s q u e f o r m u l a s , litteris t a n t u m m u ta tis , d a t p a r i o - xnnino modo functio 2.