Σ p P/F Extra Bonus (2)Sida 2 av 6 1) (För varje delfråga ger rätt svar 1/2 p, inget svar 0 p, fel svar –1/2 p

Sida 1 av 6

Kontrollskrivning 3 till Diskret Matematik SF1610, för CINTE1, vt 2019 Examinator: Armin Halilovic

Datum: 2 maj

Version B Resultat:

Inga hjälpmedel tillåtna. Minst 8 poäng ger godkänt.

Godkänd KS nr n medför godkänd uppgift n vid tentor till (men inte med) nästa ordinarie tenta (högst ett år), n = 1,2,…,5.

13–15 poäng ger ett ytterligare bonuspoäng till tentamen.

Uppgifterna 3)–5) kräver väl motiverade lösningar för full poäng.

Uppgifterna står inte i svårighetsordning.

Spara alltid återlämnade skrivningar till slutet av kursen!

Skriv dina lösningar och svar på samma blad som uppgifterna; använd baksidan om det behövs.

Σ p P/F Extra Bonus

Sida 2 av 6

1) (För varje delfråga ger rätt svar 1/2 p, inget svar 0 p, fel svar –1/2 p. Totalpoängen på uppgiften rundas av uppåt till närmaste icke–negativa heltal.)

Kryssa för om påståendena a) – f) är sanna eller falska (eller avstå)!

Sant Falsk a) Låt R beteckna mängden av alla reella tal. Strukturen

(R \ {0}, ∙) är en grupp. x

b) En grupp G av storleken 15 kan ha en delgrupp av storleken

10. x

c) Ordningen av ett element i en ändlig grupp G alltid är en

delare till |G|. x

d) För alla grupper (G, ◦) gäller det att ekvationen a ◦ x =b

a, b ∈ G, har exakt en lösning x ∈ G. x e) Permutationen [2 1 3 4 5 6 7 8] är udda. x

f) Ordningen av permutationen (1 3 4)(2 5 6) är 6. x

Upp 1. poängsumma : ……….

Sida 3 av 6 2) (3p)

a) (1p) Ange samtliga olika sidoklasser till delgruppen {0, 3} i gruppen (Z6, +). (Det räcker att ange rätt svar.)

Svar:

{0, 3}, {1, 4}, {2, 5}

b)(1p) Bestäm en delgrupp H till gruppen ( Z7 \ {0}, ∙ ) sådan att |H|=2. (Det räcker att ange rätt svar.)

Svar:

{1,6}

c) (1p) Bestäm inversen i S7 till permutationen π=(1 3 5) (2 4) (6 7). (Det räcker att ange rätt svar.)

Svar: (5 3 1) (2 4) (6 7)

(Anmärkning (2 4) är samma cykel som (4 2). Samma gäller för (67) och (7 6) .)

Upp 2. poängsumma : ……….

Sida 4 av 6 3) (3p) Betrakta gruppen G = (Z12, +).

a) (1p) Bestäm en delgrupp H till G av storleken 3.

b) (2p) Bestäm alla sidoklasser till H.

Lösning:

a) Den cykliska delgruppen som genereras av talet 4, H={0,4,8}

har storleken |H|=3.

b) För att få en sidoklass adderar vi ett element från Z12 till alla element i H.

Notera att H+a och H+b är antingen identiska eller disjunkta sidoklasser.

Vi har

H+0=H+4=H+8={0,4,8}.

H+1=H+5=H+9={1,5,9}.

H+2=H+6=H+10= {2,6,10}, H+3=H+7=H+11= {3,7,11}.

Svar: Se ovan.

Rättningsmall: a) Rätt eller fel. b) Korrekta två sidoklasser =1p. Allt korrekt=2p

Upp 3. poängsumma : ……….

Sida 5 av 6

4) Låt π och σ vara följande permutationer av elementen i mängden {1, 2, 3, 4, 5, 6} (skrivna i cykelform):

π = (1 3 4)(2 5 6), σ = (1 2 4)(3 5 6).

Bestäm permutationen ϕ som uppfyller π⁻¹φπ =σ . Ange permutationen ϕ på tvåradsform.

Lösning:

Från π⁻¹φπ =σ har vi φ =πσπ⁻¹.

Vi betraktar permutationer som funktioner från A till A, där A={1,2,3,4,5,6}. Först skriver vi π , π och ⁻¹ σ på tvåradsform.

Vi har

x 1 2 3 4 5 6

π _(x) 3 5 4 1 6 2

Från ovanstående tabell får vi inversen, π : ⁻¹

x 1 2 3 4 5 6

1

π (x) − 4 6 1 3 2 5

Från σ = (1 2 4)(3 5 6) har vi

x 1 2 3 4 5 6

σ(x) 2 4 5 1 6 3

Nu är det enkelt att bestämma en tabell för sammansatta funktionen φ =πσπ⁻¹. Till exempel

3 1

4

1^π→⁻¹ →^σ →^π dvs φ( =1) 3.

På samma sätt bestämmer vi φ(2),...,φ(6)som vi anger i tabellen nedan:

x 1 2 3 4 5 6

φ (x) 3 4 5 6 1 2

Svar: Se ovanstående tabell

Rättningsmall: Korrekt till φ =πσπ⁻¹ ger 1p.

Korrekt inversen π⁻¹ (i vilken form som helst) ger +1p.

Allt korrekt=3p.

Upp 4. poängsumma : ……….

Sida 6 av 6

5) Låt H vara en delgrupp till ändliga gruppen G. Låt vidare H_a ={h∗a:h∈H} och }

: {h b h H

H_b = ∗ ∈ vara två sidoklasser till H som har något element gemensamt . Bevisa att H =_a H_b.

Bevis.

Anta ett element c ligger i både H och _a H . _b

Då kan vi skriva c=h₁∗a och c=h₂∗b för några h och ₁ h som ligger i delgruppen H. ₂ Alltså gäller

b h a

h₁∗ = ₂∗ (ekv 1) .

Eftersom h och ₁ h . (Notera att alla element i en grupp är inverterbara). ₂ Från (ekv1) har vi

b h h

a= ₁⁻¹∗ ₂∗ .

Därför kan varje element h ∗ i sidoklassena H skrivas som _a a

h ∗ =h∗h₁⁻¹∗h₂∗b=(h∗h₁⁻¹∗h₂)∗b (ekv2) .

Eftersom (h∗h₁⁻¹∗h₂)∈H (för H är en delgrupp) visar (ekv 2) att h ∗ ligger också i a H . b

Alltså H ⊆_a H_b. På samma sätt visar vi att H ⊆_b H_a och därmed är H =_a H_b, V.S.B.

Rättningsmall: Korrekt till (ekv1) ger 1p. Korrekt till (ekv2) ger 2p. Allt korrekt =3p

Upp 5. poängsumma : ……….