mänt om ko

(1)

Armin Ha

KONT

( Allm

Definiti

är konti

Egensk 1) F 2) 0 3) l 4) l

======

Sannoli av F(x)

Vi bevis lika med Sats. Om Låt a, b

Eftersom

med and Följdsat Om ξ är

(Vi ser å

alilovic: EXTR

TINUERL

mänt om ko

ion 1. En st

inuerlig.

kaper av för Fördelnings 0

lim _→ lim _→

=========

kheten att e

sar nu att sa d 0. (Till sk m ξ är en ko b vara reella

m F(x) är ko 0

dra ord (P  tsen:

r en kontinu

återigen ski

RA ÖVNINGA

LIGA STO

ontinuerlig

tokastisk va

rdelningsfu sfunktionen

1 1 ,

0 ,

=========

en kontinuer

annolikheten killnad från ontinuerlig tal. Efterso

ontinuerlig ) ( 0P b

0 )

  b (

uerlig s.v. då

illnad mella

AR

OKASTIS

ga s.v.)

riabel . ka

unktion:

F(x) är en

=========

rlig s v har v

n att en kon diskreta fö s.v. och b et om {x:b

( 0 P  

( 0 P   g gäller lim

ab

li ) ( ) F b

a



0 (V.S.B.)

å är

an diskreta o

1 av 12 SKA VAR

allas kontin ξ

n växande , ∞

, ∞

=========

värden i ett

ntinuerlig s.v ördelningar d tt reellt tal d

: {

} x a

b  

( ) P a

b  

) ( ) F b

b  

( ) (a F b

F 

) ( imF a

b ( )

(  

P  b

och kontinu

RIABLER

uerlig om f

funktion.

1

∞ 0

=========

intervall (a

.

v. ξ antar ex där några pu då är ( P 

}

b

 har v )

b

 , dvs ) (a F . (*) )

b . Om vi lå ) ( 

F b F

 , 0

uerliga förde

Kont

R

ördelningsf

=======

a,b] beräkna

xakt ett give unkter bär s

0 )

 b . vi

åter ab 0 )

(b  ) elle

elningar.)

tinuerliga för

funktionen

as enkelt me

et värde är a sannolikhets

får vi från er

.

rdelningar

n

ed hjälp

alltid smassa)

(*)

(2)

Armin Ha

Definiti då kalla täthetsf

Egensk (efterso Enligt d

Vi anta antagan

Därmed

Alltså, o sannolik

======

Samban

Arean s Arean Vi har v

alilovic: EXTR

ion 2. Om as derivatan

funktionen

kaper: Täth m F(x) är v definitionen

ar i vår ku nden gälle

d

om vi har f(

. Om b kheten P(a <

P(a

=========

nd mellan a

om markera

visat ovan a

RA ÖVNINGA

funktionen

n ( eller frek

hetsfunktio växande) .

gäller

urs att

f(x

er

′

ξ

(x) kan vi be både f(x) oc

< ξ ≤ b) m a < ξ ≤ b) =

=========

areor unde

as i ovanstå .

att

AR

är der

kvensfunkti

onen(=frekv

′ )

är integr

eräkna sann ch F(x) är kä med hjälp av

= F(b) – F(

=========

er täthetsfu

ående bild (f

= P(a <

2 av 12 riverbar (ev

′ ionen) för

vensfunktio

(eventuel

rerbar på v

F a

nolikheten ända så är sj v fördelning

(a)

=========

unktionen o

formeln från

ξ ≤ b) .

ventuellt uto

variabeln

onen) ä

llt utom i än

varje inter

F a

.

P(a < ξ ≤ b jälvklart en sfunktionen

=========

och sannoli

n analysen)

Kont

om i ändligt

.

är en positiv

ndligt antal p

rvall [a,b]

a

b) med hjälp nklare att be n F(x), dvs

=======

kheter

beräknas

tinuerliga för

t antal punkt

v funktion

punkter

).

. Med såd

ξ .

p av integra eräkna

enligt följa

rdelningar

ter

)

dana

alen

nde:

(3)

Armin Ha

Därför g Om vi l Därmed

======

Bestäm Vi har v beteckn Om vi l

dvs

======

alilovic: EXTR

gäller : P(a åter a gå m

P(– ∞ < ξ d är arean m

∞

=========

mning av F(x visat ovan a nar vi variab åter a gå m

=========

RA ÖVNINGA

< ξ ≤ b) = a mot – ∞ och ξ ≤ ∞) = are mellan x-axe

ξ ∞

=========

(x) om f(x) att F(x) F beln i integr mot – ∞ får

=========

AR

arean under h b gå mot +

ean under h eln och kurv

=========

är given.



 ^x

a

t f a

F( ) (

anden med vi ( efterso



 x F( ) 0



 x F( )

=========

3 av 12 r täthetsfunk

+ ∞ får vi hela täthetsfu

van

∞

=========

) . (Vi dt en annan b om F()









x

dt t f( )





 x

dt t f( )

=========

ktionen ova

funktionen.

lika med

∞ F

=========

betecknar okstav, t.)

0)

=========

Kont

npå interval

d 1.

∞ 1

=======

övregränsen

=======

tinuerliga för

allet [a,b] .

0 1.

n med x och

rdelningar

h därför

(4)

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Kontinuerliga fördelningar

4 av 12

Approximation av sannolikheten P( x<ξ ≤x+∆x) om ∆x är litet:

Om ∆x är litet så är skuggade arean approximativt lika med arean av rektangeln med basen ∆x och höjden f(x). Därför kan vi använda följande approximation

P( x<ξ ≤x+∆x) ≈ f(x)∆x.

Vi kan diskretisera en kontinuerlig stokastisk variabel ξ genom att approximera arean under frekvensfunktionen med rektanglar med små baser ∆xk=∆x.

Vi kan betrakta en diskret s.v. X som antar värdena xk med sannolikheterna pk=f(xk) ∆x. Då är väntevärdet av den diskreta s.v. X lika med x p x f x_k x

k k k

k

k 







⁽ ⁾ . Om ∆x är litet då är

x x f

x _k

k

k 



⁽ ⁾ ^≈



^





dx x

xf( ) (om integralen existerar). Detta motiverar följande definition.

VÄNTEVÄRDET för en kontinuerlig s. v. betecknas m, µ eller och definieras enligt följande



^







 E (  ) xf ( x ) dx



På liknande sätt motiveras definitionen av variansen av en kontinuerlig s.v.

VARIANSEN av en kontinuerlig s. v. betecknas , Var, eller )



^













 ( )

²

( )

²

( )

²

)

( 

x



f x dx x f x dx



V

STANDARDAVVIKELSEN : ( Betecknas , s , ellerD())

(5)

5 av 12 √

MEDIANEN definieras som lösningen till ekvationen 0.50

Medianen delar arean under frekvensfunktionen ( eller täthetsfunktionen) i två lika delar. Om frekvensfunktionen är symmetrisk då sammanfaller medianen och medelvärden.

VÄNTEVÄRDET för en funktion g(X) av en s.v. X :







 g x f x dx X

g

E ( ( )) ( ) ( )

Vi säger att en s.v. X är icke-negativ (”positiv” i boken) om

X  0

.

INTENSITETEN för en kontinuerlig icke-negativ stokastisk variabel X definieras av

0 för ) , ( 1

) ) (

( 

  x

x F

x x f



_.

==============================================

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1. Den stokastiska variabeln ξ har frekvensfunktionen (täthetsfunktionen)



   

 förövrigt

x x

x a

f 0

1 0

, ) 1 ) (

(

2

a) Bestäm parametern a.

b) Beräkna P(0.1< ξ<0.3).

Lösning:

a)

1 1 ⇒ 1 ⇒ 1 ⇒ 2.

Därmed



  

 förövrigt x x x

f 0

1 0

, ) 3

(

2

b) _.^. 3 _.^. 0.3 0.1 0.026.

Uppgift 2 En stokastisk variabel  har täthetsfunktionen (frekvensfunktionen)

(6)

6 av 12



 













10 ,

0 10 0

, ) 10 (

0 ,

0 )

(

x x x

a

x x

f

a) Bestäm konstanten a .

b) Vad är sannolikheten att > 8 ? c) Bestäm väntevärdet E(). Lösning:

a)

50 1 1

0 ) 10 10 2

( 1 ) 10 (

10

0

2    



 



 







â  ^x ^dx â ^x ^x â

b) 0.04

25 1 8 ) 10 10 2

50( ) 1

10 50( ) 1 8 (

10

8

2



 



 



 











^x ^dx ^x ^x

P  c)

3 10 0 )10 5 3

50( ) 1

10 50( ) 1

(

3 2 10

0

10

0

2   













^x ^x ^dx



^x ^x ^dx ^x ^x

E 

Svar: a) 50

 1

a b) 0.04 c) 3 10

Uppgift 3.

En stokastisk variabel ξ har följande täthetsfunktion (frekvensfunktion)





  



övrigt.

för

0sin 0 2

) (

x  x x

f

Bestäm väntevärdet ξ , variansen Var(ξ) och standardavvikelsen .

Lösning:

 

¹

0 2 cos /

sin ) int.

part.

( sin

) (

2 /

0







^  ^



E ^ x xdx x x x _.

För variansen använder vi formeln







 ² ( ) ²

)

( x f x dx 

Var .

 

²

0 2 cos /

2 sin 2 cos )

gånger 2

int.

part.

(

sin ²

2 /

0

2       

 ^ ^



x x

x x x

xdx

x _.

0.14159 3

1 2 sin

)

( ²

2 /

0

2       



 ^ ^ ^



^ x xdx

Var _.

Standardavvikelsen för : )

(

  Var =0.376

(7)

7 av 12

Uppgift 4. En stokastisk variabel ξ har följande fördelningsfunktion 1 ö 0

0 ö 0 Bestäm

a) medianen,

b) täthetsfunktionen (frekvensfunktionen) f(x) c) väntevärdet ξ .

d) sannolikheten 2 ξ 5 ) Lösning:

a) Medianen är lösningen till ekvationen

0.50.

1 1/2 ⇒ 1/2 ⇒ 3 1/2 ⇒ ^/⇒ .

Svar: a) Medianen

b) Frekvensfunktion

 





 



0 0

0 ,

) 3 (

3

x x x e

f

x

.

Anmärkning: Det är oviktigt hur vi definierar f(0) eftersom ξ är en kontinuerlig s.v.

c) E xf x dx xe ³^xdx

0

3 )

( )

( ^







^



 

{ partiell integration 3 , ′

′ 3 , v }

3

3 . Därför

3 3 1

3. Svar: c)

3 ) 1 ( 

E

d) Sannolikheten 2 ξ 5 ) 5 2

= 1 1 0.002478.

Svar: d) 0.002478

Uppgift 5. Bestäm konstanten c så att

(8)

Armin Ha

 x f ( )

blir en t Lösning

) (x

f m

Först be Arean=





3

0

t d c

Från ekv Svar: c

Uppgift om

 ) (x f Rita där

Lösning

a) f(x)

Grafen t

alilovic: EXTR



 



 x  c

0 2

täthetsfunkt g:

måste satisfi eräknar vi in



^





) ( dxx f



^



3

0 2

1

dt ct dt

vationen Ar 3 0 21 

 c

t 6. Rita tä





fö 0

om 2 / x

refter förde

g:



 0

o 2 ) x/

till täthetsfu

RA ÖVNINGA

 övrig för

2 x 2 ,

tion.

era villkore ntegralen



_



5

2 2 d

x c

t =

0 3

2 1

ct 

















rean=1 har 0.2887

äthetsfunktio



 övrigt ör

2 x 0 m

elningsfunkt



 övrigt för

2 x 0 om

unktionen f

AR

 t

5

et: Arean=1

dx

3

2c .

vi 2c 3 1

onen f(x)

tionen F(x)









0

om /2

2 0

x

) (x f :

8 av 12 1 dvs



^ (





x f

2 1 c 1

till s.v. X o

) .







2 för

2 0

m

0 om

x x x

1 )dx 

x .

3 ^.

och bestämf

2

Substitutio Gränser :

Kont

fördelnings on x 2t

2 

 t

x

5

 t

x

tinuerliga för

sfunktionen , dx ,dt

 , 0

3 t

rdelningar

) (x F ,

(9)

Armin Ha

Vi bestä Eftersom integral Fall 1:

i) Fall1,

Om x<0

Detta ge

ii) Fall2

Vi anvä





 x

d t f( ) formler)

) (x

F 

iii) Fall

alilovic: EXTR

ämmer förd m f(x) är d

en





 x

dt t f( )

0 x , , x0

0 då gäller

er ( )





 x

x F

2, 0x 

änder igen s

dt i två dela ). Vi har

) ( dtt f

x











l 3), x2.

RA ÖVNINGA

delningsfun definierad m t betrakta tr

Fall 2: 0

0 ) (x 

f .

)

( 



 

x x

dt t f

2 .

amma form

ar (eftersom

) (

0 0

dt t f

x









AR

ktionen me med separat

re fall:

2 x

0  och

0

0 





dt .

mel F(x)

m vi integre

) (

0

dt t f

x







9 av 12 d hjälp av f ta formler i

h Fall 3:





 x

dt t f( ) m

erar över int

0 2

0 0

t d dt

x







formeln F (x tre intervall

2 x .

men, i det hä

tervallet där

0 t4²

dt 



 







Kont









x

d t f x) ( ) l måste vi, v

är fallet, del

r f(x) besk

4 0

x2

x  .

tinuerliga för

dt.

vid beräknin

lar vi integr

krivs med tv

rdelningar

ng av

ralen

vå

(10)

Armin Ha

I det här där f(x Vi har

) (x  F

Samman

 ) (x F

Grafen t

Uppgift om

 x f( )

Rita där Svar:

i) Grafe

alilovic: EXTR

r fallet dela )

x beskrivs

)

( 







dt t f

x

nfattningsvi







om 1

om 4

o

20 x

till fördelni

t 7. Rita tä







 x x

för 0

om 2

om

refter förde

en till täthet

RA ÖVNINGA

ar vi integral med tre for

) (

2

0 0









dt t f

is har vi







2 x m

2 x 0 m

0 om x

ngsfunktion

äthetsfunktio







övrigt r

2 x 1 m

1 x 0 m

elningsfunkt

tsfunktionen AR

len





 x

d t f( ) rmler).

) (

2 2

0





^f ^t ^dt ^x

nen F(x).

onen f(x)

tionen F(x)

n f(x):

10 av 12 dt i tre delar

0 )

(

0









dt t f

till s.v. X o

) .

r (eftersom

0 2

2

0





^t ^dt

dt

och bestämf

Kont

m vi integrer

0 0

2









^x ^dt

fördelnings

tinuerliga för

rar över inte

0 0 2 4

2 



 



t

sfunktionen

rdelningar

ervallet

1 0 .

) (x F

(11)

Armin Ha

ii) Förd

iii) Graf

Uppgift

 ) (x F

Beräkna

Lösning

a) Medi ) (x  F I vårt fa

) ( x  F

Eftersom b) Me

 X E( ) Först m

alilovic: EXTR

delningsfunk

fen till förde

t 8. En sto



 

   0 1 4

₂

x

a a) med

g:

ianen bestäm 5

.

0 eller



 x

all är det enk

1 5 .

0 



m x  väl2 edelvärdet t







 xf (x)dx måste vi best

RA ÖVNINGA

ktionen F(

elningsfunk

kastisk vari



 2 x om

x

dianen och

mmer vi gen )

( 



 x

dx x f

klare att lös

4 0 1 

₂



x

ljer vi x till s.v. X. b

.

tämma täthe AR

















 

2 1 ) 2

x x

ktionen F(x

iabel X har

 . 2

2

b) vänte

nom att lösa 5

. 0 . sa

5 4 .

0 

₂

x

2.828 8 beräknas me

etsfunktione

11 av 12

 1 2 2

om 2

om 0

2 2

x x

x

) x .

fördelnings

evärdet (med

a en av följa

1  2

 x

.

ed hjälp av

en











2 x om

x 1 om

1 x 0

0 m x

sfunktionen

delvärdet) t

ande ekvatio

2

 8  x x

följande fo

Kont

2

till s.v. X.

oner:

 8



x

_.

rmel

tinuerliga för

.

rdelningar

(12)

12 av 12







 

 



. 2 0

2 x om ) 8

( ) (

3

x x x

F x f

Nu kan vi beräkna

4 4 2 0

8 8 8

) ( )

(

2 2 2

3     



 









^



^ ^



^ ^



 xf x dx x x dx x dx x

X

E .

Svar: a) medianen är 82.828 b) väntevärdet (=medelvärdet)=4

Uppgift 9. Livslängden hos en viss transistortyp är exponentialfördelad s.v. med

fördelningsfunktionen

 







 

^

. 0 0

0 x om ) 1

(

2 /

x x e

F

x

a) Bestäm sannolikheten att en sådan transistor (slumpvis vald) har livslängden som är större än 1 år.

b) Man köper 5 transistorer. Bestäm sannolikheten att minst 4 av dem har livslängden som är större än 1 år.

Lösning:

a) pP(X 1)1P(X 1)1F(x)1(1e^¹^/²)e^¹^/² 0.60653.

b) Låt Y beteckna antalet transistorer bland dem 5 köpta som har livslängden större än 1 år . Då är YBin( p5, ) där p0.60653 och q1 p0.39347.

5 4 0

5

4 5

5 5 4

) 5 5 ( ) 4 ( ) 4

(Y P Y P Y p q p q p q p

P    

 







 













0.3483 0.08208

0.26625 

 .

Svar: a) 0.60653

b) 5 0.3483

5 5 4

5 ₄ ₅ ₀ ₄ ₅







 



 







 



 p q p q p q p

Uppgift 10. Den s.v. X har täthetsfunktionen

f ( x )  3 e

^³^x

, x  0

. Beräkna väntevärdet E(g(X)) där

g ( x )  e

^²^x.

Lösning:

5 ) 3 5 ( 3 0 0

3 5 3

3 )

( ) ( ))

( (

5

0 5 0

3

2     



 





 







 ^















^g ^x ^f ^x ^dx



^e ^x ^e ^x^dx



^e ^x^dx ^e ^x

X g

E .

Svar: 3/5