KONTROLLSKRIVNING 2 Version
B
Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic
Datum: 20 apr 2015 Skrivtid: 8:15-10:00
Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare av vilken typ som helst och bifogade formelblad.
Förbjudna hjälpmedel: Telefon, laptop och alla elektroniska medel som kan kopplas till internet.
Inga toabesök eller andra raster.
Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med lösningar.
Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter. För godkänt krävs 4 av max 8 poäng.
Uppgift 1. (1p) Låt
< ≤
= för övrigt x x x
f 0
1 0
, ) 5
(
4
vara täthetsfunktionen för en stokastisk variabel ξ. Bestäm väntevärdet E(ξ).
Uppgift 2.(1p) En spelare kastar en tärning. Spelet (att kasta en tärning) kostar 30 kronor.
Vinst bestäms enligt följande regler: Om resultat blir 1, eller 2 får spelaren 0 kr. Om resultat blir 3, 4 eller 5 får spelaren 35 kronor. Om resultat blir 6 får spelaren 40 kronor. Spelarens nettovinst är "vinst minus kostnaden". T. ex. om man får en fyra då är vinst 35 kronor och nettovinst blir 35– 30=5 kronor. Om man t. ex. får 2 då är vinst 0 kronor och nettovinst blir 0– 30= – 30 kronor.
Bestäm väntevärdet för nettovinst.
Uppgift 3. (1p) Låt X1,X2,X3 vara oberoende s.v. med följande standardavvikelser 2
) (X1 =σ1 =
D , D(X2)=σ2 =4, D(X3)=σ3 =5. Beräkna variansen för Y där Y =2X1−3X2 −X3.
Uppgift 4. (1p) Vid beräkning av variansen för en diskret s. v. ξ kan vi använda en av följande två formler:
= ∑ −
k
k
k
p
x
V ( ξ ) ( µ )
2 eller (ξ)=(∑
2 )−µ2k k k p x
V .
Bevisa att formlerna är ekvivalenta (dvs att de ger samma V(ξ))
Uppgift 5. (2p) Vikten av en slumpmässigt vald tablett är en s.v. med väntevärdet 2 g och standardavvikelsen 0.3 g. Bestäm sannolikheten att 64 tabletter väger högst 130 g.
Uppgift 6. (2p) Man har två reläer som är inställda för utlösning 3 respektive 4 sekunder efter en impuls. Deras utlösningstider är inte konstanter utan normalfördelade stokastiska variabler N(3, 0.3) respektive N(4, 0.4). Bestäm sannolikheten att det andra reläet utlöses före det första om de samtidigt utsätts för en impuls.
Lycka till.
FACIT
Uppgift 1. (1p) Låt
< ≤
= för övrigt x x x
f 0
1 0
, ) 5
(
4
vara täthetsfunktionen för en stokastisk variabel ξ. Bestäm väntevärdet E(ξ).
Lösning:
6 5 0 1 5 6 5
5 )
(
1 6
0 5 1
0
4 =
=
=
⋅
=
∫
x x dx∫
x dx xE ξ .
Svar:
6 5
Rättningsmall: Korrekt metod och svar =1p
Uppgift 2.(1p) En spelare kastar en tärning. Spelet (att kasta en tärning) kostar 30 kronor.
Vinst bestäms enligt följande regler: Om resultat blir 1, eller 2 får spelaren 0 kr. Om resultat blir 3, 4 eller 5 får spelaren 35 kronor. Om resultat blir 6 får spelaren 40 kronor. Spelarens nettovinst är "vinst minus kostnaden". T. ex. om man får en fyra då är vinst 35 kronor och nettovinst blir 35– 30=5 kronor. Om man t. ex. får 2 då är vinst 0 kronor och nettovinst blir 0– 30= – 30 kronor.
Bestäm väntevärdet för nettovinst.
Lösning:
Låt X vara talet som vi får vid ett kast. Låt Y vara nettovinst.
Från tabellen
X 1 2 3 4 5 6
P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Y –30 –30 5 5 5 10
Väntevärdet för nettovinst är k
k
k p
y ⋅
∑
=2 av 4
6 35 6
)1 10 5 5 5 30 30 6 (
10 1 6 5 1 6 5 1 6 5 1 6 30 1 6
30 1 −
= +
+ + +
−
−
=
⋅ +
⋅ +
⋅ +
⋅ +
⋅
−
⋅
−
Svar:
6
−35
Rättningsmall: Korrekt metod och svar =1p
Uppgift 3. (1p) Låt X1,X2,X3 vara oberoende s.v. med följande standardavvikelser 2
) (X1 =σ1 =
D , D(X2)=σ2 =4, D(X3)=σ3 =5. Beräkna variansen för Y där Y =2X1−3X2 −X3.
Lösning: V(Y)=22σ12 +(−3)2σ22+(−1)2σ32 =4⋅4+9⋅16+1⋅25=185 Svar: V(Y)=185
Rättningsmall: Korrekt metod och svar =1p
Uppgift 4. (1p) Vid beräkning av variansen för en diskret s. v. ξ kan vi använda en av följande två formler: =
∑
−k
k
k p
x
V(ξ) ( µ)2 eller (ξ)=(
∑
2 )−µ2k k k p x
V .
Bevisa att formlerna är ekvivalenta (dvs att de ger samma V(ξ))
= +
−
= +
−
=
−
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
∑
k k k
k k k
k k k
k k
k k k
k k k
k
k p x p x p p x p x p p
x )2 2 2 2 2 2 2
( µ µ µ µ µ
[ Vi använder följande fakta:
∑
x p =E(ξ =) µk k
k och
∑
=1k
pk ]
= +
−
=
∑
2 2µ2 µ2k k k p
x (
∑
2 )−µ2k k k p
x V. S. B.
Rättningsmall: Korrekt bevis =1p
Uppgift 5. (2p) Vikten av en slumpmässigt vald tablett är en s.v. med väntevärdet 2 g och standardavvikelsen 0.3 g. Bestäm sannolikheten att 64 tabletter väger högst 130 g.
Lösning: Låt ξk beteckna vikten av tabletten nummer k.
3 . 0 ,
2 )
( = =
=E s
m ξk
3 av 4
Låt ξ =ξ1+ξ2+...+ξ64.
Då gäller ξ1+ξ2 +...+ξ64 är approximativt N(64⋅m,s 64) (formelblad) d v s ξ =ξ1+ξ2 +...+ξ64 är approximativt N(128,2.4).
Härav ≤ =Φ − )=Φ(0.83)= 4
. 2
128 (130 )
130 (ξ
P 0.7967.
Svar: 0.7967
Rättningsmall: Korrekt delresultat ξ N∈ (128,2.4) ger 1p. Allt korrekt= 2p.
Uppgift 6. (2p) Man har två reläer som är inställda för utlösning 3 respektive 4 sekunder efter en impuls. Deras utlösningstider är inte konstanter utan normalfördelade stokastiska variabler N(3, 0.3) respektive N(4, 0.4). Bestäm sannolikheten att det andra reläet utlöses före det första om de samtidigt utsätts för en impuls.
Lösning:
Beteckningar: X betecknar tiden då relä 1 utlöses; alltså N(3, 0.3) Y betecknar tiden då relä 2 utlöses, Y ∈ N(4, 0.4)..
Då är Y<X om och endast om Y– X<0.
Låt Z= Y– X.
Vi beräknar väntevärdet och standardavvikelsen för Z:
E(Z)= E(Y)– E(X)= 1
V(Z) =12σ22+(−1)2σ12 =0.32 +0.42 =0.25 5
. 0 25 .
0 =
z = σ
) 2 ( 5 )
. 0
1 (0 ) 0
(Z < =Φ − =Φ − =
P 0.0228
Svar: 0.0228
Rättningsmall: Korrekt både E(Z) och V(Z) ger 1p. Allt korrekt= 2p.
4 av 4
