(M2) vet att allm¨anna system har liknande existens och entydighetssats som f¨or envariabelfallet

(1)

OVN 5 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683¨

KARL JONSSON

Nyckelord och inneh˚all

• x⁰(t) = f (t, x) system av differentialekvationer

• Linj¨ara system av differentialekvationer med konstanta koefficienter:

x⁰(t) = Ax(t) + g(t) med allm¨an l¨osning

x_a(t) = c₁x₁(t) + c₂x₂(t) + x_p(t).

• Generaliserad egenvektor η

• Trace-determinant schema

• Skissa fasportr¨att

• Sadelpunkt, (degenerad) nod, spiral

• Stabilitet

• Fundamentalmatris X(t) = [x₁(t) x2(t)]

• Variation av parametrar Inofficiella ”m˚al”

Det ¨ar bra om du

(M1) vet att allm¨anna system av f¨orsta ordningens differentialekvationer ser ut som x⁰(t) = f (t, x).

(M2) vet att allm¨anna system har liknande existens och entydighetssats som f¨or envariabelfallet.

Om f samt ∂f /∂x1, ∂f /∂x2, . . ., ∂f /∂xn är kontinuerliga i en ”rektangel” (i detta fall s˚a betyder rektangel en flerdimensionell rektangel i rummet R × Rⁿ med koordinater (t, x)) och vi har IVP x⁰ = f (t, x) med x⁰(t0) = x0, s˚a är vi garanterade unik lösning p˚a detta problem i en liten omgivningen av startpunkten (t0, x0).

(M3) kan skriva om h¨ogre ordningens ekvationer, t.ex. y⁰⁰⁰+ 2t⁴y⁰⁰+ y = t till ett system av differentialekvationer med genom ansatsen x1(t) = y(t), x2(t) = y⁰(t), etc och ur detta h¨arleda systemet.

(M4) vet att homogena linj¨ara system med konstanta koefficienter

x⁰(t) = Ax(t), (1)

kan l¨osas genom ansatsen

x(t) = e^rtξ, (2)

d¨ar vi s¨oker r och den konstanta vektorn ξ 6= 0.

(M5) vet att r d˚a blir ett egenv¨arde och ξ motsvarande egenvektor.

(M6) om komplexa rötter uppst˚ar s˚a räknar vi och tar sedan real- och komplexdel för att f˚a tv˚a oberoende lösningar.

(M7) vet att om vi f˚ar fram en dubbelrot för egenvärdet, t.ex. r = 7, med motsvarande egenvektor ξ s˚a söker vi lösningar p˚a formen

x(t) = te^7tξ + ηe^7t (3)

där vi söker den generaliserade egenvektorn η. Kommer att lösa ekvationen (A − 7I)η = ξ.

(M8) vet att en fundamentalmatris skapas av linj¨art oberoende l¨osningar: Ψ(t) = [x₁(t) . . . x_n(t)].

(M9) vet att om Ψ(t) är en fundamentalmatris s˚a är även Ψ(t)B en fundamentalmatris, där B är en inverterbar matris. Om fundamentalmatrisen är enhetsmatrisen för t = t₀ s˚a döper vi den till Φ(t), dvs Φ(t₀) = I.

(M10) vet att om Ψ(t) är en fundamentalmatris till x⁰ = Ax s˚a ges den allmänna lösningen av x = Ψ(t)c för en godtycklig vektor c.

(M11) utifr˚an egenvärdena till A kan avgöra karaktär och stabilitet av den kritiska punkten 0.

(M12) snabbt kan avg¨ora karakt¨ar och stabilitet av kritiska punkter till A fr˚an trace-determinant schemat.

Institutionen f¨or matematik, KTH, SE-100 44, Stockholm, Sweden E-mail address: karljo@kth.se.

Date: 18 oktober 2017.

1

(2)

(M13) vet att f¨or att ha isolerade kritiska punkter s˚a antar vi att det(A) 6= 0.

(M14) kan anv¨anda variation av parameterar f¨or ekvationen

x⁰(t) = Ax(t) + g(t). (4)

där X(t) är en fundamentalmatris associerad till x⁰ = Ax för att f˚a fram en partikulärlösning genom ansatsen

xp(t) = X(t)v(t) =⇒ xp(t) = X(t) ˆ _t

0

X⁻¹(s)g(s) ds. (5)

Obs! Detta är ett försök att bryta ned kursm˚alen i mindre och mer konkreta bitar. M˚alen ovan är inte officiella för kursen, utan ett förslag till hur man kan tänka.

Exempel och uppgifter (U1) Skriv om f¨oljande ekvationer till system av differentialekvationer

u⁰⁰+ 3u⁰+ 2u = cos t, (6)

u⁽⁴⁾− 3u = 0, (7)

u⁰⁰+ t²u⁰+ sin u = 0. (8)

Inf¨or variablerna x₁ = u och x₂ = u⁰. D˚a blir

x⁰₁ x⁰₂

=

x₂

cos t − 3x2− 2x₁

=

0 1

−2 −3

x₁ x2

+

0

cos t

. (9)

I andra fallet s˚a blir det fyra variabler.





 x⁰₁ x⁰₂ x⁰₃ x⁰₄







=







0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 3 0 0 0











 x1

x₂ x3

x₄







. (10)

(U2) Visa att den generella l¨osningen till

x⁰ = P (t)x + g(t) (11)

kan skrivas som en summa av n˚agon partikulärlösning xp(t), med den generella lösningen till till den motsvarande homogena ekvationen.

(U3) Till systemet x⁰ = Ax, avg¨or karakt¨aren av den kritiska punkten x₀= 0 om (a) A =

3 2

−2 −2

(b) A =

1 4

−4 7

(c) A =

1 −5 2 −1

(d) A =

−3 √

√ 2 2 −2

(U4) L˚at A =

a b c d

. Skriv upp ett generellt uttryck för egenvärdena till A. Hur hänger detta ihop med trace-determinant-schemat? Genom att skriva upp det(A − rI) = 0 och förenkla s˚a borde

(3)

OVN 5 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683 3

f¨oljande uttryck dyka upp

r = a + d

2 ±

s

a + d 2

2

− (ad − bc) (12)

allts˚a

r = sp˚aret av A

2 ±p

(sp˚aret av A)²/4 − determinanten av A, (13) .

(U5) Betrakta systemet

x⁰ =

−1 −1

−α −1

x. (14)

Vad blir egenvärdena för koefficientmatrisen om α = 0.5? Vad för typ av kritisk punkt blir origo?

Vad händer d˚a α = 2? Karaktären av den kritiska punkten ändras i dessa tv˚a fall. När sker denna kvalitativa förändring om vi antar att α är ett tal mellan 0.5 och 2?

(U6) Bestäm egenvärdena till följande koefficientmatriser som en funktion av α (a) x⁰ =

α −1

1 α

x (b) x⁰ =

0 −5 1 α

x

För vilka värden ändras karaktären av den kritiska punkten? Rita fasporträtt för värde p˚a α som är n˚agot större alt. n˚agot mindre än de kritiska värdena som ˚aterfanns innan.

Ett sätt att lösa detta är att teckna ett uttryck för egenvärdena. I fallet (a) blir det r = α ± pα²− (α²+ 1) = α ± i. Eftersom egenvärdena inneh˚aller en imaginärdel s˚a kommer lösningarna att ineh˚alla cos t och sin t. Vilket innbär att det är spiraler. Stabiliteten av dessa spiraler kommer att bero p˚a vad för tecken realdelen har. Om α < 0 s˚a f˚ar vi asymptotiskt stabila spiraler, dvs spiraler där lösningen i fasrummet konvergerar mot den stationära punkten x₀ = 0. Om α > 0 s˚a f˚ar vi instabila spiraler. Och om α = 0 s˚a f˚ar vi stabila spiraler, nämligen spiraler som inte nödvändigtvis konvergerar mot den kritiska punkten x0 = 0 men inte heller växer obehindrat d˚a t → ∞, dvs vi har stabilitet men ej asymptotisk stabilitet.

Dessa typer av uppgifter kan man försöka visualisera i sp˚ar-determinantschemat som delades ut under övningen. T.ex. för (b) här är sp˚aret α och determinanten är 5. Matriser som uppfyller detta ligger p˚a en linje i schemat där determinanten är 5. Denna linje skär kurvan y = x²/4 p˚a tv˚a ställen, för x-värdena ±√

20. Detta blir allts˚a brytpunkterna f¨or α.

Om α > √

20 s˚a kommer matrisen ha tv˚a positiva egenv¨arden, vilket kommer att bidra till l¨osningar som exploderar d˚a t → ∞, instabila noder. Om α <√

−20 s˚a kommer vi f˚a tv˚a negativa egenv¨arden till matrisen, alla l¨osningar kommer s˚aledes att g˚a mot 0 d˚a t → ∞, asymptotiskt stabila nod. Om −√

20 < α < 0 s˚a f˚ar vi komplexa r¨otter med negativ realdel, asymptotiskt stabila spiraler. Om α = 0. s˚a f˚ar vi rent komplexa r¨otter, stabila centrum. Om 0 < α <√

20 s˚a f˚ar vi tv˚a komplexa r¨otter med positiv realdel, instabila spiraler. Om α =√

20 s˚a f˚ar vi en positiv dubbelrot för egenvärdena, fr˚an detta kan man direkt f˚a fram att vi har en instabil punkt. Det kan uppst˚a tv˚a fall här, nämligen degenererade noder (när det inte finns tv˚a linjärt oberoende egenvektorer) eller noder (när det finns tv˚a oberoende egenvektorer).

(U7) Finn en fundamentalmatris Φ(t) f¨or f¨oljande system. Finn den fundamentalmatris som uppfyller Φ(0) = I.

(a) A =

3 2

−2 −2

(4)

(b) A =

2 3

−1 −2

(c) A =

−1 1

−4 −1

Underförst˚att här är att vi ska lösa systemet x⁰ = Ax, f˚a fram tv˚a oberoende lösningar och skapa en matris av dessa. Vi gör ansatsen x(t) = e^rtξ. Insatt i ekvationen f˚ar vi att

re^rt ξ = Ae^rtξ (15)

vilket ¨ar ekvivalent med att

r ξ = Aξ (16)

och om vi inte vill att ξ = 0 (vilket endast hade gett noll-l¨osningen till ekvationen x⁰ = Ax) s˚a m˚aste r vara ett egenv¨arde och ξ en egenvektor till A.

Egenv¨arden till A (f¨or 2x2-matriser allts˚a) f˚as fram igenom sambandet r = sp˚aret av A

2 ±p

(sp˚aret av A)²/4 − determinanten av A, (17) d¨ar sp˚aret av A ¨ar summan av diagonalelementen.

Allts˚a i v˚art fall, s¨ag att vi tar fall c) ovan r = −1 ±√

1 − 5 = −1 ± 2i. (18)

Att det blir komplexa rötter är inget att oroa sig över. Nu tar vi reda p˚a motsvarande egenvektorer, i fallet med komplexa rötter s˚a behöver vi endast göra detta för en av rötterna, ta t.ex.

−1 + 2i. F¨or motsvarande egenvektorer s˚a drar vi av egenv¨ardet p˚a diagonalen i matrisen A och kollar p˚a vilka vektorer som ligger i nollrummet av denna matris. Allts˚a betrakta

−1 − (−1 + 2i) 1 0

−4 −1 − (−1 + 2i) 0

(19) samma sak som

−2i 1 0

−4 −2i 0

. (20)

Har vi räknat rätt s˚a m˚aste rad 2 vara en multipel av rad 1. Med vilken konstant? Jo konstanten 2i. Dvs om vi tar 2i g˚anger första raden och adderar till andra raden s˚a f˚ar vi

−2i 1 0

0 0 0

. (21)

Ifr˚an detta ser vi att en egenvektor bli c =

1 2i

(22) (kom ih˚ag tricket ”byt plats och s¨att ett minustecken p˚a ett av elementen”).

Allts˚a har vi nu f˚att fram att en l¨osning till ekvationen x⁰= Ax ¨ar x(t) = e^rtc = e^(−1+2i)t

1 2i

= e^−t(cos 2t + i sin 2t)

1 2i

= e^−t

cos 2t + i sin 2t

−2 sin 2t + 2i cos 2t

(23) Denna lösning är komplex-värd. Vi söker helst reell-värda funktioner. Vi kan f˚a tv˚a oberoende lösningar genom att ta realdel respektive imaginärdel av uttrycket ovan:

x₁(t) = e^−t

cos 2t

−2 sin 2t

samt imagin¨ardelen ger x₂(t) = e^−t

sin 2t 2 cos 2t

. (24)

Den allmänna lösningen till ekvationen x⁰= Ax kan därför skrivas x(t) = b1x1(t) + b2x2(t) = b1e^−t

cos 2t

−2 sin 2t

+ b2e^−t

sin 2t 2 cos 2t

(25) f¨or godtyckliga konstanter b1 och b2.

(5)

Vi kan skriva detta mha en fundamentalmatris

x = X(t)b (26)

d¨ar

X(t) =

e^−tcos 2t e^−tsin 2t

−2e^−tsin 2t 2e^−tcos 2t

. (27)

Notera att

X(0) =

1 0 0 2

. (28)

Vi ser ifr˚an m˚al (M9) ovan s˚a kommer ¨aven matrisen

Φ(t) = X(t)X(0)⁻¹ (29)

vara en fundamentalmatris f¨or v˚art system, detta blir allts˚a Φ(t) =

e^−tcos 2t e^−tsin 2t

−2e^−tsin 2t 2e^−tcos 2t

1 0 0 ¹₂

=

e^−tcos 2t ¹₂e^−tsin 2t

−2e^−tsin 2t e^−tcos 2t

. (30)

S˚a d˚a kan vi allts˚a skriva att den allmänna lösningen till v˚art system är

x(t) = Φ(t)b (31)

f¨or n˚agon godtycklig vektor b. I detta fall s˚a m˚aste b = x0. (U8) L¨os IVP

x⁰ =

−1 −4 1 −1

x, x(0) =

3 2

. (32)

Ta reda p˚a egenvärden och egenvektorer till A. Egenvärden blir r = −1 ± 2i. Ta reda p˚a en egenvektorer som ovan i exemplet ovan. Skriv upp motsvarande komplexa lösning och ta real och imaginärdel. Skriv upp en fundamentalmatris s˚a att allmänna lösningen blir

x(t) = X(t)b. (33)

S¨att in villkoret x(0) =

3 2

f¨or att best¨amma b. Klart.

(U9) Skriv upp den allmänna lösningen till följande system (a) x⁰ =

2 3

−1 −2

x +

e^t t

(b) x⁰ =

1 4 1 −2

x +

e^−2t

−2e^t

(c) x⁰ =

4 8

−2 −4

x +

t⁻³

−t⁻²

Vi ser att alla dessa uppgifter är inhomogena linjära system med konstanta koefficienter. Vi börjar med att betrakta motsvarande linjära system

x⁰=

2 3

−1 −2

x (34)

och söker lösningarna till detta. Egenvärdena blir λ = ±1. Vi tar reda p˚a motsvarande egenvektorer vilka blir om λ = 1, att

ξ =

−3 1

, (35)

och f¨or λ = −1 s˚a f˚ar vi

ξ =

1

−1

. (36)

(6)

Den allm¨anna l¨osningen till den homogena ekvationen kan s˚aledes skrivas x(t) = e^t

−3 1

b1+ e^−t

1

−1

b2, (37)

f¨or godtyckliga b1 och b2 reella tal, eller omskrivet s˚a ¨ar detta samma sak som x(t) =

−3e^t e^−t e^t −e^−t

b₁ b₂

= X(t)b. (38)

d¨ar X ¨ar fundamentalmatrisen

X(t) =

. (39)

Vi vet ocks˚a att fundamentalmatrisen uppfyller

X⁰(t) = AX(t). (40)

Fr˚agan vi nu ställer oss är hur vi finner en partikulärtlösning xp(t) (dvs n˚agon lösning som faktiskt löser den ekvationen vi är intresserad av) till ekvationen

x⁰=

2 3

−1 −2

x +

e^t t

= Ax + g(t) (41)

Det visar sig att vi kan göra en ansats som kommer att leda oss till ett uttryck för x_p(t). Vi ansätter

xp(t) = X(t)v(t) (42)

där v nu är en vektor som vi vill bestämma. Detta är en ansats (som vanligt) som vi deriverar och sätter in i ekvationen för att se vad vi f˚ar för information om v

x⁰_p = X⁰(t)v(t) + X(t)v⁰(t) (43)

insatt i ekvationen x⁰= Ax + g(t) s˚a f˚ar vi

X⁰(t)v(t) + X(t)v⁰(t) = AX(t)v(t) + g(t) (44) omskrivning med likheten X⁰(t) = AX(t) ger oss

AX(t)v(t) + X(t)v⁰(t) = AX(t)v(t) + g(t) (45) vilket reducerar till

X(t)v⁰(t) = g(t) (46)

och eftersom fundamentalmatrisen är inverterbar för alla t (dess determinant är 6= 0, Wronskide- terminanten för system) s˚a f˚ar vi att

v⁰(t) = X⁻¹(t)g(t). (47)

Allts˚a, om vi har X och g s˚a kan vi r¨akna ut v som ger oss xp(t) = X(t)v(t). I v˚art fall X⁻¹(t) = 1

det(X(t))

−e^−t −e^−t

−e^t −3e^t

= −1 2

e^−t e^−t e^t 3e^t

. (48)

allts˚a

v⁰(t) = −1 2

e^−t e^−t e^t 3e^t

e^t t

= −1 2

1 + te^−t e^2t+ 3te^t

(49) integrera allt med avseende p˚a t (kul f¨or nu m˚aste vi g¨ora partiell integration), s˚a mellansteg blir

ˆ

te^−tdt = −te^−t+ ˆ

e^−tdt = −te^−t− e^−t = −e^−t(t + 1), (50)

samt ˆ

te^tdt = te^t− ˆ

e^tdt = e^t(t − 1). (51)

(7)

allts˚a

v(t) = −1 2

t − e^−t(t + 1)

1

2e^2t+ 3e^t(t − 1)

(52) och s˚aledes blir xp(t)

xp(t) = X(t)v(t) = −1 2

t − e^−t(t + 1)

1

2e^2t+ 3e^t(t − 1)

= (53)

1 4

6te^t− e^t− 12t 8t + e^t− 2te^t− 4

. (54)

Allts˚a allm¨anna l¨osningen blir allts˚a x(t) =

b1

b₂

+1

4

6te^t− e^t− 12t 8t + e^t− 2te^t− 4

, (55)

d¨ar b₁ och b₂ ¨ar godtyckliga konstanter.