Linj¨ara ekvationer • Icke-linj¨ara ekvationer • Separabla ekvationer • Integrerande faktor • Modellering • Autonoma ekvationer : y0= f (y

KARL JONSSON

Nyckelord och inneh˚all

• ODE : y⁰ = f (t, y)

• L¨osning y(t) och definitionsm¨angd t ∈ I

• IVP: Begynnelsev¨ardesproblem y(t0) = y0

• Riktningsf¨alt

• Implicit/Explicit

• Obest¨amd konstant : “frihetsgrader ”

• Linj¨ara ekvationer

• Icke-linj¨ara ekvationer

• Separabla ekvationer

• Integrerande faktor

• Modellering

• Autonoma ekvationer : y⁰= f (y)

• Station¨ara punkter och faslinjen

• Existens och entydighet

Inofficiella ”m˚al”

Det ¨ar bra om du

(M1) vet att en ODE ¨ar p˚a formen y⁰ = f (t, y) med f som en “lutningsfunktion” av tv˚a variabler. Vi s¨oker en funktion som g˚ar att derivera och som uppfyller denna ekvation. Ofta med extra villkor tillagda, t.ex. begynnelsev¨arde IVP y(t₀) = y₀.

(a) Existens: finns det ens n˚agon l¨osning till ekvationen och de givna villkoren?

(b) Entydighet: finns det fler ¨an en l¨osning?

(c) Kvalitativa egenskaper: Var finns l¨osningen? Hur ser den typ ut? Max/min? Vad h¨ander f¨or stora t? Var finns singulariteter? Vad f¨or typ av singulariteter finns?

(d) Kvantitativa egenskaper: Exakt vilka v¨arden antar l¨osningen i olika punkter? Kan vi ber¨akna v¨arden f¨or l¨osningen p˚a n˚agot s¨att?

(e) Algebraiska egenskaper: Om vi har tv˚a l¨osningar, kan dessa kombineras till att ge en ny l¨osning? Finns det andra symmetrier i l¨osningarna? Kan vi kanske f˚a fram en exakt formel f¨or l¨osningen? Eller kanske kan vi n¨oja oss med en implicit formel?

(M2) vet vad ett implicit uttryck ¨ar: kopplar ihop beroende och oberoende variabel i en ekvation (utan derivator), t.ex. y²(x) + x²sin y(x) = cos(x) + x²y(x).

(M3) vet att ett explicit uttryck ¨ar n¨ar den oberoende variabeln ¨ar helt “utl¨ost ”: y(x) = sin²(x).

(M4) alltid testar din framr¨aknade l¨osning y(x) i ursprungsekvationen y⁰(x) = f (x, y(x)).

(M5) vill separera variabler t¨anker p˚a y⁰ = dy/dx och t¨anker p˚a detta som ett “br˚ak ”.

(M6) f¨or linj¨ara ekvationer kan anv¨anda metoden med integrerande faktor, givet en linj¨ar ekvation

y⁰+ p(t)y = q(t) (1)

s˚a skapar vi den integrerande faktorn exp(

ˆ

p(t) dt) (2)

och multiplicerar ekvationen med detta e

´p dt(y⁰+ p(t)y) = e

´p dtq(t) (3)

vilket kan skrivas om som

d dt(e

´p dty(t)) = e

´p dtq(t) (4)

som sedan kan l¨osas genom att finna primitiv funktion av HL.

Institutionen f¨or matematik, KTH, SE-100 44, Stockholm, Sweden E-mail address: karljo@kth.se.

Date: 18 oktober 2017.

1

(M7) vet vad ett begynnelsev¨ardesproblem (IVP) ¨ar och relationen till “en obest¨amd konstant C ” (M8) vet att allm¨ana IVP:

y⁰= f (t, y), t ∈ I, y(t₀) = y₀

garanterat har en unik l¨osning i n˚agot litet intervall I_litet kring t₀ om f och ∂f /∂y ¨ar konti- nuerliga i en rektangel kring punkten (t0, y0).

(M9) vet att linj¨ara IVP:

y⁰+ p(t)y = q(t), t ∈ I, y(t0) = y0

garanterat har en unik l¨osning f¨or alla t ∈ I om p och q ¨ar kontinuerliga i intervallet I.

(M10) kan avg¨ora vilken st¨orsta m¨ojliga definitionsm¨angd f¨or den framr¨aknade l¨osningen ¨ar.

(M11) kan finna kritiska punkter f¨or autonoma ekvationer, x⁰ = f (x), och klassificera dessa som asymptotiskt stabila, instabila eller semistabila.

(M12) kan beskriva n˚agra kvalitativa skillnader mellan l¨osningar till linj¨ara j¨amf¨ort med icke-linj¨ara ODEer (startv¨ardets inverkan p˚a definitionsm¨angden, explicit/implicit, allm¨an l¨osning, kombina- tionsegenskaper etc.).

Obs! Detta ¨ar ett f¨ors¨ok att bryta ned kursm˚alen i mindre och mer konkreta bitar. M˚alen ovan ¨ar inte officiella f¨or kursen, utan ett f¨orslag till hur man kan t¨anka.

Exempel och uppgifter (U1) Finn alla l¨osningar till xy⁰= 4y.

(U2) Finn alla l¨osningar till

y⁰ = (3x²− 1)/(3 + 2y) (5)

y⁰+ 2ty = 0 (6)

y⁰+ 2ty = 2t (7)

F¨orsta ekvationen ¨ar separabel, s˚a dela upp den och integrera varje del f¨or sig. F˚ar ett implicit uttryck som med hj¨alp av pq-formeln ger ett uttryck f¨or y(x) = −3/2 ±√

C + x³− x. Hur vet vi vilket tecken ± vi ska v¨alja?

(U3) Formulera en differentialekvation d¨ar det p˚a n˚agot s¨att ¨ar “sv˚art ” att skriva upp l¨osningen p˚a explicit form.

Detta kan nog tolkas p˚a flera olika s¨att. Ett s¨att att se det p˚a ¨ar att vi vill skriva upp en ekvation d¨ar vi ˚atminstone kan komma fram till ett implicit uttryck f¨or vad l¨osningen ¨ar. Detta ¨ar fallet n¨ar vi har separabla ekvationer, ta t.ex.

dy

dx = 2x − 3

y⁵+ 1 (8)

med y(0) = 1, denna ¨ar separabel och kan skrivas som

(y⁵+ 1)dy = (2x − 3)dx (9)

efter integration f˚ar vi att

1

6y⁶+ y = x²− 3x + C (10)

och s¨atter vi in begynnelsev¨ardet s˚a f˚ar vi 1

6 + 1 = C (11)

allts˚a m˚aste l¨osningarna till IVP uppfylla det implicita sambandet 1

6y⁶+ y = x²− 3x + 7

6. (12)

Men lycka till att f¨ors¨oka l¨osa ut ”y” ur denna ekvation, dvs sv˚art att ta reda p˚a y(x) som en explicit formel. Vi har dock enligt implicita funktionssatsen, som s¨ager att om vi har ett uttryck p˚a formen F (x, y) = 0, dvs vi har F (x, y) = ¹₆y⁶+ y − x²+ 3x −⁷₆ = 0, s˚a om ∂F/∂y ¨ar 6= 0 f¨or en punkt (x0, y0), s˚a kan vi l¨osa ut y = φ(x) (f¨or n˚agot tal h > 0) d¨ar φ : (x0− h, x₀+ h) → R s˚a att F (x, φ(x)) = 0, φ(x₀) = y₀ g¨aller f¨or alla x ∈ (x₀− h, x₀+ h).

(U4) Finn alla l¨osningar till

y⁰+ 6x²y = x² (13)

y⁰+ 2ty = 2te^−t2 (14)

y⁰+ ty² = 0 (15)

y⁰+ y² = t (16)

y⁰+ ty² = ty (17)

F¨orsta och andra borde vara standard, integrerande faktor. Testa l¨osningarna i ekvationen.

Tredje ¨ar icke-linj¨ar och separabel, mellansteg blir −1/y = t²/2 + C. L¨os ut y.

Fj¨arde ¨ar varken separabel eller linj¨ar. Ej heller Bernoulli. Dessa metoder ger oss allts˚a ingen information om hur den exakta l¨osningen ser ut.

Den sista ekvationen:

(a) ¨Ar av Bernoulli-typ y⁰+ p(t)y = q(t)yⁿ med n = 2.

(b) G¨or variabelbytet u = y¹⁻ⁿ= 1/y. Vad blir dy/dt i termer av du/dt? S¨att in dessa uttryck i grundekvationen.

(c) Nu borde du ha en linj¨ar ekvation f¨or u. L¨os denna p˚a n˚agot s¨att.

(d) G˚a nu tillbaka till variabeln y.

(e) Testa att derivera svaret du f˚ar och s¨att in i ursprungsekvationen.

(U5) L¨os y⁰− y = 2te^2t, y(0) = 1.

Integrerande faktor blir e^{´−(1) dt}= e^−t, s˚a vi multiplicerar ekvationen med detta och f˚ar

e^−ty⁰− e^−ty = 2te^t (18)

vi kan skriva om VL p˚a det finurliga s¨attet d

dt(e^−ty) (19)

allts˚a blir ekvationen

d

dt(e^−ty) = 2te^t (20)

integrera b˚ada sidor, HL mha partiell integration, och f˚a e^−ty =

ˆ

2te^tdt = 2te^t− ˆ

2e^tdt = 2te^t− 2e^t+ C (21)

l¨os ut y,

y(t) = 2te^2t− 2e^2t + Ce^t. (22)

s¨att in IVP och f˚a

1 = 0 − 2 + C (23)

allts˚a C = 3 och l¨osningen p˚a problemet ¨ar

y(t) = 2te^2t− 2e^2t + 3e^t. (24)

Tror jag iaf. Har inte dubbelr¨aknat.

(U6) L¨os IVP

ty⁰+ (t + 1)y = t, y(ln(2)) = 1, t > 0.

Vilken ¨ar st¨orsta m¨ojliga definitionsm¨angden f¨or l¨osningen?

Se kommentar f¨or uppg 10. Ekvationen i uppgiften ¨ar linj¨ar.

(U7) L¨os IVP y⁰ = 2y²+ xy², y(0) = 1. Var antar funktionen sitt minimum?

(a) Ett s¨att ¨ar att l¨osa ekvationen, den ¨ar separabel.

(b) F˚ar att dy/y² = (2 + x)dx allts˚a −1/y = 2x +¹₂x²+ C. Best¨am C.

(c) −1 = C, allts˚a y = −1/(2x +¹₂x²+ 1). Funktionen blir aldrig 0. Station¨ar punkt d˚a x = −2.

(U8) L¨os IVP y⁰ = (1 − 2x)/y, y(1) = −2.

Separabel ekvation. Borde vara standard.

(U9) Newtons avkylningslag ¨ar att temperaturen i ett f¨orem˚al avtar proportionerligt till skillnaden mellan objektet och omgivningens temperatur. S¨ag att vattnet i ett glas avtar fr˚an 90 till 85 grader p˚a 1 min i ett 20-gradigt rum. Hur l˚ang tid tills temperaturen ¨ar 65 grader?

En ekvation som modellerar detta ¨ar T⁰ = −k(T − T_O) d¨ar T_O¨ar omgivningens temperatur och k ¨ar en konstant.

Vi skriver detta som

T⁰+ kT = kTO, (25)

integrerande faktor ¨ar e^kt och vi f˚ar

T (t) = Ce^−kt+ T_O. (26)

Med informationen given s˚a kan vi skriva T (t) = Ce^−kt + 20, samt 90 = C + 20 s˚a C = 70:

T (t) = 70e^−kt+ 20. Samt 85 = 70e^−k+ 20 ekvivalent med e^−k = 65/70, allts˚a T (t) = 70(⁶⁵₇₀)^t+ 20.

Vad ¨ar t d˚a T = 65? 65 = 70(65/70)^t + 20 ekvivalent med 45/70 = (65/70)^t samma som t = log(45/70)/ log(65/70) = 5.96 min.

(U10) Best¨am ett ¨oppet intervall som tillh¨or definitionsm¨angden f¨or l¨osningen till

t(t − 4)y⁰+ y = 0, y(2) = 1, (27)

(4 − t²)y⁰+ 2ty = 3t², y(−3) = 1. (28) Skriver man ekvationen p˚a standard-linj¨ar-form

y⁰+ p(t)y = q(t) (29)

s˚a f˚ar vi att p = 1/t(t − 4) och q = 0 i f¨orsta fallet. p har singularitet (dvs ej kontinuerlig) i t = 0 och t = 4. q ¨ar ok (kontinuerlig) f¨or alla t. S˚a f¨or f¨orsta uppgiften: Garanterad l¨osning i intervallet (0, 4) om l¨osningen ska g˚a genom punkten (2, 1) i ty-planet.

G¨or p˚a liknande s¨att f¨or andra uppgiften.

(U11) Best¨am kritiska punkter samt deras typ, skissa faslinjen samt n˚agra l¨osningskurvor till:

y⁰ = y(4 − y²) (30)

y⁰ = k(1 − y²), k > 0. (31)

I f¨orsta fallet s˚a ¨ar kritiska punkter y^∗ = 0 samt y^∗ = ±2, dvs punkter d¨ar f (y) = 0. Vi ser att f (y) ¨ar negativ f¨or y ∈ (2, ∞), den ¨ar positiv i (0, 2) den ¨ar negativ i (−2, 0) samt positiv i (−∞, −2). Detta ger allts˚a att y = ±2 ¨ar asymptotiskt stabila kritiska punkter, medan y = 0 ¨ar instabil.

(U12) Skriv ned en differentialekvation d¨ar alla l¨osningar → 5 d˚a t → ∞.

Kanske y⁰ = −(y − 5)?

(U13) Var i ty-planet ¨ar f¨oruts¨attningarna f¨or existens&entydighetssatsen uppfyllda f¨or

y⁰ = (4 − t²− y²)^5/2 (32)

y⁰ = −2t/y (33)

y⁰+ y⁵= 0 (34)

Vi inf¨or notationen

f (t, y) = (4 − t²− y²)^5/2. (35)

Detta ¨ar nu en funktion av tv˚a variabler i ty-planet. Dvs h¨ar borde du b¨orja t¨anka p˚a flerva- riabelanalys och hur vi betraktade funktioner d¨ar. Denna funktion tar en punkt i ty-planet och

spottar ut ett tal. N¨ar vi sedan anv¨ander denna funktion i samband med att l¨osa differentialekva- tioner s˚a kommer vi att tolka det som att det talet som spottas ut av funktionen kommer att ge ett villkor p˚a vad vi vill att derivatan ska vara.

Existens och entydighetssatsen garanterar ett det finns en l¨osning till IVP y(t0) = y0 f¨or denna ekvation om funktionen f och dess partiella derivata med avseende p˚a y, dvs

∂f

∂y, (36)

b˚ada ¨ar kontinuerliga i en liten rektangel runt punkten (t₀, y₀).

F¨or att f¨orst˚a: t¨ank s˚a h¨ar.

(a) Ta ett papper.

(b) Rita ut t-axel och y-axel.

(c) Skriv upp vad f (t, y) ¨ar.

(d) V¨alj en punkt (t₀, y₀) i ditt ty-plan.

(e) Kolla nu om du kan rita en liten rektangel runt din punkt (t0, y0) s˚a att funktionerna f (t, y) SAMT ∂f /∂y b˚ada ¨ar kontinuerliga i denna rektangel.

(f) Om det g˚ar, ja d˚a ¨ar du garanterad en unik l¨osning p˚a IVP (i om m¨ojligt en ¨annu mindre rektangel).

Om det inte g˚ar, t.ex. om f (t, y) = 1/(y − 3) och du har valt (t₀, y₀) = (5, 2) och du har ritat din rektangel liiite f¨or stor s˚a att den sk¨ar linjen y = 3, ja d˚a ¨ar f inte kontinuerlig i denna rektangel. Rita d˚a en liten mindre rektangel som inte sk¨ar y = 3, d˚a borde du se att f och ∂f /∂y

¨

ar kontinuerliga i denna rektangel. Allts˚a, satsen om existens och entydighet garanterar d˚a att problemet y⁰= _y−3¹ har en unik l¨osning y = φ(t) p˚a n˚agot litet intervall φ : (2 − h, 2 + h) → R (d¨ar h > 0) s˚a att φ(2) = 5 och φ⁰(t) = _φ(t)−3¹ f¨or alla t ∈ (2 − h, 2 + h).

Tillbaka till uppgiften ovan. F¨or att f¨orsta uttrycket ska vara v¨aldefinierat s˚a m˚aste det som st˚ar innanf¨or potensen vara positivt (h¨anger p˚a att det ¨ar upph¨ojt i n/2 f¨or n˚agot heltal n, skillnad om det hade varit n/3).

Allts˚a m˚aste 4 − t² − y² ≥ 0 eller ekvivalent t³ + y² ≤ 4. Detta beskriver innand¨omet av en cirkel med radien 2 i ty-planet. Vi m˚aste ocks˚a veta om ∂f /∂y ¨ar v¨aldefinierad i denna cirkel:

∂f /∂y = ⁵₂(4 − t²− y²)^3/2(−2y), och vi ser igen att det blir samma analys som ovan, d¨arf¨or ¨ar IVP som b¨orjar med (t0, y0) n˚agonstans innanf¨or denna cirkel garanterade att ha l¨osningar p˚a n˚agot litet intervall som inneh˚aller t₀ (dvs vi ¨ar inte garanterade att en l¨osning som b¨orjar i cirkeln finns

“i hela cirkeln”.

Testa de andra sj¨alv.

(U14) Betrakta de tv˚a olika ekvationerna: y⁰ = y och y⁰ = y². Hur beror definitionsm¨angden av l¨osningen p˚a y(0) = y0> 0 f¨or vardera ekvation?

Den linj¨ara har l¨osningen y(t) = y0e^toch den icke-linj¨ara ekvationen har l¨osningen y(t) = _1/y¹

0−t. L¨osningen f¨or den linj¨ara ¨ar definierad f¨or alla t ∈ R, den andra har en singularitet i t^∗ ≡ 1/y₀, dvs l¨osningen som b¨orjar i (0, y0) tar sig endast fram till t^∗ innan den exploderar.

En fr˚aga som kom upp p˚a ¨ovningen var om man kan p˚ast˚a att l¨osningen f¨or den icke-linj¨ara ekvationen y(t) = _1/y¹

0−t ¨aven kunde t¨ankas g¨alla efter tidpunkten t^∗= 1/y0?

Ett s¨att att se p˚a det ¨ar s˚a h¨ar: Antag att vi har tv˚a olika startv¨arden, y₀ = 1 och y₀ = 2.

L¨osningen till den f¨orsta av dessa, y(t) = 1/(1 − t) kommer att explodera vid t^∗ = 1 och den andra, y(t) = 2/(1 − 2t) vid t^∗ = 1/2.

Betrakta nu funktionen

y(t) = ( 1

1−t, t < 1,

2

1−2t, t > 1. (37)

Denna funktion uppfyller y⁰ = y² f¨or alla t 6= 1 samt y(0) = 1. Men funktionen y(t) = 1

1 − t (38)

uppfyller ocks˚a y⁰ = y² f¨or alla t 6= 1 samt att y(0) = 1.

Vi ser allts˚a att det som h¨ander efter tidpunkten t^∗ ¨ar d˚a oberoende av vad som h¨ande i inter- vallet [0, 1/y₀). D¨arf¨or ¨ar det inte rimligt att p˚ast˚a att funktionen y(t) = 1/(1 − t) ¨ar en l¨osning till IVP y⁰ = y² med y(0) = 1 f¨or t-v¨arden som ¨ar st¨orren ¨an 1.