Tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM232)

Tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM232)

Tid och plats: M˚ andagen den 15 augusti 2016 klockan 14.00- 18.00 p˚ a Samh¨ allsbyggnad.

L¨ osningsskiss: Christian Forss´ en.

Detta ¨ ar enbart en skiss av den fullst¨ andiga l¨ osningen. Det kan inneb¨ ara att vissa mellansteg i utr¨ akningarna, som egentligen ¨ ar n¨ odv¨ andiga f¨ or en komplett l¨ osning, inte redovisas.

1. (a) −2πF ₀ a (b) −a ² − c ²

(c) ˆ z(= −ˆ θ)

2. (a) Ytan kan betraktas som en niv˚ ayta till ett skal¨ arf¨ alt. Gradien- ten till ett skal¨ arf¨ alt ¨ ar alltid vinkelr¨ att mot dess niv˚ aytor och motsvarar allts˚ a ytans normalriktning.

∇φ = 2xyz ˆ x + x ² z ˆ y + x ² y ˆ z.

I punkten (1, 2, −1) blir detta ~ n = −4ˆ x − ˆ y + 2ˆ z. En enhetsnormal kan peka ˚ at tv˚ a h˚ all och skall vara normaliserad. Svaret blir

ˆ

n = ± 1

√ 21 (−4ˆ x − ˆ y + 2ˆ z) .

(b) Teckna de definierande ekvationerna: ^dx _dτ = −y/(x ² + y ² ) och

dy

dτ = x/(x ² + y ² ). Detta kan skrivas som en separabel differential- ekvation ^dx _dy = −y/x ⇒ xdx = −ydy med l¨ osningen ^x ₂

=

− ^y ₂

+ C eller likv¨ ardigt x ² + y ² = a ² . Detta motsvarar cirklar i xy-planet med mittpunkt p˚ a z-axeln.

Riktningen f˚ as t.ex. genom att studera den f¨ orsta kvadranten (x > 0, y > 0) d¨ ar vi ser att x minskar med τ och y ¨ okar med τ . Cirklarna genoml¨ ops allts˚ a moturs.

3. Basvektorerna f˚ as fr˚ an ^∂~ _∂ξ ^r och ^∂~ _∂η ^r .

∂~ r

∂ξ = a

(cosh ξ − cos η) ² (1 − cosh ξ cos η, − sinh ξ sin η) ,

∂~ r

∂η = a

(cosh ξ − cos η) ² (− sinh ξ sin η, cosh ξ cos η − 1) .

L¨ osningsskiss f¨ or tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM232)2016-08-15

Dessa vektorer ¨ ar ortogonala mot varandra f¨ or godtyckligt v¨ arde p˚ a a.

Dock g¨ aller uppenbarligen att a 6= 0.

Skalfaktorerna ¨ ar

h ξ = h η = a

cosh ξ − cos η , s˚ a att ett uttryck f¨ or gradienten av ett skal¨ arf¨ alt blir

∇φ = ˆ e ξ

cosh ξ − cos η a

∂φ

∂ξ + ˆ e η

cosh ξ − cos η a

∂φ

∂η med de normerade basvektorerna

ˆ

e _ξ = 1

(cosh ξ − cos η) (1 − cosh ξ cos η, − sinh ξ sin η) , ˆ

e _η = 1

(cosh ξ − cos η) (− sinh ξ sin η, cosh ξ cos η − 1) .

4. Singulariteten f¨ or f¨ altet ~ F ligger i punkten ~ r = ~ r ₀ . Vi noterar att

|~r ₀ | = ^3a ₅ √ 3 =

q 27

25 a vilket betyder att singulariteten ligger utanf¨ or sf¨ aren som omsluts av ytan S. Vi kan allts˚ a anv¨ anda Gauss sats.

Genom att definiera ~ r ⁰ = ~ r − ~ r ₀ blir den s¨ okta integralen I = q

4π Z

S

~ r ⁰

|~r ⁰ | ³ · d~ S ⁰ = q 4π

Z

S

ˆ r ⁰

|~r ⁰ | ² · d~ S ⁰ , och S ⁰ ¨ ar ytan p˚ a en sf¨ ar med radien a som tangerar origo.

F¨ or att applicera Gauss sats r¨ aknar vi f¨ orst ut ~ ∇ · ~ F = _r ¹

∂

∂r

(r ⁰² F r

) = 0. Detta inneb¨ ar att den s¨ okta integralen ¨ ar noll.

5. Inget i problemst¨ allningen beror p˚ a z, s˚ a vi betraktar det som ett tv˚ adimensionellt problem. Den elektrostatiska potentialen uppfyller Laplaces ekvation p˚ a cirkelskivan ρ < a. En rimlig ansats ¨ ar φ(ρ, ϕ) = f (ρ) cos 2ϕ. Laplaces ekvation s¨ ager

1 ρ

∂

∂ρ

 ρ ∂φ

∂ρ

 + 1

ρ ²

∂ ² φ

∂ϕ ² = 1

ρ (ρf ⁰ (ρ)) ⁰ cos 2ϕ − 4

ρ ² f (ρ) cos 2ϕ.

En ansats f (ρ) = Aρ ^p ger p ² − 4 = 0 eller p = ±2. Minustecknet ger ett singul¨ art f¨ alt. Randvillkoret ger A = φ ₀ /a ² . Potentialen ¨ ar

φ = φ ₀ ρ ²

a ² cos 2ϕ = φ ₀ x ² − y ²

a ² .

2

L¨ osningsskiss f¨ or tentamen – Vektorf¨ alt och klassisk fysik (FFM232)2016-08-15

Det elektriska f¨ altet ¨ ar E = −∇φ = ~ 2φ ₀ ρ

a ² (− ˆ ρ cos 2ϕ + ˆ ϕ sin 2ϕ) = − 2φ ₀

a ² (xˆ x − y ˆ y).

Ekvipotentialytorna ¨ ar allts˚ a hyperbler x ² −y ² = konstant. F¨ altlinjerna

¨

ar hyperbler xy = konstant.

6. • Vi har en punktk¨ alla med v¨ armeeffekten W och ett Neumann randvillkor vid ytan till sf¨ aren. Temperaturf¨ altet skall allts˚ a upp- fylla Poissons ekvation inuti sf¨ aren

∆T = −s/λ, med s = W δ ³ (~ r).

• L¨ osningen ¨ ar T = T (r) = ^W/λ _4πr + T ₁ , vilket man kan se genom att l¨ osa Laplaces ekvation ∆T = 0 i omr˚ adet 0 < r < a (dvs d¨ ar k¨ alltermen ¨ ar noll) och sedan identifiera punktk¨ alltermen. Inte- grationskonstanten T ₁ ¨ ar fortfarande obest¨ amd.

• V¨ armestr¨ ommen ¨ ar ~ q = −λ∇T = −ˆ rλ ^∂T _∂r = _4πr ^W

ˆ r. Detta ¨ ar bra eftersom vi d¨ armed kan verifiera att

Z

|~ r|=a

~

q · d ~ S = W.

Dvs v¨ armeeffekt fr˚ an k¨ allan ¨ ar lika med v¨ armestr¨ om per tidsenhet ut genom ytan.

• Den totala v¨ armeenergin i sf¨ aren ges av integralen H = R

V cρT dV . F¨ or en konstant temperaturf¨ ordelning (som vid t = 0) blir detta H ₀ = cρT ₀ ^4πa ₃

. F¨ or v˚ ar station¨ ara l¨ osning g¨ aller

H = cρT ₁ 4πa ³

3 + cρ 4π Z a

0

W 4πλ rdr

| {z }

=

.

• V¨ armeenergin skall vara bevarad vilket ger T ₁ . Svaret blir T (r) = W

4πλ

 1 r − 3

2a

 + T ₀

3