Realitet och skolmässighet i matematiska p r o b l e m .
A v E i n a r Ö i j e .
A t t m a t e m a t i k e n är e t t ä m n e , s o m m a n u t a n m i n s k n i n g i s i t t m e d b o r g e r l i g a anseende får v a r a s k ä l i g e n o k u n n i g i , f r a m s t å r för de flesta s å s o m n å g o t g a n s k a s j ä l v k l a r t . D e n n a p o p u l ä r a f ö r e s t ä l l n i n g är d o c k f ö g a m o t i v e r a d , t y v i d m a t e - m a t i k s t u d i e t b e h ö v e r m a n p ä s k o l s t a d i e t i n g a a n d r a hjälp- m e d e l än s i t t s u n d a förnuft, e t t n o r m a l t o r d n i n g s s i n n e o c h en l a g o m p o r t i o n l o g i k — a l l t saker, s o m e n v a r t r o r s i g ä g a eller lätt k u n n a f ö r v ä r v a . H ä r a v får m a n n u i n g a l u n d a d r a g a d e n slutsatsen, a t t m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n skulle v a r a en s ä r s k i l t t a c k s a m eller lätt u p p g i f t ; t v ä r t o m g ö r j u s t d e n n a a b s t r a k t a n a t u r ä m n e t s y n n e r l i g e n ö m t å l i g t . I s y n n e r h e t får m a n k o m m a i h å g , a t t u n d e r d e n t i d i g a r e s k o l å l d e r n , i n o m v i l k e n l ä r j u n g e n s p o s i t i o n t i l l ä m n e t i r e g e l n b e s t ä m m e s , den- nes sinne ej är u t v e c k l a t för a b s t r a k t i o n e r ; l ä r a r e n h a r a l l t s å en y t t e r s t d e l i k a t u p p g i f t s a m t r i k a tillfällen a t t g ö r a miss- g r e p p , o c h d e t är b l o t t alltför s a n n o l i k t , a t t d y l i k a tillfällen ä v e n u t n y t t j a s . Ä r s k a d a n en g å n g s k e d d , har m i s s u p p f a t t - , i ; n i n g e n av m a t e m a t i k e n v ä l fått rotfastas, s å , v r i d e s s a k e n s ä l l a n rätt i g e n ; n å g o n g å n g h a r m a n d o c k sett l y s a n d e u n - d a n t a g , d å n y a m e t o d e r , en l ä r a r e s fascinerande p e r s o n l i g h e t eller d y l i k t förmått i c k e b l o t t ö v e r v i n n a en i n r o t a d m o t v i l j a u t a n t. o. m . v ä c k a det l i v l i g a intresse, som p å en g å n g k a s t a t ljus ö v e r d e t d i t t i l l s d u n k l a o c h o g e n o m t r ä n g l i g a .
D e t ä r m i n s k y l d i g h e t a t t b e v i s a e t t s å h å r t o m d ö m e , g s o m det nyss fällda, att m i s s g r e p p i stor u t s t r ä c k n i n g g ö r a s v i d m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n . Jag t r o r det v a r a tillräckligt, o m j a g refererar en v e r k l i g h e t s s i t u a t i o n från e t t s e m i n a r i u m :
ö v n i n g s l e k t i o n ö v e r ä m n e t » i g å n g 2, 2 g å n g e r 2, 3 g å n g e r 2».
— L e k t i o n e n ö p p n a s m e d a t t p å k a t e d e r n placeras en del i klassen l å n a d e föremål, s å s o m b l ä c k h o r n , p e n n o r o. s. v . T v å b l ä c k h o r n tagas d e m o n s t r a t i v t från k a t e d e r n o c h s t ä l l a s i fönstret. F r å g a : »Hur m å n g a g å n g e r har j a g flyttat t v å b l ä c k h o r n från k a t e d e r n t i l l fönstret?» S v a r e t — »en g å n g »
— e r h å l l e s o m s i d e r , o c h sedan p r o c e d u r e n u p p r e p a t s m e d p e n n o r , k n i v a r o. s. v., har svaret d r i l l a t s i n i hela klassen, v a r p å l e k t i o n s g i v a r e n dekreterar:- »en g å n g t v å är t v å » , v i l - k e n tes r e p e t e r a s e t t l ä m p l i g t a n t a l g å n g e r efter k o n s t e n s regler. Därefter b ö r j a r m a n m e d 2 g å n g e r 2 p å s a m m a s ä t t , o c h s l u t l i g e n i n ö v a s 3 g å n g e r 2. — A l l t s å t r o r m a n s i g fram- ställa multzp/zfcatzonsbegi-eppet för n y b ö r j a r e g e n o m a t t b ö r j a m e d t a l e t ett! D e t t a var d e n a n d r a l e k t i o n e n p å o m r å d e t ; d e n första h a d e a v h a n d l a t : »en g å n g ett, en g å n g t v å , en g å n g t r e » . T y v ä r r är j a g ej i tillfälle m e d d e l a n å g o t o m d e n n a l e k t i o n .
Ja, d e t t a t i l l d r o g sig n u v i d en l ä r a r e b i l d n i n g s a n s t a l t o c h t i l l d r a g e r sig, f ö r m o d a r j a g , f o r t f a r a n d e varje är.
E x e m p l e t är b e l y s a n d e för v a d j a g i d e n n a u p p s a t s ö n s k a r framhålla.
E t t g r u n d f e l , i d e n n ä m n d a l e k t i o n e n t o r d e v ä l ha va- r i t b r i s t e n p å för b a r n e n f a t t b a r realitet, t y den h e v r i s t i k , s o m bestods, k a n m a n u t a n o r ä t t v i s a d e g r a d e r a t i l l b l o t t o c h b a r suggestion, för v i l k e n de b ä s t a i klassen v o r o m o t t a g l i g a . S e d a n en g å n g det ö n s k a d e s v a r e t f a l l i t , var det j u i n g e n k o n s t a t t u p p r e p a det. — O c h det är n o g här, s k o n i a l l - m ä n h e t k l ä m m e r : b r i s t a n d e r e a l i t e t i u n d e r v i s n i n g e n g ö r äm- n e t o t i l l g ä n g l i g t o c h k a n s k ä m m a resultatet för a l l f r a m t i d . T y har u p p f a t t n i n g e n en g å n g k o m m i t p å sned, s å är m a - s k i n e r i e t esomoftast i o l a g o c h k a n ej fås i g ä n g . O c h h a r
m a n k o m m i t d ä r h ä n , att ä m n e t förefaller m o t i g t , s å s a k n a r m a n d e n e n d a b ä r i g a g r u n d e n för ett v i d a r e u p p b y g g a n d e : intresset o c h d e n u p p m u n t r a n , som följer m e d k ä n s l a n av f r a m g å n g .
E h u r u f ö r h å l l a n d e n a p å senare t i d m ä r k b a r t ä n d r a t s t i l l
d e t b ä t t r e , s y n d a s det n o g a l l t f o r t i d e t t a avseende. H a r o c h var, på alla stadier k a n m a n k o n s t a t e r a , h u r s k o l m ä s s i g - heten g ö r s i g b r e d m e d r e s u l t a t , a t t för e l e v e r n a s a m b a n d e t m e d den n a t u r l i g a l o g i k e n , p r a k t i k e n s k r a v o c h d e n p r a k - t i s k a a n v ä n d b a r h e t e n g å r förlorat eller framstår s å s o m m e r a k o n s t l a t . J a g fick en g å n g a t t besvara följande i n k a s t :
» V a d t j ä n a d e d e t t i l l att l ö s a p r o b l e m o m v ä x l a r i skolan?
M a n b e g r e p det j u i n t e , o c h det, m a n b e h ö v e r k u n n a i p r a k - t i k e n , l ä r m a n s i g j u p å ett par m i n u t e r sedan, när det g ä l l e r » . — Ja, h u r ofta har m a n i n t e a n l e d n i n g g å t i l l s t o r m s mot d e n u p p f a t t n i n g e n hos l ä r j u n g a r n a , a t t m a t e m a t i k är n å g o n t i n g alldeles speciellt, s o m e r f o r d r a r f o r m l e r o c h regler, ä v e n d ä r det k o m m e r an p å de n a t u r l i g a s t e saker, som u t a n - för s k o l p o r t e n ej skulle v å l l a ett ö g o n b l i c k s t v e k a n , s å s o m t. ex. att v i n s t e n r ä k n a s i p r o c e n t av i n k ö p s p r i s e t , a t t en m å n a d s r ä n t a är t o l f t e d e l e n av å r s r ä n t a n o. s. v . D e l ä r a r e , s o m b e r e d v i l l i g t s t å t i l l tjänst m e d ett h e l t s y s t e m av f o r m - ler för alla m ö j l i g a tillfällen, å s t a d k o m m a v ä l h ä r i g e n o m en h j ä l p för v a r t o c h ett av dessa m e n v i d g a s a m t i d i g t k l y f t a n m e l l a n m a t e m a t i k s t u d i e t o c h t a n k e v e r k s a m h e t e n , d . v. s.
ä v e n t y r a för e x a m e n s k u n s k a p e n u n d e r v i s n i n g e n s b i l d n i n g s - v ä r d e , b å d e d e t p r a k t i s k a o c h d e t f o r m e l l a .
U t a n t v i v e l h a r m a t e m a t i k e n en alldeles s ä r s k i l d m i s s i o n i n o m s k o l a n , o c h ett visst p e d a n t e r i är i n o m ä m n e t s b e d r i - v a n d e r e n t u t sagt n ö d v ä n d i g t . M a n får a l l t s å ej f ö r r i n g a det v ä r d e , som ä v e n ett m e k a n i s e r a t m a t e m a t i k s t u d i u m i o c h för s i g ä g e r ; o c h d e n u n d e r v i s n i n g , som b e d r i v e s l i t e här o c h v a r o c h som g å r u t p å a t t för p r o b l e m l ö s n i n g e n g e n o m ek- v a t i o n e r inlära r e c e p t o c h f o r m l e r , g ä l l a n d e för varje s p e c i - ellt fall, o c h v i l k e n m å n g e n s t ä d e s u r a r t a r t i l l e x a m e n s d r i l l , k a n v ä l ej u t d ö m a s s å s o m alldeles förfelad. M e n d e t t a är d o c k ej allt, v a d som k a n o c h b ö r u t v i n n a s av ä m n e t , u t a n p å sin h ö j d b l o t t ett a n s p r å k s l ö s a r e a l t e r n a t i v . D e t ä r p å ett a n n a t o c h t i d i g a r e s t a d i u m , n ä m l i g e n i s a m b a n d m e d b r å k l ä r a n , som d y l i k t har sin r ä t t a plats. Jag förbiser så- l u n d a alls i c k e v i k t e n av a t t g e n o m en o m s o r g s f u l l trä-
n i n g elevernas h j ä r n o r b r a g t s att fungera r a p p t o c h m e d p r e c i s i o n u t a n anser t v ä r t o m d e t t a s o m en b e t y d a n d e v i n s t , s o m det m å h ä n d a t i l l k o m m e r m a t e m a t i k e n framför realskolans alla a n d r a ä m n e n a t t s k ä n k a , j a r e n t av s å s o m en av mate- m a t i k u n d e r v i s n i n g e n s o r d i n a r i e p l i k t e r , m e n d e t h u v u d s a k l i g a a r b e t e t h ä r m e d b ö r v a r a u n d a n s t ö k a t i o c h m e d a v s l u t n i n g e n av b r å k l ä r a n i t r e d j e klassen. D ä r e f t e r b ö r m a n k u n n a i n - s k r ä n k a s i g t i l l a t t v i d m a k t h å l l a , v a d m a n v u n n i t , o c h d e n v i d a r e u t v e c k l i n g e n h ä r u t i n n a n b ö r g å t ä m l i g e n a u t o m a t i s k t i o c h m e d u t v i d g a n d e t av v e t a n d e t ö v e r n y a fält. I p r o b l e m - l ö s n i n g e n får d e n n a detalj e m e l l e r t i d ej g ö r a s c e n t r a l , t y d å b e g å r m a n v å l d p å ä m n e t . E t t p r o b l e m s k a l l v a r a e t t p r o - b l e m o c h i c k e d e g r a d e r a s t i l l e t t r ä k n e e x e m p e l , som l ö s e s g e n o m m e k a n i s k a h a n d g r e p p . T y v a d n y t t a har e l e v e n d å av a r b e t e t m e d p r o b l e m e t ? D e t h a r ej m e d f ö r t n å g o n för- d j u p n i n g av hans f ö r m ö g e n h e t e r , o c h för p r a k t i k e n s k r a v är h a n i n g a l u n d a r u s t a d . D e t enda, s o m k a n m ö j l i g g ö r a en f r a m t i d a p r a k t i s k a n v ä n d n i n g av v a d s o m inlärts i s k o l a n , ä r j u , a t t h j ä r n a n s k a l l ha g j o r t s k a p a b e l a t t a r b e t a p å egen h a n d o c h s j ä l v u t f i n n a m e t o d e r a t t t i l l ä m p a s k o l k u n s k a p e r n a ; m e n d å b ö r d e n i s k o l a n ha fått v ä n j a s i g v i d a t t a r b e t a s j ä l v s t ä n d i g t . E n - m e t o d för b o l a g s t a l , en för v ä g p r o b l e m , en för b l a n d n i n g s r ä k n i n g o. s. v. h j ä l p e r ej l å n g t ; m a n k a n ej b ä r a m e d s i g d y r k a r t i l l alla l å s .
S a k e n b l i r ej b ä t t r e g e n o m a t t d e n n a m e t o d , r e n t s k o l - m ä s s i g som den ä r t i l l sin p l a n l ä g g n i n g o c h t i l l sin s y f t n i n g p å d e n s t u n d a n d e e x a m e n , p l ä g a r föra m e d sig en skol- m ä s s i g f o r m u l e r i n g av p r o b l e m e n , v i l k e n ställer de elever, s o m g j o r t s b e r o e n d e d ä r a v , alldeles h a n d f a l l n a inför den e n k l a s t e u p p g i f t , som ej har d e n g a m l a k ä n d a t y p e n , den g a m l a v a n l i g e n f o r m u l e r i n g e n . F ö l j a k t l i g e n ä v e n inför snart sagt varje u p p g i f t , s o m p r a k t i s k a l i v e t u p p s t ä l l e r . O c h n u börjar j a g k o m m a t i l l m i t t e g e n t l i g a ä m n e .
F ö r n å g r a å r sedan h ö j d e s i t i d n i n g a r n a m e d s ä r s k i l d s t y r k a d e t s e d v a n l i g a k l a g o r o p e t ö v e r s t u d e n t s k r i v n i n g a r n a ; d e t g ä l l d e denna g å n g b l . a. realisternas m a t e m a t i k s k r i v n i n g .
M a n f a l l e t h a d e b l i v i t a l l t för s t o r t , o c h m å l s m ä n o c h l ä r a r e t ä v l a d e o m a t t g e n o m i n s ä n d a r e s p a l t e r n a framföra s i t t miss- nöje m e d L ä r o v e r k s ö v e r s t y r e l s e n . E n av de u n d e r k ä n d a a b i t u r i e n t e r n a talade o m för m i g p r i v a t i m , v a r felet l å g : »inte v a r u p p g i f t e r n a s ä r s k i l t svara, m e n m a n kände inte igen d e m » . — Ja, s å v a r d e t ; e n v a r k a n g r a n s k a u p p g i f t e r n a för v å r e n 1913; de i n n e h å l l a i n g a o v a n l i g a s v å r i g h e t e r , o c h v a d f o r m e n beträffar, är d e n ej alls i n k r å n g l a d . M e n ä n d å — m a n k ä n d e ej i g e n t a l e n ! O m de hade v a r i t a v f a t t a d e efter d e n g a m l a v a n l i g a s c h a b l o n e n , s å h a d e e x a m i n a n d e r n a m e d l ä t t h e t i d e n t i f i e r a t u p p g i f t e r n a : » J a s å , ett s å d a n t t a l , d e t s k a l l l ö s a s s å o c h s å » . M a n a n s å g s i g k u n n a f o r d r a ( o c h h a d e d ä r v i d l a g u p p m u n t r a t s av de f ö r e g å e n d e å r e n s e f t e r l å t e n h e t ) , a t t a n r ä t t n i n g e n s k u l l e serveras p å ett alldeles b e s t ä m t sätt, o c h inför b r o t t e t m o t e t i k e t t e n b l e v m a n u r s t å n d a t t t i l l - g o d o g ö r a s i g , v a d som b j ö d s , eller förlorade m a n å t m i n s t o n e f a t t n i n g e n .
F a l l e t är visst i c k e e n s t a k a . D e t är t v ä r t o m en v a n l i g visa, m a n får h ö r a från l ä r a r e h å l l : » P o j k a r n a l i a r ä k n a t snällt o c h s a m v e t s g r a n t o c h lärt s i g alla m e t o d e r n a , m e n s å i e x a m e n — f ö r e k o m m a n å g r a o v a n a v ä n d n i n g a r , o c h s å stå de alldeles h a n d f a l l n a ! »
M i s s ö d e n k u n n a a l l t i d inträffa, m e n u p p r e p a s f ö r b å l l a n d e t m e r a k o n s t a n t , s å ä r d e t ett fel n å g o n s t ä d e s . I en l i v l i g t o m d e b a t t e r a d skrift har j u s t b e t y g s s t a t i s t i k e n från m a t e m a t i k - s k r i v n i n g a r n a för r e a l s k o l e x a m e n a n v ä n t s som b e v i s m a t e r i a l ; d ä r finge m a n e x a m i n a n d e r n a s r i n g a k a p a c i t e t o f r å n k o m l i g t fastslagen, eftersom l ä r a r n e v o r e för g o d k ä n n a n d e b u n d n a av lagens b o k s t a v o c h ej k u n d e l å t a s i t t g o d a hjärta t a l a . F r å n m i n s y n p u n k t k a n m a n av m a t e m a t i k p r o v e t ej d r a g a slutsatser a n g å e n d e de ö v r i g a ä m n e n a . S o m j a g i b ö r j a n av d e n n a u p p s a t s e x e m p l i f i e r a t , m i s s k ö t e s m å n g e n s l ä d e s mate- m a t i k u n d e r v i s n i n g e n redan från b ö r j a n , v a r a v t o r d e b l i v i t följden, a t t i varje klass ett antal elever finnas, s o m k o m m i t p å sned b e t r ä f f a n d e j u s t d e t t a ä m n e , o c h å t s k i l l i g a b l i n o g
v a n s k ö t t a i n o m r e a l s k o l a n , u t a n a t t deras a l l m ä n n a m o g n a d och deras f r a m s t e g i a n d r a ä m n e n p å v e r k a s d ä r a v .
M e n h u r v r i d a saken rätt igen? Ja, d e t k a n n ä p p e l i g e n finnas m e r ä n e t t s ä t t : a t t ge ä m n e t från en n y s y n v i n k e l , sä a t t l ä r j u n g e n k o m m e r b o r t ifrån föreställningen, a t t m a t e - m a t i k e n s k u l l e v a r a n å g o t för h o n o m o t i l l g ä n g l i g t . V a r j e m a t e m a t i k l ä r a r e har erfarit, h u r lätt s k a d a n k a n v a r a s k e d d ; l ä r j u n g e n svarar de b e f ä n g d a s t e saker, t i l l dess m a u l y c k a s t v i n g a h o n o m i n p ä e t t e x e m p e l , t a g e t d i r e k t u r hans o m e - d e l b a r a n ä r h e t ; d å l ä m n a r h a n det f ö r e g å e n d e trasslet o c h l ö s e r u p p g i f t e n e n k e l t o c h p r a k t i s k t . L ä r a r e n s u p p g i f t i a l l a s å d a n a fall — o c h de ä r o o f a n t l i g t t a l r i k a ! — b l i r a t t å t e r - föra l ä r j u n g e n s t a n k e v e r k s a m h e t t i l l hans e n k l a , s u n d a för- nuft o c h a t t visa h o n o m , att i n g e n t i n g a n n a t b e h ö v e s än d e n l o g i k , h a n i d e t d a g l i g a l i v e t är m ä k t i g o c h g ö r b r u k av.
M e n d e t t a k a n i sin t u r ej ske p å a n n a t sätt än g e n o m o m - s o r g s f u l l t v a l d a e x e m p e l , s o m dels i o c h för s i g h a peda- g o g i s k t v ä r d e , dels p å e t t s l å e n d e sätt i n s k ä r p a hos l ä r j u n g e n s a m b a n d e t m e l l a n m a t e m a t i k s t u d i e t o c h hans p r a k t i s k a er- farenheter.
S o m m a n finner, t a l a r j a g h ä r f ö r e t r ä d e s v i s o m real- s k o l a n , t y det är där, s o m slaget s k a l l u t k ä m p a s o c h v i n n a s . O c h h u r o a n g e n ä m t d e t än k a n v a r a a t t g r i p a sig an m e d d e t t a arbete, när m a n e t t eller ett par år före e x a m e n t a r e m o t en klass, s å håller j a g före, a t t d e t m å s t e g e n o m f ö r a s u t a n a l l t för m y c k e t s n e g l a n d e framåt e x a m e n , ä v e n o m e x a m e n s r e s u l t a t e t d ä r i g e n o m s k u l l e b l i n å g o t s ä m r e . D e t ä r en b e k v ä m m e t o d att slå i n f o r m l e r för alla m ö j l i g a speciella f a l l ; m a n k a n d ä r i g e n o m n o g v i n n a ett v a c k e r t e x a m e n s - resultat, o m u p p g i f t e r n a ä r o s å d a n a , a t t de » k ä n n a s i g e n » , m e n en v a c k e r u p p v i s n i n g är ej m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n s f ö r n ä m s t a m å l . E x a m e n s k u n s k a p e n är ofta s o m en h ä r l i g d r i v h u s p l a n t a , v i l k e n i n t e t r i v s i v a n l i g a r u m .
F e l e t i en d y l i k t a k t i k k a n lätt e x e m p l i f i e r a s . E n lär- j u n g e , som i c k e p å g r u n d av b r i s t a n d e f ö r m å g a u t a n g e n o m t a n k e l ä t t j a k o m m i t efter, t o g för a t t r e p a r e r a s k a d a n täta
p r i v a t l e k t i o n e r o c h fick d ä r v i d »lösa» massor av l i k a r t a d e p r o b l e m g e n o m schematiserande m e t o d e r ; d e t visade sig be- k v ä m t , m a n slapp j u t ä n k a , o c h t i l l s l u t fick h a n stor fär- d i g h e t i h a n d g r e p p e n . P å en p r o v r ä k n i n g g a v s en u p p g i f t o m e t t v e d i n k ö p , » v a r v i d j ä m t e k o n t a n t b e t a l n i n g t r e ved- k o r t a v l ä m n a d e s , g ä l l a n d e v a r t och e t t för fem k r o n o r » . V e d k o r t e n h a d e i n g e n plats i hans s y s t e m , alltså reste h a n sig o c h f r å g a d e : » L ä m n a d e s b å d e k o r t o c h p e n g a r ? » F r å g a n besvarades n a t u r l i g t v i s ej — o c h u p p g i f t e n ö v e r h o p p a d e s ! M ä n g a l i k n a n d e e x e m p e l s k u l l e k u n n a anföras från s a m m e m a n , s o m i s j ä l v a v e r k e t hade rätt g o d fallenhet för ä m n e t m e n v i d s å g o t t s o m varje p r o v r ä k n i n g m å s t e , ensam i klas- sen, fråga o m de s j ä l v k l a r a s t e saker. — M å n g e n l ä r a r e h a r väl g j o r t s a m m a erfarenhet s o m j a g v i d r e a l s k o l e x a m e n H . T .
1917, d å å t m i n s t o n e p r i v a t i s t e r , när det i en u p p g i f t g ä l l d e a t t b e r ä k n a t o t a l k o s t n a d e n för ä g g , u n d e r e t t h a l v t år k o n - s e r v e r a d e i v a t t e n g l a s , r ä k n a d e h u s m o d e r n r ä n t a n till godo!
D y l i k a fel b o r d e v a r a l i k a o r i m l i g a i n o m m a t e m a t i k s t u d i e t s o m i p r a k t i s k a l i v e t o c h ha v ä l sin f ö r k l a r i n g däri, a t t a l d r i g n å g o n e f t e r t a n k e f o r d r a t s , endast ett m e k a n i s k t i n l ä r a n d e av vissa s c h e m a t a .
Jag a v s t å r från att anföra flera p r o v p å d e n r i k a s k ö r d av l i k n a n d e b e l ä g g , j a g o f r i v i l l i g t samlat, o c h ö v e r g å r från d e t n e g a t i v a , k r i t i k e n , t i l l d e t p o s i t i v a , f ö r s l a g e n . M i n stånd- p u n k t ger s i g s j ä l v av d e t s a g d a : m a n m å s t e t v i n g a lärjun- g a r n a a t t s ä t t a s i g i n i p r o b l e m e t s innebörd o c h ej nöja sig m e d e t t y t l i g t i d e n t i f i e r a n d e m e d förut i n l ä r d a t y p e r o. d . D e n n a t u r l i g a v ä g e n härför b l i r a t t u n d v i k a s k o l m ä s s i g h e t i p r o b l e m e t s i n n e b ö r d o c h a v f a t t n i n g . T v ä r t o m b ö r m a n s ö k a h j ä l p i l ä r j u n g e n s s u n d a förnuft o c h n a t u r l i g a l o g i k , o c h m e d l e t ä r a t t e n d a s t g i v a s å d a n a p r o b l e m , som ä r o a k t u e l l a för h o n o m eller som h a n k l a r t fattar k u n n a f ö r e k o m m a i p r a k t i k e n . R e a l s k o l a n b e h ö v e r härför i n g a l u n d a u r a r t a t i l l n å g o n handels- eller y r k e s s k o l a , t y t i l l d y l i k a p r o b l e m läm- nas n y t t s t o f f varje d a g . S l u t l i g e n b ö r s j ä l v a f o r m u l e r i n g e n v a r a g e n o m g å e n d e n a t u r l i g ; s t e r e o t y p a v ä n d n i n g a r u n d v i k a s .
A l l t s å , k o r t o c h g o t t : e t t s t y c k e r e a l i t e t l ä g g e s f r a m inför h o n o m u t a n s t e r i . . . , förlåt, s t i l i s e r i n g .
H ä r i g e n o m u n d g å r m a n ä v e n i m å n g a f a l l »etiketterin- g e n » av p r o b l e m e n . D e n n a k a n v ä l , s å s o m r e d a n e r k ä n t s , b e r e d a en tillfällig lättnad g e n o m a t t d e n återför u p p g i f t e n t i l l en k ä n d o c h inlärd t y p , m e n v i d a m e r v ä r t är det, a t t m a n k a n v ä c k a l ä r j u n g e n s intresse för u p p g i f t e n . B ä t t r e än d e t d ö d a p l u g g a n d e t finner intresset u t v ä g a r . N a t u r l i g t v i s b ö r m a n ä v e n v i d u n d v i k a n d e t a v t y p i s e r i n g e n ej g å t i l l ö v e r d r i f t e r . N å g o t fast m å s t e l ä r j u n g e n hava, o c h p å deras s t a d i u m k a n n o g i n t e t v e r k b l i v a b e s t å n d a n d e u t a n i n n ö t n i n g o c h u t a n a l l a r e g l e r . S ä b ö r g i v e t v i s d e n rena e k v a t i o n s l ö s n i n g e n s m å n i n g o m ske m e d s a m m a m e k a n i s k a l ä t t h e t s o m de a r i t - m e t i s k a o p e r a t i o n e r n a , m e n å a n d r a sidan får m a n ej efter- s t r ä v a en s å s j ä l l ö s e k v a t i o n s l ö s n i n g , a t t ej en a n n a n m e t o d t i l l g r i p e s i de fall, d å r e g l e r n a leda t i l l o n ö d i g a o m v ä g a r . A v e n för p r o b l e m l ö s n i n g e n m å s t e ä v e n e t t o c h a n n a t i n - s k ä r p a s i f o r m av f ö r h å l l n i n g s r e g l e r , m e n -sparsamt! E n re- gel är t i l l endast för a t t u n d e r l ä t t a a r b e t e t m e d v a d s o m r e d a n är k l a r t ö v e r b l i c k a t m e n får i c k e e r s ä t t a eller u t e s t ä n g a t a n k e v e r k s a m h e t e n . I d e n m å n alltså f r a m g å n g e n m e d lös- n i n g e n av e t t p r o b l e m är beroende av regler, g ö r a dessa m e r s k a d a än n y t t a o c h h j ä l p a t . o. m . för tillfället b l o t t i de f a l l , d å f u l l k o n g r u e n s r å d e r m e l l a n p r o b l e m e t o c h r e g e l n .
Jag å t e r k o m m e r h ä r m e d t i l l s j ä l v a p r o b l e m e t s n a t u r o c h f o r m u l e r i n g . D e t m å d å e r k ä n n a s , att f ö r h å l l a n d e n a p å d e t t a o m r å d e n u m e r a te s i g b ä t t r e än för e t t par å r t i o n d e n sedan, d å e x e m p e l s a m l i n g a r n a sida u p p o c h sida ner b j ö d o p å i d e l a r t i f i c i e l l a p r o b l e m , i v i l k a ofta de o s a n n o l i k a s t e förutsätt- n i n g a r o c h de l ö j l i g a s t e b e s t ä m n i n g a r g j o r d e s . U t e s l u t a n d e k o n s t r u e r a t förefaller t . e x . f ö l j a n d e p r o b l e m :
» T v å k ö p m ä n dela en g e m e n s a m t erhållen v i n s t p å d e t sätt, a t t d e n ene får 540 k r o n o r m e r än d e n andre. H e l a v i n s t e n v a r 490 k r o n o r m i n d r e än t r e g å n g e r den m i n d r e d e l e n . H u r u s t o r v a r v i n s t e n ? »
D e t t a v a r n u ett av de a l l r a enklaste. E t t a n n a t är o c k s å ej alls e n a s t å e n d e :
»I ett förlorat s j ö s l a g u n d k o m m o 15 s k e p p ; de ö v r i g a h a d e dels b l i v i t s ä n k t a , dels t a g n a , dels u p p b r ä n d a ; de s ä n k - tas a n t a l v a r 7 m i n d r e ä n de t a g n a s o c h 2 mer än de u p p - b r ä n d a s , o c h flottans u r s p r u n g l i g a a n t a l v a r 8 g å n g e r de s ä n k t a s ; h u r u m å n g a s k e p p h a d e flottan u r s p r u n g l i g e n ? »
O c h j a g v i l l b l o t t e r i n r a o m de alltjämt t a l r i k t före- k o m m a n d e u p p g i f t e r , i v i l k a f a m i l j e m e d l e m m a r s å l d e r »om- t a l a s » p å s å d a n t sätt, a t t p r o b l e m e t v o r e l i k a enkelt, o m d e t g ä l l d e h e l t o b e k a n t a b e g r e p p . E l l e r o m de u p p g i f t e r , där
»7 m å n a d e r s ränta p å ett k a p i t a l är s å o c h s å m å n g a k r o n o r m i n d r e än hälften av 3 å r s r ä n t a p å e t t annat, 300 k r . s t ö r r e k a p i t a l » o. s. v . E m e l l a n å t s t r ä v a r m a n efter s k e n e t av en viss n a t u r l i g h e t g e n o m a t t v i d u p p g i f t e r , s å d a n a s o m d e n förra av de o v a n c i t e r a d e , a n v ä n d a f o r m u l e r i n g a r s å s o m
» T v å k ö p m ä n 'önska dela sin g e m e n s a m m a v i n s t p å s å d a n t sätt, att» e t c , m e n d e t t a t o r d e ej d u p e r a n å g o n e l e v !
Ä v e n i de fall, d å m a n l y c k a t s träffa ett o m r å d e , som l i g g e r l ä r j u n g e n nära, u t e b l i r f ö r k o n s t l i n g e n e j : » V i d e t t l ä r o v e r k l ä s t e 2/s av l ä r j u n g a r n a s hela a n t a l b å d e l a t i n o c h g r e k i s k a , 1/s l a t i n m e n i c k e g r e k i s k a o c h de ö v r i g a 120 v o r o realister. H u r s t o r t v a r a n t a l e t l ä r j u n g a r v i d det l ä r o v e r k e t ? » U p p g i f t e n har en t y d l i g b i s m a k , s o m förtar a l l t intresse, s o m o m r å d e t i o c h för sig b o r d e k u n n a v ä c k a . M a n m å s t e j u k ä n n a a n t a l e t l ä r j u n g a r för a t t k u n n a g i v a de l ä m n a d e u p p l y s n i n g a r n a , o c h d e t m å s t e ö g o n b l i c k l i g e n s l å l ä r j u n g a r n a , a t t en d y l i k u p p g i f t e n d a s t k a n f ö r e l i g g a u n d e r m a t e m a t i k - l e k t i o n e r n a . M e n d ä r m e d ä r g ä r d e t u p p r i v e t .
M y c k e t v a n l i g t är d e s s u t o m , att u p p g i f t e r f ö r e k o m m a , v i l k a v ä l i o c h för s i g ä r o g o d a m e n endast (!) l i d a av d e t felet, a t t de röra s i g p å för l ä r j u n g a r n a f r ä m m a n d e o m r å d e n . J a g s k u l l e v i l j a b e t e c k n a d e t t a som ett s v å r t fel, när det
g ä l l e r ett ä m n e av d e n ö m t å l i g a beskaffenhet, s o m matema- t i k e n ä g e r . I n g e n å s k å d n i n g s m a t e r i e l finnes h ä r a t t t i l l g å ; r e d a n s p r å k e n ha d e t o f a n t l i g t m y c k e t lättare m e d syn- o c h
l j u d b i l d e r o. s. v . M a n m å s t e j u i n o m m a t e m a t i k e n röra s i g m e d i d e l a b s t r a k t i o n e r , o c h e f t e r s o m v ä l i n g e n b e s t r i d e r , a t t u p p b y g g a n d e t av d e t m a t e m a t i s k a v e t a n d e t , den m a t e m a t i s k a f ä r d i g h e t e n , m å s t e ske i n o m l ä r j u n g e n s egen h j ä r n a , s å får m a n väl ä v e n m e d g e n ö d v ä n d i g h e t e n av a t t i n t e t medel för- s u m m a s , v a r i g e n o m l ä r j u n g e n s t a n k e k r a f t b r i n g a s i själv- v e r k s a m h e t . M e n d å är det h e l t e n k e l t o r i k t i g t , o m man k o m m e r m e d e t t a r b e t s m a t e r i a l , s o m l ä r j u n g e n i c k e f u l l t fattar, eller ger u p p g i f t e r n a i en f o r m , s o m ej visar deras i n n e b ö r d på k l a r a s t e sätt. D e t b e h ö v s b a r a , a t t lärjungen får e t t obe- s t ä m t i n t r y c k av onatur, s å är h a n b o r t a . ,
M a n förstår s å v ä l , h u r de k o n s t l a d e p r o b l e m e n t i l l k o m - m i t . M a n k a n j u ej a l l t i d f r å g a o m s a m m a sak, o c h m a n får d e t ej heller. D e t är j u s t i d e n i n t e l l e k t u e l l a r ö r l i g h e t e n s intresse m a n h a n d l a t ! — M e n o m d e t t a sker o s k i c k l i g t , s å v i n n e r m a n i n g e n t i n g m e d det. D e t k a n m å n g a g å n g e r v a r a s v å r t , i s y n n e r h e t i början, a t t u t f i n n a tillräckligt m å n g a för l ä r j u n g e n b å d e a k t u e l l a o c h i n t r e s s a n t a u p p g i f t e r . M e n d e t är n ö d v ä n d i g t ! O c h o m m a n ej a l l t i d l y c k a s d ä r m e d , s å k a n m a n d o c k a l l t i d ha s y n p u n k t e n i m i n n e .
B l a n d u p p g i f t e r n a , s o m g i v i t s i r e a l s k o l e e x a m e n , finner m a n b å d e k o n s t l a d e o c h n a t u r l i g a . N u k a n det synas, som o m beträffande en e x a m e n s u p p g i f t det i n s t r u k t i v t p e d a g o - g i s k a m o m e n t e t ej b e h ö v d e b e a k t a s , m e n d e n s o m vet, h u r det g å r t i l l i v å r a s k o l o r , k a n ej i n s t ä m m a häri. F ö r d e t ö v e r v ä l d i g a n d e flertalet l ä r a r e o c h elever r e p r e s e n t e r a , h e l t n a t u r l i g t för resten, dessa u p p g i f t e r en n o r m ; de finnas sam- lade och u t g i v n a samt a n v ä n d a s i s t ö r s t a u t s t r ä c k n i n g s o m ö v n i n g s u p p g i f t e r . Ja, än mer, v a r t o c h e t t av d e m u p p h ö j e s på sina håll t i l l en t y p , s o m i n l ä r e s o c h innötes. T r o l i g t v i s är d e t ej v e d e r b ö r a n d e s m e n i n g , a t t saken s k a l l b e d r i v a s p å d e t sättet, m e n det s t å r v ä l ej a t t ä n d r a , o c h d e t v o r e önsk- v ä r t , a t t m a n v i d u t g i v a n d e t av e x a m e n s u p p g i f t e r n a a l l t i d hade sagda förhållande för ö g o n e n .
B l a n d de ur a n g i v n a s y n p u n k t m e r a l y c k a d e examens- u p p g i f t e r n a b e t e c k n a r j a g e t t par från senaste t i d :
» M a n b r u k a r k o n s e r v e r a ä g g m e d v a t t e n g l a s , v a r v i d åt- g å r i l i t e r t i l l 10 t j o g ä g g . P å f ö r s o m m a r e n 1916, d å ä g g e n k o s t a d e i k r . 80 ö r e t j o g e t o c h v a t t e n g l a s e t 40 öre l i t e r n , k ö p t e o c h k o n s e r v e r a d e en m a t m o r 15 t j o g ä g g . D å ä g g e n
1/2 år efteråt k o m m o t i l l a n v ä n d n i n g i h u s h å l l e t , v a r priset p å ä g g u p p e i 3 k r . 50 ö r e t j o g e t . H u r stor b l i r b e s p a r i n g e n i h u s h å l l s p e n g a r n a , o m m a n r ä k n a r 5 % ränta p å det k o n t a n t a u t l ä g g e t u n d e r t i d e n ? » ( H . T . 1917.)
» E n gosse erhöll tillåtelse a t t följa m e d en b i l å k a r e ett s t y c k e t i l l v ä g s , m e d v i l l k o r a t t h a n s k u l l e v a r a t i l l b a k a om 1 t i m m e . H u r l å n g t k u n d e h a n följa m e d b i l e n , o m h a n m å s t e t i l l r y g g a l ä g g a å t e r f ä r d e n t i l l fots? B i l e n å k e r 1 m i l p å 20 m i n . , gossen g å r 1 k m . p å j o min.» ( V . T . 1918.)
B å d a k a r a k t e r i s e r a s av n ä r l i g g a n d e ä m n e s v a l , p r a k t i s k t k y n n e o c h n a t u r l i g t u t t r y c k s s ä t t . U p p l y s n i n g a r n a ha i d e t a l j den f o r m , v a r u n d e r d y l i k a fakta f r a m t r ä d a . D o c k k a n m a n g e n t e m o t d e t senare p r o b l e m e t a n m ä r k a , a t t s i f f e r u p p g i f t e r n a ä r o s å e n k l a , a t t m a n k a n gissa s i g t i l l svaret, v i l k e t j u i c k e b ö r f ö r e k o m m a . V i d a r e h a d e m å h ä n d a ej v å g l ä n g d e n u t a n t i d e n b o r t e f t e r f r å g a s . — M i n d r e l y c k l i g är d å f ö l j a n d e :
» V i d f ö r s ä l j n i n g g e n o m m ä k l a r e av en 5 % o b l i g a t i o n t i l l 98 1/ ä % k u r s j ä m t e u p p l u p e n r ä n t a för en t i d av 2 m å n . 12 d a g a r e r h ö l l s ä l j a r e n , efter a v d r a g av k r . 1:82 för m ä k - l a r e a r v o d e o c h s t ä m p e l s k a t t t i l l s t a t s v e r k e t , k r . 1,490:68. V a d v a r o b l i g a t i o n e n s n o m i n e l l a v a r d e r » ( V . T . 1918.)
S o m p r o v k a n d e n v a r a bra, t y för a t t k u n n a l ö s a d e n m å s t e m a n v a r a f ö r t r o g e n m e d l i t e t av varje b e t r ä f f a n d e o b l i g a t i o n e r . M e n a t t v i d en d y l i k försäljning n o m i n e l l a v ä r - d e t s k u l l e b e h ö v a efterfrågas, d å m a n k ä n n e r a l l t det a n d r a , är nonsens. A l l t s å har m a n h ä r l ä m n a t v e r k l i g h e t e n s g r u n d och g i v i t s i g i n p å k o n s t u k t i o n e r . D å ä r en m o t s v a r a n d e u p p g i f t , g i v e n H . T . 1917, b ä t t r e f u n n e n :
»Hur stor s u m m a s k a l l m a n placera i 5 V 2 % o b l i g a - t i o n e r , som k u n n a k ö p a s t i l l 98 % k u r s , för a t t varje h a l v å r u p p b ä r a i r ä n t a 3,300 kr.?»
Ä v e n h ä r s ö k e s n o m i n e l l a v ä r d e t m e n i ett s a m m a n h a n g ,
s o m m y c k e t v ä l l å t e r t ä n k a s i g . K a n s k e b o r d e , n ä r upp- g i f t e n a n v ä n d e s s o m ö v n i n g s e x e m p e l , i n a t u r l i g h e t e n s intresse g e n o m ä n d r a d f o r m u l e r i n g n å g o n a n t y d n i n g g ö r a s a n g å e n d e e t t p r a k t i s k t s y f t e m å l m e d a v k a s t n i n g e n s fixering t i l l visst b e l o p p . A v e n k u n d e m a n t. e x . u p p g i v a d e t n o m i n e l l a v ä r - d e t o c h efterfråga a n t a l e t o b l i g a t i o n e r .
H u r u lätt d e t m e d l i t e t g o d v i l j a k a n v a r a a t t t i l l g o d o s e r e a l i t e t s k r a v e t , v i l l j a g visa i a n s l u t n i n g t i l l e t t annat e x e m p e l , g i v e t i r e a l s k o l e x a m e n V . T . 1918:
» A . o c h B . ä g a g e m e n s a m t en affär, t i l l v i l k e n A . b i - d r a g i t m e d 14,000 k r o n o r o c h B . m e d 10,000 k r o n o r . S e d a n A . erhållit 40 % av å r s v i n s t e n p å g r u n d av s i t t a r b e t e i affären, delades å t e r s t o d e n m e l l a n de b å d a d e l ä g a r n a i för- h å l l a n d e t i l l deras insatser. H u r stor v a r å r s v i n s t e n , d å B . fick 1,500 k r . av d e n s a m m a ? »
U t a n ringaste f ö r ä n d r i n g av u p p g i f t e n s innehåll k a n m a n g ö r a d e n n a k o n s t r u e r a d e u p p g i f t f u l l t n a t u r l i g g e n o m en r e n t f o r m e l l ä n d r i n g , n ä m l i g e n s å , a t t m e l l a n A . o c h B . e t t a v t a l p å o v a n s t å e n d e v i l l k o r ä r i f r å g a s a t t , o c h m a n ö n s k a r v e t a , h u r s t o r å r s v i n s t e n b e h ö v e r vara, för a t t B . s k a l l få
15 % p å s i t t i n s a t t a k a p i t a l eller låt g å för 1,500 k r .
A t t m a n m e d n å g o n fantasi k a n få tillfälle efterfråga o c h e x e m p l i f i e r a u n g e f ä r v a d s o m helst, u t a n a t t r e a l i t e t s k r a v e t b e h ö v e r b l i l i d a n d e , t r o r j a g m i g y t t e r l i g a r e k u n n a visa ge- n o m a t t a n f ö r a n å g r a o r i g i n a l p r o b l e m :
» D e t h a r f ö r e s l a g i t s för statens b e f a t t n i n g s h a v a r e e t t k r i g s t i d s t i l l ä g g , u t g ö r a n d e 33 V 3 % a v l ö n e n , j ä m t e en
» g r u n d p l å t » o m 365 k r . P å v i l k e t b e l o p p u t g ö r d e t t a sam- m a n l a g t 50 % ?»
» E n från Paris i m p o r t e r a d v a r a k o s t a r i m i n u t h ä r 6 k r . , i Paris 5,50 fr. T u l l e n u p p g å r t i l l 8 % av v ä r d e t , f r a k t o c h ö v r i g a o m k o s t n a d e r t i l l 2,35 fr. + 0,85 k r . H u r m å n g a k r o - n o r b ö r m a n h ö g s t ge för 100 fr., för a t t d e t s k a l l l ö n a s i g a t t s k r i v a efter v a r a n från P a r i s ? »
» E t t k o o p e r a t i v t f ö r e t a g h a r e t t f ö r l a g s k a p i t a l å 10,000 kr., å v i l k e t 4 V 2 % s k a l l utdelas. R e s t e n a v v i n s t e n utdelas
t i l l k ö p a r n e i p r o p o r t i o n t i l l i n k ö p e n s s t o r l e k . H u r stor b ö r o m s ä t t n i n g e n vara, för a t t k ö p a r n a s k o l a få 2 Va %, o m n e t t o - v i n s t e n b e r ä k n a s t i l l 15% a v o m s ä t t n i n g e n ? »
» V i d p o l i s f ö r h ö r o m en b i l o l y c k a u p p g a v en s p å r v a g n s - f ö r a r e följande. B i l e n h a d e passerat h o n o m b a k i f r å n p å 3 sek., o c h s p å r v a g n e n s fart h a d e v i d tillfället v a r i t 100 m . i m i n . — B i l e n v a r 4 m . l å n g ; b e r ä k n a dess h a s t i g h e t ! »
» O m i e t t s l a g k a v a l l e r i e t s förluster v ä n t a s b l i 25 % , i n f a n t e r i e t s 10%, o c h m a n ö n s k a r efter s l a g e t d i s p o n e r a 2/s g å n g e r s å stor k a v a l l e r i - s o m i n f a n t e r i s t y r k a , h u r b ö r m a n d å s a m m a n s ä t t a en t r u p p s t y r k a p å 37,000 m a n k a v a l l e r i o c h infanteri?»
» V i d e n b o u p p t e c k n i n g d e n 16 a p r i l u p p t o g o s 10 st. 4 V 2 % o b l i g a t i o n e r m e d r ä n t e u t b e t a l n i n g 1 febr. o c h 1 a u g . t i l l 5,200 k r . V i l k e n k u r s m o t s v a r a r d e t t a ? »
» V i d a v s l u t a n d e t av e t t k ö p d e n 10 a p r i l e r b j u d e s an- t i n g e n k o n t a n t b e t a l n i n g m o t 2 % r a b a t t eller b e t a l n i n g ge- n o m v ä x e l . D å d i s k o n t o t är 6 V ä %, v i l k e n f ö r f a l l o d a g b ö r b e s t ä m m a s , för a t t a n b u d e n s k o l a v a r a j ä m n g o d a ? V i l k e t d e r a a n b u d e t ä r f ö r d e l a k t i g a s t , o m en senare f ö r f a l l o d a g b e s t ä m m e s ? »
» F ö r o b l i g a t i o n e r s k o l a e m i s s i o n s k u r s o c h n o m i n e l l ränta b e s t ä m m a s s å , a t t p r e m i e b e l o p p e t r ä c k e r t i l l första å r e t s r ä n t a o c h e f f e k t i v a r ä n t a n b l i r c:a 4 , 8 % . K u r s ? »
E n s j ä t t e k l a s s i s t b ö r j u f ö r s t å , a t t m a n i e t t s å d a n t fall s ä t t e r k u r s e n t i l l precis 105 % ( e x a k t a s v a r e t b l i r 105 5/ i i 9 % ) .
» F ö r a t t b e s t ä m m a m ä n g d e n av d e n k o p p a r o x i d , v i l k e n s o m f ö r o r e n i n g finnes i e t t p a r t i k o p p a r o x i d u l , r e d u c e r a r m a n 2,03 g r . o c h e r h å l l e r 1,79 gr. k o p p a r . H u r m å n g a % k o p p a r - o x i d innehöll p a r t i e t ? — K o p p a r o x i d i n n e h å l l e r 79,9 % k o p - par, k o p p a r o x i d u l 8 8 , 8 % . »
»3 g r . k o r k o c h 40,8 gr. a l u m i n i u m u n d a n t r ä n g d e i före- n i n g 27 72 c m3 v a t t e n . 4,3 g r . k o r k o c h 27,2 g r . a l u m i n i u m u n d a n t r ä n g d e l i k a l e d e s 27 ]/ 2 c m3 v a t t e n . B e r ä k n a s p e c i f i k a v i k t e r n a ! »
Jag s k a l l ej belasta u t r y m m e t m e d flera e x e m p e l , d å j a g t r o r , a t t j a g g e n o m de a n f ö r d a g j o r t n å g o t s å n ä r t y d l i g t ,
v a d j a g å s y f t a r . Jag har i det o v a n s t å e n d e b e g r ä n s a t m i t t ä m n e t i l l b l o t t ett p a r t i av skolans m a t e m a t i k k u r s , m e n en- v a r k a n s j ä l v d r a g a k o m k l u s i o n e r n a beträffande ä m n e t s be- h a n d l i n g i sin h e l h e t . D e n g j o r d a b e g r ä n s n i n g e n ä r visser- l i g e n d e l v i s b e t i n g a d av att m i n a h u v u d s a k l i g a e r f a r e n h e t e r l i g g a i n o m d e t t a o m r å d e , m e n d e l v i s ä v e n f r i v i l l i g . T y så- d a n k u r s p l a n e n o c h ä m n e t s o r g a n i s a t i o n är, o c h ä v e n l e d e s p å g r u n d av l ä r j u n g a r n a s u t v e c k l i n g s s t a d i u m , är det, s å s o m j a g redan en g å n g p å p e k a t , i n o m r e a l s k o l a n , slaget s k a l l stå.
V a d som i fjärde o c h femte klassen v i n n e s o c h förloras, är i n o m m a t e m a t i k s t u d i e t i de a l l r a flesta fall ä v e n för de k o m - m a n d e s k o l å r e n v u n n e t o c h förlorat.
*
S y f t e t m e d f ö r e l i g g a n d e u p p s a t s har v a r i t e t t r e n t p r a k - t i s k t . A t t vissa p a r t i e r av det i a l l a fall o u n d g ä n g l i g a teo- r e t i s e r a n d e t förut b e r ö r t s av andra författare, är m i g b e k a n t , m e n j a g har ej k u n n a t u n d v i k a a t t framställa saken i s i t t s a m m a n h a n g , i s y n n e r h e t s o m r ä t t r u n d l i g t i d sedan dess förflutit. D e n n a o m s t ä n d i g h e t t o r d e ej h e l l e r p å n å g o t sätt ha g j o r t m i t t i n l ä g g ö v e r f l ö d i g t ; r e d a n en b l i c k p å d e n ak- t u e l l a l ä r o b o k s l i t t e r a t u r e n l ä m n a r t i l l r ä c k l i g t bevis härför.
