Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903, för BD10 onsdag 22 september 2010, kl 8.15 – 12.15
Hjälpmedel: Endast formelblad (miniräknare är inte tillåten)
För godkänt krävs 10 poäng av 24 möjliga poäng (betygsskala är A,B,C,D,E,FX,F). Den som uppnått 9 poäng får betyget FX och har rätt att komplettera denna tentamen.
Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter.
Examinator: Armin Halilovic
Undervisande lärare: Annica Hänström, Jonas Stenholm, Inge Jovik
Denna uppgift (1) kan du som är godkänd på KS1 hoppa över:
1. Ett parallellogram har hörn i följande tre punkter:
A = (1,0,1), B=(3,5,2) och C=(2,4,3)
a) Beräkna parallellogrammets area. (2p)
b) Beräkna positionen/kordinaterna för det fjärde hörnet. (2p)
---
2. Följande matris är given: ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
=⎡ 3 2
5 A 2
a) Bestäm, med någon lämplig metod, den inversa matrisen till A, (A ). (1p) −1 b) Använd denna inversmatris för att lösa följande matrisekvation (X är en obekant matris):
CT
B
AX − 4 = ,
där: ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
=⎡ 1 3
3
B 1 och ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
=⎡ 3 2
1
C 0 (3p)
3.a) Bestäm ekvationen för den linje som går genom punkterna 0,1,5 och 1,1,6 . (1p)
b) Bestäm skärningspunkten mellan denna linje och planet 5 (1p)
c) Bestäm vinkeln mellan linjen och planet. (2p)
d) Bestäm avståndet mellan de två parallella planen 7 och 0 (2p)
4. Betrakta följande ekvationssystem:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
⋅ + +
−
−
=
−
= + +
6 2
18 5
3
12
z a y x
z y
z y x
a) Avgör om det finns något värde (några värden) för konstanten a, för vilket
ekvationssystemet inte har en unik lösning. Bestäm i så fall vilken typ av lösning det blir (antingen finns oändligt många lösningar eller så saknas lösning). (2p)
b) Lös ekvationssystemet om a = 0. (2p)
5. Beräkna det eller de värden på som gör så att volymen av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna 1,0,1 , 2,0, och 0,4,5 blir 4 volymsenheter. (2p)
6. a) Bestäm momentet (på vektorform) relativt punkten B = (2,2,2) när kraften F har
storleken 10N, kraftens riktningsvektor är a = (3,4,0) och kraften angriper i punkten A = (1,4,-3). Storleken av kraftens moment är Fr, där F är kraftens storlek och r är det kortaste (vinkelräta) avståndet mellan momentpunkten, B, och den linje längs vilken kraften
verkar. (2p)
b) Bestäm vinkeln Θ mellan vektorn och kraften (Svara på formen cosΘ= ). (2p)
Lösningsförslag till: Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903, för BD10, onsdag 22 september 2010
1) Lösning: Här nedan följer en möjlig lösning, beroende på om AB, AC eller BC är parallellogrammets diagonal.
a)
= 3 5 2
- 1 0 1
= 2 5 1
= 2 4 3
- 1 0 1
= 1 4 2
Arean = = 2
5 1
1 4 2
= 6 3 3
Arean = 6 3 3 = √54 = 3√6 Svar: Arean är 3√6 ae
b)
= + = 2 5 1
+ 1 4 2
= 3 9 3
= D – A D = + A = 3 9 3
+ 1 0 1
= 4 9 4 Svar: Det fjärde hörnet D = (4,9,4)
2) Lösning: Man kan t.ex. använda Jacobis metod:
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
1 0
0 1 3 2
5
2 (-1) gånger rad 1 till rad 2
⎥⎦
⎤
⎢ −
⎣
⎡
− 1 1
0 1 2 0
5
2 5/2 gånger rad 2 till rad 1
⎥⎦
⎤
−
⎢ −
⎣
⎡
−2 1 1
0 0
2 32 52
dividera rad 1 med 2 och rad 2 med -2
⎥⎦
⎤
−
⎢ −
⎣
⎡
12 12
54 34
1 0
0 1
Inversa matrisen står nu till höger:
⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
−
⋅ −
⎥=
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
−
= −
−
2 2
5 3 4 1
12 12
54 34
A 1
) 4 ( )
4 ( 4
4B C AX C B A 1AX A 1 C B X A 1 C B
AX − = T ⇒ = T + ⇒ − = − ⋅ T + ⇒ = − ⋅ T +
där A multiplicerats in från vänster. −1
⎟⎟=
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣ +⎡
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⋅ ⎡
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
−
⋅ −
⎟=
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
⋅⎡
⎥ +
⎦
⎢ ⎤
⎣
⋅ ⎡
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
−
⋅ −
= +
⋅
= −
4 12
12 4 3 1
2 0 2 2
5 3 4 1 1 3
3 4 1
3 2
1 0 2 2
5 3 4 ) 1 4
1 (
T
T B
C A X
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
−
⋅ −
⎥=
⎦
⎢ ⎤
⎣
⋅⎡
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
−
⋅ −
= 18 14
7 53 4 1 7 13
14 4 2 2
5 3 4 1
Svar: a)
⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
−
⋅ −
⎥=
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
−
= −
−
2 2
5 3 4 1
12 12
54 34
A 1
b) ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
−
⋅ −
= 18 14
7 53 4 X 1
3) Lösning:
a) Linjens riktningsvektor ges av vektorn 1,0,1 . Om vi väljer P som punkt på Linjen blir linjens ekvation på vektorform , , 0,1,5 1,0,1
Svar: , , , , , ,
b) Linjens ekvation på parameterform: 1 5
: 5
Gemensam punkt (=gemensamt x,y,z) fås då
1 5 4 4
1 9 Svar:
c) Vinkeln mellan linjen och planet fås mha skalärprodukten mellan linjens riktningsvektor och planets normalvektor. Om vi kallar vinkeln mellan dessa vektorer för u fås sedan den sökta vinkeln v som 90° .
cos | || |· , där 1,1,0 och
1,0,1
cos 1,1,0 · 1,0,1
√2√2
1
2 60°
90° 60° 30°
Svar: °
d) Plan 1: 7
Plan 2: 0
Välj en godtycklig punkt i plan 1, ex 7,0,0 och en punkt i plan 2, ex 1,0,1 Bilda 6,0, 1
Normera plan 2:s normalvektor: 1,1, 1 , ,
√
Då blir avstånden mellan planen s projektion på ,
dvs √ 6,0, 1 · 1,1, 1 √
Svar:
√
4) Lösning:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
⋅ + +
−
−
=
−
= + +
6 2
18 5
3
12
z a y x
z y
z y x
Koefficientmatrisens determinant är (Sarrus regel):
=
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
−
⋅
−
⋅
⋅ +
−
⋅
−
⋅ +
⋅
⋅
=
−
− 1 3 1 ( 5) ( 1) 1 0 2 1 ( 5) 2 1 0 1 3 ( 1) 2
1
5 3 0
1 1 1
a a
a
18 3 3 10 5
3 + + + = +
= a a
När är determinanten noll?
6 0
18
3a+ = ⇒ a=−
Slutsats: Om a = -6 har ekvationssystemet inte någon unik lösning.
Sätt in detta värde för a i ekvationssystemet:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
− +
−
−
=
−
= + +
6 6 2
18 5
3
12
z y x
z y
z y x
eller ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
− 6 6 2 1
18 5 3 0
12 1 1 1
där högerledet är i högerkolumnen.
Efter addition av rad 1 till rad 3 fås: ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
18 5 3 0
18 5 3 0
12 1 1 1
Addition av -1 gånger rad 2 till rad 3 ger: ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
36 0 0 0
18 5 3 0
12 1 1 1
Rad 3 tolkas som ekvationen:
36 0=
d.v.s. ekvationssystemet saknar lösning.
a = 0 insättes i ekvationssystemet:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= +
−
−
=
−
= + +
6 2
18 5
3
12
y x
z y
z y x
eller ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
− 6 0 2 1
18 5 3 0
12 1 1 1
Elimination på samma sätt som förut: ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
18 1 3 0
18 5 3 0
12 1 1 1
Addition av -1 gånger rad 2 till rad 3 ger: ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
36 6 0 0
18 5 3 0
12 1 1 1
Rad 3 tolkas som:
6 36
6z = ⇒ z =
4 12
6 5 18
3y=− + ⋅ = ⇒ y= 2
6 4 12− − =
= x
Svar: a) Om a = -6 saknar ekvationssystemet lösning. För alla andra värden på a finns en
unik lösning.
b) Om a = 0 är systemets lösning:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
6 4 2
z y x
5. Lösning: Volymen fås som den skalära trippelprodukten av de tre vektorerna. Denna beräknas mha absolutbeloppet av determinanten
1 0 1 2 0 0 4 5
| 4 2 | 4
| 2| 1 1 eller 3
Svar: Om eller blir volymen 4 v.e.
6. Lösning:
a)
= | |·
= | | = √ 3 4 0
= 3 4 0
= 10·
3 4 0
= 6 8 0 M = ×
= = 1 4 3
- 2 2 2
= 1 2
5
M = 1 2
5
× 6 8 0
= 40 30 20
Svar: Momentet är (40,-30,-20) Nm b)
· = | || | cosΘ 1
2 5
· 6 8 0
= 1 2 5 · √6 8 0 cosΘ
10 = √30 · 10 cosΘ cosΘ = √ Θ = 79,5°
Svar: cosΘ =
√ Θ = 79,5°
