Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903, Fredag 14 september 2012, kl. 8.15 – 12.15

1

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903,

Fredag 14 september 2012, kl. 8.15 – 12.15

Undervisande lärare: Fredrik Bergholm, Elias Said, Jonas Stenholm Examinator: Armin Halilovic

Hjälpmedel: Endast utdelat formelblad (miniräknare är inte tillåten) För godkänt krävs 10 poäng av 24 möjliga poäng.

Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs 22, 19, 16, 13 respektive 10 poäng.

För betyget Fx krävs 9 poäng. Fx är ett underkänt betyg men med möjlighet till komplettering.

Kompletteringen kan endast göras upp till betyg E.

Fullständiga lösningar skall presenteras på alla uppgifter.

--- Börja varje ny uppgift på ett nytt blad, detta gör att rättningen blir säkrare.

Skriv endast på en sida av papperet.

Skriv namn och personnummer på varje blad.

Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget.

---

Uppgift 1 kan du som är godkänd på KS1 hoppa över.

Uppgift 1.

a) Beräkna arean av triangeln ABC, där ) 4 , 2 , 2 ( )

2 , 2 , 2 ( ), 1 , 1 , 1

( = =

= B och C

A . (2p)

b) Bestäm vinkeln mellan rymddiagonalen av en kub och en av kubens kanter.

(2p)

Uppgift 2.

Vektorn vr har längden 10 längdenheter och är parallell med vektorn (3,4,0). (1p)

a) Bestäm koordinater för vektorn vr . b) Beräkna vinkelräta projektionen av vr på riktningen (1,3,5). (2p)

c) Dela upp vektorn vr i två komposanter br

och cr , (vr=br+cr), på så sätt att br

är den vinkelräta projektionen av vr på riktningen (1,3,5).

Ange de båda vektorerna br

och cr ! (1p)

Var god vänd.

2 Uppgift 3.

a) En parallellepiped spänns upp av vektorerna u=(1,2,1), v=(1,1,1) och w=(2,5,t). Bestäm konstanten t så att volymen av parallellepipeden blir 1 volym enhet. (2p) b) Bestäm det (eller de) tal a för vilket linjerna L1 och L2 skär varandra.

: 3 3

2 :

2 1

+

=

= +

=

=

z y a x L

z y x

L (2p)

Bestäm även skärningspunkten P.

Uppgift 4

a) Lös följande matrisekvation, där X är en okänd matris: A⋅X =B⋅X +C

om ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡ 4 3

2

A 1 , ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

= −

0 2

2

B 0 och ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

16 16

0

C 16 (2p)

b) Bestäm inversen till följande matris:

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

1 2 2

2 1 2

2 2 1

A (2p)

Uppgift 5.

För vilka värden på parametern n har följande linjära ekvationssystem, med obekanta x, y, och z, en entydig lösning,( dvs. exakt en lösning)?

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + + + + +

= + + + + +

= + + + +

3 ) 8 ( ) 7 ( ) 6 (

2 ) 5 ( ) 4 ( ) 3 (

1 ) 2 ( ) 1 (

z n y n x n

z n y n x n

z n y n nx

(4p) Uppgift 6.

Givet två parallella linjer L1 och L2:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+

−

= +

=

=

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

= +

=

=

3 3 1 52 :

, 3

42

: ₂

1

z s

s y

x s

L z t

t y

x t

L

a) Bestäm avståndet (det kortaste avståndet) mellan dessa parallella linjer L1 och L2. (2p) b) Ange ekvationen för det plan som innehåller de två parallella linjerna L1 och L2.

(2p) Lycka till!

3 Lösningsförslag ( med preliminära rättningsmall)

Uppgift 1.

a) Beräkna arean av triangeln ABC, där ) 4 , 2 , 2 ( )

2 , 2 , 2 ( ), 1 , 1 , 1

( = =

= B och C

A . (2p)

b) Bestäm vinkeln mellan rymddiagonalen av en kub och en av kubens kanter.

(2p) Lösning:

a) AB^→ =(1,1,1), AC^→ =(1,1,3),

Arean av triangeln ABC är | | 2

1 ^{→ →}

× AC AB Eftersom

k j i k j i AC

AB r r r

r r r

0 2 2 3 1 1

1 1

1 = − +

=

× ^→

→

har vi

Arean = | |

2

1 ^{→ →}

× AC

AB = 2 2 2

2 8 1 2 4 1 2 4

1 + = = = .

Arean = 2

b)

Rymddiagonalen ges av vektorn r mellan origo och kubens hörnpunkt (a, a, a).

2 3

2

2 a a a

a

r = + + =

Vinkeln α mellan rymddiagonal vektor och en av kuben sidor som definieras av t ex vektor x

= (a, 0, 0) i x-led beloppet a. Detta ger

) 55 ( 3) arccos( 1 3

cos

α

= = 1 ⇒

α

= ≈ ^ο

r x

r xo

Rättningsmall: a) Korrekt vektorprodukt ger 1p Allt korrekt i a-delen = 2p.

b)1 p för korrekt uppställt problem. Allt korrekt i b delen =2p.

4 Uppgift 2.

Vektorn vr har längden 10 längdenheter och är parallell med vektorn (3,4,0). (1p)

a) Bestäm koordinater för vektorn vr . b) Beräkna vinkelräta projektionen av vr på riktningen (1,3,5). (2p)

c) Dela upp vektorn vr i två komposanter br

och cr , (vr=br+cr), på så sätt att br

är den vinkelräta projektionen av vr på riktningen (1,3,5).

Ange de båda vektorerna br

och cr ! (1p) Lösning:

Bestäm först vr på koordinatform.

(3,4,0) har rätt riktning, men fel längd, eftersom:

5 0 4 3 ) 0 , 4 , 3

( = ² + ² + ² =

vr har alltså samma riktning som (3,4,0), men dubbla längden, d.v.s vr=2⋅(3,4,0)=(6,8,0). Den vinkelräta projektionen, br

, av vr på ar=(1,3,5) ska bestämmas.

=

⋅

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛

⋅

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

+ +

⋅ +

⋅ +

= ⋅

⎟⎟⋅

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

⋅

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛ (1,3,5)

35 ) 30 5 , 3 , 1 5 (

3 1

5 0 3 8 1 ) 6

5 , 3 , 1 ) ( 5 , 3 , 1 ( ) 5 , 3 , 1 (

) 5 , 3 , 1 ( ) 0 , 8 , 6 (

2 2

o 2

o r r

ro or r r

a a a

a b v

7 ) ,30 7 ,18 7 (6 ) 5 , 3 , 1 7 (

6⋅ =

=

Den andra komposanten ska också bestämmas:

b v c c

b

vr= r+r ⇒ v= r−r

7 ) , 30 7 ,38 7 (36 7 ) ,30 7 ,18 7 (6 ) 0 7 , ,56 7 (42 7 ) ,30 7 ,18 7 (6 ) 0 , 8 , 6

( − = − = −

= cv

Svar: )

7 ,30 7 ,18 7 (6

= br

och )

7 , 30 7 ,38 7

(36 −

= cv

Rättningsmall:

Felaktig bestämning av vr på koordinatform -1p

Felaktig bestämning av den vinkelräta projektionen, br

-2p

Felaktig bestämning av komposant cv -1p

Uppgift 3.

a) En parallellepiped spänns upp av vektorerna u=(1,2,1), v=(1,1,1) och w=(2,5,t). Bestäm konstanten t så att volymen av parallellepipeden blir 1 volym enhet. (2p) b) Bestäm det (eller de) tal a för vilket linjerna L₁ och L₂ skär varandra.

: 3 3

2 :

2 1

+

=

= +

=

=

z y a x L

z y x

L (2p)

Bestäm även skärningspunkten P.

Lösning:

a) Volymen V ges av

5

= ⇒

=

×

= | 1

5 2

1 1 1

1 2 1

| ) (

t w

v u

V o

3 ,

1 1

2 1

| 2

| − = ⇒ − =± ⇒ ₁= ₂ =

⇒ t t t t

Rättningsmall: Enstaka räknefel -1p annars rätt eller fel.

b) Alternativ 1 : Om linjerna skär varandra i en punkt(x,y,z) då finns det x,y och z som satisfierar alla ( 4) ekvationer

3 3

2 +

=

= +

=

=

z y a x

z y x

som vi kan skriva som fyra ekvationer:

x=y ( ekv 1) y=2z, ( ekv 2) x+a=3y ( ekv 3) 3y= z+3 ( ekv 4) ==============

Vi substituerar x=2z och y= 2 z i tredje och fjärde ekv och får:

2z+a=6z ( ekv 5) och 6z= z+3 ( ekv 6)

Från ekv 6 har vi z=3/5 som efter subst i ekv 5 ger 6/5+a=18/5 och slutligen a= 12/5

b) Alternativ 2 :

Skriv om linjernas ekvation på parameterform

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+

−

=

= +

−

=

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

s z

y s

s a x L z t

t y

t x L

33 :

, 2 :

2 2 2

2

1 1 1

1 där s och t är reella tal.

Eftersom linjerna skär varandra så x₁=x₂ , y₁ =y₂, z₁= z₂

t s z

z

t s y

y

+

−

⇒ =

=

⇒ =

=

2 3 3

2 1

2 1

och ekvationssystemet har lösningen:

5 6 5 18

=

= t s

Insättning i

5 12 5

18 5

6

2

1 =x ⇒ =−a+ ⇒ a=

x

Och därmed är skärningspunktens koordinat: ) 5 ,3 5 ,6 5 (6

= P

Rättningsmall: Rätt konstant a 1p, rätt skärningspunkt P 1p.

Uppgift 4

6 a) Lös följande matrisekvation, där X är en okänd matris: A⋅X =B⋅X +C

om ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡ 4 3

2

A 1 , ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

= −

0 2

2

B 0 och ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

16 16

0

C 16 (2p)

b) Bestäm inversen till följande matris:

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

1 2 2

2 1 2

2 2 1

A (2p)

Lösning:

a. Lös först ut matrisen X i ekvationen:

C X B X

A⋅ = ⋅ + ⇔ A⋅X −B⋅X =C ⇔ (A−B)⋅X =C

⇔

⋅

−

=

⋅

−

⋅

−

⇔ ( A B )

⁻¹

( A B ) X ( A B )

⁻¹

C

X = ( A − B )

⁻¹

⋅ C

Nu kan man sätta in siffervärden i slututtrycket för matrisen X:

⎥=

⎦

⎢ ⎤

⎣

⋅⎡

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

− −

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⋅

−

=

−

−

16 16

0 16 0

2 2 0 4 3

2 ) 1

(

1

1 C

B A X

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

= −

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

⋅ −

−

⎥=

⎦

⎢ ⎤

⎣

⋅⎡

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

⋅ −

−

⎥=

⎦

⎢ ⎤

⎣

⋅⎡

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

−

1 4

4 0 16

64 64 0

16 1 16

16 0 16 1 5

4 4 16

1 16

16 0 16 4

5 4

1 ¹

b. Vi inverterar återigen med Jacobis metod:

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

1 0 0

0 1 0

0 0 1 1 2 2

2 1 2

2 2 1

(eliminera uppåt och nedåt från huvuddiagonalen på vänster sida)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

−

1 0 2

0 1 2

0 0 1 3 2 0

2 3 0

2 2 1

(multiplicera raderna med lämpliga tal)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

−

3 0 6

0 2 4

0 0 3 9 6 0

4 6 0

6 6 3

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

−

−

3 2 2

0 2 4

0 2 1 5 0 0

4 6 0

2 0 3

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

−

−

6 4 4

0 10 20

0 10 5 10 0

0

20 30 0

10 0

15

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

−

−

6 4 4

12 18 12

6 6 9 10 0

0

0 30 0

0 0 15

7

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

106 104 104

30 12 30 18 30 12

156 156 159

1 0 0

0 1 0

0 0 1

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

5 3 52 52

52 5 3 52

52 52 5 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Inversen blir alltså:

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

⋅

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

− =

3 2 2

2 3 2

2 2 3 5 1

53 52 52

52 53 52

52 52 53

A 1

Svar: a) ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

= −

1 4

4

X 0 b)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

− =

53 52 52

5 2 5 3 5 2

5 2 52 5 3

A 1

Rättningsmall: Korrekt a delen ger 2p. Korrekt b delen ger 2p.

Uppgift 5.

För vilka värden på parametern n har följande linjära ekvationssystem, med obekanta x, y, och z, en entydig lösning,( dvs. exakt en lösning)?

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + + + + +

= + + + + +

= + + + +

3 ) 8 ( ) 7 ( ) 6 (

2 ) 5 ( ) 4 ( ) 3 (

1 ) 2 ( ) 1 (

z n y n x n

z n y n x n

z n y n nx

Vi betecknar systemets determinant med D. Systemet har en entydig lösning,( dvs. exakt en lösning) om och endast om D ≠ 0.

) 7 ( ) 6 (

) 4 ( ) 3 )( 2 ) (

8 ( ) 6 (

) 5 ( ) 3 )( 1 ) (

8 ( ) 7 (

) 5 ( ) 4 (

) 8 ( ) 7 ( ) 6 (

) 5 ( ) 4 ( ) 3 (

) 2 ( ) 1 (

+ +

+ + +

+ + +

+ + +

+ − +

+

= +

+ +

+

+ +

+

+ +

=

n n

n n n

n n

n n n

n n

n n n

n n

n

n n

n

n n

n D

= n⋅[(n+4)(n+8)−(n+5)(n+7)] −(n+1) [(n+3)(n+8)−(n+6)(n+5)] +(n+2) [(n+3)(n+7)−(n+6)(n+4)] =

= –3n +6(n+1) –3(n+2)= –3n +6n+6 –3n–6= 0 ( för alla n)

SLUTSATS: D= 0 oavsett värdet på n. dvs det saknas n som gör att detta system får entydig lösning.

8 Rättningsmall: Rätt räknat 2p. Rätt slutsats 2p till. Det otydliga svaret: ”Det finns ingen lösning” ger 3 poäng om rätt räknat. .

Uppgift 6.

Givet två parallella linjer L1 och L2:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+

−

= +

=

=

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

= +

=

=

3 3 1 52 :

, 3

42

: ₂

1

z s

s y

x s

L z t

t y

x t

L

a) Bestäm avståndet (det kortaste avståndet) mellan dessa parallella linjer L1 och L2. (2p) b) Ange ekvationen för det plan som innehåller de två parallella linjerna L1 och L2.

(2p)

Lösning:

a)

Linjernas riktningsvektor är ) 3 ,1 1 2, (1

=

r

Välj en godtycklig punkt t.ex. P1= (0, 4, 0) från den ena linjen L1 som avståndet från denna punkt till den andra linjen, L2 skall bestämmas. En godtycklig punkt t.ex. P2= (0, 5, -1/3) från den andra linjen L2 skall även väljas.

D v P

P^→ = − )= + 3 , 1 1 , 0

2 (

1 där vektorn v är den ortogonala projektionen av vektorn P₁^→P₂ i linjens riktningsvektor, medan avståndet ges via beloppet av vektorn Dr

.

Avståndet 7 26

1274 1 49 27 1 17 49 16

1

49) , 27 49 ,17 49 ( 16 3) ,1 1 2, (1 49 ) 32 3 , 1 1 , 0 (

3) ,1 1 2, (1 49 ) 32 3 ,1 1 2, (1 3 1 1 2 1

3) , 1 1 , 0 ( 3) ,1 1 2, (1

2 2 2 2 1

2 2

2 21 2

= ⇒

= + +

=

−

−

=

−

−

=

−

=

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝ +⎛ +

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

= −

=

D

v P P D

r r

P P v r

r r

o o

Rättningsmall: Rätt vektor Dr

1p, rätt belopp t ex 16² 17² 27² 49

1 + +

=

D ger 1p.

b)

Från a-delen: )

3 , 1 1 , 0 ( och

3) ,1 1 2,

(1 _{1 2} = −

= PP

r

2) , 1 6 , 1 3 (2 n normal)

planets

2 (

1P ×r=n ⇒ = − −

P

Planets ekvation är:

9 0

4 3 4

6 0 4 6 3 6 1 6 0 4

3 2 2 1 6 1 3 2

3 ) 2

0 , 4 , 0 (

2 0 1 6 1 3 0 2

1

= +

−

−

⇔

= +

−

−

⇔

= +

−

−

=

=

= +

−

⇒ −

= + + +

z y x z

y x z

y x

d ger P

d z y x d

cz by ax

Rättningsmall: Rätt normalvektor 1p, rätt planets ekvation 1p.