Tentamen 2 i Matematik 1, HF1903, för BD10 måndag 18 oktober 2010, kl 13.15 – 17.15
Hjälpmedel: Endast formelblad (miniräknare är inte tillåten)
För godkänt krävs 10 poäng av 24 möjliga poäng (betygsskalan är A, B, C, D, E, Fx, F).
Den som uppnått 9 poäng får betyget Fx och har rätt att komplettera.
Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter.
Examinator: Armin Halilovic Undervisande lärare:
BD10: Annica Hänström, Jonas Stenholm, Inge Jovik
Denna uppgift(1) kan du som är godkänd på KS2 hoppa över.
1) Följande funktioner är givna:
x x
f 1
3 )
( = + och g(x)=3x2 +15x+12. Bestäm …..
a) den sammansatta funktionen f( xg( )), (1p)
b) den sammansatta funktionens definitionsmängd, (1p) c) derivatan av den sammansatta funktionen,
(
f( xg( )))
dx
d , (1p)
och d) gränsvärdet av f( xg( )), då x→∞. (1p)
___________________________________________________________________________
2)
a) Bestäm kurvans lutning och tangentens ekvation i den punkt där x=1 för funktionen 1
) 1
( 2
= + x x
f (2p)
b) Undersök funktionen
1 ) 2
( 2 2
= − x x x
f .
Bestäm funktionens eventuella asymptoter (lodräta/vågräta/sneda ) och samtliga
extrempunkter (min och max). (2p)
3) Bestäm då y = (2p)
4) Lös följande obestämda integraler.
a) 3 (2p)
b) √ dx (2p)
c) dx (2p)
5 a) Området i första kvadranten som begränsas av funktionen √ , x-axeln och x=1 får rotera kring x-axeln.
Bestäm volymen av den uppkomna rotationsvolymen. (1p)
b) Beräkna volymen av den kropp som uppstår då den yta som begränsas av funktionerna
√ får rotera runt x-axeln. (2p)
6) Vi betraktar funktionen , 2 4 10
a) Beräkna , , ´´ , ´´ ´´ (1p) b) Bestäm funktionens stationära ( eller kritiska) punkter och avgör deras karaktär ( max ,
min eller sadelpunkt) (2p)
7) Volymen mellan ytan , och xy- planet beräknas med hjälp av formeln
, .
Beräkna V då D definieras genom
0 1 0 3
och , (2p)
Lycka till!
1) Lösning:
a)
12 15 3
3 1 ) ( 3 1 )) (
( 2
+ + +
= +
= g x x x
x g f
b) Funktionen är definierad överallt utom där nämnaren är noll. Bestäm nämnarens nollställen:
⇒
−
±
−
=
⇒
= + +
⇒
= +
+15 12 0 5 4 0 4
3x2 x x2 x x 25 254
⎩⎨
⎧
−
=
−
⇒ =
±
−
=
⇒
±
−
= 1
4
2 1 23
25 94
25
x x x
x
Funktionen är alltså definierad då x≠−1 och x≠−4.
c) 2 3 (3 2 15 12) 1
12 15 3
3 1 )) (
( = + + + −
+ + +
= x x
x x x
g f
( ) (
2 1)
2 2 2 2) 12 15 3
(
15 ) 6
15 6 ( ) 12 15 3
( ) 1 ( ) 12 15 3
( 3 ))
(
( + +
− +
= +
⋅ + +
⋅
−
= +
+ +
= − −
x x
x x x
x x
dx x x d
g dx f
d
d) 1 3 0 3
12 3 15 3
lim 1 12 3
15 3
3 1 lim )) ( (
lim 2 2 = + =
+∞
⎟=
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
+ + +
⎟=
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
+ + +
= →∞ →∞
∞
→ f g x x x x x
x x
x
Gränsvärdet av kvoten blir noll, eftersom täljaren är konstant och nämnaren växer obegränsat.
Svar: a)
12 15 3
3 1 )) (
( 2
+ + +
= x x
x g
f , b) Definitionsmängd: x≠−1 och x≠−4.
c) Derivatan blir
( )
2 2) 12 15 3 (
15 )) 6
(
( + +
− +
= x x
x x g dx f
d , och d) lim ( ( ))=3
∞
→ f g x
x .
2) Lösning:
a)
Tangentens lutning ger funktionens lutning i punkten.
1 1
2 Tangentens ekvation: y
1 = punkten (1,½) 1
b) 1 ) 2
( 2
2
= − x x x f
Lodräta asymptoter fås då nämnaren blir noll, och täljaren inte blir noll samtidigt.
1 0
2 −1= ⇒ x=±
x (täljaren blir då 2x2 =2⋅(±1)2 =2≠0).
Alltså två lodräta asymptoter, för x = -1 och x = 1.
Vågräta asymptoter fås från gränsvärdet då x→±∞: 0 2
1 2 1 1
lim 2 1 lim 2
2 2
2 =
= −
= −
− →±∞
∞
±
→
x x x
x x
Alltså en vågrät asymptot åt höger och åt vänster för y = 2.
Sned asymptot saknas eftersom täljaren har samma grad som nämnaren.
Extrempunkter: Icke-deriverbara punkter och ändpunkter saknas. Undersök stationära punkter ( f′ x( )=0):
Derivera med kvotregeln: 2 2 2 2
3 3
2 2
2 2
) 1 (
4 )
1 (
4 4 4 )
1 (
2 2 ) 1 ( ) 4
( −
= −
−
−
= −
−
⋅
−
−
= ⋅
′ x
x x
x x x x
x x x
x x f
0 0
0 4 ) 0
1 ( ) 4
( 2 2 = ⇒ − = ⇒ = =
−
= −
′ x x y
x x x f
Derivatan har ett enda nollställe, för x = 0.
Derivatans nämnare är alltid positiv, medan täljaren är positiv då x < 0 och negativ då x > 0.
Derivatan har då teckenväxlingen + 0 – runt (0,0). Denna punkt är alltså en maxpunkt.
3) y =
lny = 4ln(x-2) + 7ln(x+4) – 3ln( +1) Deriverar båda leden
= + - =
= ·y =
4a) 3 = 3 = 3
b) √ dx =
√
√
2√ 2
= sin · 2 = 2 2 cos =
= 2 cos 2 sin 2√ cos √ 2 sin √
dx = dx
Partialbråksuppdela
=
X= -1 -4 = B(-4) → B = 1 X= 3 12 = A(4) → A = 3
dx = dx = 3 ln 3 ln 1
5.a) Ett volymselement:
och hela volymen Svar: Volymen = . .
b) För att beräkna den totala volymen behöver vi veta var kurvorna skär varandra, dvs
√ 4 0 0 4. Då t ex √2 förstår vi att den övre
funktionen är √ . Därför kan vi teckna ett volymselement som
och hela volymen blir
√ v.e.
Svar: Volymen = v.e.
6) (2p)
2 2, 2 4, ´´ 2 , ´´ 0 ´´ 2 0
0 x 1, 2 En stationär punkt S=(1,2)
A= ´´ 2 B= ´´ 0 C= ´´ 2 4 0 och A>0 minimum.
Svar b) Funktionen har minimum i punkten S=(1,2). ( Anmärkning: 1,2 5)
7)
, 3 9 3 3 7
3 7
Svar:
