Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903 tisdag 8 januari 2013, kl 8.15 – 12.15
Hjälpmedel: Endast formelblad (miniräknare är inte tillåten)
För godkänt krävs 10 poäng av 24 möjliga poäng (betygsskala är A,B,C,D,E,FX,F). Den som uppnått 9 poäng får betyget FX och har rätt att komplettera denna tentamen.
Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter.
Examinator: Armin Halilovic
Undervisande lärare: Fredrik Bergholm, Jonas Stenholm, Elias Said
1. Två vektorer är givna: ar =(2,3)och br=(5,4)
. Bestäm
a) konstanterna α och β om α⋅ar+β⋅br =(−1,1) (2p)
b) en enhetsvektor (vektor med längden 1) i rakt motsatt riktning mot ar . (1p) c) en vektor som är vinkelrät mot br
. (1p)
2. a) Någon påstår att vinkeln mellan två rymddiagonaler i en kub är 90 grader. Visa att detta är fel (rymddiagonal = diagonal genom kubens centrum mellan två motstående hörn). (2p) b) Antag att en kub har fyra av sina hörn i A: (0,0,0), B: (1,0,0), C: (0,1,0) och D: (0,0,1).
Bestäm ekvationen för planet genom B, C och D. (2p)
3. Punkterna P = (1,4,7) och Q = (1,–4,2) är givna.
a) Bestäm ekvationen för linjen genom P och Q. (2p) b) Bestäm avståndet mellan linjen (genom P och Q) och punkten (-1,-1,-1) (2p)
4. Lös följande matrisekvation: X = AX+B, där ⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
−
= −
3 6
5
A 3 och ⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
−
= −
32 12
2
B 30 (4p)
5. Undersök följande ekvationssystem för alla värden för de reella konstanterna a och b:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= + +
= +
−
=
− +
b az y x
z y x
z y x
5
2 3
a) Bestäm vilken typ av lösningar det blir, för alla reella värden för a och b. (2p) b) Bestäm lösningarna för de värden för a och b som inte ger en unik lösning. (2p)
Vänd!
6. Vektorerna ar = (1/√2, 1/√2) och br = (-1/√2, 1/√2) är vinkelräta och av längd 1, och bildar axelriktningarna i ett rätvinkligt koordinatsystem, se figur. Detta koordinatsystem är roterat i förhållande till det ursprungliga (x,y)-koordinatsystemet.
Ta reda på vilka koordinater punkten (x,y) = (2,3) har i det roterade systemet genom att projicera rätvinkligt mot axlarna (axelriktningarna) ar och br
. (2p)
Vilka koordinater har en godtycklig punkt (x,y) i det roterade systemet? (2p) (Rita gärna en figur.)
Lösningsförslag
1. a. α⋅ar+β⋅br =(−1,1) ⇒ α⋅(2,3)+β⋅(5,4)=(−1,1) Detta ger ett ekvationssystem:
⎩⎨
⎧
= +
−
= +
1 4 3
1 5 2
β α
β α
Med Gausseliminering fås att: 7β =−5 , d.v.s.
7
−5 β = Andra ekvationen ger att
7 9 7
4 27 1
3α = − β = ⇒ α =
b. ar = 22 +32 = 13 enhetsvektor:
13 ) 3 , 2 (
enhetsvektor med motsatt riktning mot ar : 13
) 3 , 2
−(
c. Vektorn cr är vinkelrät mot bv
om brocr=0 En möjlig sådan vektor är cr=(4,−5)
Svar: a) 7
= 9
α och
7
−5
β = , b) 13
) 3 , 2
−( , c) t.ex. (4,−5)
2. a. Vektorer är vinkelräta om och endast om skalärprodukten = 0.
Antag att kubens kant är a längdenheter.
Två möjliga rymddiagonaler är då (a,a,a) och (a,a,−a). Skalärprodukten blir: (a,a,a)o(a,a,−a)=a2 +a2 −a2 =a2
2 =0
a endast då a =0, d.v.s då kuben har kantlängden noll (ointressant).
Alltså har vi visat att vinkeln inte är 90° och på samma sätt kan man visa att vinkeln inte är 90° för något par av rymddiagonaler i kuben.
b. BC=(−1,1,0) och BD=(−1,0,1)
Normalvektorn för planet genom B, C och D:
) 1 , 1 , 1 ( 1 0 1
0 1
1 =
−
−
=
×
=
z y
x e e
e BD BC n
r r r r
Ekvationen för ett plan med normalvektor (A,B,C): Ax+By+Cz =D Planet genom B, C och D ges alltså av x+y+z= D
B:s koordinater sätts in: 1+0+0=1=D, d.v.s x+y+z=1 Svar: a) se ovan b) Planets ekvation är x+ y+z =1
3. a. Linjens riktningsvektor är rr= PQ =(0,−8,−5) Man behöver också en punkt på linjen. Vi väljer P = (1,4,7).
Ekvationen för en rät linje på parameterform: l =P+t⋅rr,
d.v.s. för en punkt (x,y,z) på linjen gäller:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
=
−
=
=
t z
t y
x 5 7
8 4
1
b. Formel för avstånd mellan punkt och linje:
v PA v
d r
r× →
= (från formelbladet)
Här är d avståndet, A den givna punkten, P en godtycklig punkt på linjen och slutligen så är vr linjens riktningsvektor.
→
PA beräknas som PA→ =(−1,−1,−1)−(1,4,7)=(−2,−5,−8)
) 16 , 10 , 39 ( 8 5 2
5 8
0 = −
−
−
−
−
−
=
× →
z y
x e e
e PA v
r r r r
. . 59 , 4 . 89 . 1877 )
5 ( ) 8 ( 0
) 16 ( 10 39
2 2
2
2 2
2
e l e
v l PA v
d = ≈
− +
− +
− +
= +
×
=
→
r r
Svar: a) linjens ekvation är
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
=
−
=
=
t z
t y
x 5 7
8 4
1
b) avståndet är . . 89 1877 le
4. Ekvationen löses först formellt, sedan med siffror insatta.
= ⇒
⇒ −
=
⇒ − +
= AX B EX AX B E A X B
X ( )
B A E X B
A E X A E A
E ) 1( ) ( ) 1 ( ) 1
( − − − = − − ⇒ = − −
där E är enhetsmatrisen av typ 2x2.
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
−
= −
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
−
− −
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
=⎛
− 6 2
5 2 3
6 5 3 1 0
0 A 1
E
Inversen blir då (med någon metod): ⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⋅⎛
=
− −
2 6
5 2 26 ) 1 (E A 1
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
=⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
−
⋅ −
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⋅⎛
=
−
= −
2 6
6 0 32 12
2 30 2
6 5 2 26 ) 1
(E A 1B X
Svar: ⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
=⎛ 2 6
6 X 0
5. a. och b.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= + +
= +
−
=
− +
b az y x
z y x
z y x
5
2 3
Bestäm koefficientmatrisens determinant:
2 2 1
5
1 1 1
1 1 1
−
−
=
−
−
a a
För vilka a-värden är den noll?
1 0
2
2 − = ⇒ =−
− a a
Ett ekvationssystem har unik lösning om och endast om koefficientmatrisens determinant är skild från noll.
Alltså: Det givna ekvationssystemet har unik lösning för alla a- värden utom a = -1 Sätt in a = -1 i systemet:
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
b 2 3
1 1 5
1 1 1
1 1 1
som till slut blir
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
13 1 3
0 0 0
2 2 0
1 1 1
b Sista raden tolkas som 0= b−13.
Det betyder att lösning saknas om b≠13,
och att det finns oändligt många lösningar (parameterlösning) om b=13 Parameterlösningen bestäms:
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
0 1 3
0 0 0
2 2 0
1 1 1
, vilket ger att x+y−z=3 och −2y+2z=−1
Sätt
2 5 2
1+ ⇒ =
⇒ =
=t y t x
z , d.v.s.
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
= +
=
=
t z
t y
x 2 12
5
Svar: a) Unik lösning för alla a- värden utom a = –1 (oavsett värdet för b).
Ingen lösning alls om a = –1 och b ≠ 13 Parameterlösning om a = –1 och b = 13.
b) Ingen lösning alls om a = –1 och b ≠ 13
Om a = –1 och b = 13 blir det följande parameterlösning:
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
= +
=
=
t z
t y
x 2 12
5
6. Eftersom vektorerna är normerade kan man få längden av vinkelrät projektion genom två skalärprodukter: oar (2,3) = xny samt ro
b (2,3) = yny där [xny, yny] är koordinater i det roterade systemet. Det är längden(med tecken) av den projicerade vektorn OP, P= (2,3) som är koordinaten på en axel i det roterade koordinatsystemet. Man får alltså
(1/√2)⋅ 2 + (1/√2)⋅ 3 = 5/√2 = xny
−(1/√2)⋅ 2 + (1/√2)⋅ 3 = 1/√2 = yny
Ersätt (2,3) med (x,y) och då erhålls de nya koordinaterna som funktion av de gamla:
(1/√2)⋅ x + (1/√2)⋅ y = xny (1)
−(1/√2)⋅ x + (1/√2)⋅ y = yny (2)
Om man vill kan man skriva detta som en matrismultiplikation.
Svar: Nya koordinater för punkten (2,3): (xny, yny) = (5/√2, 1/√2).
Nya koordinater för punkten (x,y):
(xny, yny) =( (1/√2)⋅x + (1/√2)⋅y , −(1/√2)⋅x + (1/√2)⋅y )
