Tentamen i Matematisk statistik Ämneskod-linje S0001M Poäng totalt för del 1 Poäng totalt för del 2 25 (8 uppgifter) 30 (3 uppgifter) Tentamensdatum 2009-03-25 Lärare:

(1)

Tentamen i Matematisk statistik Ämneskod-linje S0001M Poäng totalt för del 1

Poäng totalt för del 2

25 (8 uppgifter)

30 (3 uppgifter) Tentamensdatum 2009-03-25 Lärare: Kerstin Vännman

Robert Lundqvist Mikael Stenlund

Skrivtid 09.00-14.00 Jourhavande lärare: Robert Lundqvist Tel: Ankn 2404/ 076-839 30 56

Tillåtna hjälpmedel:

• Räknedosa

• Kursboken Vännman: Matematisk statistik

• Kompletterande kursmaterial till kursen Matematisk statistik (formelblad, kompendier i Regressionsanalys och Försöksplanering, tabeller).

Tentamen består av två delar. På den första delen, som är obligatorisk för att kunna bli godkänd, ska enbart svar lämnas in, men lösningar får bifogas. Observera dock att dessa kommer ej att bedömas utan enbart användas vid gränsfall för att avgöra om någon uppgift kan ”rättas upp” på grund av slarvfel. Svaren ska fyllas i på det blad som bifogas ten- tamen. Detta blad måste lämnas in. Lägg detta blad först bland lösningarna. Om inte det ifyllda svarsbladet har lämnats in så bedöms tentamen som underkänd. För godkänt krävs minst 19 poäng. Med 4 extrapoäng från laborationerna och KGB så räcker det med 15 po-

ng av de 25 möjliga för godkänt.

ä

På den andra delen, som gäller tentamen för överbetyg, ska fullständiga lösningar lämnas in. Tänk på att redovisa dina lösningar på ett klart och tydligt sätt och motivera resone- mangen. Vid bedömningen av lösningarna läggs stor vikt vid hur lösningarna är motiverade och redovisade. För betyg 4 krävs godkänt på den första obligatoriska delen samt minst 13 poäng från den andra delen för överbetyg. För betyg 5 krävs godkänt på den för-

ta obligatoriska delen samt minst 23 poäng från den andra delen för överbetyg.

s

OBS! Det går inte att kompensera underkänt på den första korta delen av tentamen med poäng på den andra delen.

Ange på tentamensomslaget om du har lämnat in lösningar på del 2 genom att kryssa för ppgifterna 9, 10 eller 11.

u

Om du plussar för överbetyg så skriv detta på tentamensomslaget.

LYCKA TILL!

(2)

1. Vid kontroll av inkommande komponenter till en fabrik används följande procedur. I varje sändning bestående av 20 komponenter tas 2 komponenter ut slumpmässigt. Om det i urvalet blir enbart felfria komponenter så accepteras sändningen och alla komponenterna går in i tillverkningen. Om en eller båda av de utvalda komponenterna har defekter kontrolleras alla komponenter i sänd- ningen. Om det i sändningen finns 3 komponenter med defekter, hur stor är då sannolikheten att alla komponenter måste kontrolleras? Ange ditt svar i procent

med en decimal. (2p)

2. Mat är viktigt, men fel sorts mat kan framkalla allergiska reaktioner. Anta att för en viss sorts curryblandning har det visat sig att 10% av förpackningarna var felmärkta på så sätt att de inte angav att de faktiskt innehöll sojaolja, som man kan vara allergisk mot. För samma sorts curryblandning har det visat sig att uppgift om förpackningens vikt (ska vara minst 50 g) inte heller stämmer, och att så mycket som 15% av förpackningarna har en för låg vikt. Det har också visat sig att sannolikheten för båda felen är 8%.

a) Du har köpt en förpackning av den aktuella curryblandningen. Hur stor är sannolikheten att den är felfri? Ange ditt svar i procent med två decimaler. (2p) b) Du har köpt en påse, och vid vägning visar det sig att den har för låg vikt.

Hur stor är då sannolikheten att den är felmärkt med avseende på innehåll av sojaolja? Ange ditt svar i procent med två decimaler. (2p)

3. Ett företag planerar en större investering. Vinsten är osäker, men en bedömning av möjliga utfall (enhet: miljoner kr) och sannolikheter för dessa ges i följande tabell:

Vinst (k) 1 1.5 2 4 10 Sannolikhet

(

^k

)

Pξ = ^0.4 ^0.2 ^0.2 ^0.1 ^0.1

Företaget har för finansieringen av investeringen ett avtal som säger att man ger 10% av vinsten och en fast kostnad på 200 000 kr till finansiären. Det betyder att om ξ står för vinsten och η för nettovinsten efter att finansiären fått sin del så är η=0.9ξ−0.2. Bestäm standardavvikelsen för nettovinsten. Ange ditt svar

i miljontal kronor med två decimaler. (2p)

4. Vid brand i oljecistern finns risk för s k hetzonsbildning. En sådan zon kan bil- das efter 30 minuter, och kan sedan fortsätta att breda ut sig. Anta att utbredningshastigheten kan beskrivas med en normalfördelning där väntevärdet är 75 cm/timme och standardavvikelsen är 5 cm/timme.

a) Hur stor är sannolikheten att utbredningshastigheten vid en viss brand av detta slag är minst 82 cm/timme? Ange ditt svar i procent med två deci-

maler. (2p)

(3)

b) Bestäm den 10:de percentilen för utbredningshastigheten, d v s den ut- bredningshastighet L₁₀ för vilket gäller F

( )

L10 =⁰^.¹⁰. F betecknar här fördelningsfunktionen för utbredningshastigheten. Ange ditt svar med två

decimaler. (2p)

5. Radon är en gas som förekommer naturligt i mark och vissa byggnadsmaterial.

Eftersom gasen är radioaktiv bör man inte exponeras för höga halter av gasen, och därför kan det vara lämpligt att göra mätningar. Det finns flera detektorer tillgängliga, och för att testa tillförlitligheten hos en sådan gjordes ett försök. I en kammare där man visste att halten radon var 105 picocurie per liter luft sattes 12 detektorer av samma typ in. Efter 3 dagar togs detektorerna ut och man läste av vad de angav för radonhalt. Det visade sig att bland dessa 12 detektorer blev medelvärdet och standardavvikelsen av radonhalten x =103.94respektive s = 10.38 (enhet: picocurie per liter luft).

a) Går det utifrån dessa resultat att påvisa att den förväntade uppmätta radonhalten inte är 105 picocurie per liter? Frågan kan besvaras med ett hypotestest, där uppmätt radonhalt kan antas vara normalfördelad N(μ,σ). Vil- ka av följande hypoteser passar den ställda frågan? Ange ditt svar genom att ange ett par av hypoteser (exempelvis ”A2” om det paret motsvarar de hypoteser du tycker ska användas).

(A) H₀ :μ <105 (1) H₁:μ<105 (B) H₀ :μ =105 (2) H₁:μ=105 (C) H₀ :μ ≠105 (3) H₁:μ≠105 (D) H₀ :μ >105 (4) H₁:μ>105

(1p)

b) Om testvariabeln n s x

/

−105

används och signifikansnivå sätts till 1%, vad blir då det kritiska värdet som denna testvariabel ska jämföras med för att man ska kunna besluta om nollhypotesen kan förkastas? Ange ditt svar

med två decimalers noggrannhet. (1p)

c) Bestäm ett dubbelsidigt 99% konfidensintervall för den förväntade upp- mätta radonhalten. Ange den övre gränsen med två decimalers noggrann-

het. (2p)

6. Draghållfastheten hos vanligt konstruktionsstål ska jämföras med draghållfast- heten hos stål med en ny legering. I ett laboratorieförsök mättes draghållfast- heten hos 5 provbitar av vanligt konstruktionsstål och 7 provbitar av stål med den nya legeringen. Man fick följande resultat (enhet Mpa):

Konstruktionsstål x =522.0,s₁ =23.9 Ny legering y=567.0,s₂ =22.8

(4)

Draghållfasthetsvärdena kan antas vara normalfördelade med väntevärde μ₁ för vanligt konstruktionsstål och μ₂ för stål med den nya legeringen. Standardav- vikelsen kan antas vara samma för båda stålsorterna och betecknas med σ. Be- räkna skattningen av standardavvikelsen σ, som ska användas i konfidensintervallet för μ μ₁− ₂. Ange svaret med två decimaler. (2p)

7. Ämnet PCB är förbjudet att använda, men finns fortfarande kvar i naturen. Det är också svårt att mäta, för det finns 209 olika PCB-varianter, och att mäta alla dessa är svårt och kostsamt. Därför ville man i en studie se om det går att med hjälp av regressionsanalys bygga en modell där totalmängden PCB (PCB i ut- skriften nedan) kan förklaras av några vanliga varianter (PCB138, PCB153, PCB180, PCB28, PCB52, PCB126, PCB118). Sammanlagt 25 mätningar gjordes. I nedanstående tabell 1 ges resultatet (med vissa luckor) från regressions- analysen:

Tabell 1

The regression equation is

PCB = 1,38 + 3,29PCB138 + 0,951PCB153 + 3,49PCB180 + 2,39PCB28 + 10,4PCB52 - 16PCB126 + 3,43PCB118

Predictor Coef SE Coef T P Constant 1,375 1,173 1,17 0,245 PCB138 3,2869 0,5173 6,35 0,000 PCB153 0,9506 0,2688 3,54 0,001 PCB180 3,4938 0,4450 7,85 0,000 PCB28 2,391 1,080 2,21 0,031 PCB52 10,4102 0,9103 11,44 0,000 PCB126 -15,8 150,7 -0,11 0,917 PCB118 3,4333 0,6635 5,17 0,000

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P Regression 7 237799 33971 1009,05 0,000 Residual Error ?? ?? ??

Total 24 239853

a) Beräkna ett dubbelsidigt 95% konfidensintervall för regressionskoeffi- cienten för variabeln PCB153. Ange den övre gränsen med två decimaler. (2p) b) Vad blir den justerade förklaringsgraden? Ange ditt svar i procent med två

decimaler. (2p)

8. I tillverkningen av kretskort etsas mönster med en gasstråle. För att optimera processen gjordes ett 2³-försök med faktorerna elektrodavstånd (A, enhet: cm), gasflöde (B, enhet: ) och effekt till elektroderna (C, enhet: W). Som svarsvariabel användes etsningshastighet, enhet: Å/m. Faktorerna A-C sattes till låg respektive hög nivå, och försöket upprepades två gånger. I tabell 2 ges för- söksuppställning och resultat.

s / cm³

(5)

Tabell 2

Delförsök A B C Y₁_i Y₂_i Y_i s _i

1 -1 -1 -1 550 604 577.0 38.2

2 1 -1 -1 669 650 659.5 13.4

3 -1 1 -1 633 601 617.0 22.6

4 1 1 -1 642 635 638.5 4.9

5 -1 -1 1 1037 1052 1044.5 10.6

6 1 -1 1 749 868 808.5 84.1

7 -1 1 1 1075 1063 1069.0 8.5

8 1 1 1 729 860 794.5 92.6

760.5 791.6 Medelvärde

Standardavvikelse 192.5 195.7

a) Bestäm en skattning av samspelseffekten mellan faktor A och faktor B.

Ange ditt svar med två decimaler. (1p)

b) Bestäm standardavvikelsen för en effekt. Ange ditt svar med två decima-

ler. (2p)

Slut på del 1. Glöm inte att bifoga svarsbladet med tentan!

(6)

Tabell för svar till del 1.

Riv ut och lägg svarsbladet först i tentamen!

Namn...

Personnummer ...

Fråga Svar Poäng

1 Sannolikhet 28.4% 2

a Sannolikhet 83.00% 2

2

b Sannolikheten 53.33% 2

3 Standardavvikelse 2.38 2

a Sannolikhet 8.08% 2

4

b Percentil 68.59 2

a Hypotespar B3 1

b Kritiskt värde 3.11 1

5

c Övre gräns 113.26 2

6 Standardavvikelse 23.25 2

a Övre gräns 1.52 2

7

b Justerad förklaringsgrad 98.79% 2

a Samspelseffekt –24.88 1

8

b Standardavvikelse 23.72 2

Totalt antal poäng 25

Lycka till!

(7)

Vid bedömningen av lösningarna av uppgifterna i del 2 läggs stor vikt vid hur lösningarna är motiverade och redovisade. Tänk på att noga redovisa införda beteckningar och eventuella antaganden.

9. Vid en industri som tillverkar plastdetaljer är en av produkterna en cirkulär hål- lare som ska ha diametern 30 mm. För att kontrollera processen har man en procedur som går till så att man varje timme slumpmässigt tar ut 5 hållare ur produktionen. Diametern på dessa mäts, medelvärdet beräknas, och efter 8 timmar sammanställs medelvärdena. Om två eller fler av dessa medelvärden hamnar utanför intervallet [28.6, 31.4] mm så görs en översyn av produktions- processen.

Anta att mätvärdena av diametern kan beskrivas med en normalfördelning med väntevärdet 30 mm och standardavvikelsen 1.6 mm, hur stor är då sannolik-

heten att översyn måste göras? (8p)

Lösning: Låt ξ beteckna diametern hos en detalj. Den variabeln är fördelad enligt ^N

(

³⁰^,¹^.⁶

)

mm. Den fråga som ställs är ^P

(

^översyn^måste^göras

)

, vilket är

detsamma som att . Där är det alltså

antalet av sammanlagt åtta medelvärden som räknas, och då kan

(

^{minst två}^medelvärdeⁿ^utanför^intervall

)

P

η få beteckna just det antalet. Den variabeln är fördelad enligt ^{Bin ,}

( )

⁸ ^p där p står för sanno- likheten att ett medelvärde hamnar utanför intervallet.

För medelvärdet gäller att ^ξ ^∈^N

(

²⁸^.⁶^,¹^.⁶^/ ⁵

)

^.

Detta beyder att

( ) ( )

p

P P

=

− Φ

=

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

Φ

⎟⎟−

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

Φ

=

<

−

<

=

<

−

=

05 . 0 96 . 1 96

. 1

5 / 6 . 1

30 6 . 28 5

/ 6 . 1

30 4 . 6 31

. 28 4

. 31

4 . 31 6

. 28 1 gränserna utanför

ξ ξ

Då är η^∈^Bin

(

⁸^,⁰^.⁰⁵

)

, så P

(

η ^≥²

)

⁼¹⁻P

(

η^≤¹

)

⁼¹⁻^0.9428⁼0.0572. Det är alltså 5.72% chans att man får signal om att översyn ska göras när processens väntevärde är 30 och processens standardavvikelse är 1.6 mm. (8p)

10. I en studie av viktökningen vid ökat energiintag fick 16 försökspersoner (inte överviktiga, i åldrar mellan 25 och 36 år) varje dag äta mat som innehöll 1000 kalorier mer än vad de behövde för att bibehålla sin vikt. Dieten pågick i 8 veckor, så de fick totalt i sig 56 000 kalorier mer än de behövde. I tabell 3 ges vikterna i kg före och efter den 8 veckor långa försöksperioden:

Tabell 3

Försöksperson 1 2 3 4 5 6 7 8 Vikt före 55.7 54.9 59.6 62.3 74.2 75.6 70.7 53.3 Vikt efter 61.7 58.8 66.0 66.2 79.0 82.3 74.3 59.3 Försöksperson 9 10 11 12 13 14 15 16

(8)

Vikt före 73.3 63.4 68.1 73.7 91.7 55.9 61.7 57.8 Vikt efter 79.1 66.0 73.4 76.9 93.1 63.0 68.2 60.3

Några sammanfattade mått på dessa variabler ges i nedanstående tabell:

Medelvärde Standardavvikelse Vikt före 65.74 10.32 Vikt efter 70.48 9.74

Diff 4.731 1.746

Här har Diff beräknats som differensen Vikt efter −Vikt före för varje individ.

Enligt teorin ska 56 000 extrakalorier resultera i en viktökning på minst 3,9 kg.

Kan man utifrån detta material visa att den förväntade viktökningen efter en diet av detta slag är det som förutsägs av teorin?

a) Besvara frågan genom att utföra ett lämpligt hypotestest på 5% signifi- kansnivå som bygger på rimliga normalfördelningsantaganden. (8p) b) Besvara frågan genom att utföra ett lämpligt hypotestest på 5% signifi-

kansnivå om man inte kan göra något normalfördelningsantagande. (6p) I lösningen ska det tydligt framgå definitionen av de ingående stokastiska vari- ablerna och deras fördelningar samt hypoteser och testvariabel. Det ska också framgå tydligt i ord vilka slutsatser som dras.

Lösning 10a) Låt ξ_i beteckna vikten före behandling hos person nr i, och η_i vikten hos samma person efter dieten. Eftersom föväntad vikt/person före dieten kan variera ganska mycket och vi har en mycket tydlig situation med parvisa värden är den rimliga modellen s k ”stickprov i par”. Vi antar däför att

(

μ ,σ₁

)

ξ_i ∈N _i och η_i∈N

(

μ_i +Δ,σ₂

)

och att paren ( ,ξ η_i _i),i=1, 2,...,16 är oberoende. Den fråga som ställs kan besvaras med ett hypotestest där

kg och kg.

9 . 3

0 :Δ=

H H₁:Δ>3.9

För att utföra det testet måste man först bilda differenserna för respektive person, dvs ς_i =η_i −ξ_i, sedan bilda medelvärdet av dessa, dvs ς . För dessa variabler gäller att ^ς_i^{∈ N}

(

^Δ^,^σ

)

^{, där} 2²

2

1 σ

σ

σ = + , och att ^ς ^{∈ N}

(

^Δ^,^σ^/ ¹⁶

)

^.

Eftersom vi inte har någon uppgift om variablernas standardavvikelser måste den skattas med ”s-metoden”, dvs

( )

∑

⁻

= − ²

*

1 16

1 ς ς

σ _i .

Då gäller att

( )

¹⁵

16

*/−Δ ∈t σ

ς .

Detta betyder att vi som testvariabel kan använda

(9)

16 /

9 . 3 s t z−

= ,

där z är observerat värde på ς och s är observerat värde på σ . Beslutsregeln ^* på 5% blir: förkasta nollhypotesen om t>t₀_.₀₅

( )

15 .

Från uppgiften fås att z =4.731,s=1.746 och därmed 4.731 3.9

1.904 1.746 / 16

t −

= =

Från t-tabellen fås t0.05

( )

15 =1.753. Eftersom 1.904>t0.05

( )

15 =1.753 så för- kastas nollhypotesen på 5% signifikansnivå och med 5% felrisk har vi påvisat att den förväntade viktökningen är minst 3.9 kg.

Lösning 10b) Utan normalfördelningsantagande så kan ett teckentest användas, men det måste anpassas till situationen att nollhypotesen är att den förväntade differensen är 3.9 istället för 0. Vi har alltså ₀ Den förväntade viktökningen är 3.9 kg och ₁ Den förväntade viktökningen > 3.9 kg. Som testvariabel an- vänds y = antalet differenser (Vikt efter – Vikt före) som är större än 3.9. ₀ förkastas om y är alltför stor. Om ₀ är sann så är y en observation på

H : H :

H

H η , där

(16, 0.5)

η∈Bin . Vi använder nu direktmetoden för att dra en slutsats. Med den noggrannhet som datat är redovisat får vi att för 9 försökspersoner har vikten ökat mer än 3.9 kg, för 2 försökspersoner är viktökningen exakt 3.9 kg och för 5 försökspersoner är viktökningen mindre är 3.9 kg. Eftersom två personer har exakt 3.9 kg:s viktökning så utesluter vi dessa och då blir η∈Bin(14, 0.5). Vi får då att

( 9 (14, 0.5)) 1 ( 8 (14, 0.5)) 1 0.7880 0.212

Pη≥ η∈Bin = −Pη≤ η∈Bin = − =

Eftersom denna sannolikhet är större än 0.05 så kan ₀ inte förkastas på 5%

signifiknasnivå. Med denna metod så kan vi alltså inte påvisa någon viktökning på mer än 3.9 kg.

H

11. Ett farmaceptiskt företag gjorde ett experiment för att studera hur snabbt en ny typ av smärtstillande medicin kunde lindra smärta. Det smärtstillande medlet gavs i 4 olika doser: 2, 5, 7 eller 10 gram till en grupp patienter med liknande typ av smärta. Man mätte sedan tiden (i minuter) som det tog till dess att patienten upplevde en märkbar smärtlindring. I studien deltog lika många män och kvinnor.

Resulten av studien framgår av tabell 4, där kvinna har kodats med 0 och man med 1.

Tabell 4. Tid avser tiden i minuter till dess patienten upplevde en märkbar smärt- lindring. Dos mäts i enheten gram. Kön har kodats så att 0 = kvinna och 1 = man.

Patient Tid Dos Kön Patient Tid Dos Kön 1 35 2 0 13 19 7 0 2 43 2 0 14 11 7 0 3 55 2 0 15 14 7 0 4 47 2 1 16 23 7 1 5 43 2 1 17 20 7 1 6 57 2 1 18 22 7 1 7 26 5 0 19 13 10 0

(10)

8 27 5 0 20 8 10 0 9 28 5 0 21 3 10 0 10 29 5 1 22 27 10 1 11 22 5 1 23 26 10 1 12 29 5 1 24 5 10 1

En multipel regressionsanalys gjordes för att skatta en enkel modell över tid till märkbar smärtlindring som funktion av dosnivå och kön. Resultatet framgår av Minitabutskriften i tabell 5.

a) Ange de modellantaganden som ligger till grund för analysen i tabell 5.

Kan man påstå att den förväntade tiden till märkbar smärtlindring skiljer sig mellan män och kvinnor? I så fall, hur stor är skillnaden och på vilket sätt skiljer sig män och kvinnor åt? Besvara frågorna med hjälp av ett lämpligt 90% konfidensintervall. Intervallet ska tydligt tolkas i ord. (4p) b) Efter att ha analyserat residualerna gjordes en ny regressionsanalys där

även variabeln Dos² togs med i modellen. Resultatet framgår av tabell 6.

Var det värt att utöka modellen med variabeln Dos²? Besvara frågan med ett lämpligt hypotestest på 5% signifikansnivå och genom att jämföra två andra lämpliga mått. Hypoteser, beslutsregel och slutsats ska framgå tyd-

ligt. (4p)

Tabell 5

The regression equation is Tid = 48.3 - 4.14 Dos + 5.67 Kön

Predictor Coef SE Coef T P Constant 48.324 3.848 12.56 0.000 Dos -4.1373 0.5286 -7.83 0.000 Kön 5.667 3.082 1.84 0.080

S = 7.54928 R-Sq = 75.5% R-Sq(adj) = 73.1%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P Regression 2 3684.5 1842.3 32.33 0.000 Residual Error 21 1196.8 57.0

Total 23 4881.3

Tabell 6

The regression equation is

Tid = 62.4 - 10.3 Dos + 0.511 Dos^2 + 5.67 Kön

Predictor Coef SE Coef T Constant 62.379 5.883 10.60 Dos -10.271 2.170 -4.73 Dos^2 0.5111 0.1768 2.89 Kön 5.667 2.652 2.14

S = 6.49676 R-Sq = 82.7% R-Sq(adj) = 80.1%

(11)

Source DF SS MS F P Regression 3 4037.2 1345.7 31.88 0.000 Residual Error 20 844.2 42.2

Total 23 4881.3

Lösning 11a) Vi antar att

0 1 1 2 2

1 2

1 1

2

, där (0, ), 1, 2,..., , , ,..., är oberoende stokastiska variabler,

tid, dos, 2 10,

0, om försökspersonen är en kvinna, 1, om försökspersonen är en man.

i i i i i

n

Y X X N i

Y X X

X

β β β ε ε σ n

ε ε ε

= + + + ∈ =

= = ≤ ≤

= ⎨⎧

⎩

Den förväntade tiden till märkbar smärtlindring skiljer sig mellan män och kvinnor om β₂ ≠ . För att besvara frågan beräknas ett 90% konfidensintervall 0 för β₂. Från Tabell 5 fås konfidensintervallet

2 0.05(21) _b2 5.667 1.721 3.082 5.667 5.304

b ±t ⋅s = ± ⋅ = ±

Det 90% konfidensintervallet är alltså [0.36, 10.98]. Eftersom detta intervall inte innehåller 0 så kan man påstå att den förväntade tiden till märkbar smärt- lindring skiljer sig mellan män och kvinnor vid 90% konfidensgrad. Med 90%

säkerhet kan vi säga att, för fix nivå på dosen, så är förväntad tid till smärtlind- ring mellan 0.3 och 11 minuter längre för män än för kvinnor.

Lösning 11b) Med Dos² i modellen blir

2

0 1 1 2 2 3

( )_i _i _i _1i

E Y =β +β X +β X + Xβ

För att undersöka om det värt att utöka modellen med variabeln Dos² så testas

0: 3 0, givet att 1 och 2 ingår i modellen

H β = X X mot

1: 3 0, givet att 1 och 2 ingår i modellen

H β ≠ X X . Testvariabeln är

T = t-kvot =

3

3 0.511 0.1768 2.89

b

s = = .

Beslutsregeln är: förkasta om ₀ om _0.025 . Eftersom T = 2.89

> 2.086 så kan ₀ förkastas på 5% signifikansnivå och vi kan med 5% felrisk påstå att det var värt att utöka modellen med variabeln Dos

H T t> (20)=2.086 H

2. Vi ser också att re- sidualspridningen har minskat från 7.55 till 6.50 och att den justerade förkla- ringsgraden har ökat från 73.1% till 80.1%. Förändringarna i båda dessa mått tyder också på att det var värt att utöka modellen.