Tentamen i Matematisk statistik Ämneskod-linje S0001M Poäng totalt för del 1 Poäng totalt för del 2 25 (8 uppgifter) 30 (3 uppgifter) Tentamensdatum 2009-10-26 Lärare:

(1)

Poäng totalt för del 2 30 (3 uppgifter) Tentamensdatum 2009-10-26 Lärare: Adam Jonsson

Lennart Karlberg Robert Lundqvist Kerstin Vännman

Skrivtid 09.00-14.00

Jourhavande lärare: Robert Lundqvist Tel: ankn 2404/ tel 076-839 30 56

Tillåtna hjälpmedel:

• Räknedosa

• Kursboken Vännman: Matematisk statistik

• Kompletterande kursmaterial till kursen Matematisk statistik (formelblad och kompendiet Regressionsanalys.

Tentamen består av två delar. På den första delen, som är obligatorisk för att kunna bli godkänd, ska enbart svar lämnas in, men lösningar får bifogas. Observera dock att dessa kommer ej att bedömas utan enbart användas vid gränsfall för att avgöra om någon upp- gift kan ”rättas upp” på grund av slarvfel. Svaren ska fyllas i på det blad som bifogas ten- tamen. Detta blad måste lämnas in. Lägg detta blad först bland lösningarna. Om inte det ifyllda svarsbladet har lämnats in så bedöms tentamen som underkänd. För godkänt krävs minst 19 poäng. Med 4 extrapoäng från laborationerna och KGB så räcker det med 15 poäng av de 25 möjliga för godkänt.

På den andra delen, som gäller tentamen för överbetyg, ska fullständiga lösningar lämnas in. Tänk på att redovisa dina lösningar på ett klart och tydligt sätt och motivera resone- mangen. Vid bedömningen av lösningarna läggs stor vikt vid hur lösningarna är motiverade och redovisade. För betyg 4 krävs godkänt på den första obligatoriska delen samt minst 13 poäng från den andra delen för överbetyg. För betyg 5 krävs godkänt på den första obligatoriska delen samt minst 23 poäng från den andra delen för överbetyg.

OBS! Det går inte att kompensera underkänt på den första korta delen av tentamen med poäng på den andra delen.

Ange på tentamensomslaget om du har lämnat in lösningar på del 2 genom att kryssa för uppgifterna 9, 10 eller 11.

Om du plussar för överbetyg så skriv detta på tentamensomslaget.

LYCKA TILL!

(2)

1. Annika och Bo överväger att gå ut på ett lokalt nöjesetablissemang en lördag kväll. De går inte tillsammans, utan tar beslut på egen hand. Sannolikheten att Annika kommer att gå ut är 0.8, sannolikheten att Bo kommer att gå ut är 0.6.

Bo uppskattar Annikas sällskap, så sannolikheten att han går ut om han vet att Annika kommer att göra detsamma är 0.72. Bestäm sannolikheten att

a) båda går ut; (1p)

b) Annika går ut om hon får veta att Bo kommer att gå ut; (2p)

c) minst en av Annika och Bo kommer. (2p)

Ange dina svar i procent med en decimal.

2. En viss typ av trästavar till golv har en längd som kan beskrivas med en normal- fördelning med väntevärdet 25 cm och standardavvikelsen 0.64 cm Antag att stavarnas längder är oberoende av varandra.

a) Hur stor är sannolikheten att en slumpmässigt utvald trästav har en längd

som överstiger 24.2 cm? (2p)

b) Man lägger 20 slumpmässigt valda stavar intill varandra utan fogar. Hur stor är sannolikheten att den sammanlagda längden överstiger 504 cm? (2p) Ange dina svar i procent med två decimaler.

3. År 1910 visade Rutherford & Geiger i ett berömt experiment att antalet alfa- partiklar som utsöndras från ett radioaktivt preparat kan beskrivas med en Poissonfördelning. Anta att det förväntade antalet partiklar under en sekund är 0.5.

a) Hur stor är sannolikheten att högst två partiklar utsöndras i ett intervall på

en sekund? (1p)

b) Hur stor är sannolikheten att det av 5 stycken sekundlånga intervall är minst två intervall där ingen partikel utsöndras? (2p) Ange dina svar i procent med två decimaler.

4. Draghållfastheten för ett plastblock antas kunna beskrivas med en normalfördel- ning där väntevärdet är 1250 kg och standardavvikelsen är 55 kg. Vilken är den maximala belastning som gör att högst 5% av blocken går av för den maxbelast-

ningen? Ange ditt svar med en decimal. (2p)

5. I många sammanhang mäts andelar. Det kan vara andelen defekta enheter, andelen anställda som råkar ut för en olycka, andelen som röstar på ett visst parti eller liknande. Tänk dig att du ska räkna på andelen defekta enheter i en tillverkningsprocess. Tillverkningen går till så att 25 enheter tillverkas och packas. Antag att sannolikheten att en enhet blir defekt är 1% och att varje enhet är oberoende av alla andra enheter. Andelen definieras förstås som kvoten

(3)

mellan antalet defekta och antal enheter i en förpackning, dvs om ξ står för antalet defekta bland 25 tillverkade enheter så är

25

* ξ

=

p den sökta andelen.

a) Vad blir standardavvikelsen för andelen defekta enheter, dvs för ? Ange ditt svar i procent med tre decimaler. (2p)

p*

b) Vad blir sannolikheten att andelen defekta i en förpackning är högst 4%?

Ange ditt svar i procent med två decimaler. (2p)

6. Aluminiumburkar återvinns genom att burkar krossas och körs till smältverk där detta blir en del av råvaran i tillverkningen av ny aluminium. Prover tas regel- bundet ut på inkommande burkkross, och en viktig egenskap är smältpunkten.

Anta att det har visat sig rimligt att beskriva smältpunkten med en normalfördel- ning. I en sändning av burkkross tas fem prover ut slumpmässigt där man mäter smältpunkten. Följande värden erhölls (enhet °C):

660 667 654 663 662

Vad blir den övre gränsen i ett tvåsidigt 99% konfidensintervall för den förvän- tade smältpunkten? Ange ditt svar med en decimal. (2p)

7. En tillverkare av pingisbollar gör två typer av bollar, en av god kvalitet och en av hög kvalitet. En kund hävdar efter att ha gjort vissa mätningar att bollarna av god kvalitet är något större. Tillverkaren beslutar sig för att mäta radien hos tolv par bollar.

För de utvalda bollarna visade det sig att medelvärdena blev 3.81 och 3.74 cm för bollar av god respektive hög kvalitet; och standardavvikelserna blev 0.161 respektive 0.127 cm. Beräkna den övre gränsen i ett 98 % konfidensintervall för skillnaden mellan de förväntade radierna. Du kan utgå från att de uppmätta radierna kan beskrivas med normalfördelningar där standardavvikelsen för båda grupperna är lika stor. Ange ditt svar med två decimaler. (2p)

8. I en undersökning av sambandet mellan lufttryck och kokpunkt gjorde den skotske fysikern James D. Forbes en serie mätningar mellan 1840 och 1850, totalt 17 mätningar på olika platser i Skottland och i Alperna. En regressionsanalys med kokpunkt (enhet: grader Fahrenheit) som förklarande variabel och lufttryck (enhet: tum kvicksilver) som beroende ger med det materialet följande resultat:

(4)

Regression Analysis: lufttryck versus kokpunkt

The regression equation is

lufttryck = - 81,1 + 0,523 kokpunkt

Predictor Coef SE Coef Constant -81,064 2,052 kokpunkt 0,52289 0,01011 Analysis of Variance

Source DF SS MS F P Regression ? 145,12 145,12 2677,11 0,000 Residual Error ? 0,81 0,05

Total ? 145,94

a) Vad blir förklaringsgraden med denna analys? Ange ditt svar i procent

med två decimaler. (1p)

b) För att testa om kokpunkten har en signifikant effekt på lufttrycket så an- vänds ett t-test. Bestäm värdet på testvariabeln i det testet. Ange test-

variabelns värde med två decimaler. (1p)

c) För att testa om kokpunkten har en signifikant effekt på lufttrycket så används ett t-test. När man ska avgöra om nollhypotesen kan förkastas så ska man jämföra testvariabeln med ett kritiskt värde som hämtas ur t-för- delningstabellen. Hur många frihetsgrader har den t-fördelning som ska

användas? (1p)

Slut på del 1. Glöm inte att bifoga svarsbladet med tentan!

(5)

Tabell för svar till del 1.

Riv ut och lägg svarsbladet först i tentamen!

Namn...

Personnummer ...

Fråga Svar Poäng

a Sannolikhet 57.6% 1

b Sannolikhet 96.0% 2

1

c Sannolikhet 82.4% 2

2

3

4 Maximal belastning 1159.5 kg 2

a Standardavvikelse 1.99% 2

5

6 Övre gräns 671.1 (671.0101 med fyra decimaler) 2 7 Övre gräns 0.22 (0.2185 med fyra decimaler) alternativt

0.08 (0.0796 med fyra decimaler) med grupperna i omvänd ordning

2

a Förklaringsgrad 99.44% 1

8

72 .

=51 t

b Testvariabel 1

c Antal frihetsgrader 15 frihetsgrader 1

Totalt antal poäng 25

Lycka till!

(6)

Vid bedömningen av lösningarna av uppgifterna i del 2 läggs stor vikt vid hur lösningarna är motiverade och redovisade. Tänk på att noga redovisa införda beteckningar och eventuella antaganden.

9. I ett system finns tre komponenter som har exponentialfördelade livslängder.

Komponenterna fungerar oberoende av varandra. Två av komponenterna är av en typ (A) och den tredje är av en annan typ (B). Komponenterna av typ A har en förväntad livslängd på 5 tidsenheter och motsvarande för komponent B är 10 tidsenheter. För att systemet ska fungera krävs att minst en av komponenterna av typ A fungerar och att B-komponenten fungerar.

a) Vad blir sannolikheten att systemet fungerar i minst 4 tidsenheter?

b) Antag att man har observerat att systemet inte fungerar efter 4 tidsenheter.

Vilken tidpunkt systemet slutade att fungera vet man dock inte. Vad blir den betingande sannolikheten för att livslängden för B-komponenten

understeg 4 tidsenheter? (10p)

10. Ämnet hydrobromid kan användas som sömnmedel. Det finns två former, d-hyoscyamin hydrobromid och l-hyoscyamin hydrobromid. Enligt gängse upp- fattning ska l-formen ge bättre effekt, dvs längre sömn, närmare bestämt i genomsnitt 1 timme längre sömn. Man misstänker dock att effekten är större än detta.

För att få underlag för att se om antagandet om en större effekt håller görs en serie mätningar. Sömntiden för tio personer undersöks. Först bestäms deras genomsnittliga sömntid utan sömnmedel, sedan mäts sömntiden för var och en med de två preparaten. I nedanstående tabell ges resultatet i form av genomsnittlig förlängd sömntid med de två preparaten.

d-form l-form Differens l- och d-form Person

1 0,7 1,9 1,2

2 –1,6 0,8 2,4

3 –0,2 1,1 1,3

4 –1,2 0,1 1,3

5 –0,1 –0,1 0,0

6 3,4 4,4 1,0

7 3,7 5,5 1,8

8 0,8 1,6 0,8

9 0,0 4,6 4,6

10 2,0 3,4 1,4

(7)

Några beskrivande mått:

Descriptive Statistics: d-form; l-form; diff ld-form

Variable Mean SE Mean StDev Minimum Q1 Median Q3 Maximum d-form 0,750 0,566 1,789 -1,600 -0,450 0,350 2,350 3,700 l-form 2,330 0,633 2,002 -0,100 0,625 1,750 4,450 5,500 diff ld-form 1,580 0,389 1,230 0,000 0,950 1,300 1,950 4,600

Kan man med dessa mätningar som grund påvisa att den genomsnittliga förlängningen av sömntid med l-formen är större än 1 timme jämfört med d- formen? Besvara frågan genom att utföra ett lämpligt hypotestest där du använ- der 5% signifikansnivå. Du kan utgå från lämpliga normalfördelningsantagan- den. Beskriv tydligt hypoteser, testvariabel och beslutsregel. Uttryck dina slut-

satser tydligt i ord. (8p)

11. Vid en kemisk industri gjordes ett planerat försök där man studerade hur utbytet av en kemisk process beror av variablerna temperatur, katalysatorkoncentration och tryck. I de inledande försöken valde man att låta de förklarande variablerna anta två nivåer, en låg nivå och en hög nivå, enligt tabell 1 nedan

Tabell 1. Nivåer för de ingående föklarande variablerna.

Variabel- nummer

Förklarande variabel Låg nivå (–1)

Hög nivå (+1)

1 Temperatur, enhet: °C 30 32

2 Katalysatorkoncentration, enhet: mols 0.6 1.0

3 Tryck, enhet: 100 psi 7 10

Man utförde sedan försöket så att för varje kombination av de tre förklarande variablerna så mättes utbytet av processen och detta upprepades två gånger så att totalt fick man 16 mätvärden. I den fortsatta statistiska analysen valde man sedan att transformera eller koda de förklarande variablerna så att den låga nivån fick värdet –1 och den höga fick värdet +1. Detta för att underlätta analysen. I tabell 2 nedan ges resultaten av försöken för varje kombination av nivåer, där

1 om variabel är på sin låga nivå 1 om variabel är på sin höga nivå

i

X i

i

⎧−

= ⎨⎩+ .

Man gjorde först en multipel regressionsanalys med enbart de tre förklarande variablerna X₁, X₂, X₃ i modellen. Resultatet av framgår i tabell 3 nedan.

(8)

Tabell 2. Resultaten av utbytet

Utbytet (kodade enheter)

X1 X₂ X₃

–1 –1 –1 62

+1 –1 –1 88

–1 –1 –1 63

+1 –1 –1 83

–1 +1 –1 88

+1 +1 –1 80

–1 +1 –1 99

+1 +1 –1 92

–1 –1 +1 65

+1 –1 +1 123

–1 –1 +1 65

+1 –1 +1 121

–1 +1 +1 97

+1 +1 +1 105

–1 +1 +1 92

+1 +1 +1 117

a) Man misstänkte att det kunde finnas samspel mellan några av variablerna och prövade med att införa samspelstermen X X . Resultatet framgår av ₁ ₂ tabell 4. Var det värt att utöka modellen med variabeln X X ? Besvara ₁ ₂ frågan med ett lämpligt hypotestest på 5% signifikansnivå och genom att jämföra två andra lämpliga mått. Hypoteser, beslutsregel och slutsats ska framgå tydligt.

b) Man prövade även de andra tänkbara samspelstermerna och kom fram till den slutliga skattade modellen i tabell 5. Ange det modellantagande som ligger till grund för analysen i tabell 5. I figur 1 finns en residualplott.

Ange vilka delar av modellantagandena som kan undersökas med den residualplotten. Vilka slutsatser drar du från denna plott? Finns det någon del av modellantagandet som inte ser ut att vara uppfylld utgående från plotten i figur 1?

c) Genom att man valt att göra regressionsanalysen i de kodade variablerna så blir alla de skattade regressionskoefficienterna stokastiskt oberoende.

Det i sin tur innebär att man enkelt kan beräkna konfidensintervall för effekten av de olika variablerna. Utgå från den skattade modellen i tabell 5 och beräkna ett 95% konfidensintervall för förväntade effekten som fås på utbytet om variabeln X₂ ändras en enhet samtidigt som variabeln X₁ hålls på sin låga nivå och variabel X hålls på ett fixt värde. ₃ (12p)

(9)

Tabell 3

Regression Analysis: Y versus X1; X2; X3

Y = 90.0 + 11.1 X1 + 6.25 X2 + 8.12 X3

Predictor Coef SE Coef T Constant 90.000 3.536 25.45 X1 11.125 3.536 3.15 X2 6.250 3.536 1.77 X3 8.125 3.536 2.30

S = 14.1436 R-Sq = 60.4% R-Sq(adj) = 50.5%

Tabell 4

Regression Analysis: Y versus X1; X2; X3; X1*X2

Y = 90.0 + 11.1 X1 + 6.25 X2 + 8.12 X3 - 8.87 X1*X2

Predictor Coef SE Coef T P Constant 90.000 2.545 35.36 0.000 X1 11.125 2.545 4.37 0.001 X2 6.250 2.545 2.46 0.032 X3 8.125 2.545 3.19 0.009 X1*X2 -8.875 2.545 -3.49 0.005 Analysis of Variance

Source DF SS MS F P Regression 4 4921.7 1230.4 11.87 0.001 Residual Error 11 1140.2 103.7

Total 15 6062.0

Tabell 5

Regression Analysis: Y versus X1; X2; X3; X1*X2; X1*X3

Y = 90.0 + 11.1 X1 + 6.25 X2 + 8.12 X3 - 8.87 X1*X2 + 7.25 X1*X3

Predictor Coef SE Coef T P Constant 90.000 1.368 65.81 0.000 X1 11.125 1.368 8.13 0.000 X2 6.250 1.368 4.57 0.001 X3 8.125 1.368 5.94 0.000 X1*X2 -8.875 1.368 -6.49 0.000 X1*X3 7.250 1.368 5.30 0.000 S = 5.47037 R-Sq = 95.1% R-Sq(adj) = 92.6%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P

(10)

Fitted Value

Standardized Residual

120 110 100 90 80 70 60 2

1

0

-1

-2

Residuals Versus the Fitted Values (response is Y)

Figur 1. Residualplott som hör till den skattade modellen i tabell 5

(11)

9. Låt ξ stå för livslängden för komponent A och η för livslängden för komponent B. De variablerna är exponentialfördelade med väntevärde 5 respektive 10. I ett system finns tre komponenter som har exponentialfördelade livslängder. Komponenterna fungerar oberoende av varandra. Två av komponenterna är av en typ (A) och den tredje är av en annan typ (B).

Komponenterna av typ A har en förväntad livslängd på 5 tidsenheter och motsvarande för komponent B är 10 tidsenheter. För att systemet ska fungera krävs att minst en av komponenterna av typ A fungerar och att B-komponenten fungerar.

a) Sannolikheten att systemet fungerar i minst 4 tidsenheter kan skrivas som

(

^minstênÂ^-^komponent ^B^-^komponenteⁿ^fungerar^minst⁴ênheter

)

P ∩ ,

vilket på grund av oberoendet mellan komponenterna är detsamma som

(

^minst^en^A^-^komponent

) (

^P ^B^-^komponent

)

P ⋅ .

Där gäller att

( ) ( ) ( ( ) )

6967 . 0

4 1

komponent -

ingen 1

komponent -

en

minst ²

=

<

−

=

−

= P A Pξ

A P

(

B^-^komponent

)

⁼ P

(

η ^>⁴

)

⁼⁰^.⁶⁷⁰³

P

och . Detta betyder att den sökta

sannolikheten är 46.71%

(

η ^<⁴^|^systemets^livslängd^<⁴

)

P

b) Det som söks är . Med definitionen på

betingade sannolikheter betyder det att

( ) ( )

(

^< ^<

)

⁼

=

<

< systemetslivslängd 4

4 4 livslängd systemets

|

4 P

Pη Pη

( )

1 0.4671 ⁰^.⁶¹⁸⁷

67032 . 0 1 4 livslängd systemets

1

4

1 =

−

= −

>

−

>

= − P

Pη

.

10. Låt ξ_i stå för genomsnittlig förlängd sömntid för patient i när denna fått d- formen av preparatet, och η_i för motsvarande när patienten fått l-formen. Här är det fråga om en parvis jämförelse, dvs man måste bilda differensen

(

μ ,σ1

)

ξ_i ∈N _i . För dessa variabler måste gälla att ,

i i

ζi =η −ξ

(

μ ,σ₂

)

η_i∈N _i +Δ och följaktligen att ζ_i∈ N

(

Δ,σ

)

där σ = σ₁² +σ₂² . Dessutom förutsättas att resultaten från varje försöksperson är oberoende av resultaten från andra försökspersoner.

Det som ska utföras är ett hypotestest där hypoteserna kan formuleras som och . Som testvariabel kan man då använda

10 /

1 s t = z− 1

1:Δ>

H 1

0 :Δ= H

eftersom den är en observation från

10 /

1 σ*

ζ −

som följer en känd fördelning, närmare bestämt ^t

( )

⁹ -fördelningen.

(12)

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0 1,83

0,05 0

Distribution Plot T; df=9

Här är 580z =1. och s=1.230, så värdet på testvariabeln blir . Eftersom det är lägre än gränsen 1.833 kan man inte förkasta nollhypotesen, dvs man kan inte hävda att l-formen ger en timmes längre genomsnittlig sömntid än d-formen som väntades när ett test med 5% signifikansnivå använts. (8p)

491 .

=1 t

11.

a) Frågan var om det var det värt att utöka modellen med variabeln X X ? ₁ ₂ Ett lämpligt hypotestest på 5% signifikansnivå och genom att jämföra två andra lämpliga mått ska tas fram.

När samspelstermen tas med i modellen blir den justerade förklaringsgraden

( )

6062/15 ⁰^.⁷⁴³⁵ 11

/ 2 . 1 1140 1

/ 5 1 /

2 = − =

−

− −

= SST n

n R_adj SSE

och residualspridningen blir 10.181 11

2 . 1140 =

− =

= n K

s_e SSE .

Detta ska jämföras med 60.4% respektive 14.1436, vilket i båda fallen visar att modellen blivit bättre med samspelstermen. Dessutom kan man se att samspelstermen har signifikant effekt på svarsvariabeln. Utöver detta kan man också göra ett hypotestest av H₀ :β₄ =0mot ^H₁:β₄ ≠0. Ett sätt att ta ställning mellan hypoteserna är att se till p-värdet för samspelstermen: eftersom det värdet är lågt (0.005) kan man på goda grunder säga att samspelstermen ska vara med i modellen.

b) Modellantagande:

ε β

β β

β + + + + + +

= ₀ ₁X₁ ₂X₂ ₃X₃ ₄X₁X₂ ₅X₁X₃

Y där det ska gälla

att ε∈N

( )

0,σ och att ε₁,ε₂,ε₃,K,ε_n är oberoende av varandra. Här står för utbytet i kodade enheter, för temperaturen, för koncentra- tion av katalysator och för trycket. De förklarande variablerna har alla satts till ”låg” respektive ”hög” nivå enligt mönstret

X1 X₂

Y

X3

⎩⎨

⎧ +

= −

nivå höga sin på är variabel om

1

nivå låga sin på är variabel om

1

i X_i i

(13)

Residualplotten visar på residualerna mot ”fitted values” dvs mot Y. Den kan i första hand användas för att se om det linjära sambandet är någor- lunda rimligt. Om så är fallet ska residualerna inte uppvisa några icke-lin- jära mönster, vilket verkar vara fallet. Dessutom kan denna plott användas för att se om residualerna verklingen har konstant varians. Om så är fallet ska det inte finnas mönster där punkter är olika väl samlade runt mitt- linjen för olika värden på . Här kan man ana att spridningen är mindre för låga värden än för högre, vilket inte är optimalt. Det går också att se en annan aspekt av normalfördelningsantagandet: om för många residualer hamnar utanför ett band på

ˆ

Yˆ

se

±2 (eller ±2 om residualerna är standardiserade) är det ett tecken på att normalfördelningsantagandet kanske inte är uppfyllt eftersom detta innebär att cirka 95% av alla residualer ska hamna inom detta band. Här är residualerna standardiserade, och inga hamnar utanför det aktuella området, dvs det finns ingen anledning att säga att den delen av modellen är tvivelaktig.

c)

Ett 95% konfidensintervall för förväntade effekten som fås på utbytet om variabeln X₂ ändras en enhet samtidigt som variabeln X₁ hålls på sin låga nivå och variabel X hålls på ett fixt värde ska beräknas. Annorlun-₃ da uttryckt: det som ska beräknas är ett konfidensintervall för β₂ −β₄. Ett sätt att kolla är att bilda differensen E

( ) (

Y₁ −EY₀

)

där

( )

Y0 0 1

( )

1 2X2 3X3 4

( )

1X2 5

( )

1 X3

E =β +β − +β +β +β − +β − och

( )

Y₁ ₀ ₁

( )

1 ₂

(

X₂ 1

)

₃X₃ ₄

( )(

1 X₂ 1

)

₅

( )

1 X₃

E =β +β − +β + +β +β − + +β − .

Bildas differensen återstår bara β₂ −β₄.

Eftersom variablerna är kodade på det som nu gjorts kommer koefficient- skattningarna att vara oberoende av varandra, och det innebär att det sökta konfidensintervallet blir b₂ −b₄ ±t₀_.₀₂₅

( )

11SE_b₂₊_b₄ där

7428 . 3 368 . 1 368 .

1 ² ²

2 2

4 2

4

2₊_b = _b + _b = + =

b SE SE

SE . Detta sammantaget

ger intervallet

[

⁶^.⁸⁸⁷^,²³^.³⁶³

]

^{. (12p)}