Tentamen i Matematisk statistik Ämneskod-linje S0001M Poäng totalt för del 1 Poäng totalt för del 2 25 (7 uppgifter) 30 (3 uppgifter) Tentamensdatum 2009-01-16 Lärare:

Poäng totalt för del 2 30 (3 uppgifter) Tentamensdatum 2009-01-16 Lärare: Robert Lundqvist

Ove Edlund

Inge Söderkvist Skrivtid 09.00-14.00

Jourhavande lärare: Robert Lundqvist Tel: 2404

Resultatet anslås I Studenttorget

Tillåtna hjälpmedel:

• Räknedosa

• Kursboken Vännman: Matematisk statistik

• Kompletterande kursmaterial till kursen Matematisk statistik.

Tentamen består av två delar. På den första delen, som är obligatorisk för att kunna bli godkänd, ska enbart svar lämnas in, men lösningar får bifogas. Obser- vera dock att dessa kommer ej att bedömas utan enbart användas vid gränsfall för att avgöra om någon uppgift kan ”rättas upp” på grund av slarvfel. Svaren ska fyllas i på det blad som bifogas tentamen. Detta blad måste lämnas in. Lägg detta blad först bland lösningarna. Om inte det ifyllda svarsbladet har lämnats in så bedöms tentamen som underkänd. För godkänt krävs minst 19 poäng. Med 4 extrapoäng från laborationerna och KGB så räcker det med 15 poäng av de 25 möjliga för godkänt.

På den andra delen, som gäller tentamen för överbetyg, ska fullständiga lös- ningar lämnas in. Tänk på att redovisa dina lösningar på ett klart och tydligt sätt och motivera resonemangen. Vid bedömningen av lösningarna läggs stor vikt vid hur lösningarna är motiverade och redovisade. För betyg 4 krävs godkänt på den första obligatoriska delen samt minst 13 poäng från den andra delen för överbetyg. För betyg 5 krävs godkänt på den första obligatoriska delen samt minst 23 poäng från den andra delen för överbetyg.

OBS! Det går inte att kompensera underkänt på den första korta delen av tentamen med poäng på den andra delen.

Ange på tentamensomslaget om du har lämnat in lösningar på del 2 genom att kryssa för uppgifterna 9, 10 eller 11.

Om du plussar för överbetyg så skriv detta på tentamensomslaget.

LYCKA TILL!

1) En ivrig snowboardåkare har av erfarenhet lärt sig att det är 75% sannolikhet att hon sätter en så kallad backflip. Motsvarande sannolikhet för att sätta ett trick kallat 50-50 är 80%. Det har också visat sig rimligt att utgå från att händelsen att det ena tricket lyckas är oberoende av händelsen att det andra lyckas.

a) Om åkaren ska göra ett åk för att försöka sätta ett av vardera tricket, hur stor är sannolikheten att lyckas med minst ett av tricken? Ange ditt svar i

procent med en decimal. (2p)

b) Hur stor är sannolikheten att åkaren sätter exakt ett av tricken? Ange ditt

svar i procent med en decimal. (2p)

2) En ny förbränningsmetod har visat sig ge renare rökgaser. Förväntad koldioxid- halt är 95 procent, och standardavvikelsen är 0.8 procent. Det har också visat sig rimligt att beskriva koldioxidhalten med en normalfördelning.

a) Hur stor är sannolikheten att koldioxidhalten överstiger 97 procent? Ange

ditt svar i procent med två decimaler. (2p)

b) Antag att ett stort antal försök görs.Vad är den högsta koldioxidhalten i gruppen av försök med de 10% lägsta halterna? Ange ditt svar i procent

med två decimaler. (2p)

3) Influensavirus verkar spridas lättare på vintern. Det har visat sig att virus- infektion orsakar sjukdom särskilt lätt när det är kallt och torrt. I ett försök med 10 försöksdjur under sådana betingelser har det visat sig att bara 15% av de smittade djuren förblev friska¹. Antag att händelsen att ett visst djur blir sjukt är oberoende av händelsen att ett annat djur blir sjukt.

a) Hur stor är sannolikheten att det bland de 10 djuren är högst 2 som förblir friska? Ange ditt svar i procent med två decimaler. (2p) b) Vad blir standardavvikelsen för antalet djur som förblir friska? Ange ditt

svar med tre decimaler. (1p)

4) I så kallade passivhus ska värmen komma från sol, kroppsvärme, hushållsappa- rater och lampor istället för i form av värme från särskilt uppvärmningssystem.

Passivhus har ändå oftast ett uppvärmningssystem för att vid behov ge extra värme. I en utvärdering av 27 passivhus i Uddevalla mättes effektbehovet för sådan extra uppvärmning under en kall dag, och det visade sig att medelvärdet av effektbehovet för dessa hus blev 8.2 watt per kvadratmeter och att standard- avvikelsen beräknad på dessa hus blev 0.6 watt per kvadratmeter. Antag att dessa hus kan betraktas som ett stickprov bland en större grupp av likvärdiga hus.

a) Vad blir undre gränsen i ett dubbelsidigt 95% konfidensintervall för det förväntade effektbehovet? Utgå från att effektbehovet kan beskrivas med en normalfördelning. Ange ditt svar med två decimaler. (2p)

1 Mindre lyckad formulering: det borde ha varit något som klargjorde 1) att försöket går till så att djur utsätts för virus, dvs smittas, varefter man ser om de blir sjuka av detta; 2) att det mer allmänt, dvs i en större grupp av djur, är så att sannolikheten att insjukna efter smitta är 15%.

b) Enligt riktlinjerna för passivhus ska effektbehovet vara högst 10 watt per kvadratmeter. Om man i utvärderingen misstänker att förväntat effekt- behov för denna hustyp är högre än så, vilket par av hypoteser är då lämp-

liga att använda i ett hypotestest där man försöker visa detta? (1p) 1 2 3 4 5 6

10 :

10 :

1 0

=

<

μ μ H H

10 :

10 :

1 0

=

>

μ μ H H

10 :

10 :

1 0

=

≠ μ

μ H H

10 :

10 :

1 0

<

= μ

μ H H

10 :

10 :

1 0

>

= μ

μ H H

10 :

10 :

1 0

≠

= μ

μ H H

5) Ett annat krav på passivhus är att luftläckaget ska vara högst 0.3 liter luft per sekund och kvadratmeter när byggnaden utsätts för ett under- eller övertryck på 50 Pa. För att testa om den aktuella hustypen läcker mer än vad som tillåts ska ett hypotestest utföras där man använder testvariabeln

n s t x

/ 3 .

−0

= . Luftläckaget mättes i 27 hus, där resultatet blev medelvärdet x =0.335 och standard- avvikelsen s=0.10 liter luft per sekund och kvadratmeter. Utgå från att luft- läckaget kan beskrivas med en normalfördelning och att de 27 mätningarna kan ses som ett stickprov från en större grupp av likvärdiga hus.

a) För vilket värde på testvariabeln² ska nollhypotesen förkastas på 5% signi- fikansnivå? Ange ditt svar med tre decimaler. (1p) b) Om signifikansnivån är 5%, kan då nollhypotesen förkastas? (1p) 6) Att mäta volymen av träd är inte helt enkelt utan att fälla dem. För uppskatt-

ningar av volym av levande träd har diametern på en höjd (enhet: tum) av 4.5 fot ovanför marknivå mätts på 31 träd varefter träden fällts. Efter det har längd (enhet: fot) och volym (enhet: kubikfot) mätts med mer exakta metoder. I nedanstående bild ges resultatet från en regressionsanpanalys med volym som beroende variabel och diameter och höjd som förklarande variabler:

The regression equation is

Volume = - 58,0 + 4,71 Diameter + 0,339 Height

Predictor Coef SE Coef T P Constant -57,988 8,638 -6,71 0,000 Diameter 4,7082 0,2643 ? 0,000 Height 0,3393 0,1302 2,61 ?

S = ?? R-Sq = ?? R-Sq(adj) = ??

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P

2 Här skulle förstås begreppet ”testvariabeln” ersatts med ”beslutsgräns”, ”kritiskt värde” eller liknande. Det som menas är den gräns för vilken testvariabeln i uppgiften gör att man förkastar nollhypotesen, dvs ett värde som hämtas från t-fördelningen.

Regression ?? 7684,2 3842,1 254,97 0,000 Residual Error ?? 421,9 15,1

Total ?? 8106,1

a) Vad blir residualspridningen? Ange ditt svar med tre decimaler. (2p) b) Vad blir t-kvoten för variabeln Diameter? Ange ditt svar med två

decimaler. (1p) c) Vad blir nedre gräns i ett dubbelsidigt konfidensintervall för koefficienten

för variabeln Height. Använd 99% konfidensgrad³. (2p)

7) Ett verktyg för att ta bort tändstift från bensinmotorer ska tas fram, och i designen tror man att det finns två särskilt viktiga variabler: handtagets längd (L) och vinkel mot infästningen (V). Båda variablerna sätts på två nivåer, och ett fullständigt -försök med tre replikat ska göras. Det betyder att 4 verktyg tas fram, vart och ett med en unik kombination av de två variablerna. Dessa verktyg ska sedan användas av montörer, där man mäter tiden (enhet: minuter) det tar för dessa att montera loss alla fyra tändstiften. I nedanstående tabell ges resultatet från dessa försök:

22

Nivå–

kombination

L V Y _i1 Y _i2 Y _i3 Medel–

värde

Standard–

avvikelse

1 − − 8.66 8.42 6.47 7.85 1.20

2 + − 3.22 4.27 4.08 3.86 0.56

3 − + 4.13 3.12 4.28 3.84 0.63

4 + + 3.95 3.90 4.21 4.20⁴ 0.17

Medelvärde 4.99 4.93 4.76

Standard–

avvikelse

2.48 2.38 1.14

a) Bestäm effekten av samspelet mellan längd och vinkel. Ange ditt svar med

två decimaler. (2p)

b) För att se vilka effekter som är signifikanta kan konfidensintervall beräknas.

I de beräkningarna ingår att du ska ta fram ett värde från t-fördelningen. Hur många frihetsgrader är kopplade till det värdet? (2p)

Slut på del 1. Glöm inte att bifoga svarsbladet med tentan!

3 Här saknades uppgift om antalet decimaler i svaret, men lämpligt hade varit två eller tre.

4 Den uppmärksamme läsaren kanske har upptäckt att de värden som ges för denna nivåkombination inte ger medelvärdet 4.20, utan 4.02. Det var alltså ett fel här, men det verkade lämpligast att låta det felet ligga kvar istället för att försöka rätta till det med den förvirring det kunde innebära. Om rätt värde används fås resultatet 2.085 för samspelseffekten.

Tabell för svar till del 1.

Riv ut och lägg svarsbladet först i tentamen!

Namn...

Personnummer ...

Fråga Svar Poäng

a Sannolikhet 95.0% 2

1

b Sannolikhet 35.0% 2

2 a Sannolikhet 0.62% 2

b Koldioxidhalt 93.97% 2

3 a Sannolikhet 82.02% 2

b Standardavvikelse 1.129 friska djur 1

a Undre gräns 7.96 W per kvadratmeter 2

4

b Hypotespar nr Nr 5 1

a Gräns för testvariabel 1.706 1

5

b Förkasta nollhypotes? Ja 1

6 a Residualspridning 3.882 2

b t-kvot 17.81 1

c Undre gräns 2

a Samspelseffekt 2.18 2

7

b Antal frihetsgrader 8 2

Totalt antal poäng 25

Lycka till!

Vid bedömningen av lösningarna av uppgifterna i del 2 läggs stor vikt vid hur lösningarna är motiverade och redovisade. Tänk på att ge tydliga beskrivningar av hur stokastiska variabler variabler och ingående händelser definierats.

Beskriv tydligt också antaganden om fördelningar och andra antaganden dina beräkningar bygger på-

8) I många företag görs provtagning på inkommande varor. Provtagningen görs ofta i flera steg. En viss procedur för partier på 20 enheter ska utföras på följan- de sätt:

• Ta en provgrupp om 2 enheter från ett parti.

• Om båda enheterna är felfria accepteras partiet. Om båda är defekta avvisas partiet.

• Om en enhet är felfri och en är defekt tas en ny enhet ut ur partiet.

• Om den nya enheten är felfri accepteras partiet, men är den defekt avvisas partiet.

Om ett parti har exakt 4 defekta enheter, hur stor är då sannolikheten att partiet accepteras? (9p)

9) Bränsleförbrukning för motorfordon brukar anges i form av ”blandad körning”, och det finns en körcykel som är tänkt att simulera både landsvägs- och stads- körning. Förväntad bränsleförbrukning från körning under dessa betingelser vägs ihop till förväntad förbrukning för blandad körningen genom att man be- räknar uttrycket 0.36μ₁ +0.64μ₂ där μ₁ är förväntad förbrukning i stadstrafik och μ₂ är motsvarande för landsvägskörning.

Du ska köra en viss bil både i stadstrafik och på landsväg, där dessa trafiksitua- tioner definierats som en given sträcka under likvärdiga förhållanden för de två situationerna. Antag att det blir 10 turer i vardera situationen. Bränsleförbruk- ningen mäts för varje tur. Härled utifrån dessa förutsättningar ett 95% konfi- densintervall för den förväntade bränsleförbrukningen i blandad körning. Utgå från normalfördelningsantaganden där standardavvikelsen σ är lika stor i både stads- och landsvägskörning.

I följande tabell ges resultatet från körningen (enhet: liter/mil):

stad 0.84 0.87 0.8 0.76 0.78 0.73 0.81 0.76 0.79 0.76 landsväg 0.62 0.61 0.69 0.59 0.55 0.48 0.7 0.67 0.65 0.70

Beräkna ett 95% konfidensintervall för den förväntade förbrukningen vid blandad körning. (11p)

10) I uppgift 7 var målet att bestämma en lämplig modell för att beräkna volymen av träd utifrån några bestämda parametrar. En utveckling av den modellen kun- de vara att ta med produkten av höjd och diameter. Resultatet efter anpassning med den modellen ges i nedanstående tabell:

The regression equation is

Volume = 69,4 - 5,86 Diameter - 1,30 Height + 0,135 Height*Diameter

Predictor Coef SE Coef T P Constant 69,40 23,84 2,91 0,007 Diameter -5,856 1,921 -3,05 0,005 Height -1,2971 0,3098 -4,19 0,000 Height*Diameter 0,13465 0,02438 5,52 0,000

S = 2,70855 R-Sq = 97,6% R-Sq(adj) = 97,3%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P Regression 3 7908,0 2636,0 359,31 0,000 Residual Error 27 198,1 7,3

Total 30 8106,1

Vid residualanalysen är det lämpligt att bland annat ta fram en plott av residua- lerna mot de förklarande variablerna. I följande plott ges en sådan:

90 85

80 75

70 65

60 5,0

2,5

0,0 -2,5

-5,0

-7,5

Height

Residual

Residuals Versus Height (response is Volume)

a) Ange de modellantaganden som gäller för den skattade modellen i denna senare analys. Ange också två delar av modellantagandena som kan un- dersökas med denna typ av residualplott. Vilka slutsatser drar du från den aktuella plotten? Finns det någon del av modellantagandena som inte ser ut att vara uppfylld?

b) Har produkten mellan höjd och diameter någon betydelse för volymen?

Besvara frågan genom att utföra ett lämpligt hypotestest där det tydligt ska framgå vilka hypoteser du använt, vilken testvariabel du använder och hur du använt denna. Slutsatserna ska uttryckas tydligt i ord. Vid jämförelsen

mellan olika modeller är det vanligt att titta på några bestämda storheter.

Gör sådana jämförelser för två av dessa mellan den senare modellen med produkten mellan höjd och diameter och den förra utan sådan produkt, dvs den som ges i uppgift 7.

c) Det har visat sig att ganska många träd är 80 fot långa och har en diameter på 10 tum. Ett 95% konfidensintervall för förväntad volym för träd med dessa mått blir [12.721; 16.868] kubikfot. Vad blir ett 95% prediktionsin- tervall för samma trädmått?

8) Ett sätt att beskriva provtagningen är att använda ett träddiagram av nedan- stående slag:

Här är d antalet defekta i rvalet. Sannolikheten att ett parti med 4 defekta accep- teras måste vara ^P

(

^{d =0}

) (

^{+P d =1∩en felfri isteg2}

)

. Här kan de delarna beräknas på följande sätt:

( )

0.6316

190 120 2

20 2 16 0 4

0 = ≈

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

=

= d

P och

( ) ( )

2807 . 190 0

64 18 15

2 20

1 16 1 4

1 18

1 15 0 3 1 )

1 | 2 steg i felfri en ( 2 steg i felfri en 1

≈

=

=

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⋅

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

=

=

=

=

∩

= P d P d

d P

Detta ger tillsammans att ^P

(

^{accepteraparti}

)

^≈0.9123.

9) Om ξ₁ står för bränsleförbrukning i landsvägstrafik och ξ₂ för motsvarande i stadstrafik måste här gälla att ξ_s∈N

(

μ₁,σ

)

och ξ_l ∈N

(

μ₂,σ

)

. Detta betyder att ξ1∈N

(

μ1^,σ^{/ 10}

)

och ξ2 ∈N

(

μ2^,σ^{/ 10}

)

. En lämplig skattning av för- väntad förbrukning i blandad körning ges då av 0.36ξ₁+0.64ξ₂, en kom- bination som då blir fördelad enligt

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ + +

64 10 . 10 0 36 . 0 , 64 . 0 36 . 0

2 2 2

2 2

1

σ μ σ

μ

N . Detta betyder i sin tur att

( ) (

0,1 10

64 . 0 10

36 . 0

64 . 0 36 . 0 64 . 0 36 . 0

2 2

2 1

2

1 ∈N

+

+

− +

σ

μ μ

ξ

ξ

)

och att

( ) ( )

¹⁸

10 5392 . 0

64 . 0 36 . 0 64 . 0 36 . 0

*

2 1

2

1+ − + ∈t

σ

μ μ

ξ

ξ . Det senare bygger på att är en

skattning av

σ*

σ med ”s-metoden” där det observerade värdet är

( ) ( )

2 20

1 10 1

10 ₁² ₂²

*

obs −

− +

= − s s

σ .

För enkelhets skull kan uttrycket 0.36ξ₁ +0.64ξ₂ här skrivas som variabeln η och dess väntevärde 0.36⋅μ₁+0.64⋅μ₂ som μ_b. Då gäller alltså att

( )

18 10

5392 .

* 0

b ∈t

− σ

μ

η . Nu ska alltså ett 95% konfidenintervall för μ_b bildas.

Detta måste göras som en omskrivning av uttrycket

95 . 0 10

5392 .

* 0

=

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

− <

<

−c c

P ^b

σ μ

η . Här kan värdet på c bestämmas med hjälp av

t-fördelningen: c= t_0.025

( )

18 =2.101. Den omskrivningen blir 95

. 10 0

5392 . 0 10

5392 .

0 *

* ⎟⎟=

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛η−cσ <μ <η+cσ

P _b , vilket betyder att som

intervallskattning av μ_b fås

( ) ( )

_⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ − +

10 5392 . 18 0

10 , 5392 .

18 ^* 0 _0.025 ^*

025 .

0 σ η σ

η t t .

Motsvarande konfidensintervall blir då

( )

_⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + ±

10 5392 . 18 0 64

. 0 36 .

0 x₁ x₂ t_0.025 s .

Erhållna värden är för stadskörning x₁ =0.79,s₁ =0.0419, och motsvarande för landsvägskörning är x₂ =0.626,s₂ =0.0717. Detta ger intervallet

10 5392 . 0587 0 . 0 101 . 2 68504 .

0 ± ⋅ eller

[

^0.656,0.714

]

liter/mil.

10) Resultatet efter regressionsanalysen:

The regression equation is

Volume = 69,4 - 5,86 Diameter - 1,30 Height + 0,135 Height*Diameter

Predictor Coef SE Coef T P Constant 69,40 23,84 2,91 0,007 Diameter -5,856 1,921 -3,05 0,005 Height -1,2971 0,3098 -4,19 0,000 Height*Diameter 0,13465 0,02438 5,52 0,000

S = 2,70855 R-Sq = 97,6% R-Sq(adj) = 97,3%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P Regression 3 7908,0 2636,0 359,31 0,000 Residual Error 27 198,1 7,3

Total 30 8106,1

a) Modellantaganden:

ε β β

β

β + + + +

= _{0 1}x_{1 2}x_{2 3}x₃

y , där

2 1 3 2 1

: x

tum i diameter :

fot i höjd :

kubikfot i

volym :

x x x x y

⋅

och ε∈N

( )

0,σ , där det också ska gälla att ε₁,ε₂,K,ε_n alla är oberoende av varandra.

De delar av modellantagandet som i första hand kan undersökas med aktuell plott är 1) om det linjära sambandet mellan svarsvariabeln y och den förklarande variabeln höjd ( ) är rimligt; och 2) om residualen x₁ ε har en konstant standardavvikelse (σ ). Denna plott visar inte att det finns något tvivelaktigt med antagandet om det linjära sambandet (det finns ingen kurvatur eller annat liknande mönster) men att standardavvikelsen knappast är konstant över hela området (plotten uppvisar ett påtagligt tratt- liknande mänster med störe spridning för längre träd).

b) Lämpliga hypoteser är H₀ :β₃ =0 som ställs mot H₁:β₃ ≠0. För att utföra detta test kan man göra på flera sätt:

• Se på p-värdet för variabeln x₁⋅ , där regeln är att nollhypotesen kan x₃ förkastas om p-värdet är lägre än den valda signifikansnivån.

• Jämföra t-kvoten

3

3 0 sb

t= b − med ett värde från ^t

( )

²⁷ -fördelningen:

nollhypotesen förkastas om t >t_α/2

( )

27 som i detta fall är 2.052.

• Bilda ett konfidensintervall för β₃ med b₃±t_α/2

( )

27 s_b3: nollhypotesen förkastas om intervallet täcker 0.

I detta fall väljs det första alternativet som visar att eftersom p-värdet är så lågt kan nollhypotesen förkastas, dvs vi kan hävda att samspelet mellan höjd och diameter har en signifikant betydelse för volymen. Annorlunda uttryckt: effekten av att höjden förändras beror av vilken diameter det är på träden.

c) Ett intervall för förväntad volym ges av uttrycket , och ett ut- tryck för det sökta prediktionsintervallet är . Med intervallet [12.721; 16.868] måste vara mitten, dvs 14.7945. För intervall av detta slag gäller att . I detta fall är . Inter- vallet för den förväntade volymen har bredden 4.147 kubikfot, vilket måste vara detsamma som

ˆ0

2 /

ˆ0

sY

t Y ± _α

2 0

/

ˆ0

spr

t Y ± _α ˆ0

Y

2 ˆ 2 2

Y0

e

pr s s

s = + s_e² =2.70855² =7.3362

( )

ˆ0

2

/ 27

2⋅t_α s_Y . Detta ger att . Nästa steg blir då att få fram

0105 .

0 1

ˆ = sY

891 . 2 357 .

2 8

ˆ 2

0 = =

+

= e Y

pr s s

s . Detta samman-

taget ger prediktionsintervallet

[

^8.862,20.727

]

.