Tentamen i Matematisk statistik Ämneskod-linje S0001M Poäng totalt för del 1 Poäng totalt för del 2 25 (8 uppgifter) 30 (3 uppgifter) Tentamensdatum 2008-10-27 Lärare:

(1)

Tentamen i Matematisk statistik Ämneskod-linje S0001M Poäng totalt för del 1

Poäng totalt för del 2

25 (8 uppgifter)

30 (3 uppgifter) Tentamensdatum 2008-10-27 Lärare: Robert Lundqvist

Ove Edlund Skrivtid 09.00-14.00

Jourhavande lärare: Robert Lundqvist Tel: 2404

Resultatet anslås I Studenttorget

Tillåtna hjälpmedel:

• Räknedosa

• Kursboken Vännman: Matematisk statistik

• Kompletterande kursmaterial till kursen Matematisk statistik.

Tentamen består av två delar. På den första delen, som är obligatorisk för att kunna bli godkänd, ska enbart svar lämnas in, men lösningar får bifogas. Obser- vera dock att dessa kommer ej att bedömas utan enbart användas vid gränsfall för att avgöra om någon uppgift kan ”rättas upp” på grund av slarvfel. Svaren ska fyllas i på det blad som bifogas tentamen. Detta blad måste lämnas in. Lägg detta blad först bland lösningarna. Om inte det ifyllda svarsbladet har lämnats in så bedöms tentamen som underkänd. För godkänt krävs minst 19 poäng. Med 4 ex- trapoäng från laborationerna och KGB så räcker det med 15 poäng av de 25 möj- liga för godkänt.

På den andra delen, som gäller tentamen för överbetyg, ska fullständiga lös- ningar lämnas in. Tänk på att redovisa dina lösningar på ett klart och tydligt sätt och motivera resonemangen. Vid bedömningen av lösningarna läggs stor vikt vid hur lösningarna är motiverade och redovisade. För betyg 4 krävs godkänt på den första obligatoriska delen samt minst 13 poäng från den andra delen för överbe- tyg. För betyg 5 krävs godkänt på den första obligatoriska delen samt minst 23 poäng från den andra delen för överbetyg.

OBS! Det går inte att kompensera underkänt på den första korta delen av tenta- men med poäng på den andra delen.

Ange på tentamensomslaget om du har lämnat in lösningar på del 2 genom att kryssa för uppgifterna 9, 10 eller 11.

Om du plussar för överbetyg så skriv detta på tentamensomslaget.

LYCKA TILL!

(2)

Tentamen i Matematisk statistik, S0001M, del 1, 2008-10-27

1) För att testa idrottare om de tagit otillåtna dopningspreparat finns det flera me- toder. Med en viss metod (A) är sannolikheten 0.90 att man får positivt utslag när en dopad person testas, och med en annan metod (B) är motsvarande sano- likhet 0.80. Att båda metoderna ger positivt utslag för en dopad person sker med sannolikheten 0.75.

a) Hur stor är sannolikheten att minst en av metoderna ger positivt utslag när

de används på en dopad person? (1p)

b) Hur stor är sannolikheten att ingen av metoderna ger positivt utslag när de

används på en person som är dopad? (1p)

c) En dopad person testas med metod B som ger positivt utslag. Hur stor är då sannolikheten att test med metod A också kommer att ge positivt utslag? (1p) Ange dina svar i procent med två decimaler.

2) I en viss reaktion studeras utbytet (enhet: gram). I ett stickprov med 10 mät- ningar blir medelvärdet x =5.8 gram och standardavvikelsen gram.

Utbytet kan beskrivas med en normalfördelning. Bestäm ett konfidensintervall med 95% konfidensgrad för förväntat utbyte. Ange intervallets undre gräns med två decimalers noggrannhet.

(2p)

7071 .

=0 s

3) I en viss grupp av hushåll vill man studera de sammanlagda bolånen. Det visar sig vara rimligt att beskriva bolånen för ett hushåll med en normalfördelning med väntevärdet 1 200 000 kr och standardavvikelsen 150 000 kr.

a) Hur stor är sannolikheten att ett slumpmässigt utvalt hushåll kommer att ha bolån på minst 1 000 000 kr? Ange ditt svar i procent med två decimalers

noggrannhet. (1p) b) Vad blir lägsta värde i gruppen av de 10% största bolånen? (1p)

c) I en annan grupp av hushåll visade det sig att 10% hade bolån på högst 800 000 kr och 5% hade bolån på minst 1 500 000 kr. Vad blir väntevärde

för bolånen i den gruppen? (2p)

4) I en så kallad vindkraftspark står två mindre vindkraftverk, ett med en maximal effekt på 50 kW och ett större med en maxeffekt på 200 kW. Kraftverken funge- rar oberoende av varandra, och det har visat sig att sannolikheten för att de fun- gerar vid ett visst tillfälle är 0.98 respektive 0.90. Beroende på vilka kraftverk som är i gång kan man få olika sammanlagda maxeffekter: 0, 50, 200 och 250 kW.

a) Hur stor är sannolikheten för en sammanlagd maxeffekt på 200 kW? Ange ditt svar i procent med en decimals noggrannhet. (2p) b) Vad blir väntevärdet av den sammanlagda maxeffekten? Ange ditt svar

med två decimalers noggrannhet. (2p)

5) Firman Smokescreen säljer kaminer. De använder konfidensintervall för att be- skriva kaminernas egenskaper, däribland för kaminernas förväntade verknings- grad. För en viss kamin anges att ett intervall blir 87.25±2.05 procent. Detta

(3)

sägs vara baserat på mätningar av 10 kaminer där stickprovsstandardavvikelsen var 4.687 procent. Det som inte anges är intervallets konfidensgrad.

a) Bestäm konfidensgraden för det angivna konfidensintervallet. Ange ditt

svar i procent. (2p)

b) En spekulant tycker att intervallet är för brett. Ett sätt att få ett snävare intervall är att göra fler mätningar. Vilket är det minsta stickprov som be- hövs för att få ett 95% konfidensintervall där intervallbredden är högst 2 procent? Utgå här från att standardavvikelsen för verkningsgraden är känd, närmare bestämt att σ =4.5 procent. (2p) 6) Försäljaren av en viss sorts bladfjädrar hävdar att fjädrarnas förväntade livs-

längd är 150 000 cykler. Din erfarenhet säger dock att det verkliga värdet bör vara lägre än så. I ett livslängdstest testas 8 bladfjädrar. För de fjädrarna blev

83700

x= och . Utifrån de testresultat som erhållits ska du göra ett hypotestest med 5% signifikansnivå för att se om försäljarens påstående om för- väntad livslängd verkligen håller.

67700 s=

a) Vilken av följande mothypoteser är den korrekta att använda i detta test?

(1) H₁ :μ<150000 (2) H₁ :μ =150000 (3) H₁ :μ ≠150000

(4) H₁ :μ >150000 (1p)

b) Om testvariabeln

n s t x

/ 000

−150

= , ska användas, vad blir då det kritiska

värde som detta t ska jämföras med? (1p)

c) Om man använder ett test med 5% signifikansnivå, ska försäljarens påstå- ende om livslängd avvisas, dvs ska nollhypotesen då förkastas? (1p) 7) Vid framställning av ett mycket finfördelat pulver utnyttjar man ett centrifugal-

hjul till vars periferi ämnet tillförs i flytande form. För att bestämma en modell för att kunna förutsäga den genomsnittliga partikelstorleken (kallad storlek i analysen) görs ett antal försök. Med den variabeln som svarsvariabel försöker man se hur den kan förklaras av följande variabler:

Tillförsel av vätska till hjulet tillf g/s/m Periferihastighet perf m/s Viskositet hos tillförd vätska visk Ns/m De resultat som erhållits är följande:

Försök nr

tillf perf visk storlek Försök nr

tillf perf visk storlek 1 1.74 53 1.08 25.4 9 4.08 100 1.06 22.3 2 6.30 54 1.07 31.6 10 4.08 66 1.05 26.4 3 6.22 83 1.07 25.7 11 6.30 87 1.04 25.8 4 1.18 108 1.06 17.4 12 4.08 44 1.04 32.2 5 10.40 46 1.02 39.2 13 4.15 76 1.06 25.1 6 1.18 113 1.05 18.2 14 10.10 48 1.06 39.7

(4)

7 1.22 58 1.05 26.5 15 1.70 31 1.06 35.6 8 1.22 80 1.00 21.3

I nedanstående skärmbilder från Minitab visas resultat för analys med multipel linjär regression där alla tre förklarande variabler ingår.

a) Vad blir residualspridningen? Ange ditt svar med tre decimaler. (1p) b) Vad blir den justerade förklaringsgraden? Ange ditt svar i procent med en

decimals noggrannhet. (2p)

c) Hur stor påverkan på den förväntade partikelstorleken har en ökning av pe- riferihastigheten med 1 m/s? Besvara frågan genom att bestämma ett 95%

konfidensintervall. Ange den undre gränsen i det intervallet med en deci-

mals noggrannhet. (2p)

The regression equation is

storlek = 43.0 + 1.06 tillf - 0.194 perf - 6.2 visk Predictor Coef SE Coef T P

Constant 43.05 25.26 1.70 0.116

Tillf 1.0640 0.1652 6.44 0.000

Perf -0.19409 0.02045 -9.49 0.000

Visk -6.22 23.87 -0.26 0.799

s = ?? R-Sq = ?? R-Sq(adj) = ??

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P Regression 3 626.70 208.90 63.78 0.000 Residual

Error

11 36.03 3.28

Total 14 662.73

Variabel TSS_X

Tillf 81829 Perf 407.08 Visk 16.6

8) Ett experiment i en process för polymertillverkning har utförts. Fyra faktorer har bedömts som väsentliga: temperatur (A), koncentration av en katalysator (B), tid (C) och tryck (D). Responsvariabel har varit molkylvikt på erhållen polymer. I nedanstående tabeller ges försöksuppställning och effektskattningar:

nr A B C D molekylvikt Nr A B C D molekylvikt 1 – – – – 2400 9 – – – + 2400 2 + – – – 2410 10 + – – + 2390 3 – + – – 2315 11 – + – + 2300 4 + + – – 2510 12 + + – + 2520 5 – – + – 2615 13 – – + + 2625 6 + – + – 2625 14 + – + + 2630 7 – + + – 2400 15 – + + + 2500 8 + + + – 2750 16 + + + + 2710

(5)

Estimated Effects and Coefficients for molekylvikt (coded units)

Term Effect Coef Constant 2506.25 A 123.75 61.87 B -11.25 -5.62 C 201.25 100.62

D 6.25 3.12

A*B 120.00 60.00 A*C 20.00 10.00 A*D -17.50 -8.75 B*C -22.50 -11.25 B*D 7.50 3.75 C*D 12.50 6.25 A*B*C 16.25 8.13 A*B*D -11.25 -5.63 A*C*D -18.75 -9.38 B*C*D 3.75 1.87 A*B*C*D -22.50 -11.25

Antag att samspelstermer av ordning tre och högre betraktas som försum- bara. Bestäm standardavvikelsen för en effekt, dvs . Ange ditt svar

med en decimals noggrannhet. (1p)

effekt

s

Slut på del 1. Glöm inte att bifoga svarsbladet med tentan!

(6)

Tabell för svar till del 1.

Riv ut och lägg svarsbladet först i tentamen!

Namn...

Personnummer ...

Fråga Svar Poäng

a Sannolikhet 95% 1

b Sannolikhet 5% 1

1

c Sannolikhet 93.75% 1

2 Undre gräns 5.294 2

3 a Sannolikhet 90.88% 1

b Bolån 1 392 233 kr 1

c Väntevärde 1 106 550 kr 2

a Sannolikhet 1.8% 2

4

b Väntevärde 229 kW 2

a Konfidensgrad 80% 2

5

b Antal n≥78 2

6 a Hypotes (ringa in rätt

alternativ (1) (2) (3) (4) 1

b Kritiskt värde –1.895 1

c Kan nollhypotesen

förkastas? Ja Ne 1

a Residualspridning 1.80972 1

7

b Justerad förkl grad 93.1% 1

c Undre gräns –0.239 2

8 Standardavvikelse 15.89 1

Totalt antal poäng 25

Lycka till!

(7)

Tentamen i Matematisk statistik, S0001M, lösningar del 2, 2008-10-27

Vid bedömningen av lösningarna av uppgifterna i del 2 läggs stor vikt vid hur lösningarna är motiverade och redovisade. Tänk på att noga redovisa införda beteckningar och eventuella antaganden.

9) Till enheten för datorsupport kommer ärenden av många slag. En viss typ av ärenden har visat sig vara särskilt vanligt förekommande, och vid närmare un- dersökningar har det visat sig att hanteringen av denna typ av ärenden görs genom att utföra tre delmoment. Tiden det tar att utföra vart och ett av dessa delmoment kan beskrivas med exponentialfördelningar med väntevärdena 1, 2 respektive 3 minuter. Den totala tiden för den studerade typen av ärende är sum- man av tiden det tar att utföra de tre momenten. Ärendena läggs i en kö där ärendena tas i tur och ordning. Supportenheten har öppet mellan kl 08.00 och 16.00. Antag att det en viss dag kommer in 70 ärenden av den studerade typen och att endast denna typ av ärenden behandlas. Hur stor är sannolikheten att alla inkomna ärenden hinner avslutas innan man stänger för dagen? Införda stokas- tiska variabler och eventuella antaganden ska vara tydligt beskrivna. (8p)

10) För ett visst klätterrep vill man uppskatta hållfastheten uttryckt som median- brottgränsen hos repet. Man mätte brottgränsen hos 10 slumpmässigt utvalda delar av repet. Följande värden erhölls (enhet: kg):

1392 1427 1554 1521 1660 1560 1529 1540 1579 1467

Man vill uppskatta medianbrottgränsen med ett ensidigt, nedåt begränsat, konfidensintervall (d v s där gränserna blir av typen

[

^a^,^∞

)

) med konfidengrad 99%

eller så nära 99% som möjligt.

a) Bestäm konfidensintervallet om brottgränsen kan beskrivas med en nor-

malfördelning. (6p)

b) Bestäm konfidensintervallet om det enda antagande som kan göras är att fördelningen för brottgränsen är kontinuerlig, men att ingen specifik för-

delning kan antas. (6p)

I dina beräkningar ska det tydligt framgå hur respektive intervall härleds och vilka fördelningsantaganden du har utgått från. Ange även den exakta konfidensgraden.

11) Vid tillverkningen av ett kretskort ska hål borras i korten. Ett problem är att vib- rationer på kortytan orsakar variationer i var hålet hamnar. Två faktorer som an- ses väsentliga är: storlek på borrinfästning (A) och stanshastighet (B). Två in- fästningar (1/8 tum och 1/16 tum) ska köras med två hastigheter (40 och 90 rpm), och hål borras sedan på fyra kort för varje nivåkombination. Resultatvari- abel är vibration mätt som resultantvektorn för tre accelerometrar i x-, y- och z- led. Resultaten (i standardordning) ges i nedanstående tabell:

(8)

A B Y1 Y2 Y3 Y4 Medelvärde Standard–

avvikelse

Varians

– – 18.2 18.9 12.9 14.4 16.10 2.91 8.46 + – 27.2 24.0 22.4 22.5 24.03 2.24 5.02 – + 15.9 14.5 15.1 14.2 14.92 0.75 0.562 + + 41.0 43.9 36.3 39.9 40.27 3.14 9.87 Medelvärde 25.27 25.32 21.67 22.75

Standardavvikelse 11.38 12.98 10.56 12.07 Varians 129.52 168.42 111.55 145.67

Delar av analysen gjord i Minitab ges nedan

a) Beräkna spridningen för en effekt och bestäm vilka effekter som är signifikant skilda från 0 på 1% signifikansnivå. Hypoteser och den använda be- slutsregeln ska framgå tydligt.

Vilken effekt har borrinfästning (faktor A) på vibrationen? (6p) b) Ange modellantagandet som analysen förutsätter samt ange den skattade

modellen som analysen leder fram till.

I figurerna nedan finns två residualplotter. Tolka dessa och ange tydligt vilka delar av modellantagandet som man undersöker med dessa. (4p) Factorial Fit: vibration versus A; B

Estimated Effects and Coefficients for vibration (coded units)

Term Effect Constant A 16.637 B 7.537 A*B 8.713

Fitted Value

Residual

40 35 30 25 20 15 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4

Residuals Versus the Fitted Values (response is vibration)

Residual

Percent

5.0 2.5

0.0 -2.5

-5.0 99

95 90 80 70 60 50 40 30 20 10 5

1

Normal Probability Plot of the Residuals (response is vibration)

(9)

9) Låt ξ₁, ξ₂ och ξ₃ beteckna tiden för de tre delmomenten. För dessa gäller att de har väntevärdena 1, 2 respektive 3 minuter. Detta betyder att de kan beskrivas med exponentialfördelningar där λ=1, λ =1/2 respektive λ =1/3. Dess moment sätts ihop till en sammanlagd tid η . För den tiden gäller att vän- tevärdet är E(η)=E(ξ₁)+E(ξ₂)+E(3)=6 minuter och variansen är

. Sammanlagt har man 70 ärenden, och deras sammanlagda tid kan beskrivas med en variabel , och med stöd av centrala gränsvärdessatsen kan den sägas vara approximativt fördelad enligt

14 3 2 1 )

(η = ² + ² + ² = V

∑

=

= ⁷⁰

1 i

ηi

ζ

(

ⁿ ⁿ

)

N μ,σ d, dvs . Den fråga som är ställd är P(alla ärenden avslutas i tid) vilket är detsamma som

(

⁴²⁰^,³¹^.³⁰⁵

N

)

(

ζ ^≤⁴⁸⁰

)

P :

0,014 0,012 0,010 0,008 0,006 0,004 0,002

0,000

X420 480

Den sannolikheten är

( )

⁽¹^.⁹²⁾ ⁰^.⁹⁷²⁶

3 . 31

420 480 3

. 31

480 420 ⎟≈Φ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

− ≤

=

≤ ζ

ζ P

P .

Sannolikheten att alla ärenden hinns med under dagen är alltså 97.26%.

Kommentar: För att centrala gränsvärdessatsen ska gälla förutsätts att den ingå- ende variablerna kan betraktas som oberoende av varandra. Om så var fallet här gavs ingen upplysning om vilket måste ses som en brist.

10) Låt ξ beteckna brottgränsen (enhet: kg).

a) Den variabeln antas kunna beskrivas med en normalfördelning. Det som söks är ett nedåt begränsat 99% konfidensintervall för den variabelns median, och eftersom median och väntevärde μ sammanfaller för en sym- metrisk fördelning är detta detsamma som att bestämma ett konfidensintervall för väntevärdet. Standardavvikelsen σ är i detta fall okänd.

Grunden i ett sådant intervall blir först medelvärdet ξ som är fördelad en-

ligt ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ n

N μ, σ . Eftersom standardavvikelsen är okänd kan dock intervallet inte härledas utifrån den variabeln, utan vi måste använda variabeln

(10)

n

*/ σ

μ ξ −

som är t-fördelad med (n−1)=9frihetsgrader. Med följande omskrivning fås det sökta intervallet:

99 . 0 10 10

/

*

* ⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ < −

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ − < μ ξ σ

σ μ

ξ a P a

P . Den intervallskattning vi

söker är alltså möjligt att skriva som ⎟⎟⎠

⎢ ⎞

⎣

⎡ − ,∞

10 σ*

ξ a där a än så länge

inte är bestämd. Samtidigt gäller dock att 0.99 10

*/ ⎟⎟⎠=

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ − <

a P σ

μ

ξ , och ur

det sambandet följer att a= t₀_.₀₁(9)=2.821. Detta ger sammantaget konfi-

densintervallet ⎟⎟

⎠

⎢ ⎞

⎣

⎡ − ,∞

10 ) 9

01(

. 0

t s

x där x=1522.9 och , vilket ger intervallet

5 .

=77 s

[

¹⁴⁵³^.⁷^,^∞

)

.

b) Om det inte går att utgå från att brottgränsen, dvs variabeln ξ är normal- fördelad, måste ett så kallat ”teckenintervall” för medianen bestämmas.

Grunden i detta måste vara att ordna uppmätta värden i storleksordning och ta ett av de lägre som den undre gränsen, dvs intervallet ska ha formen

[

ξ

( )

^k ^,^∞

)

där k är ett ordningsvärde.

Konfidensgraden ska vara så nära 99% som möjligt, dvs

(

^intervalle^{t täcker}

)

¹ ^P

(

^intervalle^t^missar

)

P = − . Att intervallet missar kan

ske påflera sätt beroendepå vilket av värdena som används som gränse.

Om lägsta värdet (ξ

( )

¹ ) tas som gräns måste ”miss” innebära att alla vär- den ligger till höger om medianen, dvs

(

miss

)

=P

(

alla _itillhöger ommedianen

)

=0.5¹⁰.

P ξ

Då är konfidensgraden alltså 1−0.5¹⁰ =0.9990, ett för högt värde.

Om 2k = , dvs om undre intervall gräns tas som näst lägsta mätvärdet gäller att P

(

miss

)

= P

(

högst ett ξ_itillhöger ommedianen

)

, och eftersom antal värden till höger om medianen kan beskrivas som en binomialförde- lad variabel ^Bin

(

¹⁰^,⁰^.⁵

)

blir

. Då blir konfidensgraden 0.989, dvs rätt nära den sökta nivån på 99%.

( )

0.5 0.5 0.0107

1 5 10 . 0 höger till ett

högst ¹⁰ ⎟⎟⋅ ¹⋅ ⁹ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ +⎛

i =

P ξ

Om man på motsvarande sätt kollar konfidensgrad för k = 3 fås konfidens- graden 94.5%, vilket innebär att en intervallskattning ges av det näst lägsta värdet som undre gräns. Motsvarande konfidensintervall blir alltså

eller

[

^x

( )

²^,^∞

)

¹⁴²⁷^,^∞

)

^.

11)

(11)

a) Effekten på vibrationen skattas genom att bilda effekt=Y_{( )}₊ −Y_{( )}₋ , där varje medelvärde baseras på 2 mätvärden. Med 4 replikat baseras varje ef- fektskattning på medelvärdesbildning över 8 ursprungsobservationer (Y ). _ij Detta betyder att

( ) (

_{( )} _{( )}

)

4 8 effekt 8

2 2 2 effekt

2 σ σ σ

σ =V =V Y₊ −Y₋ = + = . Där måste skattas, vilket görs med hjälp av

σ2

978 . 4 5

87 . 9 562 . 0 02 . 5 46 . 8 4

2 4 2 3 2 2 2 1

2 + + + =

+ = +

= s +s s s s_p

Detta tillsammans ger skattningen 1.4945 4

912 .

2 23

ffekt = =

se .

Ska sedan hypotesen H₀ :μ_effekt =0 testas mot H₁:μ_effekt ≠0 kan detta göras på flera sätt, där det som väljs här är att bestämma kvoten

effekt effekt

effekt s

μ

− . Detta är en observation från t-fördelningen med 12 frihets-

grader (där antalet frihetsgrader är kopplat till beräkningen av ). Testet görs genom att jämföra kvoten ovan med lämpligt värde ur t-fördelningen:

2

sp

Nollhypotesen förkastas om ^effekt ⁰ 0.005

( )

¹²

effekt

s − <−t

eller

( )

12 0

effekt

005 . 0 effekt

s − >t

där t₀_.₀₀₅(12)=3.055. Ett annat sätt är förstås att jämföra effekterna med t₀_.₀₀₅(12)⋅s_effekt: om effekt >3.733 så sägs effekten vara signifikant på 1%-nivån.

I detta fall blir A-effekten = 16.637 enheter, B-effekten = 7.537 och AB- effekten = 8.713. Var och en av dessa kan bestämmas som ett medelvärde enligt beskrivningen ovan eller med hjälp av faktorns teckenkolumn. Ett exempel på det senare:

64 . 2 16

40.27 14.92

- 24.03 16.10

effekt -

- + + =

=

A .

När kvoterna ovan ska beräknas blir då resultatet:

Faktor A B AB

Effekt 16.64 7.54 8.71 t-kvot 13.61 6.17 7.13

Här är alla t-kvoterna större än gränsen 3.055, så tolkningen bör alltså vara att de alla är signifikanta på 1% signifikansnivå.

Resultatet för faktor A tillsammans med samspelsfaktorn AB säger att om faktor B hålls på låg nivå så ökar vibrationerna med 7.924 enheter, medan om faktor B hålls på hög nivå så är motsvarande effekt 25.35 enheter. Det- ta går till exempel att åskådliggöra genom att använda en samspelsplott:

(12)

1

-1

1 -1

B

A

40,275

24,025 16,100

14,925

Cube Plot (data means) for vibration

b) Ett sätt att beskriva modellantagandet är att börja med att låta beteckna uppmätt vibration vid nivåkombination i (

Yij

4 , 3 , 2 ,

=1

i ) och replikat j ( j=1,2,3,4). Då kan man betrakta den variabeln som fördelad enligt

ij i

Yij = μ +ε där ε_ij∈N

( )

0,σ och där alla ε förutsätts vara oberoende _ij av varandra.

Den skattade modellen blir då

2

1 2

1 3.769 4.356

319 . 8 831 .

ˆ 23 X X X X

Y = + + +

där

⎩⎨

⎧ +

= −

nivå hög på hålls faktor om 1

nivå låg på hålls faktor om 1

j X_j j

De residualplotter som ges används för att kontrollera 1) om det är rimligt att utgå från antagandet att ε verkligen är normalfördelade, något som _ij framgår först och främst med normalfördelningsplotten till höger, men även den vänstra plotten av residualer mot . I det senare fallet skulle till exempel normalfördelningsantagandet kunna ifrågasättas om många av re- sidualerna låg långt utanför intervallet

yˆi

effekt

2 s⋅

± , i detta fall . Den vänstra plotten kan också användas för att se om det är rimligt att utgå från att variansen är konstant, dvs att det är samma värde på

445 .

±2

σ för alla nivå- kombinationerna.