yx ++ 132 yx ++ 132 VOLYMBERÄKNING

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Tillämpningar av dubbelintegraler. Volymberäkning

D Z=f(x,y) z

x

y

TILLÄMPNINGAR AV DUBBELINTEGRALER

VOLYMBERÄKNING

Volymen V av området 0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦), (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ 𝐷𝐷

𝑉𝑉 = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦

𝐷𝐷

Volymen V av området 𝑓𝑓₁(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ≤ 𝑧𝑧 ≤ 𝑓𝑓2(𝑥𝑥, 𝑦𝑦), (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ 𝐷𝐷

𝑉𝑉 = �[𝑓𝑓2(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) − 𝑓𝑓1(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)]𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦

𝐷𝐷

Uppgift 1

Beräkna volymen av den kropp som definieras av

a) K =

{

(x,y,z): 0≤x ≤1, 0≤ y≤2, 0≤z≤ x+2y+1

}

b) K =

{

(x,y,z): 0≤ x≤1, 0≤ y≤2, 2x+3y+1≤ z≤2x+3y+5

}

c) K =

{

(x,y,z): 0≤ x≤1, 0≤ y≤3, x² +3y+1≤z≤x² +x+3y+2

}

d) K =

{

(x,y,z): 0≤x≤1, 0≤ y≤ x, x² + y≤z≤x² +3y

}

Lösning a ) Vi använder formeln _{𝑉𝑉 = ∬ [𝑓𝑓𝐷𝐷 2}(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) − 𝑓𝑓1(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)]𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 med 𝑓𝑓2(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) =

x + 2 + y 1

och 𝑓𝑓1(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 0:

𝑉𝑉 = �[𝑓𝑓2(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) − 𝑓𝑓1(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)]𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦

𝐷𝐷

= � 𝑑𝑑𝑥𝑥

1 0

�(

x 2 + y +

2 0

1 − 0)𝑑𝑑𝑦𝑦 = ⋯ = 7

Lösning b ) Vi använder formeln _{𝑉𝑉 = ∬ [𝑓𝑓𝐷𝐷 2}(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) − 𝑓𝑓1(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)]𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 med 𝑓𝑓2(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) =

2 x + 3 y + 5

och 𝑓𝑓1(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) =

2 x + 3 y + 1

𝑉𝑉 = �[𝑓𝑓₂(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) − 𝑓𝑓1(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)]𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦

𝐷𝐷

= � 𝑑𝑑𝑥𝑥

1 0

�(

2 x + 3 y + 5

2 0

) − (

2 x + 3 y + 1

)𝑑𝑑𝑦𝑦 = � 𝑑𝑑𝑥𝑥

1 0

� 4𝑑𝑑𝑦𝑦

2 0

… = 8

D

f2(x,y) f1(x,y)

x z

y

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Tillämpningar av dubbelintegraler. Volymberäkning

Svar:

a) 7 b) 8 c) 9/2 d) 1/3 Uppgift 2.

a) Beräkna volymen av den kropp som begränsas av ytorna f₁(x,y) och f₂(x,y) då

3

3 2 ) ,

(

^{2 2}

1

x y = x + y +

f

och

f

₂

( x , y ) = 3 x

²

+ 4 y

²

− 6

b) Beräkna volymen av kroppen

{

⁽x^,y^,z^): x² y^{2 1,} x ^{0, 0} y x^{, 0} z e^{(x2 y2)}

}

K = + ≤ ≥ ≤ ≤ ≤ ≤ ⁺

Lösning a):

Skärningskurvans projektion i xy-planet:

3 3

2 x

²

+ y

²

+

=

3 x

²

+ 4 y

²

− 6 ⇒ 9 = x +

²

y

² (cirkeln med radien r=3 )

V= z z dxdy

D

) ( ₂ − ₁

∫∫

^{= x y dxdy}

D

) 9

( ^{2 2}

∫∫

^{− −} = ( polära koordinater,

𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 = 𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟

⁾

∫ ∫

^π

^θ

⁻

2 0

3 0

2) 9

( r rdr

d =²

∫ ∫

^π

^θ

⁻

0 3 0

3) 9

( r r dr

d =

0 ) 3 4 2

(9 ⁴

2 0

2 r

d r −

∫

^π

^θ

⁼²

∫

^π

^θ

⁼

^π

0 2

81 81 d4

Lösning b):

Först ritar vi upp området D.

V= z z dxdy

D

) ( ₂ − ₁

∫∫

⁼

^{e dxdy}

D y

x

0 )

(

^{( 2 2)}

∫∫

⁺

⁻

= ( polära koordinater,

𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 = 𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟

⁾⁼

∫ ∫

^/4

0 1 0 π 2

θ

_{e rdr}

d ^r =

0 ] 1 [ 2

4 2

/ 0

e

r

∫ d

π

θ

=

∫

^{/4 − = −}

0 8

) 1 ) (

2 1 (2

π ^e _d

θ

^e

π

Uppgift 3. Beräkna volymen av den kropp som definieras av a)

K = { ( x , y , z ) : x

²

+ y

²

≤ 4 , 0 ≤ z ≤ 5 ( x

²

+ y

²

) }

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Tillämpningar av dubbelintegraler. Volymberäkning

b)

K = { ( x , y , z ) : x

²

+ y

²

≤ 9 , x ≥ 0 , y ≥ 0 , 0 ≤ z ≤ ( x

²

+ y

²

)

²

}

Svar:

a) 40

π

b)

4 243 π

Uppgift 4

Beräkna volymen av det område som ligger mellan ytorna:

1 4 4

²

+

²

+

= x y

z

och

z = 33 + 2 x

²

+ 2 y

² Lösning:

Skärningskurvans projektion i xy-planet:

1 4

4 x

²

+ y

²

+

=

33 + 2 x +

²

2 y

²

⇒ 32 = 2 x +

²

2 y

²

⇒ 16 = x +

²

y

² (definitionsområdet D är alltså cirkeln med radien r=4 )

V= z z dxdy

D

) ( ₂ − ₁

∫∫

^{= x y dxdy}

D

) 2 2 32

( ^{2 2}

∫∫

^{− −} = ( polära koordinater

𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 = 𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟

⁾⁼

∫ ∫

^π

^θ

⁻

2 0

4 0

2) 2 32

( r rdr

d =²

∫ ∫

^π

^θ

⁻

0 4 0

3) 2 32

( r r dr

d 0

) 4 4 2 2

(32 ⁴

2 0

2 r

d r −

∫

^π

^θ

⁼²

∫

^π

^θ

⁼

^π

0

256 128d

Uppgift 5. Beräkna volymen av det område som ligger mellan ytorna:

1 3 3

²

+

²

+

= x y

z

och z =9+x² + y² Lösning:

Punkterna på skärningslinjen uppfyller

1

3

3 x

²

+ y

²

+

= 9+x +² y² ⇒

8

2

2 x

²

+ y

²

=

^⇒ 4

2

2 +y =

x ( detta är randen till definitionsområdet D) Volymen:

V= z z dxdy

D

) ( ₂ − ₁

∫∫

⁼

dxdy y x

D

) 2 2 8

( ^{2 2}

∫∫

^{− − =}

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Tillämpningar av dubbelintegraler. Volymberäkning

( vi substituerar polära koordinater)

V=

∫ ∫

^{2 −}

0 2 2

0

) 2 8

( r rdr d

π

θ

=16

π

Uppgift 6. (Ten juni 2019)

Beräkna volymen av den ändliga kropp som begränsas av ytorna

2

8 x

2

y

z = − − och z = x

²

+ y

²

.

Tips: Använd polära koordinater.

Lösning:

Punkterna på skärningslinjen uppfyller

2 2 2

8 − x

2

− y = x + y ⇒ 2 x

²

+ 2 y

²

= 8 ⇒ x

²

+ y

²

= 4

(cirkeln med radien 2 och centrum i origo)

Volymen: V= z z dxdy

D

) ( ₂ − ₁

∫∫

^{= x y dxdy}

D

) 2 2 8

( ^{2 2}

∫∫

^{− −}

( vi substituerar polära koordinater)

∫

∫

⁻

= ²

0 2 2

0

) 2 8

( r rdr d

V ^π

θ

=

∫ ∫

^{2 −}

0 2 3

0

) 2 8

( r r dr d

π

θ

=

π

₂

π

_{8 16}

π

0 2 2 4 4

2 ^{2 4} = ⋅ =



 



 −

⋅ r r .