Något om Mekanik Dynamik och Mathematica Övningar
ť Allmänt
Under respektive kapitel nedan anges de övningsuppgifter som skall redovisas på varje betygsnivå. Detta ska göras i en egen väl strukturerad Notebook i Mathematica där motiveringar, modeller, friläggningar, analyser och grafer samlas i en anda av
“Computational Thinking”. Goda samtal med examinator fyller på meritportföljen! Det rekommenderas och uppmuntras arbete i grupp. Ha teorikompendierna till hands, där finns många lösta exempel.
ť Kinematik
Km1:En person rör sig på x–axeln enligt x t 2 15t2 501t3, t 0, 12 .
a Bestäm och rita läge, hastighet och acceleration.b Sök t då personen vänder. Läget då ? c När är hastigheten, farten som störst?d När passerar personen x 0? Hastighet då ?
a
x tx t 2 4 6 8 10 12 tx t 4
2 2 4
b x 6.66667 4.96296
c x 3.33333 0.666667 , x 12. 3.84 , d x 10.8495 2.72293 Km2:En racerbil accelererar längs x–axeln under inverkan
av motorstyrka och linjärt luft– rullmotstånd enligt BVP x t 50 0.01x t2
x 0 x 0 0 , t 0.
a Lös BVP och rita läge, hastighet och acceleration under de första sekunderna.b Sök maximal hastighet
a x t 100. log1. 1.41421 t 70.7107 t 69.3147
x t
x t
1 2 3 4 t x t
50 100 150 200
, b x 70.7107
Km3:En curlingsten bromsas med konstant acceleration a 0, det vill säga retardation. Sök tid och glidsträcka tills den stannar om utgångsfarten är v.
x av 2 av2
Km4:Ett tåg håller konstant fart. På avståndet d före en station kopplas sista vagnen av och bromsas med konstant acceleration a så att den precis stannar på stationen. Hur lång tid tar det och var är tåget då? Placera ett koordinat–
system vid stationen och låt t 0 då sista vagnen kopplas av.
x 2ad d
Km5:Två likdana bilar med längderna b har samma hastighet v på en rak väg.
Avståndet mellan dem är d. Med konstant acceleration a gör den bakre bilen en omkörning som är avslutad då avståndet mellan dem åter är d. Sök nu omkörningssträcka och omkörningstid Låt fronten på bilarna ange deras position och placera ett koordinatsystem vid den omkörande bilens front då t 0 och omkörningen börjar.
xf 2 b d
a 2 v b d
a b d, xb2 b d
a 2v b d
a b d
Km6:Sök yBsom funktion av xA. Rita för h 1, xA 1
yB t xAt xA t
xAt2 h2
yB t
1 2 3 4 5 xAt
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Km7:Läget av P bestäms av spåret rΘ Θ,Θ 0, 2Π 3 . Bestäm och rita och dåΘ 1 ochΘ 0.
x y x
y
0.5 1.0 1.5 2.0 t
3 2 1 1 2
Km8:Accelerationen hos en personbil antas vara x 0.1 0.05x om motorn stängs av vid farten v0 20 m s på en rak väg. Använd NDSolveoch bestäm restid och resväg till stillastående.
x 47.9579 304.084
Km9:En kamskiva med profilen rΘ 5 2cosΘ styr en pinne A.
Bestäm pinnens hastighet och acceleration i de kartesiska, polära och naturliga systemen omΘ 1 ochΘ 0. Rita förΘ 0, 2Π. Återge modellen med Manipulate.
x y r
Θ t
1 2 3 4 5 6 t n
64 2 2 4 6
x y r Θ t n
1 2 3 4 5 6 t
5 5
Km10:En arm oscillerar enligt x t 4sin t och tvingar då stiftet P att åka fram och tillbaka i en parabelformad bana y 14x2. Sök stiftets maximala fart och var det inträffar, då t 0, Π2. Rita
5., t 0.659058
0.5 1.0 1.5 t ' t 12
34 5
Km11:Sök kvotenΩ2 Ω1,Θ1 0 , 45 , för Geneva–kopplingen. Rita
2 2 cos2 cosΘ1 1
Θ1 3
0.2 0.4 0.6 0.8Θ1
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
Ω2Ω1
Km12 :Studera en enkel robot som bara kan röra sig xy–planet. Låt armarnas längder vara L1 1 m, L2 0.8 m ochΘ Θ1,Θ2, där Θ1,Θ2 0,Π rad. Roboten ska måla längs en bana som beskrivs av den räta linjen från 0.9, 0.1 m till 1.2, 1.1 m. Det är viktigt att farten är 0.1 m s, annars blir färglagret för tunt eller för tjockt.
a Bestäm framåtekvationerna, det vill säga PΘ xΘ, yΘ . b Bestäm restiden T och dela in denna i n st små tidssteg.
c Stega fram för i 0, , n och beräkna först position b och hastighet b från banan, sedan robotens fyra styrvariablerΘ,Θur det olinjära ekvationssystemetb P, b Pmed FindRoot.
d Rita ut robotens fyra styrvariablerΘ,Θsom funktioner av i 0, , n med ListPlot. Animera med Manipulate
P
Θ1
Θ2
L1
L2
x y
ť Kinetik
Kn1:En boll nickas iväg rakt upp med farten 10 m s. Försumma luftmotståndet och använd Newtons accelerationslag my F.
a Formulera och lös BVP som bestämmer bollens läge y t . b Bestäm bollens hastighet som funktion av tiden t.
c Hur högt når den, så kallad stighöjd? Hur mycket är klockan då, så kallad stigtid?
d När kommer den tillbaka och med vilken hastighet?
a y t 1220 t g t2b y t 12 20 2 g t c y10g 50gd y20g 10
Kn2:Under en fotbollsmatch sparkar en spelare iväg bollen med farten v0 25 m s och vinkelnΘ 30 . Låt g 10 m s2och försumma luftmotståndet.
a Formulera och lös BVP som bestämmer bollens läge x t , y t .
b Bestäm bollens hastighet som funktion av tiden t. x
y
v0
Θ
c Hur högt når den, så kallad stighöjd? Hur mycket är klockan då ? d När och var tar den mark igen, så kallad kastvidd?
e Rita banan med ParametricPlot. f Visa att optimal elevationsvinkelΘ 45 för maximal kastvidd.
a x t t v0cosΘ, y t t v0sinΘ g t22 x t 21.6506 t, y t 12.5 t 5. t2 b x t v0cosΘ, y t v0sinΘ g t x t 21.6506, y t 12.5 10. t c xv0sing Θ v0
2sinΘcosΘ
g , yv0sing Θ v0
2sin2Θ
2 g x 1.25 27.0633, y 1.25 7.8125 d x2 v0gsinΘ 2 v0
2sinΘcosΘ
g , y2 v0sing Θ 0 x 2.5 54.1266, y 2.5 0 e Kn3:Under samma match kom två spelare att prata om
farten på bollen vid en inspark. De uppskattar längden 60 m och restiden 3 s till nedslagsplatsen. Hjälp dem att bestämma utgångsfarten v0och elevationsvinkelnΘ. Låt g 10 m s2och försumma luftmotståndet.
v0 25,Θ 2 tan 113
10 20 30 40 50 60 x
24 68 10 y
v0
Θ
Kn4:Om man sparkar iväg bollen med fartan v0
med optimal elevationsvinkelΘlandar bollen vid x L. Hur långt når bollen om man sparkar iväg den med samma fart i en hall med takhöjden L8?
Θ Π6 x L
g
3 L
2 , y L
g 0 L x
y
v0
Θ
Kn5:En boll som väger 0.4 kg sparkas iväg med farten v0 25 m s och vinkelnΘ 45 . Låt g 10 m s2och luftmotståndet vara proportionell med c mot farten i både x– och y–riktningen. Variera c 0, 0.05, 0.1, 0.2 . a Formulera och lös BVP .
b Bestäm restiden till dess bollen når mark igen.
c Rita banan med ParametricPlot. 0 10 20 30 40 50 60
x 0
5 10 15 20 y
c 0 c 0.05 c 0.1 c 0.2
Kn6:En vattenraket skjuts iväg i geografin enligt figur. Bestäm sträckan R längs backen upp till nedslagsplatsen samt restiden och hastighet vid nedslag.R 2 v02cosg cosΘ sinΑ Θ
Α2 , t 2 vg cos0sinΑ ΘΑ
x 2 vg cos0sinΑ Θ
Α v0cosΘ,
y 2 vg cos0sinΑ ΘΑ v0 sinΘ 2 tanΑ cosΘ Kn7:En basketsituation är uppriggad enligt figur. Med given elevationsvinkelnΘ 60 måste bollen ges en speciell utgångsfart v0för att träffa korgen. Sök denna samt restiden.
Låt g 9.81 m s2och rita bollbanan.
t 1.1086, v0 7.21632
0 1 2 3 4 x 1
2 3 4 y
Kn8:För att utreda vilken skidvalla som är bäst genomför många skidåkare så kallade glidprov. Med känd utgångshastighet mäts då sträckan till stillastående. Vid ett försök gav en utgångshastighet på 6 m s en glidsträcka på 30 m. Sök friktionskoefficientΜ och restid om vi antar att den enda kraften som verkar på åkaren i rörelseriktningen är den bromsande friktionskraften som är proportionell mot såvälΜsom ekipagets tyngd. Låt g 9.81 m s2. t 10.,Μ 0.0611621
Kn9:Två klossar, A med massan m och B med massan 2m, är i kontakt med varandra medan de glider ner för det lutande planet. Den kinetiska friktionskoefficienten mellan kloss B och underlaget ärΜk. Friktionen mellan kloss A och underlaget försummas.
Bestäm klossarnas acceleration samt normalkraften mellan dem och mot planet.
s t 16 g3 2 3 Μk, Fc g mΜk
3 , NA 1
2 3 g m, NB 3 g m Kn10:En friktionsfri rak glidbana fungerar som utskjutningsramp för en låda, se fig. Lådan släpps vid banans övre ände och lämnar den vid den nedre. Vilken vinkelΑskall banan luta för att hastighetens horisontella komposant vhska blir så stor som möjligt när lådan lämnar banan?Α 2 tan1 5 2 6
Α vh
v
Kn11:Nissarnas skidbacke kan med god noggrannhet approximeras med en rät linje som går mellan punkterna 0, 50 och 100, 0 . Låt Nisse väga 30 kg och antag att Μk 0.1 mellan snö och skida. Luftmotståndet är proportionellt mot farten med proportionalitetskonstanten 5 Ns m. Låt g 9.81 m s2.
a Formulera och lös det BVP som bestämmer Nisses läge s t längs backen.
b Bestäm restid och högsta fart, samt gränshastighet om backen var oändligt lång c Rita s t och s t .
a s t 21.0584 t 126.35 t 6 126.35
b s 10.216 111.803 , s 10.216 17.2216 , s 21.0584
c
s t
s t 2 4 6 8 10 t 2040
6080 100
Kn12:Sankta Lucia ror över en 20 m bred, rak å för att hämta stjärngossarna. Om vi lägger ett koordinatsystem med x–axeln pekande rakt mot andra sidan och y–axeln pekande längs åkanten nedströms, ges vattnets hastighet som 0, 2001 x 20 x m s.
a Rita vattnets hastighetsprofil i ån med ParametricPlot och Arrow.
b Lucia startar i origo och ror hela tiden rakt mot andra sidan med farten u 0.25 m s. Härled BVP för hennes vådliga resa y x över ån Lös det med DSolve.
c Var ska stjärngossarna ställa sig och vänta? Hur varierar landstigningsplatsen och restid för lite olika u? Rita en bukett resor för u 0.2, 0.25, 0.3, 0.4, 0.5, 0.7, 1 .
d Görb–c och formulera som ett system x' t , y' t och lös det med NDSolve. Rita.
e Görb–c om hon istället hela tiden siktar mot önskepunkten 20, 0 ? Formulera som ett system x' t , y' t och lös det med NDSolve. Nu vet vi inte restiden så använd WhenEvent för att hålla koll på när hon angör andra sidan. Läs i Help.
f Gör om allt med en liten egen ode–lösare som stegar fram med små tidssteg enligt s vt. Läs om "Numerisk lösning av ODE " i
"Något om ODE ..." samt While, For och Do i Help.
a
5 10 15 20 x
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 v
b y' x 200 u1 x 20 x
y x 1501 30 x2 x3
c
y x
5 10 15 20 x 105
1520 25 y
y 20 803
T 20u
u 0.2 u 0.25 u 0.3 u 0.4 u 0.5 u 0.7 u 1
5 10 15 20 x
5 10 15 20 25 30 35 y
d
5 10 15 20 x
10 20 30 40 50 60 70 y
u 0.1, x 200. 20., y 200. 66.6667 u 0.15, x 133.333 20., y 133.333 44.4444 u 0.2, x 100. 20., y 100. 33.3333 u 0.25, x 80. 20., y 80. 26.6667 u 0.3, x 66.6667 20., y 66.6667 22.2222
e
5 10 15 20 x
10 20 30 40 50 60
y u 0.2, x 878.394 20., y 878.394 4.03793 1010
u 0.22, x 573.379 20., y 573.379 1.56999 109 u 0.24, x 403.858 20., y 403.858 1.15354 109 u 0.26, x 301.41 20., y 301.41 1.35204 1010 u 0.28, x 235.275 20., y 235.275 9.2232 10 10 u 0.3, x 190.257 20., y 190.257 5.25515 1010
f Do it
Kn13:En solid pappersrulle lastas osurrad på ett lastbilsflak enligt figur. Så kör lastbilen iväg med accelerationen a. Hur lång tid tar det och hur långt har då lastbilen hunnit när pappersrullen rullar av flaket? Låt läget från en lyktstolpe vid start för lastbilen vara s t och rullen x t rullande med radien R framåt medurs Θt .
s 3 d
a 3 d2 , x 3 d
a d2,Θ 3 d
a dR
d
Kn14:Tomten är mycket road av mekanikproblem. En dag håller han genom en liten glatt ögla i taket ett 5 m långt rep så att 3 m hänger på ena sidan och 2 m på den andra. Han behöver hjälp med att reda ut den modell som beskriver rörelsen sedan repet släpps och hur lång tid det tar innan det har glidit ur öglan? Låt g 10 m s2. x 1.14622 5. x 1.14622 4.89898
Kn15:En friktionsfritt lagrad trumma är uppriggad enligt figur. Jämför utvecklingen över tid för de två olika metoderna att sätta den i rotation.
Bestäm även kraften i snöret Tröghetsradien för trumman är 0.375 m och dess vikt 100 kg.
a Θ t 3.20327, x t 0.800816, S 180.184, J 14.0625 , b Θ t 3.488, S 196.2, J 14.0625
Kn16:Ett löphjul med radien r m och massan m kg släpps med en medurs rotation påΩrad s i origo för att omedelbart ge sig iväg längs positiva x–axeln med hjälp avΜkmot underlaget.
a Bestäm t, x t och x t då det slutar slira och börjar rulla.
b Bestäm energiförlusten friktionsarbetet under slirningen.
a x3 grΩ
Μk 18 gr2Ω2
Μk,Θ3 grΩ
Μk 9 g2 rΩ2
Μk
x3 grΩΜ
k r3Ω,Θ 3 grΩΜ
k Ω3
b 16m r2Ω2
Kn17:För att spara in på ledtider och kostsamma provserier är all modern produktutveckling helt beroende av att kunna simulera sina produkter i dator under utvecklingsfasen matematik : . Vid studium av flygplans dynamiska egenskaper krävs det då att massa, tyngdpunkt och tröghetsmoment för alla delarna är kända. Som exempel analyserar vi vertikala stabilisatorn, fenan där bak, och approximerar dess form med det plana område som begränsas av x–axeln och kurvan y x 2x2 x3m, med ytdensitetenΡkg m2. a Strimla fenan i x–led och använd dessa x breda strimlor till att bestämma fenans area, massa och tyngdpunktens läge i både x– och y –led
b Rita fenan i blått med Plot och markera tyngdpunkten som en röd Point med lämplig PointSize i Epilog. Pynta axlarna c Sök tröghetsmomentet för rodret, del 9, med avseende på vridningsaxeln vid xasom är parallell med y–axeln och går genom ymax. d Bestäm tryckkraften på rodret om lufttrycket är p x p02 x N m2.
e Sök det konstanta moment M som måste anbringas kring vridningsaxeln för att göra roderutslag 0 rad på T s.
f Kanten y x på rodret ska svetsas, därför behöver man veta dess längd S. Använd NIntegrate
a A 43 m 43Ρ G 65, G 16 35b
0.5 1.0 1.5 2.0x 0.20.4
0.60.8 1.01.2 y
c xa 4
3, J 10 935544Ρd F 272 p12150
e M 16233 p10 935 T0T2268Ρ f S 1.42884
Kn18:En massa är riggad enligt figur. Lagringen B störs av en oscillerande rörelse xBt RBsinΩB. Rita rörelsen över tid för olika val av data. Studera speciellt när c 0 ochΩB Ωe.
