Något om Derivator och Mathematica

Något om Derivator och Mathematica

Bertil Nilsson 2021-08-15

ť Förord

På följande sidor presenteras en elementär “streetwise guide” till derivata med flitig användning av Mathematica. Framställningen är fåordig, fri från pedanteri men i någon mening fullständig. Det man väsentligen behöver veta om begrepp, terminologi, beteckningar och teori för att modellera och lösa problem i framtida kurser och yrkesliv som ingenjör, naturvetare eller lärare klarläggs och typiska exempel ges.

ť Begreppet gränsvärde

Gränsvärdesbegreppet är grundläggande inom den del av matematiken som brukar kallas analys. Definitionen av övriga begrepp som kontinuitet, derivata och integral vilar tungt på begreppet gränsvärde. Den första definitionen av gränsvärde gjordes omkring 1760 av den franske matematikern d´Alembert och den nuvarande definitionen infördes på 1820-talet av hans landsman Cauchy.

Abstrakt materia och det har sedan dess presenterats konkurrerande definitioner, minst lika svårsmälta.

Frågeställningen som ligger på bordet är “Hur uppför sig funktionen f x när x ligger nära ett visst tal a alternativt antar mycket stora positiva eller negativa värden?”. Här handlar det inte om fall då f a kan beräknas helt odramatiskt, utan gränsvärdesbegreppet är ämnat att ta hand om de bekymmer som kan uppkomma då vi försöker beräkna f a , exempelvis ”⁰₀”, “ ”, “0 ” och “ ”.

Med oändlighetssymbolen menas “ett tal som är stort bortom alla gränser”. Att förtydliga med är aldrig fel. På motsvarande sätt lägger vi innebörd i . Notera att är en symbol för ett stoooort tal och denna kan man inte räkna med på samma sätt som med tal i . I Mathematica hämtas ur palette, med inf på tangentbordet eller att skriva Infinity. Vi ska göra två defini- tioner men vädja till den intuitiva bilden som åskådliggörs. Först har vi fallet då x antar ett stort positivt tal, följt av ett exempel, sedan fallet då x går mot ett tal a.

Definition.Antag att definitionsmängden till f inte är uppåt begränsad, det vill säga att det i varje öppet intervall Ω, finns minst en punkt i Df. Man säger att f x har gränsvärdetA då x går mot oändligheten om det till varjeΕ 0 finns ettΩså att

f x A Εdå x Ωoch x Df.

Vi skriver dålimx f x Aellerf x A då x och säger “Limes f x då x går mot oändligheten är lika med A” eller “Att f x går mot A då x går mot oändligheten”. Ordet limes är grekiska och betyder gräns. Innebörden är att vi kan

göraΕgodtyckligt litet bara vi väljerΩtillräckligt stort. Oftast blirΩen funktion ^Ω

x A ^AΕ

A Ε f x

avΕ. Vi ser i figuren att innebörden är attΩmåste väljas så att för alla x Ωär f x innestängd i korridoren A Ε, A Ε. Exempel :Visa att f x ^{x 1}_x 1 då x . LåtΕ 0 vara en godtycklig önskad

noggrannhet. Vår uppgift blir nu att söka ettΩså att för alla x Ωgäller

f x 1 Ε ^{x 1}_x 1 Ε ¹_x Ε^{x 0 1}_x Ε

varav tillräckligt stort x ¹_Ε. Så varje talΩ ¹_Ε är tillräckligt. Lägg speciellt märke till attΩinte behöver väljas skarpt¹_Ε, allaΩ ¹_Ε duger “onödigt” bra. Vi ritar väl

en liten bild som vanligt. Ω

x 1 Ε¹

1 Ε f x

Definition.Antag att det i varjeomgivningtill punkten a, det vill säga ett intervall a Δ, a Δ, finns minst ett x Df. Man säger att f x hargränsvärdetA då x går mot a om det till varjeΕ 0 finns ettΔ 0 så att

f x A Εdå x a Δoch x D_f.

Vi skriver dålimx af x Aellerf x A då x aoch säger “Limes f x då x går mot a är lika med A” eller “Att f x går mot A då x går mot a”. Innebörden är att vi kan göraΕgodtyckligt litet bara vi väljerΔtillräckligt litet. Oftast blirΔen funktion avΕ. Vi åskådliggör med en figur, där innebörden är attΔmåste väljas så

litet att för alla x a Δ, a Δ är f x innestängd i korridoren A Ε, A Ε. ^{a Δ a a Δ}

x A Ε

A AΕ f x

Gränsvärde som existerar ändligt i kallas för egentligt gränsvärde medan de som går mot kallas oegentligt gränsvärde.

Synonymt används existera respektive ej existera. På motsvarande sätt kan man fylla på med en bunta definitioner med alla kombinationer mellan f x går mot eller A då x går mot , a, a eller a där de två sista kallas för vänstergränsvärde respektive högergränsvärde med tecknet visande från vilken sida man närmar sig a. Man kallar dem ensidiga gränsvärden. Ett krav för att limx af x ska existera är att vänster- limx a f x och högergränsvärdet limx a f x existerar och är lika. Vänster- gränsvärdet skrivs ibland limx af x “går upp mot” och högergränsvärdet limx af x “går ner mot”.

Till sist en liten invändning mot definitionerna ovan. Dessa kan bara användas då man redan känner gränsvärdet. I enkla fall kan man gissa och prova några kandidater och se om det går bra, men i det allmänna fallet är detta ingen framkomlig väg. I bland har man dessutom bara behov av att veta att man har ett egentligt gränsvärde utan att faktiskt behöva veta vad det är! Modern teori har metoder för att angripa dessa frågeställningar.

När man beräknar ett gränsvärde undviker man att arbeta direkt med definitionerna. I stället har man från dessa härlett ett antal räkneregler och standardgränsvärden som man använder sig av. De presenteras här utan bevis, flera av dem är rätt självklara.

Räkneregler

Om f x 0 och g x begränsad, så gäller att f x g x 0.

Om f x A och g x B då x a, a , a , eller så gäller

f x g x A B, f x g x AB, _{g x}^{f x A}_Bifall B 0.

Om g x a och f t A då t a så gäller f g x A. (sammansättning) Om f x A och g x A och f x h x g x så gäller h x A. (instängning) Om f x g x och f x A, g x B så gäller A B. (gränsövergång i olikhet)

Standardgränsvärden

1

x 0 då x ^x_a^Αx 0 då x om a 1 ^{ln 1 x}_x 1 då x 0 ⁿn då n

aⁿ 0 då n om a 1 ^{ln x}_xΑ 0 då x omΑ 0 ^x_x¹ 1 då x 0 ^a_nⁿ 0 då n

aⁿ då n om a 1 x^Αln x 0 då x 0 omΑ 0 ^{sin x}_x 1 då x 0 ⁿa 1 då n om a 0

aⁿexisterar ej då n om a 1 1 ¹_x^x då x ⁿn 1 då n

Lägg speciellt märke till storleksordning ln x x^Α a^x, och gränsvärdet 1 ¹_x^x då x som är definition på den naturliga basen . Till slut återstår bara att höra vad Mathematica har att säga i ärendet. Funktionen heter naturligtvis Limit med optionen Direction för att indikera att ett ensidigt gränsvärde kan beställas. Naturligtvis är den bestyckad med utökade listor av regler och standardgränsvärden samt ytterligare mycket avancerad teori för att hantera verkligt komplicerade uttryck.

Exempel: Bestäm gränsvärdet av 1 ¹_x^x då x . Lösningsförslag: Alldeles för komplicerat för hand!!

Limit 1 1 x

x

, x 

Exempel: Bestäm gränsvärdet av 1 ²_x^x då x .

Lösningsförslag: Luktar ! Vi får 1 ²_x^x Skriv om medpotenslagar 1 _{x 2}¹ ^{x 2}

2

Låt u ₂^xså har vi att u då x 

1 ¹_u^u^{2 2} då u enligt sammansättningsregeln ovan.

Limit 1 2 x

x

, x 

2

Exempel: Visa standardgränsvärdena ^{ln 1 x}_x 1 då x 0, och ^x_x¹ 1 då x 0.

Lösningsförslag: Båda är av typen "⁰₀", så ^{ln 1 x}_x Loglag ln1 x^{1 x} u _x¹ ln1 ¹_u^u u då x 0 ln 1, med sammansättning. Den andra kan lätt överföras i den första, ty ^x_x¹ x ln 1 u , u 0 då x 0 _{ln 1 u}^{ln 1 u 1} _{ln 1 u}^u .

Limit

Log 1 x

x ,

x 1

x , x 0

1, 1

Exempel: Bestäm gränsvärdet av ^x_{x 1}^{2 1} då x 1.

Lösningsförslag: Vi får ^x_{x 1}^{2 1} Av typen “⁰₀”.Konjugatregelni täljaren ^{x 1 x 1}_{x 1} x 1 1 1 2 då x 1.

Vi ser att det gäller att “bädda upp” innan det är dax att “gå i gräns”.

Limitx² 1 x 1

, x 1

2

Exempel: Bestäm gränsvärdet av ² _{x 1}^{x 3} då x 1.

Lösningsförslag: Vi får ² _{x 1}^{x 3} Av typen “⁰₀”. Förläng med täljarenskonjugatkvantitet ^{2 x 3 2 x 3}

x 12 x 3

Konjugatregeln Hyfsa ^{4 x 3}

x 12 x 3

x 1 x 12 x 3

1 2 x 3

1 2 1 3

1

4då x 1. Att meka om med “vanlig” algebra innan det är dax att “gå i gräns” är standard. Se här att “⁰₀” kan bli “vad som helst!” Beware!!

Limit2 x 3 x 1

, x 1

1 4

Exempel: Bestäm gränsvärdet av x² x x då x .

Lösningsförslag: Vi får x² x x Av typen “ ”. Förläng medkonjugatkvantiteten ^x

2 x x x² x x

x² x x

Konjugatregeln Hyfsa ^{x2 x x2}

x² x x x

x² x x “ ”, Dividera mednämnarens dominerande term Här x

1

1

x x² x 1 Potenslag ¹

1 x²x² x 1

1

1 ¹_x 1

Standardgränsvärde ¹

1 0 1 1

2 då x . Frestas aldrig att ge “ ” värdet 0! Kan bli “vad som helst”! Beware!!

Limit x² x x, x  1

2

Exempel: Bestäm gränsvärdet av xcos x sin x

x x² då x 0.

Lösningsförslag: Vi får xcos x sin x

x x² Av typen “⁰₀”. Dividera mednämnarens dominerande term Här x

cos x ^{sin x}_x

1 x Standardgränsvärde ^{1 1}_{1 0} 2 då x 0. Eftersom ^{sin x}_x är “det enda” vi kan i trigonometriska branschen är det bara att sikta på detta och skriva om! Dé måste gå Frestas aldrig att ge “⁰₀” värdet 1! Kan bli “vad som helst!” Beware!!

Limit

x Cos x Sin x x x²

, x 0

2

Exempel: Bestäm vänster- och högergränsvärdet av Heavisides stegfunktion Θx 0 x 0

1 x 0 då x 0.

Lösningsförslag: Vanlig strömbrytare när man räknar på elektriska kretsar, ej definierad för x 0. Vi tar hjälp av Mathematica för vänster- följt av högergränsvärdet.

Limit 0 x 0

1 x 0, x 0, Direction 1, Limit0 x 0

1 x 0, x 0, Direction 1

0, 1

Exempel: Visa standardgränsvärdet ^{sin t}_t 1 då t 0.

Lösningsförslag: En titt i tabellen över standardgränsvärden indikerar att detta är det enda som avhandlar trigonometriska funk- tioner, och är därmed en slags prototyp som man alltid ska ha som mål för sina omskrivningar i sådana situationer. Notera att t är en vinkel som naturligtvis mäts i radianer. Vi inser att det inte spelar någon roll från vilken sida vi närmar oss 0 i denna gränsövergång av typen “⁰₀”, ty ^{sin t}_t ^{sin t}_t ^{sin t}_t . Så vi tar hjälp av enhetscirkelns första kvadrant där areamåtten för två rätvinkliga trianglar och en tårtbit är lätta att rangordna.

cos t 1 x sin t

tan t 1

y

t

1

2cos t sin t ₂^t

ΠΠ 1^{2 1}₂ 1 tan t Arean för två trianglar¹₂bas höjd samt tårtbit

1

2cos t sin t ₂^t_ΠΠ 1^{2 1}₂ 1 _{cos t}^{sin t} där emellan. Men tan t ^{def sin t}_{cos t}. Dividera nu de tre leden med¹₂sin t

cos t _{sin t}^t _{cos t}¹ Nu är det ok att gå i gräns, t 0 cos t 1 1 lim

t 0 t

sin t 1 Färdig lim

t 0 t

sin t 1 med instängning

Höger- och vänstergränsvärdena är alltså lika, och därmed är saken klar. Detta vet naturligtvis Mathematica

LimitSin t t

, t 0

1

ť Kontinuerliga funktioner

En funktion f säges vara kontinuerlig i punkten a om a Df och funktionen har ett gränsvärde då x a. Då är limx af x f a . Om f är kontinuerlig i alla punkter i Df säges den vara en kontinuerlig funktion. En funktion kallas diskontinuerlig i punkten a om a Df och funktionen saknar gränsvärde då x a. Kontinuerliga funktioner är “trevliga” att ha att göra med. Av räknereglerna för gränsvärden följer nämligen att

f och g kontinuerliga

f x g x f x g x

f x g x

f g x f x

kontinuerliga.

Lite populärt kan man säga att en kontinuerlig funktion, precis som namnet antyder, kan ritas utan att lyfta på pennan, det vill säga dess graf hänger ihop. Det finns gott om teori för kontinuerliga funktioner, speciellt kokar nästan all tillämpad matematik ned till två grundläggande problem, nämligen sökning av rötter eller nollställen till en kontinuerlig funktion

Satsen om mellanliggande värden. Om funktionen f är kontinuerlig i intervallet a, b , så antar funktionen i detta intervall varje värde mellan f a och f b .

och maximering eller minimering av en kontinuerlig funktion

Satsen om största och minsta värde. Om funktionen f är kontinuerlig i intervallet a, b , så är f uppåt och nedåt begränsad i detta intervall. Vidare har f ett största och ett minsta värde i detta intervall.

Dessa satser är trots sin intuitivt nästan enkla innebörd svårare att bevisa än vad som kan förmodas. Vi nöjer oss med att konstatera att vi har makterna med oss!

ť Begreppet derivata

Antag att en funktion f är definierad i en omgivning till punkten a. Om gränsvärdet limh 0

f a h f a h

existerar, säges f vara deriverbar i punkten a och gränsvärdet kallas f:s derivata i punkten a och skriver f ' a och pratar om “f prim”. Analogt pratar man om höger- respektive vänsterderivata i punkten a beroende på från vilket håll man närmar sig a. För att f ska få kallas deriverbar måste dessa vara lika och alltså oberoende av om h är positiv eller negativ. Man kan illustrera gränsövergån- gen som en bukett sekanter, det vill säga en rät linje som går genom två punkter på kurvan, som tvingas ned till att bli en tangent och därmed beröra kurvan i endast en punkt a, f a .

a a h x

y

y f x

a a h x

y

y f x

Θ x

y

f ' a lim

x 0 y

x lim

h 0

f a h f a h

kT tanΘ f ' a

Derivatans geometriska betydelse är välkänd. Om f är deriverbar i punkten a så är kT f ' a tanΘ riktningskoefficienten för tangenten till kurvan y f x i punkten a, f a . Ibland är man också intresserad av normalen i samma punkt, vilket är en linje som är vinkelrät mot tangenten. Om kN är normalens riktningskoefficient kan man visa att kTkN 1. Vi sammanfattar situationen.

kT f ' a , kTkN 1 så med enpunktsformeln har vi y f a kT x a tangentens ekvationi punkten a, f a . y f a kN x a normalens ekvationi punkten a, f a .

Om f är deriverbar överallt i sin definitionsmängd säges f vara en deriverbar funktion. Då är f:s derivata f ' x en funktion av x med samma definitionsmängd som f. Inte sällan skrivs _x^f och ibland kortare f ' eller D f . Även beteckningen y' eller ^y_x förekom- mer, varvid y är att uppfatta som en förkortning av f x . När man ska derivera hela uttryck skrivs ofta _x , vilket ska tolkas som att en deriveringsoperator verkar på uttrycket inom parentes.

Om f är en deriverbar funktion så är den också kontinuerlig. Omvändningen gäller ej! Det typiska exemplet är absolutbeloppet x som är kontinuerlig men inte deriverbar för x 0. Så funktioner vars grafer innehåller “skarpa hörn” är inte deriverbara där.

Eftersom derivatan är en ny funktion är det naturligt att definiera andraderivatan till f som derivatan av f '. Denna skrivs f '' och vi säger “f biss”. Analogt definieras derivator av högre ordning. Den n-te derivatan till f skrivs f ⁿ, Dⁿf , ⁿ_x^fn, Dⁿy, yⁿ eller ⁿ_x^yn där y f x .

Inom fysik är tidsderivator mycket vanliga, till exempel har vi hastighet som är tidsderivatan av läget med avseende på tiden och accelerationen som är andraderivatan av läget med avseende på tiden. Tidsderivator har därför givits ett förkortat skrivsätt med prickar, förstaderivatan ^x_t x utläses “x prick” och andraderivatan ²_t2^x x “x prick prick”.

Strategin som man alltid ska följa vid derivering för hand är att systematiskt med hjälp av deriveringsregler bryta ned det givna uttrycket till en mängd derivator av elementära funktioner, ofta kallade standardderivator (SD). Vi sammanfattar.

Deriveringsregler, k konstant, f och g deriverbara Standardderivator, SD k f ' k f ' Konstantregeln

f g ' f ' g ' Summaregeln

f g ' f 'g f g ' Produktregeln

_g^f' ^{f 'g f g'}_g2 , g 0 Kvotregeln

x f g x f ' g x g ' x g ' x kallas inre derivata Vanlig form ^y_{x u}^{y u}_xi gruvan

Kedjeregeln

f x f ' x

k 0

x^Α _Αx^{Α 1}

x x

ln x ¹_x

sin x cos x

cos x sin x

tan x _cos¹2x 1 tan²x

Naturligtvis är Mathematica bestyckad med en mycket villig arbetshäst, D[f,x]. Vill man derivera n 2 gånger skriver man D[f,{x,n}]. I palette finns dessutom den något “opålitliga” . Ta alltid för vana att i rutan sätta parenteser runt det som skall deriveras! Exempelvis x x² Sin 2x . Sedan gäller det i stort sett bara att skriva av rätt! Nu är det bara att sätta igång!

Exempel: Bestäm derivatan av f x x² med hjälp av definition.

Lösningsförslag: Vi mäter våra krafter mot något vi har facit till.

f ' x lim

h 0

f x h f x

h lim

h 0 x h² x²

h lim

h 0

x² 2xh h² x²

h lim

h 0 2x h 2x 0 2x. Ok med SD ovan, x² ' 2x^{2 1} 2x.

Dx², x

2 x

Exempel: Bestäm derivatan av f x x x .

Lösningsförslag: Vi har med potenslagar och SD. Vänj dig vid skrivsättet _x .

f ' x _xx x _xx¹x^{1 2} _xx^{1 1 2} _xx^{3 2} SD, derivera ³₂x^{3 2 1 3}₂x^{1 2 3}₂ x .

Dx x , x

3 x 2

Exempel: Bestäm derivatan av f x x² 5cos 2x .

Lösningsförslag: Vi använder oss av strategin! Vänj dig vid skrivsättet _x och träna så här omständigt!!!

xx² 5cos 2x Summaregeln.

xx² _x 5cos 2x Konstantregeln.

xx² 5 _x cos2x Kedjeregeln u g x 2x.

xx² 5 _u cos u _x 2x Konstantregeln.

xx² 5 _u cos u 2 _x x Endast SD kvar, derivera

2x^{2 1} 5 sin u 2 1 2x 10sin 2x tyx¹' 1x^{1 1} 1x⁰ 1 1 1. Byt tillbaka u 2x. Hyfsa Dx² 5 Cos 2 x , x

2 x 10 sin 2 x

Exempel: Bestäm derivatan av f x x^{2 3x4} .

Lösningsförslag: Vi använder oss av strategin! Vänj dig vid skrivsättet _x och träna så här omständigt!!!

x x^{2 3x4} Kedjeregeln u g x x^{2 3x4}

u u _xx^{2 3x4} Summaregeln.

u u  _xx² _x ^3x4 Kedjeregeln v h x 3x⁴.

u u  _xx² _v ^v _x 3x⁴ Potenslagarochkonstantregeln.

uu^{1 2}  _xx² _v ^v 3 _xx⁴ Endast SD kvar, derivera

1

2u^{1 2 1}2x^{2 1 v} 3 4x^{4 1} ¹

2 x^{2 3x4}

2x 12x^{3 3x4} Byt tillbaka u och v. Hyfsa

D x^{2 3 x4} , x

2 x 12 ^{3 x4}x³ 2 x^{2 3 x4}

Exempel: Bestäm tangenten och normalen till kurvan y ln 2x³ i punkten a 3.

Lösningsförslag: Funktionen och dess derivata. Kontrollera för hand att Mathematica deriverar och räknar rätt !

f x : Log2 x³ f ' x

3 x

Enpunktsformeln y f a k_T x a där k_T f ' a och a 3 ger nu tangenten. Sedan normalen på samma sätt med k_Tk_N 1.

tangent Solve y f 3 f ' 3 x 3 , y y x 3 log 54

normal Solvey f 3 1 f ' 3

x 3 , y

y x 3 log 54

En bild piggar alltid upp

Plot Evaluate f x , y . tangent, y . normal , x, 2, 4 , AspectRatio Automatic, PlotStyle Red, Blue, Orange , AxesLabel "x", "y,yT,yN"

2.5 3.0 3.5 4.0 x

3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 y,yT,yN

Att derivera en funktion på parameterform innebär helt naturligt att derivera varje koordinatfunktion var för sig.

p u x u , y u , Parameterform.

p

u  ^x_u, _u^y,  Derivera

Exempel: En partikel rör sig i en cirkulär bana i xy-planet, p t cos¹₂t, sin¹₂t. Sök dess hastighet som funktion av tiden.

Lösningsförslag:Partikeln rör sig moturs på en cirkel med radien lika med 1.

Hastigheten får vi genom att derivera läget med avseende på tiden.

p t cos¹₂t, sin¹₂t Parameterform.

p

t  _tcos¹₂t, _tsin¹₂t Derivera Glöm inte kedjeregeln

p

t p' t ¹₂ sin¹₂t, cos¹₂t Hastigheten

Hastigheten är en så kallad vektor. En sådan har både riktning och storlek.

När det gäller hastighet så kallas dess storlek för fart. Så i bilen har vi strängt taget en fartmätare och inte en hastighetsmätare eftersom vi inte får någon information åt vilket håll vi kör Återkommer till detta senare i kursen Här nöjer vi oss med att rita ut läget med en blå vektorpil och hastigheten med en röd. Som väntat pekar hastighetspilen i färdriktningen längs banan

p' t p t

t 2

1.0 0.5 0.5 1.0 x

1.0 0.5 0.5 1.0 y

ť Partiell derivata

Vi har tidigare stiftat bekantskap med funktioner som har flera oberoende variabler och en beroende variabel. På samma sätt som vid analys i en variabel är man även i dessa fall intresserad av hur funktionen beter sig i närheten av en punkt, det vill säga derivata.

Antag att vi har en funktion z f x, y : ² så definierar vi analogt med det endimensionella fallet de partiella derivatorna med avseende på x respektive y i punkten x, y

f

x f_x lim

h 0

f x h,y f x h

f

y f_y lim

h 0

f x,y h f y h

om gränsvärdena existerar. Utvidgning till n oberoende variabler är odramatisk _x^f

i f_xi lim

h 0

f x₁, ,xi h, ,xn f x₁, ,xn

h . Inget

märkvärdigt, räknetekniskt gör man som vanligt, det vill säga deriverar med avseende på den variabel som önskas och låter de andra oberoende variablerna vara konstanter vilka som helst. För att markera att det handlar om partiell derivata skriver vi i stället för och vid '-beteckning måste vi ange i ett subindex vilken variabel vi avser att behandla. Eftersom vi vilar på samma gränsvärdesfundament som i envariabelfallet kommer hela arsenalen av exempelvis deriveringsregler och standardderivator att ärvas över.

De partiella derivatorna i en given punkt x0, y0 kan tolkas geometriskt, se den informationstäta figuren och låt färgpennan hänga med . Skär ytanz f x, y med ett planx x0parallellt med yz–koordinatplanet och ett plany y0parallellt med xz–koordinatplanet. Skärningspunkten mellan dessa tre geometriska objekt blir i rymdpunkten x0, y0, f x0, y0

markerad med en . Skärningen mellan ytan och planetx x0blir en funktionz f x0, y och den partiella derivatanf_y x0, y0 är nu riktnings–

koefficienten för tangenten till kurvanz f x0, y i punkten x0, y0. På motsvarande sätt inses att den partiella derivatanf_x x0, y0 är riktnings–

koefficienten för tangenten till kurvanz f x, y0 i punkten x0, y0. Dessa tangenter ligger naturligtvis i respektive skärningsplan.

Exempel: Låt funktionen f x, y x³ 5y 4xy² xsin 2 y 7 vara given. Bestäm de partiella derivatorna _x^f och _y^f.

Lösningsförslag: Vi får direkt _x^f 3x² 4y² sin 2 y och ^f_y 5 8xy 2xcos 2 y . I Mathematica är det samma gamla funktion D som gör jobbet. Denna vektor kallas gradienten till f.

f x³ 5 y 4 x y² x Sin 2 y 7;

grad D f, x, y

3 x² 4 y² sin 2 y , 8 x y 2 x cos 2 y 5

Exempelvis i punkten 1, ^Π₄ har vi då f_x1, ^Π₄ och f_y1, ^Π₄

grad . x 1, y Π 4



4 ^Π

2

4, 5 2Π

Eftersom derivatan av en funktion är en ny funktion kan vi fortsätta derivera. Utvidgning av de partiella derivatorna av andra ordningen går till som i det endimensionella fallet och är fyra till antalet då vi har två oberoende variabler f x, y .

2f

x² x ^f_x _x f_x f_xx^'' _{y x}^2f _y ^f_x _y f_x f_xy^''

2f

y² y ^f_y _yf_y f_yy^'' _{x y}^2f _x ^f_y _xf_y f_yx^''

Lägg märke till att för varje derivata så fyller man på subindexlistan “i slutet”.

Exempel: Bestäm de partiella derivatorna av andra ordningen till f x, y i föregående exempel.

Lösningsförslag: Eftersom vi redan bestämt de partiella derivatorna av första ordningen, _x^f 3x² 4y² sin 2 y och

f

y 5 8xy 2xcos 2 y får vi direkt ²_x^f₂ 6x, _{y x}^2f 8 y 2cos 2 y , _{x y}^2f 8 y 2cos 2 y och ²_y^f₂ 8x 4xsin 2 y .

Vi ser att _{y x}^2f _{x y}^2f . Detta är ingen tillfällighet utan en regel. Det spelar alltså inte någon roll i vilken ordning vi deriverar, först x sedan y eller tvärtom. I D är det bara att lägga till ett argument.

D f, x, x , D f, x, y 6 x, 8 y 2 cos 2 y

Alla derivator av andra ordning samlade i en matris _x^2f

i xj som kallas hessianen till f, som enligt ovan alltid är symmetrisk.

D f, x, y , 2

6 x 8 y 2 cos 2 y 8 y 2 cos 2 y 8 x 4 x sin 2 y

Det bör nu inte förvåna någon att tredje, fjärde och högre ordningens partiella derivator definieras på liknande sätt, exempelvis

xf_yx^'' f_yxx³ och _yf_yyx³  f_yyxy⁴ . I Mathematica är det bara att fortsätta hänga på argument, så om vi fortsätter med exemplet ovan har vi f_yxx³ och f_yyxy⁴ .

D f, y, x, x , D f, y, y, x, y 0, 8 cos 2 y

Så här ser exempelvis resan fram till f_yyxy⁴ ut. Det börjar med f själv, följt av f_y, f_yy^'', f_yyx³ och slutligen f_yyxy⁴ .

FoldList D, f, y, y, x, y

x³ 4 y²x sin 2 y x 5 y 7, 8 x y 2 x cos 2 y 5, 8 x 4 x sin 2 y , 8 4 sin 2 y , 8 cos 2 y

Exempel: Antag att vi är ute och orienterar med höjdkartan h x, y sin x cos y , x 0, 2Π , y 0, 2Π och befinner oss i punkten x, y 3, 4 och vill veta hur det lutar i olika riktningar. Alltså hur varierar gradienten.

Lösningsförslag: Vi börjar med att rita en bild över terrängen med vår position markerad med en .

Vi får de partiella derivatorna h_x cos x , h_y sin y , som i vår position har värdena h_x cos 3 0 och h_y sin 4 0. Så det är nerförsbacke i positiv x-riktning (österut) och uppförsbacke i positiv y-riktning (norrut). Eftersom vi har en “snäll” funktion innebär det även att vi har uppförsbacke västerut och nerförsbacke söderut. Verkar stämma bra med det visuella intrycket man får av bilden.

D Sin x Cos y , x, y . x 3., y 4.

cos x , sin y 0.989992, 0.756802

ť Implicita funktioner

Med en implicit funktion menas samband på formen f x, y 0, där det är svårt, onödigt eller rent av omöjligt att skriva om på explicit form y f x . Att derivera en implicit funktion är inte värre än att derivera en explicit. Man deriverar helt enkelt båda sidor med avseende på den variabel som önskas, så kallad implicit derivering. Det är alltså som vanligt med “ekvationer”, ska något göras ska det göras på båda sidor! Om vi tänker efter så är ju derivatan av en explicit funktion ett specialfall av den implicita, till exempel bestäm derivatan av y x² _x y _xx² ^y_x 2x. I Mathematica används Dt[ekv,x] och Dt[ekv,{x,n}] för implcit derivering, (eng. total derivative). Vi tar några exempel. Tänk på att vara petnoga!!

Exempel: Bestäm derivatan av y arccos x .

Lösningsförslag: Detta är det första av tre urexempel på implicit derivering. Vänj dig vid skrivsättet _x och träna så här omständigt!!!

y arccos x x cos y Definition

x x _x cosy Derivera implicit med avseende på x Kedjeregeln.

x x _y cos y _x^y Endast SD kvar

1 sin y _x^y Trig. ettan sin y 1 cos² y . Här gäller eftersom y Varccos 0,Π sin y 0.

y x

1

1 x² Plugga sedan in cos y x och lös ut ^y_x. D ArcCos x , x

1 1 x²

Exempel: Bestäm derivatan av y arcsin x . Lösningsförslag: Detta är det andra...

y arcsin x x sin y Definition

x x _x siny Derivera implicit med avseende på x Kedjeregeln.

x x _y sin y ^y_x Endast SD kvar

1 cos y ^y_x Trig. ettan cos y 1 sin² y . Här gäller eftersom y Varcsin  ^Π₂, ^Π₂ cos y 0.

y x

1

1 x² Plugga sedan in sin y x och lös ut ^y_x. D ArcSin x , x

1 1 x²

Exempel: Bestäm derivatan av y arctan x . Lösningsförslag: Detta är det tredje...

y arctan x x tan y Definition

x x _x tany Derivera implicit med avseende på x Kedjeregeln.

x x _y tan y ^y_x Endast SD kvar

1 1 tan² y _x^{y y}_x ¹

1 x² Plugga in tan y x och lös ut ^y_x. D ArcTan x , x

1 x² 1

Exempel: Bestäm ^y_x i punkten 2, 1 då 4x y³ 16 6x².

Lösningsförslag: Vi söker alltså tangentens riktningskoefficient i punkten 2, 1 . Typisk implicit derivering. Vi använder oss av strategin på båda sidor om likhetstecknet! Vänj dig vid skrivsättet _x och träna så här omständigt!!!

x4x y³ 16 _x6x² Summaregelnochkonstantregeln.

4 _xx y³ _x 16 6 _xx² Produktregeln.

4 _x x y³ x _xy³ _x 16 6 _xx² Kedjeregeln.

4 _x x y³ x _yy³ ^y_x _x 16 6 _xx² Endast SD kvar

41 y³ x 3y^{3 1 y}_x 0 6 2x^{2 1} Hyfsa

4y³ 3x y^{2 y}_x 12x 41 6 ^y_x 24 _x^{y 5}₆ Sätt in x 2, y 1.Lös ut ^y_x.

ekv Dt4 x y³ 16 6 x², x

12 x y² y

x 4 y³ 12 x

Notera att ^y_x heter Dt[y,x] på andra sidan skärmen.

dydx Solve ekv, Dt y, x

 y x

3 x y³ 3 x y^{2 }

Lite teknisk ReplaceAll (/.) för att undvika att x och y byts ut i ^y_x. Enklare för hand dydx . Rule a , b Rule a, b . x 2, y 1

 y x

5 6^

Ett mindre plågsamt sätt är helt enkelt att ersätta ^y_x med något odramatiskt namn under det att man byter x och y.

dydx . Dt y, x hej . x 2, y 1 . hej Dt y, x

 y x

5 6^

Samma resultat får man med den vanliga deriveringsfunktionen D[ekv,x]om man talar om vad som är funktioner av x, här y x . Dt[ekv,x]däremot deriverar allt som kommer i dess väg som om det vore en funktion av x, det vill säga den lever upp till sitt namn (eng. total derivative). Vilken man använder är en smaksak och vad man tänkt göra med uttrycket efter derivering och naturligtvis hur den implicita funktionen är representerad i Mathematica. Så snabbt hack med D istället. Jämför noga med Dt ovan!

D4 x y x ³ 16 6 x², x

Solve , y ' x . x 2, y x 1 12 x y x²y x 4 y x³ 12 x

y x 3 x y x³ 3 x y x^{2 }

y 2 5 6^

Om vi jämför de två funktionerna D och Dt ser vi att de har sina för- och nackdelar. D deriverar bara det som är funktioner av x, typ x² eller y x , och betraktar allt annat som konstanter. Dt däremot deriverar allt, och levererar lite snyggare utskrifter på formen ^y_x som pedagogiskt liknar det man gör för hand. Priset man får betala vid Dt är att man måste ange vilka variabler som är konstanter och ett (mycket) komplicerat ReplaceAll (/.) när man ska sätta in numeriska värden. Kolla noga i exemplet ovan igen. Även i kommande exempel kommer vi att använda båda metoderna så det blir gott om tillfällen att väga dem mot varandra. Generellt kan man kanske säga att när man löser problem med Mathematica så är nog D den mest bekymmersfria varianten, dessutom är det ju ingen nackdel att hålla lite ordning på vad som varierar i modellen! Lägg speciellt märke till att vi även får ut i vilken punkt x som derivatan gäller, y' 2 i det självdokumenterande svaret, jämfört med det mer allmänna ^y_x.

Exempel: Givet kurvan x y 5sinxy² x. Sök ^y_x.

Lösningsförslag: Vi använder oss av strategin på båda sidor om likhetstecknet! Var noggrann!

xx y 5sinxy² _x x Summaregeln.

xx y  _x5sinxy² _x x Produktregelnochkonstantregeln.

x x y x _x y  5 _xsinxy² _x x Kedjeregeln, vid y och u g x xy².

x x y x _y y _x^y 5 _u sin u _xxy² _x x Potenslagarochproduktregeln.

x x y x _yy^{1 2} ^y_x 5 _u sin u  _x x y² x _xy² _x x Kedjeregeln.

x x y x _yy^{1 2} ^y_x 5 _u sin u  _x x y² x _yy² ^y_x _x x Endast SD kvar 1 y x ¹₂y^{1 2 1 y}_x 5cos u 1 y² x 2y^{2 1 y}_x 1 Byt tillbaka u. Hyfsa

y x

1 y 5 y²cosx y² x

2 y 10x y cosxy² Lös ut ^y_x

ekv Dtx y 5 Sinx y² x, x

x _x^y

2 y 5 cosx y² y² 2 x y

x y y 1

Solve ekv, Dt y, x

 y x

2 y 5 cosx y²y² y 1 x20 cosx y²y^{3 2} 1 

Samma resultat får man naturligtvis med den vanliga deriveringsfunktionen D.

ekv Dx y x 5 Sinx y x ² x, x

x y x 2 y x

5 cosx y x² y x² 2 x y x y x y x 1

Solve ekv, y ' x

y x 2 y x 5 cosx y x²y x² y x 1 x20 cosx y x²y x^{3 2} 1 

Exempel: För en viss typ av gas gäller sambandet pV² 18 mellan tryck och volym. Bestäm p då p 2, V 3 och V 6.

Lösningsförslag: Först en liten bild över situationen.

Plot

18 V²

, V, 2, 4 , PlotStyle Orange, AxesLabel "V", "p" 

2.5 3.0 3.5 4.0 V

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 p

Sedan implicit derivering av uttrycket med avseende på tiden t vid godtycklig tidpunkt t. Typisk tillämpning, inget t i uttrycket så långt ögat når, men här inser vi att t ligger dolt i både V t och p t . Så