SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

(1)

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Schrödingerekvationen:

(Jmfr ) Plan våg:

Sannolikhetstolkning

P ⁽ x ) = sannolikhetstätheten och P ⁽ x ⁾ dx = sannolikheten att få mätvärdet x , ^{inom (} x ^, x ⁺ dx ⁾ P ( x ) uppfyller:

- Positivt definit P ( x )  0

- Normering Väntevärdet av x ges av

Sannolikhetstolkning:

= sannolikheten att hitta partikeln inom ( x , x + dx ) vid tiden t .

|Ψ| ² kallas sannolikhetstätheten och vågfunktionen Ψ kallas även sannolikhetsamplituden.

Normering

Eftersom partikeln måste finnas någonstans så måste vågfunktionen uppfylla normeringskravet:

dx t x , ) ² ( Ψ

1 ) , (

Ψ ² 

 



 x t dx

 



 P ( x ) dx 1 ^

^

^





xP x dx

x ( )

Förra gången:

     

t t t x

x x x t U

m ^

 

 

  Ψ , Ψ , i Ψ ,

2 ²

2 2

 

E m U

p   2

2 Ψ  _x , _t   _Ae ⁱ ^ ^kx ^ ^ω ^t ^

Föreläsning 6:

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Generalisering till tre dimensioner

Schrödingerekvationen i tre dimensioner blir:

t t i r t r r U t

m r ^

 





 Ψ ( , ) ( ) Ψ ( , ) Ψ ( , ) 2

2 2 

 



 

där Laplace-operatorn ² x ² ₂ y ² ₂  z ² ₂

 



 



 



Fri-partikeltillstånden är plana vågor: Ψ ( r  , t )  A e ⁱ ⁽ ^k ^ ^r ^ ^ ^ω ^t ⁾ Där är vågvektorn och rörelsemängden k ^ p    k ^

Energin ges av ² ² , ² ² ² ²

2 m k k k ^x k ^y k ^z

E ^{ } ^ ^ ^

På liknande sätt som för en dimension får vi:

Sannolikhetstolkning: är sannolikheten att hitta partikeln inom vid ^Ψ ⁽ r ^ ^, t ⁾ ² d ³ r ^

1 )

, (

Ψ ² ³ 

 



 r ^ t d r

r d ³ ^

r ^

Normering:

Schrödingerekvationen.

Lådpotential.

Föreläsning 6:

(2)

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Tidsobereoende Schrödingerekvationen

Utnyttjar separation av variabler.

Produktansats: Ψ ( x , t )  ψ ( x ) φ ( t )

dt t x d i t x x U dx x t

m d ^ψ ⁽ ⁾ ^φ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ^ψ ⁽ ⁾ ^φ ⁽ ⁾ ^ψ ⁽ ⁾ ^φ ⁽ ⁾

2 ²

2 2

   





Dividera med Ψ ( x , t )  ψ ( x ) φ ( t )

dt t E d i t x dx x U d x

m ^ ^ ^

 φ ( )

) ( φ ) 1 ) (

( ψ ) ( ψ

1 2 ²

2 2

 

För att VL som enbart är en fkn av x och HL som enbart är en fkn av t skall vara lika måste båda Vara konstanter, som vi kallar E

Tidsdelen: ^



) /

( φ

φ i E φ t e _iEt

dt

d     

Jämförelse med grundantagandet ger Ψ  e ^ ⁱ ^ω ^t E   ω  tillstånde ts energi

Rumsdelen kallas tidsoberoende Schrödingerekvationen ψ ( ) ( ) ψ ( ) ψ ( )

2 ²

2 2 U x x E x

dx x

m d ^ ^

 

Vågfunktionen kallas för stationärt tillstånd eftersom sannolikhetstätheten är tidsoberoende: (eftersom )

/ 

) ( ψ ) , (

Ψ x t ^ x e ^ ^iEt

2 2 2 /

2 ψ ( ) ψ ( )

) , (

Ψ x t  x e ^ ^iEt ^  x

( Vi kommer senare i kursen att studera icke-stationära tillstånd)

2 1

/ 

 iEt 

e

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Kontinuitetskrav på ψ

dx x x

x ) och d ψ ( ) måste vara kontinuerl iga i alla punkter (

ψ

Om Ψ skulle ha en diskontinuitet så skulle dΨ/dx bli oändligt och S.E: blir

) ( ψ ) ( ψ ) ) ( ( ψ

2 ²

2 2 d dx x U x x E x

m ^ ^

 

oändlig ändliga

Termerna kan inte balansera varandra och sådana vågfunktioner kan inte vara lösningar

Kontinuitetskravet på ψ och dψ/dx gäller även om potentialen U ändras brant mellan två ändliga värden, vilket matematiskt kan modelleras som ett potentialsteg:

U ( x )

x ψ och dψ/dx måste vara kontinuerliga även här

Undantag fås om U har ett oändligt steg.

(3)

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

U = 0

U = ∞

x

Oändligt potentialsteg

En väldigt stor och brant ändring i potentialen kan matematiskt modelleras som ett oändligt steg:

 







 

0 ,

0 , ) 0

( x

x x U

I ett oändligt potentialsteg är kontinuitetsvillkoret annorlunda:

Lösningen måste ha ψ( x ^{) = 0 för} x > 0 där U = ∞ . Annars fås obalanserade oändligheter i Schrödinger ekv. Här tillåter vi att dψ/d x är ändligt och hoppar till noll. d ² ψ/d x ² blir då = ∞ i x = 0, vilket är OK eftersom U = ∞ där så att vi får balanserade termer.

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Hur kan skarpa potentialsteg realiseras?

e ^- Studera ett system av två

laddade metallplattor med ett hål genom vilket en elektron kan passera

Laddade plattor med lika stora men motsatta laddningar

+ laddad - laddad

d U

x Potential som

elektronen känner

Genom att låta plattornas avstånd d vara litet fås ett approximativt potentialsteg.

(4)

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Lådpotentialen

Detta idialiserade problem är utgångspunkt för många problem i kvantmekanikkurser.

Studera en partikel med massa m som kan röra sig i en dimension i potentialen

 







 

övrigt för ,

L 0 , ) 0

( x x

U

U = 0 U = ∞

0 L x

U = ∞

Sök stationära lösningar till tidsoberoende Schrödingerekvationen:

) ( ψ ) ( ψ ) ) ( ( ψ

2 ²

2 2 U x x E x

dx x

m d ^ ^

 

För x < 0 och x > L är lösningen ψ( x )=0 eftersom U =∞ där.

 _x , _t  _Ae ⁱ ^ ^kx ^ω ^t ^ ψ ( _x ) _Ae ^ikx , φ ( _t ) _e ⁱ ^ω ^t

Ψ  ^    ^

För 0 < x < L har vi en fri partikel vars lösning i form av plan våg vi redan känner till

Detta är den allmänna lösningen och är en lösning för all reella konstanter k. För att anpassa till randvillkoren ψ(0)=ψ( L )=0 väljer vi att kombinera lösningar med + k ^{och –} k och får då allmänna lsöningar på formen:

kx B kx A

x ) sin cos (

ψ  

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH

Randvillkoren ger:

...

, 3 , 2 ,1 π ,

0 sin 0

) ( ψ

0 0

) 0 ( ψ















L n k n

kL L

B

n

Energinivåerna blir: dvs energierna kvantiseras av randvillkoren. ² ² ² ² ₂ ² 2

π

2 n mL

k m E n   ⁿ  

Lösningarna blir då ψ _n ( x )= A n sin k n x Normering: Ψ ( , ) ² 1 2 ( se räkneövnin g) A L

dx t

x   _n 

 





Lösningarna är därmed: Ψ ( x , t ) ^ 2 L sin( k _n x ) e ^ ^iE

ⁿ

^t ^/ ^

ψ

x

L 2

L

 2

0 L

n=1 n=2

n=3

Grundtillståndet ψ ₁ har lägst energi:

grundtillståndsenergin E 1

Övriga tillstånd kallas exciterade tillstånd och har energi E _n > E ₁ , n>1

Grundtillståndet ψ ₁ har inget nollställe i 0< x < L Första exciterade tillst. Ψ ₂ har 1 nollställe . . .

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH