Tentamen i Matematik I–Differentialkalkyl Kurskod M0038M

(1)

Tentamen i Matematik I–Differentialkalkyl Kurskod M0038M

Tentamensdatum 2010-10-28

Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid 09.00 – 14.00

Betygsgr¨ anser: U:0–13, 3:14–19, 4:20–25, 5:26–30

Resultatet meddelas p˚ a studentportalen. Via studentwebben kan man f˚ a infor- mation om n¨ ar skrivningen finns att h¨ amta ut p˚ a studenttorget.

Till˚ atna hj¨ alpmedel: Minir¨ aknare.

Till alla uppgifter ska fullst¨ andiga l¨ osningar l¨ amnas. Resonemang, inf¨ orda beteck- ningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan ge po¨ ang.

Enbart svar ger 0 po¨ ang.

Institutionen f¨ or matematik

(2)

Uppgift 1

(a) F¨ orenkla

log

₂

10 + log

₂

12 − log

₂

15 s˚ a l˚ angt som m¨ ojligt. (2 p)

(b) L¨ os ekvationen

tan x = −0.422, f¨ or 90

^◦

< x < 270

^◦

.

R¨ akna i grader och avrunda svaret till heltal (inga decimaler). (2 p)

Uppgift 2

Best¨ am (a)

x→0

lim

sin(sin x) tan x

(2 p) (b)

x→0

lim

a − √

a

²

− x

²

x

²

(a > 0)

(2 p) (c)

x→∞

lim

√ x ln x + x 2 + x

(2 p)

Uppgift 3

Givet funktionen

f (x) = x

³

x

²

− 1 .

(a) Unders¨ ok f (x) med avseende p˚ a eventuella asymptoter och eventuella

lokala extrempunkter. (4 p)

(b) Rita funktionskurvan y = f (x) i stora drag. (1 p)

Uppgift 4

Best¨ am ekvationen f¨ or tangenten och normalen till kurvan (x

²

+ y

²

− 2x)

²

= 2x

²

+ 2y

²

i punkten (2, 2).

(3)

Uppgift 5

En h¨ ast¨ agare har k¨ opt 400 me- ter staket och ska konstruera en inh¨ agnad. En sida av inh¨ agnaden utg¨ ors av en rak stallv¨ agg och beh¨ over d¨ arf¨ or inget staket.

H¨ ast¨ agaren ska indela inh¨ agnaden i tre rektangul¨ ara sektioner genom en l˚ ang och fyra kortare staketdelar.

Unders¨ ok hur h¨ ast¨ agaren ska v¨ alja l¨ angden av den l˚ anga staketdelen och de kortare delarna f¨ or att den in- neslutna totalarean skall bli s˚ a stor som m¨ ojligt.

STALL

(5 p)

Uppgift 6

L¨ os en och endast en av f¨ oljande uppgifter.

Uppgift 6.1

Ett flygplan A flyger horisontellt med en fart av 167 m/s. Hur snabbt

¨ okar avst˚ andet mellan flygplanet och en radiofyr B 1 minut efter det att flygplanet passerar punkten C, bel¨ agen 5 km ovanf¨ or fyren? Avrun- da svaret till heltal.

167 m/s

(x-y)2 y(x-y)

y(x-y) C

B

A

5 km

(5 p) Uppgift 6.2

Visa att

d

dx arcsin x = 1

√ 1 − x

²

(5 p) Uppgift 6.3

Antag att 0 < p < 1. Visa att

(1 + x)

^p

< 1 + px f¨ or x > 0.

(5 p)

(4)

M0038M, 101028 - L ¨osningsideer

F ¨orbeh˚all f ¨or ev. fel.

Uppgift 1 (a)

log

₂

10 + log

₂

12 − log

2

15 =

= log

₂

120 15

= log

₂

8 = 3.

Svar: 3.

(b)

tan x = −0.422

x = arctan(−0.422) + n · 180

^◦

≈ −23

^◦

+ n · 180

^◦

, n ∈ Z.

F ¨or 90

^◦

< x < 270

^◦

m˚aste x = 157

^◦

.

Svar: x = 157

^◦

. Uppgift 2 (a)

sin(sin x)

tan x = cos x · sin(sin x) sin x →

→ 1 d˚a x → 0.

Svar: 1.

(b)

a − √

a

²

− x

²

x

²

=

= x

²

x

²

(a + √

a

²

− x

²

) =

= 1

a + √

a

²

− x

²

→

→ 1

2a d˚a x → 0.

(5)

(c)

√ x ln x + x

2 + x = x(ln x/ √ x + 1) x(2/x + 1) =→

→ 1 d˚a x → ∞.

Svar: 1.

Uppgift 3 (a)

f

^′

(x) = x

²

(x + √

3)(x − √ 3) (x

²

− 1)

²

Teckenstud. ger att f har ett lok. max f ¨or x = − √

3, lok. min f ¨or x = √ 3, terasspunkt f ¨or x = 0.

Vertikal asymptot: x = ±1. Sned symptot: y = x (b) Grafen till f (x) med dess asymptoter.

Uppgift 4 L˚at tangentens lutning vara k

T

. Implicit derivering map x:

2(x

²

+ y

²

− 2x) · (2x + 2yy

^′

− 2) = 4x + 4yy

^′

S¨att in x = y = 2:

2 + 4y

^′

(2) = 1 + y

^′

(2)

k

_T

= y

^′

(2) = −1/3. Normalens lutning k

N

best¨ams genom k

T

· k

N

= −1.

Svar:Tangentens ekvation: y = 1

3 (−x + 8). Analogt f˚ar vi att norma-

lens ekvation ¨ar y = 3x − 4.

(6)

Uppgift 5 Antag att det l˚anga staketet har l¨angd y och varje kort staketstycke har l¨angd x. Arean A = xy. Material˚atg˚angen uppfyller villkoret y + 4x = 400.

A(x) = 400x − 4x

²

.

Funktionen A(x) är konkav samt att A(0) = A(100) = 0, vilket in- nebär att dess st örsta värde antas i en stationär punkt.

A

^′

(x) = 400 − 8x.

A

^′

(x) = 0 ⇔ x = 50, vilket är det s ökta x-värdet f ör maximal area.

Svar: Det l˚anga staketet skall ha l¨angd 200 m och varje kort staketstyc- ke skall ha l¨angd 50 m om totalarean skall bli maximal.

Uppgift 6.1 L˚at CA = x(t), BA = s(t). Med Pythagoras sats f˚ar vi (i meter): x

²

+ 5000

²

= s

²

. Implicit derivering map t:

xx

^′

= ss

^′

s

^′

= xx

^′

s (x = 10020, s = 11198 vid aktuell tidpkt) s

^′