Tentamen i Matematik I–Differentialkalkyl Kurskod M0038M
Tentamensdatum 2010-12-18
Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid 09.00 – 14.00
Betygsgr¨ anser: U:0–13, 3:14–19, 4:20–25, 5:26–30
Resultatet meddelas p˚ a studentportalen. Via studentwebben kan man f˚ a infor- mation om n¨ar skrivningen finns att h¨amta ut p˚ a studenttorget.
Till˚ atna hj¨ alpmedel: Minir¨aknare.
Till alla uppgifter ska fullst¨ andiga l¨ osningar l¨ amnas. Resonemang, inf¨ orda beteck- ningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan ge po¨ ang.
Enbart svar ger 0 po¨ ang.
Institutionen f¨or matematik
1 (3)
Uppgift 1
(a) F¨orenkla
b a − a
b a b + b
a + 2
s˚ a l˚ angt som m¨ojligt. (3 p)
(b) I triangeln ABC ¨ar sidan AB = 12.0 dm, sidan BC = 19.1 dm och vinkeln A = 125.0
◦. Best¨am l¨angden av sidan AC. Avrunda svaret till
en decimal. (2 p)
Uppgift 2
(a) Best¨am a som g¨or att funktionen f , definierad som
f(x) =
1 + ax − x
2om x < 2 1 − ax om x ≥ 2
blir kontinuerlig i x = 2. (2 p)
(b) Best¨am
x→0
lim tan x
x
(1 p) (c) Best¨am
x→−∞
lim
√ x
2+ 2 3x − 6
(2 p)
Uppgift 3
Givet funktionen
f(x) = x
2x
2+ 2x + 3 .
(a) Unders¨ok f (x) med avseende p˚ a eventuella asymptoter och eventuella
lokala extrempunkter. (4 p)
(b) Rita funktionskurvan y = f (x) i stora drag. (1 p)
2 (3)
Uppgift 4
Best¨am (f
−1)
′(12) om funktionen f definieras genom f (x) = 13 ln x − 1
ln x , x > 1.
Exakt svar, inget n¨armev¨arde. (5 p)
Uppgift 5
Man vill tillverka en cylindrisk beh˚ allare (utan lock) med volymen 1.5 dm
3och minsta m¨ojliga material˚ atg˚ ang. Best¨am beh˚ allarens radie och h¨ojd. Av-
runda svaret till 2 decimaler. (5 p)
Uppgift 6
L¨ os en och endast en av f¨ oljande uppgifter.
Uppgift 6.1
En raket S avfyras fr˚ an stillast˚ aende vid tiden t = 0 och stiger ver- tikalt med accelerationen 10 m/s
2. F¨orloppet registreras av en radar R, placerad 2 km fr˚ an uppskjutnings-
rampen.
R2 km
S
θ
