Tentamen i Matematik I–Differentialkalkyl Kurskod M0038M
Tentamensdatum 2011-08-17
Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid 09.00 – 14.00
Betygsgr¨ anser: U:0–13, 3:14–19, 4:20–25, 5:26–30
Resultatet meddelas p˚ a studentportalen. Via studentwebben kan man f˚ a infor- mation om n¨ar skrivningen finns att h¨amta ut p˚ a studenttorget.
Till˚ atna hj¨ alpmedel: Minir¨aknare.
Till alla uppgifter ska fullst¨ andiga l¨ osningar l¨ amnas. Resonemang, inf¨ orda beteck- ningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan ge po¨ ang.
Institutionen f¨or matematik
1 (3)
Uppgift 1
(a) F¨orenkla
x − 1 y y − 1 x
s˚ a l˚ angt som m¨ojligt. (2 p)
(b) Uttryck vinkeln 75
◦i radianer. Svara exakt. (2 p) (c) Det g¨aller att cos v = 2
3 , 0 ≤ v ≤ π/2. Best¨am sin v. Svara exakt. (1 p)
Uppgift 2
(a) Givet parabeln f (x) = x
2− 4x − 5. I den punkt p˚ a grafen, vars x-
koordinat ¨ar 2, dras en tangent. Best¨am tangentens ekvation. (2 p) (b) Best¨am
lim
t→02t tan t
(1 p) (c) Best¨am
x→∞
lim
√ 4x
2+ 1 x + 1
(2 p)
Uppgift 3
Givet funktionen
f (x) = x
2− 4 (x − 1)
2.
(a) Unders¨ok f (x) med avseende p˚ a eventuella asymptoter och eventuella
lokala extrempunkter. (4 p)
(b) Rita funktionskurvan y = f (x) i stora drag. (1 p)
2 (3)
Uppgift 4
En kurva y = y(x) definieras genom
2xy + π · sin(y) − 2 π = 0.
Best¨am ekvationen, p˚ a formen y = kx+m, f¨or den r¨ata linje som sk¨ar kurvan y under r¨ at vinkel i punkten
1, π 2
. I svaret skall k och m anges exakt. (5 p)
Uppgift 5
Man vill tillverka en sluten cylindrisk beh˚ allare (dvs med lock och botten) med volymen 1 liter och minsta m¨ojliga material˚ atg˚ ang. Best¨am beh˚ allarens
radie och h¨ojd. Svaret anges i cm och avrundas till 2 decimaler. (5 p)
Uppgift 6
L¨ os en och endast en av f¨ oljande uppgifter.
Uppgift 6.1
En partikel r¨or sig l¨angs parabeln y = x
2i f¨orsta kvadranten. Dess x- koordinat v¨axer med 10 m/s. Hur snabbt ¨andras elevationsvinkeln θ i det
¨ogonblick d˚ a x = 3 m?
0 1 2
0 1 2
x y
b
