SYSTEM AV LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER GRUNDLÄGGANDE BEGREPP

(1)

Sida 1 av 6

SYSTEM AV LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER GRUNDLÄGGANDE BEGREPP

Innehåll:

Matrisform

Begynnelsevärdesproblemet

Existens- och entydighetssatsen för linjärt system

Fundamental lösningsmängd till ett till ett homogent system --- Här betraktar vi ett system med linjära DE av första ordningen

) ( )

( )

(

) ( )

( )

(

) ( )

( )

(

1 1

2 2

1 21 2

1 1

1 11 1

t f x t a x t dt a

dx

t f x t a x t dt a

dx

t f x t a x t dt a

dx

n n nn n

n

n n



















(sys 1)

där x₁(t),x₂(t),...,x_n(t) är obekanta funktioner av variabeln t.

Ovanstående system skriver vi oftast på matrisformen F

AX

X  (sys 2) ,

där















) (

2 1

t x

t x X

n

 ,

















) (

2 1

t x

t x X

n

















) ( ...

) ( ) (

...

) ( ...

) ( ) (

) ( ...

) ( ) (

2 1

2 22

21

1 12

11

t a t

a t a

t a t

a t a

t a t

a t a A

nn n

n

n n

och















) (

2 1

t f

t f F

n

 .

Exempel:

Skriv systemet

(2)

Sida 2 av 6 t

x dt x

dx

t x

dt x dx

cos 3

2

sin 4

5

2 1 2

2 1 1











på matrisformen.

Lösning: Vi har 



 





2 1

x

X x , 



 







 



2 1

x

X x 



 





 

3 2

4

A 5 , 



 



 t F t

cos sin .

Systemet kan skrivas som XAX F dvs 



 







 







 





 



 







t t x

x x

x

cos sin 3

2 4 5

2 1 2

1 .

System (sys 1) är HOMOGENT om alla f_k (t)0 eller ekvivalen F=0 i matrisformen.

Alltså är AX X

ett homogent system.

Sats 1. Om X är den allmänna lösningen till homogena systemet _h XAX och

Xp en partikulär lösning till icke-homogena X AX F då är

p

H X

X

X   den allmänna lösningen till icke-homogena XAX F.

BEGYNNELSEVÄRDESPROBLEMET

Ett begynnelsevärdesproblem består av sys(1) och begynnelsevillkor

1 0 1(t ) b

x  , x₂(t₀) ,…, b₂ x_n(t₀)b_när givna begynnelsevillkor.

På matrisformen skriver vi begynnelsevärdesproblemet som F

AX X  ,

0 0) (t X

X  (IV1)

där















) (

) ( ) (

0 0 2

0 1

0

t x

t x t X

n

 och















bn

b b

X 

2 1

0 .

(3)

Sida 3 av 6

Sats 2. (Existens- och entydighetssatsen för sys1.) Om alla koefficienter a_ij(t) och f_k (t) är kontinuerliga funktioner på ett öppet intervall I och t₀Iså har begynnelsevärdesproblem (IV1) exakt en lösning: Lösningen är definierad på hela intervallet I.

Uppgift 1

Bestäm det största existensintervall för följande begynnelsevärdesproblem

5 3 4

2 3 4 5

2 1 2

2 1 1

 









 



x t dt x

dx

t x t x

dt dx

, x₁(t₀)123, x₂(t₀)43

där a) t₀ 10 b) t₀ 2 c) t₀ 34

Lösning: Notera att alla koefficienter är definierade och kontinuerliga om t 5 och t 3. Från existens- och entydighetssatsen följer följande svar:

a) I(,5) b) I(5,3), I(3,). Uppgift 2

Bestäm det största existensintervall för följande begynnelsevärdesproblem

t x

dt x dx

t x dt x

dx

cos 5

5

4 3

2 1 2

2 1 1









, x₁(t₀)123, x₂(t₀)43 där t₀ 5.

Lösning: Notera att alla koefficienter är definierade och kontinuerliga på (,).

Därmed har (IV1) exakt en lösning som är definierad på (,) (oavsett hur vi väljer t ). ₀ Svar: (,).

SUPERPOSITION för homogena system.

Sats 3. Låt X₁,X₂,...,X_k vara lösningar till X AX . Då är varje linjärkombination av de lösningarna, c₁X₁c₂X₂c_kX_k, också en lösning.

Bevis. Beteckna zc₁X₁c₂X₂c_kX_k

Eftersom, både, derivatan och matrismultiplikation är linjära operatorer har vi



 X

VL c₁X₁c₂X₂c_kX_k (enligt antagande)c₁AX₁c₂AX₂c_kAX_k HL

AX X

c X

c X c

A    _k _k  

 ( ₁ ₁ ₂ ₂  ) V.S.B.

(4)

Sida 4 av 6 Definition 1. ( Linjärt beroende/ oberoende lösningar.)

Låt X₁(t),X₂(t),...,X_k(t) vara lösningar till XAX . Vi säger att X₁(t),X₂(t),...,X_k(t) är linjärt beroende lösningar på intervallet I om det finns konstanter c₁,c₂,...,c_k, där minst en konstant är skild från 0, sådana att c₁X₁c₂X₂c_kX_k 0 för alla t . I

Annars är X₁(t),X₂(t),...,X_k(t) linjärt oberoende lösningar.

Definition 2. (Fundamental lösningsmängd)

Vi säger att X₁(t),X₂(t),...,X_n(t) bildar fundamental lösningsmängd till det homogena systemet

AX

X (sys 0)

där















) (

2 1

t x

t x X

n

 ,



















) (

2 1

t x

t x X

n

 ,















) ( ...

) ( ) (

...

) ( ...

) ( ) (

) ( ...

) ( ) (

2 1

2 22

21

1 12

11

t a t

a t a

t a t

a t a

t a t

a t a A

nn n

n

n n

om X₁(t),X₂(t),...,X_n(t)är n stycken linjärt oberoende lösningar till (sys 0).

Enklast sätt att avgöra om X₁,X₂,...,X_n är en fundamentallösningsmängd till (sys 0) är med hjälp av WRONSKIS matris. Kolonner i Wronskis matris är själva vektorer X₁,X₂,...,X_n.

Om















) (

1 21 11

1

t x

t x X

n

 , …















) (

2 1

t x

t x X

nn n n

n  , så är

) ( ...

) ( )

(

...

) ( ...

) ( )

(

) ( ...

) ( )

(

2 1

2 22

21

1 12

11

t X t

X t X

t X t

X t X

t X t

X t X W

nn n

n

n n

 tillhörande Wronskis determinant.

Notera att vi har inte derivator i Wronskis matris för ett förstaordningens DE system (till skillnad från Wronskis matris för en DE av n:te ordningen).

Följande gäller:

(W=0 för alla t )  (lösningarnaI X₁,X₂,...,X_när beroende ) (W  0 för minst ett t )  (lösningarna är oberoende ) . I

(5)

Sida 5 av 6 DEN ALLMÄNNA LÖSNINGEN till (sys 0) ges av

n n

h c X c X c X

X  ₁ ₁ ₂ ₂

där X₁,X₂,...,X_n är en fundamentallösningsmängd till systemet.

Uppgift 3

a) Visa att 



 





1 ) 2

1(t

X och X₂ t e⁵^t

2 ) 1

( 



 



 är en fundamentallösningsmängd till systemet

y dt x

dy

y dt x

dx

4 2

2









.

b) Ange den allmänna lösningen till systemet.

Lösning:

Systemet på matrisformen är XAX där



 



 y

X x , 



 







 

 y

X x och 



 



 4 2

2 A 1

i) Först kontrollerar vi om 



 





1 ) 2

1(t

X är en (konstant) lösning till systemet X AX .



 X

VL 



 







 



 

0 0 1 ) 2

1(

dt t d dt X

d ,



 AX₁

HL 



 







 







 





0 0 1

2 4 2

2

1 ,

Alltså VL=HL, dvs 



 





1 ) 2

1(t

X är en lösning till systemet.

ii) Nu kollar vi på samma sätt om 



 







 



 ^t ^t_t

e e e

t

X ₅

5 5

2 2 2

) 1

( är en lösning till systemet.



VL 



 







 



  _t

t t

t

e e e

e dt t d dt X

d

5 5 5

5

2 10

5 ) 2

( ,



 AX₂

HL 



 







 







 





t t t

t

e e e

e

5 5 5

5

10 5 4 2

2 2

1 ,

(6)

Sida 6 av 6 Därmed är X₂(t)också en lösning till systemet.

iii) Med hjälp av Wronskis determinant kolar vi om lösningar är linjärt oberoende.







 

 5 0

2 1

2 ₅

5 5

t t

t

e e

W e (lösningarna är oberoende).

Därmed bildar 



 





1 ) 2

1(t

X och 



 



 _t

t

e t e

X ₅

5

2( ) 2 en fundamentallösningsmängd till systemet.

b) Den allmänna lösningen är

2 2 1

1X c X

c

X_h   = 



 



 



 





t t

e c e

c ₅

5 2

1 1 2

2 .

Allternativt kan vi ange lösningar på skalärformen:

t t

e c c y

e c c x

5 2 1

2 2









 .