• No results found

SYSTEM AV LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER GRUNDLÄGGANDE BEGREPP

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "SYSTEM AV LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER GRUNDLÄGGANDE BEGREPP"

Copied!
6
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

Sida 1 av 6

SYSTEM AV LINJÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER GRUNDLÄGGANDE BEGREPP

Innehåll:

Matrisform

Begynnelsevärdesproblemet

Existens- och entydighetssatsen för linjärt system

Fundamental lösningsmängd till ett till ett homogent system --- Här betraktar vi ett system med linjära DE av första ordningen

) ( )

( )

(

) ( )

( )

(

) ( )

( )

(

1 1

2 2

1 21 2

1 1

1 11 1

t f x t a x t dt a

dx

t f x t a x t dt a

dx

t f x t a x t dt a

dx

n n nn n

n

n n

n n

(sys 1)

där x1(t),x2(t),...,xn(t) är obekanta funktioner av variabeln t.

Ovanstående system skriver vi oftast på matrisformen F

AX

X  (sys 2) ,

där









) (

) (

) (

2 1

t x

t x

t x X

n

 ,











) (

) (

) (

2 1

t x

t x

t x X

n









) ( ...

) ( ) (

...

...

...

...

) ( ...

) ( ) (

) ( ...

) ( ) (

2 1

2 22

21

1 12

11

t a t

a t a

t a t

a t a

t a t

a t a A

nn n

n

n n

och









) (

) (

) (

2 1

t f

t f

t f F

n

 .

Exempel:

Skriv systemet

(2)

Sida 2 av 6 t

x dt x

dx

t x

dt x dx

cos 3

2

sin 4

5

2 1 2

2 1 1

på matrisformen.

Lösning: Vi har 

 



2 1

x

X x , 

 

 

2 1

x

X x

 

 

3 2

4

A 5 , 

 

 t F t

cos sin .

Systemet kan skrivas som XAXF dvs 

 





 



 

 



 

t t x

x x

x

cos sin 3

2 4 5

2 1 2

1 .

System (sys 1) är HOMOGENT om alla fk (t)0 eller ekvivalen F=0 i matrisformen.

Alltså är AX X

ett homogent system.

Sats 1. Om X är den allmänna lösningen till homogena systemet h XAX och

Xp en partikulär lösning till icke-homogena X AXF då är

p

H X

X

X   den allmänna lösningen till icke-homogena XAXF.

BEGYNNELSEVÄRDESPROBLEMET

Ett begynnelsevärdesproblem består av sys(1) och begynnelsevillkor

1 0 1(t ) b

x  , x2(t0) ,…, b2 xn(t0)bnär givna begynnelsevillkor.

På matrisformen skriver vi begynnelsevärdesproblemet som F

AX X  ,

0 0) (t X

X  (IV1)

där









) (

) (

) ( ) (

0 0 2

0 1

0

t x

t x

t x t X

n

 och









bn

b b

X

2 1

0 .

(3)

Sida 3 av 6

Sats 2. (Existens- och entydighetssatsen för sys1.) Om alla koefficienter aij(t) och fk (t) är kontinuerliga funktioner på ett öppet intervall I och t0Iså har begynnelsevärdesproblem (IV1) exakt en lösning: Lösningen är definierad på hela intervallet I.

Uppgift 1

Bestäm det största existensintervall för följande begynnelsevärdesproblem

5 3 4

2 3 4 5

2 1 2

2 1 1

 

 

x t dt x

dx

t x t x

dt dx

, x1(t0)123, x2(t0)43

där a) t0 10 b) t0 2 c) t0 34

Lösning: Notera att alla koefficienter är definierade och kontinuerliga om t 5 och t 3. Från existens- och entydighetssatsen följer följande svar:

a) I(,5) b) I(5,3), I(3,). Uppgift 2

Bestäm det största existensintervall för följande begynnelsevärdesproblem

t x

dt x dx

t x dt x

dx

cos 5

5

4 3

2 1 2

2 1 1

, x1(t0)123, x2(t0)43 där t0 5.

Lösning: Notera att alla koefficienter är definierade och kontinuerliga på (,).

Därmed har (IV1) exakt en lösning som är definierad på (,) (oavsett hur vi väljer t ). 0 Svar: (,).

SUPERPOSITION för homogena system.

Sats 3. Låt X1,X2,...,Xk vara lösningar till X AX . Då är varje linjärkombination av de lösningarna, c1X1c2X2ckXk, också en lösning.

Bevis. Beteckna zc1X1c2X2ckXk

Eftersom, både, derivatan och matrismultiplikation är linjära operatorer har vi



 X

VL c1X1c2X2ckXk (enligt antagande)c1AX1c2AX2ckAXk HL

AX X

c X

c X c

A    k k  

 ( 1 1 2 2  ) V.S.B.

(4)

Sida 4 av 6 Definition 1. ( Linjärt beroende/ oberoende lösningar.)

Låt X1(t),X2(t),...,Xk(t) vara lösningar till XAX . Vi säger att X1(t),X2(t),...,Xk(t) är linjärt beroende lösningar på intervallet I om det finns konstanter c1,c2,...,ck, där minst en konstant är skild från 0, sådana att c1X1c2X2ckXk 0 för alla t . I

Annars är X1(t),X2(t),...,Xk(t) linjärt oberoende lösningar.

Definition 2. (Fundamental lösningsmängd)

Vi säger att X1(t),X2(t),...,Xn(t) bildar fundamental lösningsmängd till det homogena systemet

AX

X (sys 0)

där









) (

) (

) (

2 1

t x

t x

t x X

n

 ,









) (

) (

) (

2 1

t x

t x

t x X

n

 ,









) ( ...

) ( ) (

...

...

...

...

) ( ...

) ( ) (

) ( ...

) ( ) (

2 1

2 22

21

1 12

11

t a t

a t a

t a t

a t a

t a t

a t a A

nn n

n

n n

om X1(t),X2(t),...,Xn(t)är n stycken linjärt oberoende lösningar till (sys 0).

Enklast sätt att avgöra om X1,X2,...,Xn är en fundamentallösningsmängd till (sys 0) är med hjälp av WRONSKIS matris. Kolonner i Wronskis matris är själva vektorer X1,X2,...,Xn.

Om









) (

) (

) (

1 21 11

1

t x

t x

t x X

n

 , …









) (

) (

) (

2 1

t x

t x

t x X

nn n n

n  , så är

) ( ...

) ( )

(

...

...

...

...

) ( ...

) ( )

(

) ( ...

) ( )

(

2 1

2 22

21

1 12

11

t X t

X t X

t X t

X t X

t X t

X t X W

nn n

n

n n

 tillhörande Wronskis determinant.

Notera att vi har inte derivator i Wronskis matris för ett förstaordningens DE system (till skillnad från Wronskis matris för en DE av n:te ordningen).

Följande gäller:

(W=0 för alla t )  (lösningarnaI X1,X2,...,Xnär beroende ) (W  0 för minst ett t )  (lösningarna är oberoende ) . I

(5)

Sida 5 av 6 DEN ALLMÄNNA LÖSNINGEN till (sys 0) ges av

n n

h c X c X c X

X1 12 2

där X1,X2,...,Xn är en fundamentallösningsmängd till systemet.

Uppgift 3

a) Visa att 

 



1 ) 2

1(t

X och X2 t e5t

2 ) 1

( 

 

 är en fundamentallösningsmängd till systemet

y dt x

dy

y dt x

dx

4 2

2

.

b) Ange den allmänna lösningen till systemet.

Lösning:

Systemet på matrisformen är XAX där



 

 y

X x , 

 

 

y

X x och 

 

 4 2

2 A 1

i) Först kontrollerar vi om 

 



1 ) 2

1(t

X är en (konstant) lösning till systemet X AX .



 X

VL

 





 

 

0 0 1 ) 2

1(

dt t d dt X

d ,

AX1

HL

 





 



 

0 0 1

2 4 2

2

1 ,

Alltså VL=HL, dvs 

 



1 ) 2

1(t

X är en lösning till systemet.

ii) Nu kollar vi på samma sätt om 

 





 

 t tt

e e e

t

X 5

5 5

2 2 2

) 1

( är en lösning till systemet.

VL

 





 

  t

t t

t

e e e

e dt t d dt X

d

5 5 5

5

2 10

5 ) 2

( ,

AX2

HL

 





 



 

t t t

t

e e e

e

5 5 5

5

10 5 4 2

2 2

1 ,

(6)

Sida 6 av 6 Därmed är X2(t)också en lösning till systemet.

iii) Med hjälp av Wronskis determinant kolar vi om lösningar är linjärt oberoende.

 

 5 0

2 1

2 5

5 5

t t

t

e e

W e (lösningarna är oberoende).

Därmed bildar 

 



1 ) 2

1(t

X och 

 

 t

t

e t e

X 5

5

2( ) 2 en fundamentallösningsmängd till systemet.

b) Den allmänna lösningen är

2 2 1

1X c X

c

Xh   = 

 

 



 



t t

e c e

c 5

5 2

1 1 2

2 .

Allternativt kan vi ange lösningar på skalärformen:

t t

e c c y

e c c x

5 2 1

5 2 1

2 2

 .

References

Related documents

Artikelbenämning: Ris Parboiled Vitt Matris KRAV FT. Artikelbeskrivning: Klimatkompenserat Ris Parboiled

I matrisen för bedömning av NP finns även en nivå för mycket väl godkänd (MVG) beskriven, ett betyg som inte får sättas inom GRV. Därför valde jag att istället

Redskapet påverkas i vänster riktning, när knapp 2 på framsidan hålls in och rullen dras till vänster.. Redskapet påverkas i höger riktning, när knapp 2 på framsidan hålls

Motsvarande egenrummet är span( �10� ) och har dimension 1. Med andra ord: Vi kan INTE bilda en bas av n=2 linjärt oberoende egenvektorer och därför är matrisen

En homogen linjär differentialekvation med konstanta koefficienter är en ekvation av följande

En homogen linjär differentialekvation med konstanta koefficienter är en ekvation av följande

Fundamental lösningsmängd till homogena ekvationen av n-te ordningen (ekv 0) är en mängd som består av n stycken linjärt oberoende lösningar till ekvationen. Enklast sätt

Med kritiska punkter till en ekvation av högre ordningen menar vi kritiska punkter för tillhörande system av