E N k T k T E E. Den specifika värmekapaciteten för ett fast ämne. Specifika värmekapaciteten per atom. Vid höga temperaturer: Vid låga temperaturer?

Specifika värmekapaciteten per atom

Eatom

C T

 



system atom

atomer

E E

N

  

Vid höga temperaturer: E_atom  N_dimk T_B  3k T_B

atom 3 B

C  k

Den specifika värmekapaciteten för ett fast ämne

Vid låga temperaturer?

Exempel: Bly nanopartikel (fjäderkonstant k~5 N/m) a) Vad är den approximativa temperaturen för en

nanopartikel som består av tre blyatomer och har 5 energikvantta?

b) Vad är den approximativa specifika värmeka- paciteten per atom vid denna temperatur?

9 endimensionella oscillatorer

22

0 0 / 7.92 10 J

E



k m ^

    

1 S

T E

 

a) 

S  k

_B

ln( ) 

b) E^atom

C T

 



system atom

atomer

E E

N

  

a) Vad är den approximativa temperaturen för en nanopartikel som består av tre blyatomer och har 5 energikvantta?

Antal möjligheter Ω att fördela q kvanta bland N antal endimensionella oscillatorer

( 1)!

!( 1)!

q N q N

   



9 endimensionella oscillatorer

22

0 0 / 7.92 10 J

E  k m ^

    

1 S

T E

 



T E

S

 



2 0

(ln ) kB



 

 

22 23

2 7.92 10 J

1.38 10 J/K (8.01 6.20) T





 

  

63.7 K



22

0 0 / 7.92 10 J

E  k m ^

    

1 S

T E

 

 Eatom

C T

 



system atom

atomer

E E

N

  

b) Vad är den approximativa specifika värmeka- paciteten per atom vid denna temperatur?

T E

S

 



2 0

(ln ) kB



 

 

22 23

2 7.92 10 J

1.38 10 J/K (8.01 6.20)





 

    63.7 K

1

T E

S

 



0

(ln ) kB

 

 

22 23

7.92 10 J

1.38 10 J/K (7.16 6.20)





 

   60.1 K

2

T E

S

 



0

(ln ) kB

 

  ^{7.92 10}₂₃ ^{22 J}  67.7 K

1.38 10 J/K (8.01 7.16)





 

 

1

atom 3 C E

T

 



23

3.44 10^ J/K ( 2.5 k )B

  

1 7.92 10 22 J 3 (67.7 60.1) K

 

 

Boltzmann distribution

• Ett litet system (s) med energin E

• Reservoar (res), stort system med konstant temperatur och energi E_res Sannolikheten att det lilla systemet har energin E vid temperaturen T?

( )

res Eres

 Antal mikrotillstånd för reservoaren med energin E_res

( )E

 Antal mikrotillstånd för lilla systemet med energin E

tot res

E  E  E

( )

res Etot

 Antal mikrotillstånd för reservoaren med all energi E_tot

( ) ( )

( ) ( )

res res tot tot

E E

P E E

 

 

Sannolikheten för att lilla systemet har energin E och stora systemet energin E_res

( ) ( )

( ) ( )

res res tot tot

E E

P E E

 

 

tot res

E  E  E

ln ( ) ln( ( )) ln( ( )) ln( ( ))

B B res res B B tot tot

k P E  k  E  k  E k  E

( ) ( ) ^res

res res res tot

res

S E S E dS E

  dE

ln ( ) ln( ( )) ln( ( )) ln( ( ))

B B res tot B B tot tot

k P E k E E k E k E

   T   

res 1

res

dS

dE  T

( ) ( )

res res res tot

S E S E E

  T

( ) E e

^{E kT}/



Sannolikheten att det lilla systemet har energin E vid temperaturen T är

proportionellt mot

ln ( ) ln( ( )) ln( ( )) ln( ( ))

B B res tot B B tot tot

k P E k E E k E k E

   T   

ln ( ) ln( _res( _tot)) ln( ( )) ln( _tot( _tot))

B

P E E E E E

   k T    

ln( ( )) ln( ( )) ln( ( ))

ln ( ) ^{res tot} _B ^{tot tot}

E E E E

k T

e

P E

e

     



A B C A B C

e ^{ }  e e e^

ln( )A

e  A

( ) ( ) ^B

E

P E Const E e k T

  

Boltzmann distribution

/

e

^E kT Kallas för Boltzmann faktor

tot K Vib Rot

E  E  E  E  mgy

Boltzmann distribution av en gas Boltzmann distribution  ( )E e^{E kT}/

( ) /

( ) E e

^{ EKEVibERotmgy kT}



[e^EK /^kT ][e^EVib/kT ][e^ERot/kT ] [e^{mgy kT/} ]

Sannolikheten att hitta en

molekyl mellan: x  x y,  y z,  z

/ mgy kT

e

^{   x y z}

Höjddistribution

Höjdövermarkytan

Antal molekyler per volym En molekyl

( ) /

( ) E e

^{ EKEVibERotmgy kT}



[ e

^EK /^kT

] [ e

^EVib/kT

] [ e

^ERot/kT

] [ e

^{mgy kT/}

]

Boltzmann hastighetsdistribution av en gas

He vid 300 K

2 2 2 2

1 1

( )

2 2

K x y z

E  mv  m v v v

1 2

2 /

[ e

^{ mvx kT}

 v

_x

] [ e

^12mv2y/kT

 v

_y

] [ e

^12mvz2/kT

 v

_z

]

Del av molekyler vid temperaturen T vars x-y- och z-hastighetskomponent är mellan (v_x och v_x+v_x), (v_y och v_y+v_y) och (v_z och v_z+v_z)

( ) /

( ) E e

^{ EKEVibERotmgy kT}



[e^EK/^kT] [e^EVib/kT ] [e^ERot/kT] [e^{mgy kT/} ]

Boltzmann hastighetsdistribution av en gas

2 2 2 2

1 1

( )

2 2

K x y z

E  mv  m v v v

𝑃 𝑣 𝑑𝑣 = 4𝜋𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑇 𝑣² 𝑒^{−12𝑚𝑣2/𝑘𝑇}𝑑𝑣

dv v v

v

v_x _y _z  4 ²



dv e

kT v dv m

v

P ^{2mv /kT}

1 2 2 /

3 ₂

4 2 )

(  ^



 





 

 

𝑃 𝑣_𝑥, 𝑣_𝑦, 𝑣_𝑧 ∆𝑣_𝑥∆𝑣_𝑦∆𝑣_𝑧= 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡(𝑇)𝑒^{−12𝑚𝑣2/𝑘𝑇}∆𝑣_𝑥∆𝑣_𝑦∆𝑣_𝑧

Distributionsfunktioner

N x N x ⁱ

i



i

 ^



i

i i x N

N ^



i

i ix f

N

f_i  Nⁱ Sannolikheten att en partikels plats har värdet x_i



 xdf N

i



är antalet partiklar mellan x och x+x

N

f_i  Nⁱ är del av antalet partiklar mellan x och x+x



^



i

i i x N

x N i

i

i x

N

f N  



f

_i

 P ( x

_i

)  x

_i



 xP x dx

x ( )

P(x) är sannolikhetsfördelningen att partikeln finns i position x

dv e

kT v dv m

v

P ^{2mv /kT}

1 2 2 /

3 ₂

4 2 )

(  ^



 





 

 



^



0

vP ( dv v ) v

Medelhastighet:

Root mean square

hastighet (RMS): ^{2 2}

0

( )

v

rms

 v  

^

v P v dv

3/ 2 1 2

3 2 /

4

0

2

mv kT

m v e dv

 kT



 

 

      

3/ 2 1 2

2 4 2 /

4

0

2

mv kT rms

v m v e dv

 kT



 

 

      

2

2

0 2

x

e dx



  



Bestämda integraler

2

2

0

1

x

x e dx

 

 



2

2 0

1 3 5 ( 1) / 2, då n jämn och > 0 2 4 6 ( 1), då n udda och > 1

x

n n

x e dx

n



         

   





𝑃(𝑣_𝑥) 𝑑𝑣_𝑥 = 𝐴 𝑒^{−12𝑚𝑣𝑥2/𝑘𝑇}𝑑𝑣_𝑥

Bestäm konstanten A då: න

−∞

∞

𝑃(𝑣_𝑥) 𝑑𝑣_𝑥 = 1 Gasens hastighetsdistribution i 1D:

dv e

kT v dv m

v

P ^{2mv /kT}

1 2 2 /

3 ₂

4 2 )

(  ^



 





 

 



^



0

vP ( dv v )

Medelhastighet:

v

3/ 2 1 2

3 2 /

4

0

2

mv kT

m v e dv

 kT



 

 

      

2

2 0

1 3 5 ( 1) / 2, då n jämn och > 0 2 4 6 ( 1), då n udda och > 1

x

n

n

x e dx

n









        

   

 

Vad är medelhastigheten för helium atomerna i en gas vid temperaturen 0^oC ?

~ 1200 m/s



^



0

vP ( dv v )

v m

kT



 8

2 2

0

( ) 3

rms

v v v P v dv kT

m

 



 

Mest sannolika hastighet v_m?

kT

e mv

v ^{2 /}

1 2

 2

maximi

m v_m 2kT



dv e

kT v dv m

v

P ^{2mv /kT}

1 2 2 /

3 ₂

4 2 )

(  ^



 





 

 

Rörelsemängden:

m v  p



m kT



^{p e dv}

dp p

P ^mkT

p 2 2

2 / 3

2

2 ) 4

( ^

 





Energin: ²

2 1 mv K 

 

kT ^{Ke dK} dK

K

P ^kT

K

 2 1_3/2 )

( 



^

^



0

2

) 3

( K dK kT KP

K

Vibrationsenergi för en gas molekyl

( ) /

( )E e^{ EKEVibERotmgy kT}

 ^{[eEK/kT ][eEVib/kT][eERot/kT ][emgy kT/ ]}

Vibration

Kinetiska energin för vibration:

2 2

1 2

1 2

2 2

p p

m  m

Potentiella energin för vibration:

s är avlänkningen från jämvikts- positionen

1

2

2 ks

E 0 2 2  

1 2 2

1 2

1

2 2 2

Vib

p p

E ks

m m

  

Rotationssenergi för en gas molekyl

( ) /

( )E e^{ EKEVibERotmgy kT}

 ^{[eEK/kT ][eEVib/kT][eERot/kT ][emgy kT/ ]}

2 2

,

2 2 ,

1 1

2 2 2 2

rot y rot z

Rot z y

L L

E I I

I I

 

   

  L

[ e

^EK /^kT

] [ e

^EVib/kT

] [ e

^{ERot /kT}

] [ e

^{mgy kT/}

]

2 2

2 2

, ,

2 2 2 1 2 2

1 2

1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2

rot y rot z

Tot x y z

L p p L

E mv mv mv ks

m m I I

 

  

 

          

Energinivåer för elektroniska övergångar Energinivåer för vibration

Energi-nivåer för rotation

Ekvipartitionsprincipen:

varje frihetsgrad för en

molekyl har energin

kT

2

1

2 2

2 2

, ,

2 2 2 1 2 2

1 2

1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2

rot y rot z

Tot x y z

L L

p p

E mv mv mv ks

m m I I

 

  

 

          

V

C E

T

 

 ∆𝑇 = ∆𝐸/𝐶

_𝑉

Syrgas: O

₂

Helium: He

2 2

2 2

, ,

2 2 2 1 2 2

1 2

1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2

rot y rot z

Tot x y z

L L

p p

E mv mv mv ks

m m I I

 

  

 

          

Energinivåer för elektroniska övergångar Energinivåer för vibration

Energinivåer för rotation

3

2 kT 2

2 kT



2

2 kT



V

C E

T

 



Lärandemål:

•

Kunna beräkna entropin för en fast kropp enligt Einsteins modell

•

Kunna beräkna absoluta temperaturen för en fast kropp som funktion av energin

•

Kunna beräkna den specifika värmekapaciteten för en fast kropp som funktion av energin

•

Kunna beräkna sannolikheten för att ett mikroskopiskt system är i ett exciterat tillstånd