•
Vektorer av dimensionen n, n•
Matriser✓ Räkneoperationer och räknelagar
•
Determinant av ordning 2 och invers matris till matris A2x2.Vektorer av dimensionen n, n Räkna med vektorer av dimension n
=
n 3 2 1
x x x x u
,
=
n 3 2 1
y y y y v
Då gäller
=
n 3 2 1
x x x x u
= + v u
+
n 3 2 1
x x x x
+ ++ +
=
n 3 2 1
n 3 2 1
n 3 2 1
y y y y
x x x x
y y y y
=
• v
u •
n 3 2 1
x x x x
n n 3
3 2 2 1 1
n 3 2 1
y x y
x y x y x y y y y
+ + + +
=
=
u
( ) ( ) ( )
x1 2 + x2 2 + x3 2 ++( )
xn 2En linje i n kan beskrivas som 0P=0P0 +tv.
Låt t.ex. P0 =
(
x1, x2, x3, , xn)
och
=
n 3 2 1
y y y y v
vara riktingsvektorn då gäller att:
v t P 0 P
0 = 0 +
=
n 3 2 1
x x x x
+ , t
y y y y t
n 3 2 1
ON-baser i n
Definition: En bas i n
e1,e2,e3, ,en
kallas OrtoNormerad (ON) om basvektorerna
• Är parvis ortogonala , (Orto…)
• Är enhetsvektorer, dvs har längd 1 (…Normerad)
• t.ex. standardbasen :
=
=
=
=
1 0 0 0 e , , 0 1 0 0 e , 0 01 0 e , 0 0 0 1
e1 2 3 n
• Exempel: Om
e1,e2
är en ON-bas i planet så gäller
0 e e
1 1 e e e
1 1 e e e
2 1
2 2 2 2 2
2 2 1 1 1
=
•
=
=
=
•
=
=
=
•
( inga nyheter här, eller hur? )
• Men hur ser det ut i 3 eller i n? (din övning)
• Exempel: Skriv u
som en summa av v
och w ( detta kallas att man skriver u
som en linjärkombination av v
och w
, ser Fö1 anteckningar) då
, 3 1 7 2 u
= −
,
1 3 1 2 v
= −
= 0 2 1 1 w
Lösningsskiss: Vi söker koefficienter och så att u =v+ w
alltså
=
−
3 1 7 2
+
−
1 3 1 2
0 2 1 1
=
−
3 1 7 2
+
+
−
+
2 3
2
=
=
+
−
=
+
−
=
+
3
1 2 3
7 2 2
Isättning av =3de öviga 3 ekvationer ger
=
−
=
−
=
−
=
=
=
+
−
=
+
−
=
+
3 4 4 4
3 1 2 9
7 3
2 6
vi kan skriva u
som en linjärkombination av v
och w
på följande sätt
u
+
= v
−
=
=
4
w 3
u v 3
= 4w
−
Svar: u v 3
= 4w
−
Matriser
Definition: Låt r och k vara heltal 1 . En r k- matris består av r kstycken element ordnade i ett rektangulärt schema enligt nedan:
=
rk 1
r
k 1 11
k r
a a
a a
A
, r k kallas för matrisens format eller typ
• Exempel:
1.
r11 r12 r13
13, observera indexerna, vi har en rad och tre kolonner, matrisen kallas för en radmatris2.
2 22 2 21
12 11
a a
a a
,
3
1 3
0 0
0 1 0
0 0 1
kvadratiska matriser
3.
1 31 3 21 11
b b b
, vi har tre rader och en kolonn, matrisen kallas för en kolonnmatris
• Element aij:där i anger i vilken rad och j i vilken kolonn element står
• Matriser betecknas med stora bokstäver: A, B,…
• Diagonalmatriser, t.ex.
3 33 3 22 11
a 0 0
0 a 0
0 0 a
Räkneoperationer Definitioner:
•
(Likhet) Matriser A=( )
aij rk och B=( )
bij rk är lika, dvs A =Bom a =ij bij för alla i,j:1ir, 1 jk•
(Addition) Låt A=( )
aij rk och B=( )
bij rk vara matriser av samma typ.Summan av A och B definieras som
( )
k rk r rk 1
r 1 r
k 1 k 1 11
11 k ij r ij
b a b
a
b a b
a b
a B A
+ +
+ +
= +
= +
•
(Multiplikation med reellt tal) Låt A=( )
aij rk och . Produkten av A och definieras som( )
k rk r 1
r
k 1 11
k ij r
a a
a a
a A
=
=
•
Exempel 1 (Addition)Låt
3
2 3
1 2
0 0 1
3 2 1 A
= och
3
2 3
1 2
1 0 1
3 1 2 B
−
−
=
+
= +
3
2 3
1 2
0 0 1
3 2 1 B A
3
2 3
1 2
1 0 1
3 1 2
−
− =
3
4 3
0 4
1 0 2
6 3 3
−
(Multiplikation med reellt tal/bryta ut reellt tal)
4
2 3
3 0 4 3 1 2 2
1 0 2 3 1 2 3
0 8 6 2 4 4
2 0 4 6 2
4 3
−
−
−
=
−
−
−
•
(Matrismultiplikation)Låt A=
( )
aij rm och B=( )
bij mk. Då definieras produkten A och B som r x k matris C där cij=ai1b1j +ai2b2j +ai3b3j ++aimb1mOBS: Det är enklast att tänka på att element cij=
(
rad i) (
• kolonn j)
fås som en skalär produkt av rad i i mtris A och kolonn j i matris B om de betraktas som en vektor respektive (alltså respektive rad ochrespektive kolonn betraktas som vektorer )
•
Exempel 2:2 32 3 22 12
31 21 11
2 3 3
3 c
c c
c c c
1 2 3
0 1 1
2 1 2
0 0 1
3 2 1 B A
=
−
=
Då ges t.ex. element
( ) ( ) (
2, 1, 2) (
3, 2 1)
6 2 2 10här vektorer som kolonn
rad respektive betraktar
vi : obs
B i 2"
kolonn
"
A i 3"
rad
"
c32 = • = + + =
=
•
=
OBS: typen av matriserna har är viktigt för att multiplikationen skall vara definierad! Alltså produkten är definierad om och endast om antalet kolonner i den första matrisen är lika med antalet rader i den andra matrisen!
OBS:I detta fall är produkt B A ej definierad!
Vi räknar vidare
☺
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 3
2 3 2
3 3
3
10 3 10
1 1 1
1 2 2 1 3 2
1 0 2 0 3 1
1 3 2 2 3 1 0 2 1 1 1 2
0 0 1 0 1 1
0 3 1 2 1 1 1
2 3 0
1 1 2
1 2
0 0 1
3 2 1 B A
−
=
=
+
+
+
+
+
+
+
−
+
+
−
+
+
−
+
=
−
=
•
För kvadratiska matriser defineras heltalpotens på samma sätt som för rella tal, dvs om A är n n matris så definerasA2 =AA, A3 =AAA=A2A=AA2 etc
•
Enhetsmatriser ( enbart ettor står på huvuddiagonalen övriga element är 0, kvadratiska matriser):2
1 2
0 0 I 1
= ,
3
1 3
0 0
0 1 0
0 0 1 I
= etc , ( betecknas med I )
•
Exempel 3:( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 A2 3
0 1 1
1 1 0 1
1 2 0 1
1 3 0 1
0 1 1 0
0 2 1 1
0 3 1 1 1
0 0 1 1
2 3
0 1 1 I A
2 3 2
3 2
3 2 2
=
−
=
+
+
−
+
+
+
−
+
=
−
=
•
Produkt av en matris A och en kolonnmatris B kan skrivas som en linjärkombination av A:s kolonner och koefficienterna ilinjärkombinationen är precis elementen i B. Låt t.ex.
1 2 1
2 1
2 1
2 2
2 4
9 3 5
7 2 9
4 7 5
9 3 7 2 9
7 4
5 3 B 2
A
+
=
+
+
=
=
Matrisprodukt skiljer sig från produkt mellan reella tal:
A B B
A
Likheten gäller om och endast om matriserna är kommutativa.
•
Låt A,B,C vara matriser av samma typ.För addition av matriserna gäller:
1. A+B=B+A
2.
(
A+B)
+C=A+(
B+C)
3. Det finns en matris av varje typ r ksom kallas nollmatrisen och tecknas 0 sådan att för alla r k– matriser A gäller A+0=A 4. Till varje r - matris Ak finns en r k- matris A sådan att
. 0 A A+ =
•
Låt A,B,C vara matriser för vilka respektive operationer är definierade.För multiplikation av matriserna gäller:
1.
( )
ABC=A( )
BC2.
( )
AB=A( ) ( )
B = AB , 3. A
(
B+C)
=AB+AC och(
B+C)
A=BA+CA4. IA=AI =A,där A är en kvadratisk matris och I är enhetsmatrisen av samma typ som A
Transporant och transponering
Låt A=
( )
aij rk vara r k- matris.r
k - matrisen At =
( )
atij krkallas transponat av A och definieras ur A genom attij ji
t a
a = för alla i,j: 1ir, 1 jk
•
Exempel 3:3
2 2
ln 3 e 2 A 1
, 2 ln
e 3 2 1
A t
2
3
=
=
•
Räknelagar för transponering❖ (
A+B)
t =At +Bt❖ ( )
A t =At❖ ( )At t =A
❖ ( )
AB t =BtAt ( observera ordningen)❖
En (kvadratisk) matris A kallas symmetrisk om At =ADeterminant av ordning 2 och inversen till matrisen A2x2.
•
Determinant av ordning 2 :•
Exempel :1 10 3
4
2 =− .
Låt
=
22 21
12 11
a a
a
A a . Då gesdeterminanten av A som
=
=
22 21
12 11
a a
a det a
A
det 11 22 21 12
22 21
12
11 a a a a
a a
a
a = −
22 21
12 11
a a
a
det a eller
22 21
12 11
a a
a
a ska uppfattas som en beteckning för a11a22 −a21a12.
Detta kan tolkas så att vektorerna
= 3
a 2 och
= 1 b 4
spänner upp en
parallellogram med aren 10 10
0 1 4
0 3 2
A = − =
= och paret
a, b har enorientering som är motsatt basvektorernas orientering.
.
❖
OBS:
( )
a,b 0 adet = och b
är parallella.
Detta följer direkt av areatolkningen.
Parallella vektorer kan inte spänna enparallellogram eller hur?
Sats:
En 2x2 matris
= d c
b
A a har en invers A−1 om och endast om det
( )
A 0 och i så fallär den
−
= −
−
a c
b d A det
A 1 1 .
