DEL1 Skriftlig TENTAMEN HF1006 och HF1008 , 14 april, 2020

Sida 1 av 7

DEL1

Skriftlig TENTAMEN HF1006 och HF1008 , 14 april, 2020

Lärare: Maria Shamoun, Armin Halilovic Examinator: Armin Halilovic

Betygsgränser: För godkänt krävs10 av max 24 poäng. För betyg A, B, C, D, E, Fx krävs 22, 19, 16, 13, 10 respektive 9 poäng.

Hjälpmedel på tentamen TEN2: Utdelad formelblad. Miniräknare ej tillåten.

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) .

Efter att den skriftliga tentan rättas fortsätter muntlig examination (genom zoom-programmet) för de studenter som klarar skriftliga delen. Slumpvis valda (eller eventuellt alla) studenter kontaktas och informeras om tiden för muntlig examination. Därefter bestäms betyg (A, B, C, D, E, Fx eller F)

Tentamen består av två delar DEL1 och DEL2:

Tider: DEL1: 8:00- 10:15, RAST: 10:15 - 10:30, DEL2: 10:30-12:45 För de som har rätt till extra tid, enligt LADOK:

Extra tider: DEL1: 8:00- 11:15, RAST: 11:15 - 11:30, DEL2: 11:30-14:45

DEL1 består av 4 uppgifter:

Ordinarie tid:

Lösningar laddas upp

till mappen

Lösningar laddas upp

till mappen

--- Du använder papper och penna för att lösa nedanstående uppgifter.

Skriv endast på en sida av papperet. Skriv namn och personnummer på varje blad.

Deklarera att du själv har gjort denna tenta.

Skriv på första inlämnade blad ” Jag själv har gjort lösningar till den här tentamen” och signera.

Du skannar eller tar bilder av dina lösningar. Spara bilder som jpg, pdf eller png filer. Dina lösningar samlade i en mapp och komprimerade (som en zip eller rar fil) laddar du upp i mappen TEN2_DEL1_Uppgifter1_4

på Canvas/uppgifter/TEN2_DEL1_Uppgifter1_4

Viktigt: Mappens namn ska innehålla ditt efternamn och namn, med andra ord använd NAMN_EFTERNAMN för mappens namn.

Canvas för HF1006: https://kth.instructure.com/courses/18412/assignments Canvas för HF1008: https://kth.instructure.com/courses/8793/assignments/

Sida 2 av 7

Till samtliga uppgifter krävs fullständiga lösningar. ( Endast svar utan tillhörande lösning ger 0 poäng.)

Parametrarna p och q i nedanstående uppgifter är sista två siffror i ditt personnummer.

T ex: Om ditt personnummer är 751332 2248 så är p= 4 och q=8.

---

Substituera först dina parametrar p,q i nedanstående uppgifter och därefter lös uppgifterna.

Uppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS2 hoppar över uppgift 1.) a) (2p) Bestäm definitionsmängden till funktionen

( ) sin( ) 2 ( 1)

f x = q x− + x + q p− + x pq p− −

b) (1p) Bestäm inversfunktionen till ( ) 4ln( 3) 10 y f x p x p

p q

= = − + +

− + . c) (1p) Beräkna gränsvärdet

lim

sin(2

2 2 )

x p

x p

x px x

→ +

− −

− −

Uppgift 2. (4p) Beräkna följande integraler a) (2p)

∫

b) (2p) ₂ 2

( 5) 2 6

q dx

x p x p

+

+ + + +

∫

Uppgift 3. (2p) Bestäm tangenten till kurvan (p+1)x²+(q+2)y² = + +p q 3 i punkten P=(1,1).

Uppgift 4. (2p) Bestäm volymen av den kropp som uppstår då området som definieras av 0≤ ≤x (10− , q) 0≤ ≤y e^{(10−p x)}

roterar kring a) x-axeln, b ) y-axeln

Sida 3 av 7

Lösning för parametrar p=5, q=8

Svar för varje par (p,q)

Uppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS2 hoppar över uppgift 1.) a) (2p) Bestäm definitionsmängden till funktionen

( ) sin( ) 2 ( 1)

f x = q x− + x + q p− + x pq p− −

b) (1p) Bestäm inversfunktionen till ( ) 4ln( 3) 10 y f x p x p

p q

= = − + +

− + . c) (1p) Beräkna gränsvärdet ( 1) 2

sin(2 2 2 )

x

lim

x p

x px x

→ +

− −

− −

1a) För p=5, q=8 har vi

( ) sin(8 ) 2 4 45

f x = −x + x + x− .

(Notera att sin(8−x) är definierad för alla x.) Funktionen är definierad om x²+4x−45 0≥ . Först x² +4x−45 0= ger x₁= −9, x₂ = . 5

Olikheten kan vi lösa grafisk eller genom faktorisering följd av teckentabell.

Från grafen

har vi svaret D = −∞ − ∪ ∞ . _f ( , 9] [5, )

(Alternativ: Vi kan faktorisera olikheten: (x+9)(x− ≥5) 0, och därefter använda teckentabell.)

1a) Svar i allmänt fall: D_f = −∞ − − ∪( , q 1] [ , )p ∞ .

Rättningsmall: Korrekt till och med grafen (alternativt korrekt faktorisering) ger 1p Allt korrekt=2p.

Sida 4 av 7 1b) För p=5, q=8 har vi

5 4ln( 8) ln 8 5 8 ⁵⁴ 8 7 ⁵⁴

7 7 4 7

y y

x x y x

y + + − + e ⁻ x e ⁻

= − ⇔ = ⇔ = ⇔ = − +

Svar: x= − +8 7e^5−4y

1b) Svar i allmänt fall: x= − − +p 3 (p q− +10)e^{p y4−}

Rättningsmall: Allt rätt =1p

c) (1p) För p=5, q=8 har vi

6 2

6

sin(2 12) 0

lim [ , obestämt uttryck, L' Hospitals regel]

6 0

2cos(2 12) 2 1

=lim 2 6 6 3

x

x

x typ

x x

x x

→

→

−

−

− = =

−

.

Svar: 1/3

1c) Svar i allmänt fall:

2 1

Rättningsmall: Allt rätt =1p

Uppgift 2. (4p) Beräkna följande integraler a) (2p)

∫

b) (2p) ₂ 2

( 5) 2 6

q dx

x p x p

+

+ + + +

∫

Lösning:

2a) För p=5, q=8 har vi

2sin(9 3 8) x x + dx=

∫

x + =t ⇒ x dx dt= ⇒ x dx=27dt) cos( ) cos(9 3 8)

sin( )

27 27 27

dt t x

t − C − + C

=

∫

Svar: cos(9 ³ 8) 27

x C

− +

+

Rättningsmall: Korrekt till ² 1

x dx= 27dt ger 1p. Allt korrekt=2p.

Sida 5 av 7 2a) Svar i allmänt fall: cos(( 4) ³ )

3( 4)

p x q C

p

− + +

+ +

2b) För p=5, q=8 har vi

2 2

10 10 1

10 16dx 10 16dx

x x = x x

+ + + +

∫ ∫

Partialbråkuppdelning:

2

1 1

10 16 ( 2)( 8) 2 8

A B

x x = x x = x +x

+ + + + + + .

Härav 1=A x( + +8) B x( +2) som ger A=1/6 och B=-1/6.

Nu får vi 10 ₂ 1 10 1 1

10 16dx 6 2 8 dx

x x x x

 

=  − 

+ +  + + 

∫ ∫

( )

5 ln | 2| ln | 8|

3 x x C

= + − + + .

Svar: 5 ln | 2| ln | 8|

( )

3 x+ − x+ +C

2b) Svar i allmänt fall: 2 ln | 2| ln |

(

)

1

q x x p C

p

+ + − + + +

+

Rättningsmall: Korrekt partialbråksuppdelning ger 1p. Allt korrekt=2p.

Uppgift 3. (2p) Bestäm tangenten till kurvan (p+1)x²+(q+2)y² = + +p q 3 i punkten P=(1,1).

Lösning:

För p=5, q=8 har vi kurvans ekvation:

2 2

6x +10y =16

Implicitderivering ger 12x+20y y′⋅ =0.

Härav 12 20 12 3

20 5

x x

x y y

y y

− −

+ ⋅ =′ = .

3 1 3

'( ) 5 1 5 kT = y P = − ⋅ = −

⋅

Tangentens ekvation: y y− ₀ =k x x_T( − ₀) dvs 1 3( 1)

y− = −5 x− eller 3x+5y=8 Svar: 1 3( 1)

y− = −5 x− (eller 3x+5y =8)

Rättningsmall: Korrekt koefficienten k_T ger 1p. Allt korrekt=2p.

3) Svar i allmänt fall: 1 ( 1)( 1) ( 2)

y p x

q

− = − + −

+ eller (p+1)x+(q+2)y p q= + +3

Sida 6 av 7

Uppgift 4. (2p) Bestäm volymen av den kropp som uppstår då området som definieras av 0≤ ≤x (10− , q) 0≤ ≤y e^{(10−p x)}

roterar kring a) x-axeln, b ) y-axeln Lösning:

För p=5, q=8 har vi kroppen som definieras av 0≤ ≤ , x 2 0≤ ≤y e^5x

a)

2 2 10 2 20

5 2 10 20

0 0 0

( ) 1 ( 1)

10 10 10 10

x x e x e

Vx=π e dx=π e dx =π^ ^ =π^ − ^= π e −

   

∫ ∫

Svar: Vx= ( ²⁰ 1) 10π e

−

4a) Svar i allmänt fall: ( (20 2 )((10 ) 1)

20 2 e ^{p q}

p

π _{− −} −

−

Rättningsmall: Allt rätt =1p

b) ^{2 5}

0

2 ^x

Vy= π

∫

Först

∫

5

1 5

5

x x

u x v e u v e

= ′=

′ = = )

5 5 5 5

( )

5 5 5 25

x x x x

xe −

∫

Nu har vi

2 5 5 2 10 10 10 10

5

0 0

2 1 2 1

2 2 2 0 2 ( )

5 25 5 25 25 5 25 25

x x

x xe e e e e e

Vy= π

∫

25 25

π e +

4b) Svar i allmänt fall:

Sida 7 av 7

{

}

2

2 [(10 )((10 ) 1] 1

(10 )

p q

p q e

p

π − − − − − +

−

Rättningsmall: Allt rätt =1p