TENTAMEN 9 jan 2015, HF1006 och HF1008
Moment: TEN1 (Linjär algebra), 4 hp,
Kurser: Analys och linjär algebra, HF1008, Linjär algebra och analys HF1006 Klasser: TIELA1, TIMEL1, TIDAA1
Tid: 8.15-12.15, Plats: Campus Haninge Examinator: Armin Halilovic
Betygsgränser: Maxpoäng = 24
För betyg A, B, C, D, E, Fx krävs 22, 19, 16, 13, 10 respektive 9 poäng.
Hjälpmedel på tentamen TEN1: Utdelad formelblad. Miniräknare ej tillåten.
Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx) .
--- Skriv endast på en sida av papperet.
Skriv namn och personnummer på varje blad.
Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget.
--- Denna tentamenslapp får ej behållas utan lämnas in tillsammans med lösningar.
Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter.
---
Uppgift 1. (4 p) Punkterna A(1,0,3) B(0,1,2) C(1,2,0) och D(0,3,0) är hörn i en pyramid
A B
C D
a) Beräkna vinkeln mellan sidorna AB och AD. (1poäng) b) Beräkna arean av triangeln ABD. (1poäng)
c) Beräkna pyramidens volym. (2 poäng )
Uppgift 2. (2 p) Bevisa att vektorerna v1=(1,3,−2) v2 =(1,4,−1) och v3=(1,1,−4) är linjärt beroende.
Uppgift 3. (2p) Lös följande ekvationssystem genom Gausseliminering
= + +
= +
−
=
− +
. 7 3
1 3 2
z y x
z y x
z y x
Uppgift 4. (2p) Lös följande olikheter:
a) 0
1 ) 3 )(
2
( >
−
−
− x
x
x b) |2x−4|<10.
Uppgift 5. (2p)
a) (1p) Bestäm ekvationen för den linje som går genom punkterna P(1,1,1) och Q(2,3,4).
b) (1p) Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkterna P(1,1,1) , Q(2,3,4) och R(2,2,2).
Uppgift 6.(1p)
Bestäm (det kortaste) avståndet mellan punkten A(1, – 2, 3) och planet x−2y+2z+3=0.
Uppgift 7. (3p) Låt
i z i
−
= + 1
) 1
( 2
. Bestäm
a) Re(z) b) |z| c) arg(z) ( argumentet till z).
Uppgift 8. (2p) Bestäm det komplexa talet z som satisfierar ekvationen2z+3z =10−i.
Uppgift 9. (4p)
Låt
= 1 1
1
A 1 ,
= 1 0
1
B 1 och
= 2 0
5
C 3 .
Lös följande matrisekvationer med avseende på X a) AX+BX =C
b) AX +XB=C .
Uppgift 10. (2 p) Ett föremål förflyttar sig från punkt A (3,1,0) till punkt B(2,2,2) p. g. av kraftens F
inverkan. Kraftens storlek är 15 N och kraften är parallell med v=i+ j+k. Bestäm kraftens arbete.
Lycka till.
FACIT
Uppgift 1. (4 p) Punkterna A(1,0,3) B(0,1,2) C(1,2,0) och D(0,3,0) är hörn i en pyramid
A B
C D
a) Beräkna vinkeln mellan sidorna AB och AD. (1poäng) b) Beräkna arean av triangeln ABD. (1poäng)
c) Beräkna pyramidens volym. (2 poäng )
Lösning:
a) Skalärprodukten:
AD AB
AD v AB
v AD AB AD
AB ⋅
= ⋅
⇒
⋅
=
⋅ cos cos
19
och 3
) 3 , 3 , 1 ( och ) 1 , 1 , 1 (
=
=
−
−
=
−
−
=
AD AB
AD AB
7 ) 3 ( ) 1 ( 3 1 ) 1 ( ) 1
(− ⋅ − + ⋅ + − ⋅ − =
= AB⋅ AD
=
⇒
=
57 arccos 7 57
cosv 7 v
Svar:
57 arccos 7
b) Triangeln ABD som spänns upp med hjälp av vektorerna AB och ADhar arean
| 2|
1 AB AD
Arean= ×
k j i k j i AD
AB 0 2 2
3 3 1
1 1
1 = − −
−
−
−
−
=
×
2 2 8
|
|AB× AD = =
.) . ( 2 2 2 2
1 ae
Arean= ⋅ =
Svar: Arean= 2(a.e.)
c) Pyramidens volym beräknas med hjälp av skalärtrippelprodukt:
( )
, (0,2, 3); ( 1,1, 1); ( 1,3, 3)6
1 × ⋅ = − = − − = − −
= AB AD AC därAC AB AD
V
=
−
−
−
−
−
= |
3 3 1
1 1 1
3 2 0 6|
V 1 (R2*(-3)+R3)= ( . .)
3
| 1 2 6|
| 1 0 0 2
1 1 1
3 2 0 6|
1 − − = = ve
−
Svar: ( . .)
3 1 ve
Rättningsmall: a) Rätt cos v ger 1 poäng b) Rätt eller fel c) Korrekt metod med mindre räknefel =1p
Uppgift 2. (2 p) Bevisa att vektorerna v1=(1,3,−2) v2 =(1,4,−1) och v3=(1,1,−4) är linjärt beroende.
Lösning:
Metod 1. Vektorerna är oberoende om rader i matrisen
−
−
−2 1 4
1 4 3
1 1 1
är linjärt
oberoende,dvs om matrisens rang är 3. Vektorerna är beroende om matrisens rang är ≤ 2.
−
+
−
− +
+
−
−
− 0 0 0
2 1 0
1 1 1
R3) (-R2
~ 2 1 0
2 1 0
1 1 1
R3) (2R1
R2) (-3R1
~ 4 1 2
1 4 3
1 1 1
Två ledande ettor i trappstegsform implicerar att matrisens rang är 2 och därmed är vektorerna linjärt beroende ( den tredje vektor beror av de första två).
Metod 2.
De tre tredimensionella vektorerna är beroende om och endast om determinanten
4 1 2
1 4 3
1 1 1
−
−
−
är lika med 0.
Vi har = − + − − + + − + =
− + −
−
− −
−
= −
−
−
−
) 8 3 ( ) 2 12 ( ) 1 16 1 (
2 4 1 3
4 2
1 1 3
4 1
1 1 4 4 1 2
1 4 3
1 1 1
0 5 10 15+ + =
−
= och därmed är vektorerna beroende. ( Vad skulle visas)
Metod 3.
Vektorerna v1, v2och v är linjärt beroende om och endast om det finns tal k3 1, k2 och k3, som inte alla är 0, så att k1v1+k2v2+k3v3 =0.
=
−
+
−
+
− 0
0 0
4 1 1
1 4 1
2 3 1
3 2
1 k k
k
=
−
−
−
= + +
= + +
0 4 2
0 4
3
0
3 2 1
3 2 1
3 2 1
k k k
k k k
k k k
=
−
=
−
= + +
0 2
0 2
0
3 2
3 2
3 2 1
k k
k k
k k k
=
=
−
= + +
0 0
0 2
0
3 2
3 2 1
k k
k k k
Ekv.1*(-3)+Ekv.2 Ekv.1*2+Ekv.3
Låt k3=t, då k2=2t och k3=-3t
Väljer t.ex. t=1. Alltså, k1=1 k2=2 och k3= –3.
Alltså 1v1+2v2−3v3=0 och vi har visat att v1, v2och v är linjärt beroende. 3
Anmärkning: Vektor v kan uttryckas som en linjärkombination av vektorerna 3 v1 och v2, t.ex.
(1,1, –4)=3(1,3, –2) –2(1,4, –1)
Rättningsmall. Korrekt metod (med mindre räknefel) =1p
Uppgift 3. (2p) Lös följande ekvationssystem genom Gausseliminering
= + +
= +
−
=
− +
. 7 3
1 3 2
z y x
z y x
z y x
Lösning:
−
= +
−
−
= +
−
=
− +
⇔
−
−
= + +
= +
−
=
− +
2 7 2
2 3 2
3 2
1 3 3
1 2
1
7 3
1 3 2
z y
z y
z y x
r r
r r
r
z y x
z y x
z y x
=
−
= +
−
=
− +
⇔
− 4 0
2 3 2
3 2
2 3
2 1
z z y
z y x
r r
r r
Härav z=0, y=1, x=2
Svar: x=2, y=1, z=0
Rättningsmall. Korrekt metod (med mindre räknefel) =1p Uppgift 4. (2p) Lös följande olikheter:
a) 0
1 ) 3 )(
2
( >
−
−
− x
x
x b) |2x−4|<10.
Lösning:
a) Teckentabell:
1 2 3
) 2
(x− – – – 0 + + +
) 3
( −x + + + + + 0 –
−1
x – 0 + + + + +
1 ) 3 )(
2 (
−
−
− x
x
x + ej
def. – 0 + 0 –
Alltså 0
1 ) 3 )(
2
( >
−
−
− x
x
x om x<1 eller 2< x<3
b) |2x−4|<10⇔−10<2x−4<10 (addera 4) 14
2 6< <
−
⇔ x dela med 2
7 3< <
−
⇔ x
Svar: a) −∞<x<1 eller 2< x<3 ( Alternativt skrivsätt x∈(−∞,1)∪(2,3)) b) x∈(−3,7)
Rättningsmall: a) Korrekt a=1p, korrekt b=1p.
Uppgift 5. (2p)
a) (1p) Bestäm ekvationen för den linje som går genom punkterna P(1,1,1) och Q(2,3,4).
b) (1p) Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkterna P(1,1,1) , Q(2,3,4) och R(2,2,2).
Lösning:
a) PQ=(1,2,3) och därmed är linjens ekvation (x,y,z)=(1,1,1)+t(1,2,3)
eller
+
=
3 2 1
1 1 1
t z
y x
b) PQ=(1,2,3), PR=(1,1,1) En normalvektor är
) 1 , 2 , 1 ( 1 2
1 2 1 1 1
3 1 1 1
3 2 1 1 1
3 2
1 = − + =− + − = − −
=
×
= i j k i j k
k j i PR PQ
n
Planets ekvation: −(x−1)+2(y−1)−(z−1)=0 eller −x+2y−z=0 Svar: a) (x,y,z)=(1,1,1)+t(1,2,3) b) −x+2y−z=0.
Rättningsmall: a) Korrekt a=1p, korrekt b=1p.
Uppgift 6.(1p)
Bestäm (det kortaste) avståndet mellan punkten A(1, – 2, 3) och planet x−2y+2z+3=0. Lösning:
3
| 14 4
4 1
3 3 2 ) 2 ( 2
|1
|
| 2 2 2
1 1
1 =
+ +
+
⋅ +
−
⋅
= − +
+
+ +
= +
C B A
D Cz By d Ax
Svar:
3 14 (l.e)
Rättningsmall: Rätt eller fel
Uppgift 7. (3p) Låt
i z i
−
= + 1
) 1
( 2
. Bestäm
a) Re(z) b) |z| c) arg(z) ( argumentet till z).
Lösning:
a) i i
i i i i i i i
i i i
z i = − =− +
+ +
= −
= −
− +
= +
−
= + 1
2 2 2 1 1 1
2 1
2 1
2 1 1
) 1
( 2 2
Därför Re(z)=−1
b) Från z= 1− +i får vi |z|= 1+1= 2
Allternativ lösning: 2
2 2 1 1
) 1 1 (
| 1
|
| 1
| |
|
2
2 = =
+
= +
−
= + i z i
c) ( 2 )
4 ) 3
arg( π π
k
z = + (rita grafen eller använd
2 cosθ =− 1 ,
2 sinθ = 1 )
Svar: a) Re(z)=−1 b) |z|= 2 c) ( 2 ) 4
) 3
arg( π π
k
z = +
Rättningsmall: a=1p , b=1p, c=1p.
Uppgift 8. (2p) Bestäm det komplexa talet z som satisfierar ekvationen2z+3z =10−i. Lösning:
Vi substituerar z=x+yi i ekvationen och får
⇔
−
=
− +
+ yi x yi i
x ) 3( ) 10
(
2 2x+2yi+3x−3yi=10−i i
yi x i yi
x yi
x+ + − = − ⇔ − = −
⇔2 2 3 3 10 5 10
Härav 5x=10 och − yi=−i dvs x=2och y=1 och därmed z= 2+i Svar: z= 2+i
Rättningsmall. Korrekt metod (med mindre räknefel) =1p
Uppgift 9. (4p)
Låt
= 1 1
1
A 1 ,
= 1 0
1
B 1 och
= 2 0
5
C 3 .
Lös följande matrisekvationer med avseende på X a) AX+BX =C
b) AX +XB=C Lösning:
a) AX+BX =C⇔(A+B)X =C eller
=
2 0
5 3 2
1 2
2 X (*)
Matrisen
=
+ 1 2
2 B 2
A är inverterbar eftersom 2 0
2 1
2 ) 2
det(A+ B = = ≠
Inversen är
−
= −
−
2 1
2 2 2 1 2 1
2
2 1
.
Från (*) gäller
−
= −
−
= −
=
−
1 3
6 6 2 1 2 0
5 3 2 1
2 2 2 1 2 0
5 3 2 1
2
2 1
X
Svar a:
−
= −
1 3
6 6 2 X 1
Rättningsmall a) Korrekt inversen till A+B=1p
b)
Lägg märke till att vi inte kan faktorisera AX +XB. Notera att XB
AX BX AX X B
A+ ) = + ≠ +
( (Matrismultiplikation är inte kommutativ dvs i allmänt
XB BX ≠ ) .
På samma sätt inser vi att AX +XB≠ X(A+B). Därför löser vi ekvationen elementsviss.
Låt
= w z
y
X x . Vi substituerar
=
w z
y
X x i ekvationen AX +XB=C och får
=
+
2 0
5 3 1 0
1 1 1
1 1 1
w z
y x w z
y
x .
Efter beräkning och förenkling har vi
=
+ + +
+ + +
2 0
5 3 2
) 2 (
) 2
( ) 2 (
w z y z x
wy y x z x
Vi identifierar element och får fyra ekvationer
2 2
5 2
0 2
3 2
= +
+
= + +
= +
= +
w z y
w y
x
z x
z x
Från andra ekvationen har vi x=−2z. Detta substitueras i ekv1 och fås − z3 =3 dvs z=−1. Därmed x=−2z=2
Nu substituerar vi x=2och z=−1i ekv 3 och ekv4 och får ekv A: 2+2y+w=5 och
ekv B: y−1+2w=2
Från ekv A har vi w=3−2y som vi substituerar i ekv B och får
1 3
3 2 ) 2 3 ( 2
1+ − = ⇒− =− ⇒ =
− y y y
y .
Slutligen w=3−2y=3−2=1
Därmed
= −
1 1
1 X 2
Svar b:
= −
1 1
1
X 2 .
Rättningsmall b) Korrekt metod (med mindre räknefel) =1p
Uppgift 10. (2 p) Ett föremål förflyttar sig från punkt A (3,1,0) till punkt B(2,2,2) p. g. av kraftens F
inverkan. Kraftens storlek är 15 N och kraften är parallell med v=i+ j+k. Bestäm kraftens arbete.
Lösning:
Metod 1 θ cos s F
W = ⋅ , där s= AB=(−1,1,2)och s = 6
s v
s v
⋅
= ⋅
θ
cos ,där v⋅ s=(1,1,1)⋅(−1,1.2)=2
och v = 3
2 3
2 6 3 cos 2
= ⋅
= ⋅ θ
) ( 3 3 10 30 6 3 6 2
15 J
W = ⋅ ⋅ = =
Metod 2
Först bestämmer vi koordinater till vektorn F
. Vektorn F
är parallell med v=i+ j+k och har längden 15. Därför
3) ,15 3 ,15 3 (15 ) 1 , 1 , 1 3( 15
|
15⋅| = =
= v
F v
Arbetet kan beräknas med hjälp av skalärprodukten:
=
⋅
=F s
W
3 3 10
10 3 3 ) 30 2 , 1 , 1 )(
1 , 1 , 1 3(
15 ⋅ =
=
=
− (J)
Svar:10 3 (J )
Rättningsmall. Korrekt metod (med mindre räknefel) =1p
