Undervisning om bråk
En intervjustudie där lärare i grundskolans tidiga år beskriver hur
de planerar och möter elever i undervisning om bråk
KURS: Examensarbete för grundlärare F-3, 15 hp
PROGRAM: Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i förskoleklass och grundskolan årskurs 1–3
FÖRFATTARE: Johanna Selent
EXAMINATOR: Peter Markkanen
JÖNKÖPING UNIVERSITY Examensarbete för grundlärare F-3, 15 hp School of Education and Communication. Grundlärarprogrammet med
inriktning mot arbete I förskoleklass och grundskolans årskurs 1–3 Vårterminen 2021
SAMMANFATTNING
_______________________________________________________________________ Johanna Selent
Undervisning om bråk - En intervjustudie där lärare i grundskolans tidiga år beskriver hur de planerar och möter elever i undervisning om bråk
Antal sidor: 30 ______________________________________________________________________________
Bråk är ett ämnesområde inom matematik som introduceras i grundskolans tidiga år. Elevers kunskapsutveckling för bråk är viktig då den ligger till grund för vidare förståelse i andra matematiska områden såsom algebra, procent och tal i decimalform. Studien är inspirerad av ett sociokulturellt perspektiv att se på lärande där samspel, relationer, språk och elevers proximala utvecklingszon är central. Syftet med studien är att bidra med kunskap om hur bråkundervisning kan bedrivas och hur lärare planerar sin undervisning för att tillmötesgå elever. För att besvara studiens frågeställningar valdes en kvalitativ metod där fyra lärare intervjuades om sin bråkundervisning genom semistrukturerade intervjuer. Intervjuerna analyserades med en tematisk analysmetod. Ur analysen framkom det att elever är i behov av att utveckla grundläggande kunskaper om bråkdelars lika storlek i förhållande till helheten för att förstå vad bråk handlar om. Undervisning om bråk behöver vara varierad och välplanerad för att lärare ska kunna möta alla elevers behov och förutsättningar.
_______________________________________________________________________ Sökord: bråk, grundskolans tidiga år, sociokulturellt perspektiv, grundläggande kunskaper, didaktiska val
JÖNKÖPING UNIVERSITY Degree Project for Teachers in School of Education and Communication. Preschool Class and Primary School Years 1-3, 15 credits
Teacher Education Programme for Primary Education – Preschool and School Years 1-3
Spring semester 2021 ABSTRACT
Johanna Selent
Teaching about fractions – An interview study where teachers in the early years of primary school describe how they plan and meet students in the teaching about fractions
Number of pages: 30
______________________________________________________________________________
Fraction is a subject area within mathematics introduced in the early years of primary school. Students' understanding of fractions is important as it forms the basis for developing further knowledge in other mathematical areas such as algebra, percentages and numbers in decimal form. The study is inspired by the sociocultural perspective to look at learning where interplay, relations, language and the students' zone of proximal development are central. The purpose of this study is to contribute with knowledge about how teaching of fractions can be conducted and what kind of didactic choices teachers make in order to accommodate students. To answer the study's questions, a qualitative method was chosen where four teachers answered questions about their teaching of fractions through semi-structured interviews. The interviews were analyzed using a thematic analysis method. It emerged from the analysis that students need to develop basic knowledge about the equal size of fractions in relation to the whole in order to actually understand what fraction really is about. For teachers to meet the needs and conditions of all students, teaching about fraction needs to be varied and well planned.
_______________________________________________________________________ Keywords: fraction, early years of primary school, sociocultural perspective, basic knowledge, didactic choices
Innehållsförteckning
1. Inledning ... 1
2. Syfte och frågeställningar ... 2
3. Bakgrund ... 3
3.1 Styrdokument ... 3
3.2 Bråks olika framställningar ... 3
3.3 Vad som gynnar elevers förståelse för bråk ... 5
3.4 Grundläggande kunskaper för bråk ... 6 3.5 Språkets betydelse ... 8 3.6 Sociokulturellt perspektiv ... 9 4. Metod ... 12 4.1 Metodval ... 12 4.2 Urval ... 12 4.3 Genomförande ... 14
4.4 Bearbetning och analys ... 14
4.5 Studiens tillförlitlighet ... 15
4.6 Etiska ställningstaganden ... 16
5. Resultat ... 18
5.1 Introduktionen om bråk ... 18
5.2 Undervisning om bråk som möter alla elever ... 20
5.3 Viktiga aspekter i undervisningen om bråk ... 22
6. Diskussion ... 25 6.1 Metoddiskussion ... 25 6.2 Resultatdiskussion ... 26 6.3 Avslutande ord ... 30 Referenslista ... 31 Bilaga 1 ... I Bilaga 2 ... III
1. Inledning
I grundskolans tidiga år introduceras bråk som matematiskt område. Det är viktigt för elever att få möjlighet att utveckla grundläggande kunskaper om bråk, eftersom det ligger till grund för andra matematiska områden såsom algebra, procent och tal i decimalform som introduceras i senare årskurser (Skolverket, 2017).
I en litteraturstudie genomförd av Ax och Selent (2020) påvisades att elever behöver få syn på olika aspekter om bråk i undervisningen samt att den ska utgå från elevers kunskaper och erfarenheter. Forskare är överens om att undervisningen om bråk ska vara väl strukturerad, planerad och varierad men har olika syn på hur den kan utformas (Kullberg & Runesson, 2013; Mohyuddin & Khalil, 2016).
Under grundskollärarutbildningen upptäcktes det att matematikundervisningen i årskurs 1–3 mestadels behandlar elevers kunskaper för de fyra räknesätten, trots att bråk utgör en stor del av matematiken. Därför är syftet med denna studie att genom en kvalitativ metod bidra med kunskap om hur lärare i grundskolans tidiga år bedriver och planerar undervisning om bråk. I introduktionen om bråk ses nyttan av att få ta del av erfarna lärares kunnande eftersom forskning visar på att elever behöver utveckla vissa grundläggande kunskaper i just detta skede för att förstå vad bråk handlar om. En grundläggande aspekt som Alkahateeb (2019) framhåller är att elever behöver utveckla förståelse för alla delas lika storlek. En ytterligare grundläggande aspekt som elever behöver utveckla kunskap om är förståelse för täljare och nämnare, som är två centrala begrepp inom bråk. Saknas denna grundläggande förståelse, finns en risk att elever inte kan vidareutvecklas inom ämnet (Clark & Roche, 2009; Kullberg och Runesson, 2013). För att elever ska kunna utveckla sitt matematiska språk samt få förståelse för bråkbegrepp behöver de få möjlighet att kommunicera och samtala i undervisningen (Post et al., 1985).
Studien är inspirerad av det sociokulturella perspektivet att se på lärande där språk och kommunikation utgör en del och elevers individuella kunskapsutveckling utgör en del (Säljö, 2014). I läroplanen står det att lärare har i uppdrag att skapa möjlighet för den enskilda eleven att utveckla sina kunskaper utifrån sin egen förmåga (Skolverket, 2019).
2. Syfte och frågeställningar
Syftet med studien är att bidra med kunskap om hur lärare i grundskolans tidiga år beskriver och planerar undervisning för elever om bråk. Utifrån detta syfte har följande frågeställningar formulerats:
• Hur introducerar lärare bråk?
3. Bakgrund
Det här kapitlet behandlar styrdokument, olika framställningar av bråk och tidigare forskning om vad som gynnar elevers förståelse för bråk. Vidare beskrivs vilka grundläggande kunskaper elever bör utveckla i bråkundervisningen, språkets betydelse och till sist studiens inspiration av det sociokulturella perspektivet.
3.1 Styrdokument
I läroplanens första kapitel anges att lärare har i uppdrag att anpassa all undervisning till elevers individuella behov och förutsättningar. Undervisningen ska bland annat ha varje elevs tidigare kunskaper som utgångspunkt för deras lärande (Skolverket, 2019).
I kursplanen står det att elever i slutet av årskurs 3 ska kunna visa grundläggande kunskaper om bråk, vilket innefattar att jämföra och namnge delar som enkla bråk samt dela upp helheter i olika delar. I läroplanens centrala innehåll står det att elever i årskurs 1–3 ska ges möjlighet att utveckla kunskaper om del av helhet, del av antal, enkla bråk och hur de används i vardagliga situationer samt relationen mellan naturliga tal och tal i bråkform. Elever ska genom matematikundervisningen få möjlighet att utveckla förmågan att analysera, använda matematiska begrepp och se samband mellan olika begrepp (Skolverket, 2019).
I de senare årskurserna behöver elever ha utvecklat förståelse för samband mellan tal i bråkform, tal i decimalform och tal i procentform. För att förstå dessa aspekter, behöver elever i årskurs 1–3 utveckla grundläggande kunskaper om bråk. Att ha kunskap om de grundläggande aspekterna anses vara en viktig del för den individuella elevens fortsatta lärande inom matematiken, då dessa kunskaper för bråk utgör en grund för andra områden. Kunskaper om del av helhet och del av antal är betydande för vidare utveckling inom algebra och procent, som behandlas i senare årskurser (Skolverket, 2017).
3.2 Bråks olika framställningar
Bråk kan framställas på olika sätt, exempelvis genom del av helhet i en cirkel eller del av antal där klossar delas upp. Tal i bråkform skrivs genom formeln 𝑎
𝑏där a står för täljare och
ett bråkuttryck måste alltid vara positiva heltal och nämnaren kan aldrig vara noll (Kiselman & Mouwitz, 2008). Med tal i bråkfrom åsyftas just enbart tal i bråkform genom formeln 𝑎
𝑏och bråk åsyftas exempelvis delar av ett objekt.
Bråkbegreppet kan vara svårt för elever att förstå, eftersom bråk kan framställas på olika sätt beroende på kontext. För att synliggöra hur bråk kan framställas,bör lärare skapa en undervisning där elever får möta bråk i olika sorters uppgifter (Kilborn, 1999). Lärare bör själva fundera över bråks olika framställningar innan de planerar sin undervisning, just för att reflektera över de olika framställningarna (Löwing & Kilborn, 2002). Elever ska genom undervisningen få möta: del av helhet, del av antal, relationen mellan naturliga tal och bråk som tal samt bråk relaterat till vardagen. Nedan presenteras de olika framställningarna som är kopplade till vad kunskapskraven säger att elever ska visa kunskaper om i slutet av årskurs 3 (Skolverket, 2019).
• Bråk som del av helhet. Elever ska kunna dela upp olika helheter i delaroch namnge delarna som enkla bråk (Skolverket, 2019). En helhet, exempelvis en rektangel, är uppdelad i fyra lika stora delar. 1
4är bråkuttrycket och betyder en del av fyra, en
fjärdedel.
Figur 1. I rektangeln illustreras bråkuttrycket %&.
• Del av antal. Elever ska visa kunskaper om hur olika andelar delas upp (Skolverket, 2019). Del av antal handlar om likadelning. Om hälften av ett antal ska räknas ut, exempelvis 1
2av 8, måste eleven först ta reda på hur många antal helheten utgår
ifrån, vilket i detta fall är 8. Sedan ska eleven ta reda på hur många andelar bråktalet visar. 1
2av 8 är fyra andelar.
• Bråk som tal. Elever ska utveckla kunskaper om hur enkla bråk förhåller sig till naturliga tal (Skolverket, 2019). Alla bråktal har en plats på tallinjen. Elever ska genom undervisningen få syn på hur exempelvis 1
2förhåller sig till naturliga tal och
att alla bråktal har en plats på tallinjen.
Figur 3. Bråkuttrycket %
( visas med hjälp av en tallinje samt hur %
( förhåller sig till naturliga tal.
• Bråk som förhållande till något. Elever ska genom undervisningen få möjlighet att utveckla kunskaper om hur bråk kan användas i vardagliga situationer (Skolverket, 2019). Undervisningen ska inkludera situationer som förhåller sig till det vardagliga livet, exempelvis hur mycket () av 30 kg potatis är. (Kilborn, 1999; Löwing & Kilborn, 2002).
3.3 Vad som gynnar elevers förståelse för bråk
För att elever ska få möjlighet att utveckla förståelse för bråk behöver lärare förbereda flera olika exempel i undervisningen. Lärare kan använda sig av uppgifter som elever kan relatera till, vilket kan göra att elever kan sätta in exemplet i en kontext som de upplevt i vardagen. För att skapa en vardagsnära undervisning för elever, kan lärare använda sig av vardagligt konkret material, exempelvis äpplen. Det kan underlätta när bråk ska visualiseras (Fonger et al., 2015; Harvey, 2012). Lärare kan ha elevers vardag som utgångspunkt i uppgifter om bråk eftersom det kan gynna elevers förståelse samt för att vardagliga exempel kan bidra till att undervisningen hålls elevnära (Fonger et al., 2015; Kullberg & Runesson, 2013). Däremot behöver undervisningen kompletteras med ytterligare representationsformer såsom symboler, eftersom de är minst lika viktiga (Fonger et al., 2015).
Deringöl (2019) redogör för att lärare ska bedriva undervisning där elever först får utveckla kunskaper om bråk med hjälp av konkreta representationsformer, för att i ett senare skede övergå till det abstrakta. Vidare framhåller Deringöl (2019) att lärare inte ska ha för snabba övergångar mellan de konkreta och abstrakta, eftersom det kan orsaka missuppfattningar
1 2
om sambanden mellan representationsformerna. Basürk (2016) redogör för att lärares undervisning redan i början ska kombinera flera representationsformer i undervisningen. Forskaren menar att det är gynnsamt för elever att så tidigt som möjligt se samband mellan konkreta och abstrakta representationsformer. Basürk (2016) och Deringöl (2019) har olika syn på när konkreta och abstrakta representationsformer ska introduceras i undervisningen om bråk. De har däremot en liknande syn på att undervisningen bör innehålla både konkreta och abstrakta representationsformer eftersom det gynnar elevers förståelse för bråk.
Kommunikation och diskussion har visats vara gynnsamt för elevers förståelse för bråk eftersom det kan bidra till delaktighet, vilket i sin tur kan motivera elever till att vilja utvecklas. För att skapa en undervisning där elever får möjlighet att kommunicera och diskutera, kan lärare planera aktiviteter där detta involveras (llyas et al., 2014). En annan aspekt som kan bidra till att elever blir delaktiga och motiveras, är genom att använda digitala verktyg. Lärare kan exempelvis använda sig av bilder, röster och musik i undervisningen. Digitala verktyg beskrivs som ett bra medel för att kunna anpassa undervisning om bråk. Lärare kan med hjälp av digitala verktyg fokusera på den enskilde elevens förutsättningar och behov genom att exempelvis skapa digitala berättelser som kan anpassas utifrån varje elev (Karaoglan Yilmaz et al., 2018). Digitala matematiska berättelser kan även användas för att synliggöra bråk på olika sätt. Lärare kan själva skapa berättelser där elever får möjlighet att hjälpa olika karaktärer att lösa matematiska problem. Berättelsernas innehåll kan variera, beroende på vad varje enskild elevs har för kunskaper och erfarenheter inom bråk (Lemonidis & Kaiafa, 2019).
Lärares utbildning kan ha betydelse för undervisningens kvalité. Lärare behöver ha kunskap om vad elever behöver få syn på i undervisningen samt hur de ska undervisa om bråk. Om lärare inte vet hur de ska undervisa, kan det resultera i att elever inte får möjlighet att utveckla sina kunskaper, vilket i sin tur kan leda till missuppfattningar på grund av lärares bristande kompetens. Elever får då inte syn på relevanta aspekter som behövs för att förstå bråk (Mohyuddin & Khalil, 2016).
3.4 Grundläggande kunskaper för bråk
För att elever ska kunna utveckla sitt matematiska tänkande, framhåller Neuman (1989) att god taluppfattning är grundläggande för att förstå matematik. För att elever ska kunna
utvecklas, krävs det att elever först och främst har kunskaper om de tio första talen (0–9) (Neuman, 1989). Om elever har en god taluppfattning om de naturliga talen menar Bailey et al., (2014) att elever har enklare att utveckla förståelse inom andra matematiska områden, exempelvis tal i bråkform.
När tal i bråkform ska storleksordnas, är det viktigt att elever inte enbart har utvecklat kunskaper om naturliga tal. Elever behöver även urskilja vad täljaren och nämnaren har för betydelse (Mohyuddin & Khalil, 2016). Täljaren visar delarna som helheten är uppdelad i och nämnaren visar helheten (Kiselman & Mouwitz, 2008). Har elever inte kunskap om täljaren och nämnaren kan det leda till felaktigheter när tal i bråkform ska storleksordnas. När exempelvis %& och %* ska storleksordnas, kan elever anta att %* är det största bråktalet, eftersom heltalet 9 är större än heltalet 4. Elever utgår då från sina tidigare kunskaper om naturliga tal (Mohyuddin & Khalil, 2016). Förståelsen för täljarens och nämnarens egenskaper beskrivs som grundläggande för att förstå värdet av ett bråktal (Deringöl, 2019).
Forskning visar att elever bör utveckla vissa grundläggande kunskaper i introduktionen om bråk för att veta vad bråk handlar om. För att elever ska få förståelse för bråk behöver elever få möjlighet att utveckla förståelse för täljare och nämnare. En annan grundläggande aspekt som elever behöver utveckla förståelse för i introduktionen om bråk, är att alla delar i ett bråktal alltid är lika stora (Alkhateeb, 2019; Başürk 2016; Deringöl 2019; Kullberg & Runesson, 2013; Mohyuddin & Khalil, 2016). För att elever ska utveckla de grundläggande kunskaperna, behöver undervisningen vara utformad så att elever får möjlighet att få syn på att alla delar alltid är lika stora. Om exempelvis en cirkel ska delas in i tredjedelar, behöver elever förstå att cirkelns delar ska vara lika stora. Om elever inte har kunskap om denna grundläggande aspekt, kan inte delarna benämnas som tredjedelar och utgör då inget bråktal (Alkhateeb, 2019).
För att elever ska kunna utveckla grundläggande kunskaper om bråk behöver elever utveckla förståelse för stambråk och icke stambråk, som är nödvändigt för vidare förståelse. Ett stambråk är ett tal där täljaren alltid är ett och icke stambråk är tal där täljaren alltid är större än ett. Om elever inte får möjlighet att utveckla kunskaper om stambråk och icke stambråk, utvecklas heller inte elevers grundläggande kunskaper om bråk som sedan kan leda till att elever får svårigheter längre fram inom ämnesområdet (Kullberg &
Runesson, 2013; Mohyuddin & Khalil, 2016). Undervisning bör inkludera täljarens och nämnarens roll i bråkuttryck och relationen mellan dem, för att elever ska kunna utveckla förståelse för stambråk och icke stambråk. Brist på grundläggande kunskaper är exempelvis om en elev ska räkna ut stambråket ”%
& av 12” och ringar in fyra av helheten.
Ett annat exempel är om eleven ska räkna ut ” (& av 12”. Eleven ser då täljaren som en indikation och ringar in två i varje grupp (Mohyuddin & Khalil, 2016).
3.5 Språkets betydelse
Lärare behöver uppmärksamma begreppsbildning och terminologin i matematikundervisningen, även benämnt som matematikspråket. I matematikspråket ingår informella ord, formella ord och symboler. Alla tre delar är betydelsefulla och elever bör enligt Skolverket (2016) få möjlighet att arbeta parallellt med alla tre delar. Informella ord i matematiken förknippas ofta med vardagligt språk, exempelvis mindre och mer. Formella ord förekommer däremot inte lika ofta i det vardagliga språket, exempelvis täljare och nämnare. Symboler är matematiska tecken, exempelvis ett bråkstreck. Vissa ord i matematikspråket har en annan betydelse i det vardagliga språket. Inom matematiken handlar bråk om att räkna ut delar av en helhet, medan i vardagen handlar bråk om något annat, exempelvis konflikter. Att förtydliga och skapa samband i undervisningen mellan matematikspråkets tre delar och det vardagliga språket, kan vara en utmaning för lärare. Undervisningen bör vara väl planerad så att elever får möjlighet att använda och utveckla sitt matematikspråk. Lärare kan använda sig av tre grundprinciper för att skapa ett matematiskt språkutvecklande arbetssätt för elever. De tre principerna inkluderar: att undervisa genom sammanhang, att främja aktiv språkanvändning och att ge språklig stöttning. Lärare kan med hjälp av dessa principer skapa uppgifter där elever kan utgå från en situation och sedan förklara samma situation med hjälp av formella ord, informella ord och symboler (Skolverket, 2016).
Elever kan hamna i svårigheter när de ska lösa bråkuppgifter om de inte fått möjlighet att utveckla sin matematiska språkliga förmåga. Elever behöver befästa begreppen täljare och nämnare samt förstå relationen mellan dem för att kunna uppskatta hur stort eller litet ett bråktal är i förhållande till andra bråktal. Elevers begreppsförståelse framhålls som fundamental för att elever ska utveckla förståelse för tal i bråkform (Clark & Roche, 2009). I undervisning om bråk behöver elever få möjlighet att samtala och kommunicera om ord
och begrepps innebörd för att utveckla kunskap om det matematiska språket (Post et al., 1985).
För att elever ska förstå vad bråk faktiskt är, är det gynnsamt att elever erbjuds möjlighet att utveckla begreppsförståelse i undervisningen. Det beskrivs som viktigt att elever kan skilja på tals benämning, bråkbegrepps betydelse samt bråktals delar. Om eleven exempelvis inte har begreppsförståelse för bråk, kan inte eleven skilja på bråktals olika delar. Ett exempel på bristande kunskaper om bråkbegrepp beskrivs i Kullberg och Runesson (2013) där en elev fick frågan om vad som händer med en cirkel när %, plockas bort. Eleven förklarade att en femtedel av cirkeln kvarstod och att cirkeln saknade en del som eleven benämnde som den sjätte delen. När %, plockades bort uppfattade eleven att antalet bitar och delarna i cirkeln ändrades. Kullberg och Runesson (2013) visar med detta exempel att eleven inte kunde urskilja delen från helheten samt att eleven blandade ihop räkneord med bråkbegrepp. Det adekvata matematiska språkbruket är enligt Kullberg och Runesson (2013) betydelsefullt för att elever ska kunna få förståelse för skillnaden mellan räkneord och bråkbegrepp för att kunna räkna och förstå tal i bråkform.
3.6 Sociokulturellt perspektiv
Studien är inspirerad av ett sociokulturellt perspektiv att se på lärande. Läroplanen genomsyras av ett sociokulturellt perspektiv att se på lärande där det framhålls att elever ska känna delaktighet och ingå i en gemenskap samt att undervisning ska utgå från elevers erfarenheter och kunskaper (Skolverket, 2019). Med ett sociokulturellt perspektiv ses kunskap som något som individen kan tolka, argumentera och resonera om, för sedan använda det i vardagliga sammanhang. Kunskap skapas både i och utanför skolan genom sociala sammanhang där interaktion och kommunikation är två viktiga delar för att elever ska kunna utveckla sitt lärande. Kommunikation utgör en stor del av det sociokulturella perspektivet där handlingar som människor gör utspelar sig i ett sammanhang och genom en kontext (Nilholm, 2016). Människor lever i en ständig förändring och utveckling, där nya kunskaper kan utvecklas genom samspel. I det sociokulturella perspektivet är det sociala samspelet en av de viktigaste delarna när det kommer till elevers utveckling och lärande. Genom interaktion och kommunikation människor emellan kan elever skapa nya erfarenheter och kunskaper. I det sociokulturella perspektivet är samspelet i klassrummet en förutsättning för att möjliggöra lärande. För att skapa interaktion i undervisningen
behöver lärare uppmuntra till samspel, delaktighet och samarbete. Relationer mellan elever samt mellan lärare och elev är betydelsefull för att kunna skapa en god interaktion (Säljö, 2014).
Säljö (2014) tolkar Vygotskij som var en av huvudpersonerna inom det sociokulturella perspektivet. Han beskrev att elever tar del av sina tidigare kunskaper och erfarenheter för att kunna anskaffa ny kunskap. Denna process benämndes av Vygotskij som den proximala utvecklingszonen (the zone of proximal development, ZPD). Den proximala utvecklingszonen inkluderar inte enbart elevers tidigare kunskaper och erfarenheter, utan också det som elever kan utveckla genom rätt stöttning och vägledning av en annan individ med en mer omfattande kompetens som skulle kunna vara en lärare eller klasskamrat. Det krävs att eleven som får vägledning av en person med högre kompetens är mottaglig för att utveckla kunskaper. För att elevers lärande ska kunna utvecklas, behöver lärare ha kunskap om elevers utvecklingszon för att kunna vägleda och stötta eleven i sin kunskapsutveckling. Lärare behöver ta reda på vilka erfarenheter och kunskaper eleven har i dagsläget, för att sedan kunna utmana och hjälpa eleven framåt genom rätt stöd. På så sätt kan elevers kunskper utvecklas genom att en person med högre kompetens vägleder en elev i rätt riktning (Säljö, 2014).
I det sociokulturella perspektivet är mediering ett centralt begrepp. Mediering innebär att människor använder redskap eller verktyg för att förstå omvärlden och hur man verkar i den. Utveckling och lärande kan ske med hjälp av två olika redskap, språkliga redskap och materiella redskap. Tecken och symboler och hör till språkliga redskap och används för att tänka och kommunicera. Materiella redskap används för att kunna skriva och förmedla kommunikation, exempelvis en penna eller ett tangentbord. Genom att använda de språkliga och materiella redskapen, kan människor skapa förståelse för omvärlden och lär sig kommunicera i den. I det sociokulturella perspektivet samspelar de språkliga och fysiska redskapen med varandra. När de språkliga och fysiska redskapen korresponderar med varandra benämns de tillsammans som ett kulturellt redskap. Genom att använda kulturella redskap i undervisningen kan möjligheter för lärande skapas. För att bli erfaren och förtrogen med dem behöver miljöer skapas och aktiviteter användas i undervisningen för att ge elever möjlighet att utvecklas (Säljö, 2014).
Skott et al. (2010) tolkar Vygotskijs sätt att se på hur elever kan utveckla begreppsbildning i undervisningen. Vygotskij beskrev att begreppsbildning och språket hör ihop med
varandra. För att elever ska kunna utveckla en begreppsbildning behöver undervisning bygga på språklig mediering. Därmed är språket i undervisning viktig för elevers begreppsbildning när abstrakta begrepp ska förklaras.
4. Metod
I detta kapitel presenteras val av metod, studiens urval och genomförande. Vidare presenteras bearbetning och analys, studiens tillförlitlighet och avslutningsvis etiska ställningstaganden.
4.1 Metodval
Eftersom syftet med intervjuerna var att samla kunskap om hur lärare undervisar om bråk, valdes semistrukturerade intervjuer av den anledningen då respondenternas svar var av stor betydelse för undersökningen. Således fick respondenterna möjlighet att beskriva just sin undervisning med sina ord. Det framhålls som en fördel att använda semistrukturerade intervjuer eftersom frågornas ordning kan ändras beroende på vilket sätt intervjun fortskrider (Bryman, 2018, kap 11).
Inför intervjuerna förbereddes en uppsättning frågor i form av en intervjuguide (se bilaga 1). Frågorna i intervjuguiden var öppet ställda och syftade till att respondenterna med sina ord skulle förklara hur de bedriver sin undervisning om bråk. I intervjuguiden konstruerades bland annat frågan: ”Hur planerar du en undervisning där elever får möjlighet att utveckla dessa bråkbegrepp?”. Beroende på lärarnas svar kunde skribenten genom teoribelagda begrepp identifiera vad respondenten aktivt gör i sin undervisning som grundar sig i ett sociokulturellt perspektiv att se på lärande.
Under intervjuerna kunde frågor utöver intervjuguiden ställas beroende på respondenternas svar. Intervjuaren kunde exempelvis be respondenterna utveckla sina svar, ge fler exempel eller be respondenterna vara mer specifika. Att kunna ställa frågor utöver intervjuguiden är signifikativt för semistrukturerade intervjuer (Bryman, 2018, kap 11). En fördel med en förutbestämd intervjuguide var att alla frågor som ställdes i intervjuerna, ställdes till samtliga respondenter.
4.2 Urval
För att behandla studiens syfte och frågeställningar valdes fyra lärare ut för intervjuer med minst tre års erfarenhet och som arbetar på olika skolor i Jönköpings län. Detta kriterium valdes för att de medverkande lärarna skulle bedrivit matematikundervisning under en viss period samt för att kunna bidra med den erfarenhet som de hunnit samla på sig. Ett annat
kriterium var att lärarna skulle ha behörighet att undervisa i matematik samt att de aktivt undervisar i ämnet. Att lärarna som medverkar i studien arbetar på olika skolor i Jönköpings län, var för att ingen av de medverkande skulle arbeta eller planera undervisning tillsammans, som hade kunnat resultera i att lärarna hade liknande svar. Bryman (2018, kap 8) beskriver att ett återkommande dilemma för studenter när det kommer till att genomföra en vetenskaplig undersökning är urvalsstorlek. Det kan vara svårt att veta hur många lärare som behöver intervjuas för att kunna behandla syfte och frågeställningar. Till en början intervjuades en lärare i taget för att se hur mycket relevant data en intervju bidrog med. När fyra intervjuer genomförts och transkriberats, hade tillräckligt mycket relevant data till undersökningen samlats in. Utifrån detta sätt att samla in data blev urvalets storlek fyra lärare.
Urvalet motiverades utifrån ett bekvämlighetsurval (Bryman, 2018, kap 8). I det här fallet innebär det att det redan finns en etablerad kontakt med de respondenter som valts ut. Tre av lärarna som förfrågades var lärare som skribenten kände sedan tidigare. Den fjärde läraren fick skribenten kontakt med genom en före detta kollega. Det fanns en etablerad kontakt med tre av lärarna som intervjuades. Att ha en redan etablerad kontakt med den som intervjuas kan leda till att intervjusituationen blir mer avslappnad. Däremot kan det finnas en risk att intervjuerna drar ut på tiden om intervjuaren och respondenten har en alltför nära relation (Bryman, 2018, kap 9).
Eftersom alla lärare som medverkade undervisar i matematik i årkurs 1–3 och har legitimation med behörighet att undervisa i matematik, ansågs de fyra lärarna kunna bidra till studien med sina kunskaper om bråkundervisning. Respondenterna som valdes ut för intervjuer, valdes systematiskt utifrån det som studien undersöker. Urvalet är därmed målstyrt (Bryman, 2018, kap 18). Alla lärare som blev tillfrågande att medverka fullföljde intervjuerna vilket resulterade i att det inte blev några bortfall. Nedan följer en beskrivning av de medverkande lärarna samt deras yrkesomfattning. Lärarna benämns med bokstäverna A, B, C och D.
Lärare A: Har varit lärare i 3 år. Läste utbildningen grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i förskoleklass och grundskolans årskurs 1–3. Läraren undervisar i matematik och arbetar för tillfället i årskurs 3.
Lärare B: Har varit lärare i 17 år. Läste utbildningen grundlärarprogrammet 1–7 med inriktning matematik. Läraren undervisar i matematik och arbetar för tillfället i årskurs 1. Lärare C: Har varit lärare 12 år. Läste utbildningen grundlärarprogrammet 1–7. I utbildningen ingick tidig matematikundervisning. Läraren undervisar i matematik och arbetar för tillfället i årskurs 3.
Lärare D: Har varit lärare i 20 år. Läste utbildningen grundlärarprogrammet 1–7 med inräkning matematik. Läraren undervisar i matematik och arbetar för tillfället i årskurs 3. 4.3 Genomförande
Det skickades en förfrågan till lärarna per mail om de ville delta i studien (se bilaga 2). I mailet presenterades studiens avsikt samt kriterierna för medverkan till studien. Alla fyra lärare som blev förfrågade uppfyllde kriterierna och ställde sig positiva till att medverka. På grund av Covid-19 genomfördes intervjuerna via Zoom. Respondenterna önskade att få ut intervjufrågorna i förväg via mail, då de ville få möjlighet att förbereda sig inför sin intervju. Utifrån önskemålet, skickades intervjufrågorna ut i förväg till samtliga lärare. En intervjutid på 1 timme avsattes för att sätta en rimlig tidsram för intervjuerna.
Innan varje intervju meddelades respondenterna om studiens etiska ställningstaganden där de informerades om att alla som medverkar i studien förblir anonyma till namn och vilken skola de arbetar på. Innan intervjuerna fick respondenterna frågan om intervjuerna kunde spelas in. De blev dessutom informerade om att ljudfilen raderas när den inte längre behövs och att den enbart används i syfte för studien, vilket alla godkände. När varje respondent givit ett godkännande genomfördes intervjuerna.
4.4 Bearbetning och analys
För att analysera data togs inspiration från en tematisk analys. Att analysera data genom en tematisk analys är enligt Bryman (2018, kap 24) det vanligast förekommande tillvägagångssättet att använda sig av när det kommer till att analysera data och konstruera olika teman. En tematisk analys fokuserar på att finna mönster i det insamlade materialet. Stegen som användes i analysarbetet är motiverade utifrån vad Bryman (2018, kap 24) beskriver som betydelsefullt i ett tematiskt analysarbete. Analysen startade redan under
genomförandet av intervjuerna där olika teman blev synliga och intressanta delar noterades i ett anteckningsblock. Andra steget i analysen var att lyssna igenom ljudfilerna en gång för att innehållet skulle vara bekant innan transkriberingarna och analysarbetet blev mer grundligt. Alla deltagare i studien avidentifierades utifrån etiska aspekter och kodnamn för varje lärare skapades. All data som samlats in bearbetades i flera steg. Först skrevs det transkriberade materialet ut för att på ett enklare sätt kunna använda färgkodning. Svar som inte var relevanta för studien uteslöts i transkriberingarna. Innan beslut om icke relevanta svar, lyssnades intervjuerna igenom flera gånger för att med säkerhet inte exkludera material som var av betydelse för studien. Detta beslut utgick från vad Bryman, (2018, kap 20) beskriver som viktigt innan material exkluderas. Uttryck som exkluderades var exempelvis ”ehh”, ”mm” och ”hmm”. Även upprepningar och stakningar ansågs som icke relevanta och exkluderades också. Varje transkribering lästes igenom flera gånger för att skapa en helhetsbild över utskrifterna. Därefter djuplästes det transkriberade materialet igen där respondenternas svar analyserades utifrån det sociokulturella perspektivet där data tolkades genom teoribelagda begrepp. Nästkommande steg i bearbetningen var att markera relevanta och intressanta delar samt granska materialet genom färgkodning. Här färgkodades gemensamma och teorirelaterade begrepp, betydelsebärande ord, meningar och stycken. Efter färgkodningen kategoriserades materialet och tre huvudkategorier konstruerades utifrån analysen. Kategorierna som togs fram kunde kopplas till studiens frågeställningar och det sociokulturella perspektivet att se på lärande. Insamlat material kommer raderas när studien är godkänd.
4.5 Studiens tillförlitlighet
När en kvalitativ metod används för att samla in data bedöms data utifrån tillförlitlighet. I kapitlet presenteras undersökningens tillförlitlighet utifrån Brymans (2018, kap 3) kriterier trovärdighet, överförbarhet, pålitlighet samt möjlighet att styrka och konfirmera.
Studiens trovärdighet syftar till om resultatet i studien är trovärdigt. Genom den valda forskningsmetoden och analysarbetet framkom ett resultat. Användning av semistrukturerade intervjuer stärker trovärdigheten eftersom det gav respondenterna möjlighet att på ett trovärdigt sätt besvara de frågor som intervjuaren ställde, utifrån egna erfarenheter och kunskaper om undervisning om bråk. Studien skapar även tillförlitlighet genom att alla intervjuer som genomfördes, gjordes på samma sätt via Zoom och samma intervjuguide användes i samtliga intervjuer samt att intervjuerna spelades in och
transkriberades noggrant. Studiens överförbarhet grundar sig i de gemensamma kriterier som valdes ut för respondenterna. Det var viktigt att finna respondenter som kunde bidra med god kunskap utifrån sina erfarenheter och kunskaper om bråk. Genom att använda sig av samma kriterier och tillvägagångssätt, kan studien utföras igen. Om undersökningen skulle genomföras vid ett annat tillfälle, skulle genomförandet med hjälp av samma intervjuguide och respondenter kunna få ett liknande resultat. Resultatet hade däremot kunnat vara annorlunda om en annan intervjuare hade ställt samma frågor i intervjuerna. Pålitligheten motiveras utifrån hur själva processen gick till samt det kritiska synsättet som skribenten hade under undersökningens gång. Pålitligheten stärks genom skribents val av metod, urval och analys. För att stärka studiens möjlighet att styrka och konfirmera har skribenten försökt vara neutral och inte påverka studiens resultat med personliga värderingar och åsikter.
4.6 Etiska ställningstaganden
I enighet med Vetenskapsrådet (2002) har forskningsetiska ställningstaganden tagits i beaktning i denna studie. De etiska ställningstagandena behandlar grundläggande krav om deltagares integritet, frivillighet, anonymitet och konfidentialitet. Studien tog hänsyn till de etiska grundläggande principerna innan insamling av data inleddes.
Informationskravet handlar om att alla deltagare ska få veta att det är frivilligt att delta i en undersökning samt att de har all rätt att hoppa av när de vill, utan att ange skäl till varför. Innan en undersökning påbörjas ska deltagarna få veta vad undersökningen innefattar i sin helhet (Vetenskapsrådet, 2002). Informationskravet togs i beaktning när förfrågan skickades ut till respondenterna då de fick information om studiens syfte och förfrågan om att delta i en intervju. Samtidigt poängterades även att medverkan var frivillig.
Konfidentialitetskravet innefattar att alla uppgifter om deltagarna förblir anonyma vilket betyder att inga uppgifter ska finnas med som kan avslöja deltagarnas identitet (Vetenskapsrådet, 2002). Deltagarna fick på förhand veta att det endast är skribenten och examination som kommer ha tillgång till de inspelade intervjuerna och att filerna kommer raderas när examinatorn godkänt examensarbetet. Detta innebär att deltagarnas personuppgifter bevaras på ett tryggt sätt. I studien blev deltagarna tilldelade kodnamn. De fick namnen: lärare A, lärare B, lärare C och lärare D som inte avslöjar deras riktiga identiteter.
Genom samtyckeskravet har deltagare själva rätt att bestämma om de vill medverka i en undersökning. Om en minderårig ska medverka i en undersökning måste vårdnadshavare först godkänna deltagandet (Vetenskapsrådet, 2002). Genom att skicka ut förfrågan via mail kunde respondenterna svara ja eller nej till medverkan. Ingen minderårig blev förfrågad till undersökningen, vilket gjorde att ingen samtyckesblankett behövdes skrivas under av en vårdnadshavare.
Nyttjandekravet behandlar de uppgifter om att deltagare och material som samlas in endast får användas i ändamål till forskning (Vetenskapsrådet, 2002). Förfrågan om ljudinspelning gjordes muntligt innan varje intervju där respondenterna fick information om att det transkriberade materialet endast kommer användas för denna studie. Respondenterna blev informerade om att data från studien kommer kunna användas av andra i framtiden eftersom arbetet publiceras efter godkännande av examinator.
5. Resultat
I kommande kapitel behandlas studiens frågeställningar: Hur introducerar lärare bråk och hur beskriver lärare att de planerar sin undervisning om bråk? Resultatet presenteras utifrån tre teman som framkom av analysen tillsammans med citat från intervjuerna. De teman som framkom var: Introduktionen om bråk, undervisning om bråk som möter alla elever och viktiga aspekter i undervisningen om bråk.
5.1 Introduktionen om bråk
Av data framkom det att bråk introduceras redan i förskoleklass. Undervisningen är då konkret, praktisk, muntlig och enkel. Resultatet visade på fördelar att introducera bråk i förskoleklass, eftersom elever då får möjlighet att bekanta sig och samtala om grundläggande begrepp innan undervisningen blir mer djupgående i årskurs 1, 2 och 3. En viktig aspekt som visades var att frukter används när en hel, en halv och en fjärdedel ska konkretiseras. Data visade även att elever bör utveckla förståelse för abstrakta begrepp såsom en fjärdedel. Det förklarades att abstrakta begrepp kan visualiseras med konkreta föremål, exempelvis genom att ett äpple som delas upp i fyra lika stora delar. Data visade även att användning av frukter i undervisningen i förskoleklass kan göra att elever enklare kan knyta an till situationer utifrån sin vardag. Vidare framhölls att förståelsen för en hel, en halv och en fjärdedel är grundläggande aspekter som elever behöver utveckla kunskap om tidigt, eftersom de ligger till grund för en vidare förståelse för bråk. Resultatet visar på att den muntliga diskussionen om bråks olika delar är en viktig för elevers förståelse i detta stadie. En annan viktig aspekt som framkom i resultatet om introduktionen om bråk var att göra elever uppmärksamma på att det finns ett matematiskt område som behandlar bråk.
Det är viktigt att göra elever nyfikna på att det finns något som heter bråk, som betyder något annat än att bråka. (Lärare A)
Utdraget syftar till att göra elever uppmärksamma på skillnaden mellan bråk i matematik och att bråka med kamrater. Data visade att elever behöver förstå skillnaden mellan vardagliga och matematiska begrepp redan i introduktionen av bråk.
Vidare framkom det i resultatet att bråk introduceras som ämnesområde i slutet av årskurs 1 eller årskurs 2, beroende på lärarnas upplägg av matematikundervisningen. Data visade
att i årskurs 1 behandlar undervisning taluppfattning, dela upp tal, addition och subtraktion. En tydlig bild i temat var att elever behöver få möjlighet att skapa kunskaper om de tio första talen (0–9) innan bråk introduceras mer djupgående, eftersom taluppfattning framhävs som viktig när det kommer till förståelse för naturliga tal. När bråk introduceras som ämnesområde visade resultatet att mycket tid går till att undervisa om att delarna i ett bråktal alltid måste vara lika stora samt täljaren, nämnaren och bråkstreckets betydelse. En tydlig bild i temat visar på vikten av en förståelse för de grundläggande begreppen täljare, nämnare och bråkstreck samt att elever behöver få kunskap om dessa begrepp tidigt för att veta vilka begrepp som är centrala inom bråk. En mindre framträdande bild i temat var att utveckla kunskaper om vad bråk inte är när bråk introduceras. Genom konkret material kan elever jämföra en helhet där delarna är lika stora och en helhet där delarna inte är lika stora. Data framhåller att diskussionen om skillnader och likheter är betydelsefull för elevers förståelse. Det blir tydligt för elever att bråk handlar om att delarna i helheten alltid måste bestå av lika stora delar.
Data visar att introduktionen om bråk är viktig eftersom kunskaper om vad bråk är anses utgöra grunden för vidare förståelse. Användandet av olika laborativa material framhålls för att elever ska får möjlighet att konkretisera en hel och delarnas lika storlek på flera varierande sätt.
Om undervisningen tillåter att eleverna får jobba med kroppen, laborera och plocka, blir det lättare för dem att komma ihåg. (Lärare D)
Citatet syftar till att visa att användandet av laborativt material i undervisningen om bråk är gynnsamt och att elever minns bättre när de använder kroppen och laborerar på olika sätt med hjälp av konkret material. En viktig aspekt i introduktionen för bråk visade sig vara att använda konkret material för att synliggöra att exempelvis en halv av helheten är lika mycket som två fjärdedelar av helheten. Data visade även att elever med hjälp av konkret material kan klippa, jämföra och konkretisera bråks olika delar samt diskutera delarna och helheten tillsammans.
En viktig aspekt som visades var att undervisningen i det inledande skedet fokuserar på de grundläggande kunskaperna och att elever måste få chans att upptäcka att bråk handlar om en helhet och delars lika storlek.
Undervisningen om olika fruktdelar samt att kunna benämna delarna av helheten korrekt är viktig. Vidare benämns delarna med tecken, exempelvis en fjärdedel av äpplet är %&. (Lärare C)
Utdraget kan antyda att olika representationsformers användning redan i introduktionen om bråk är betydelsefullt eftersom eleverna redan från början får möjlighet att utveckla kunskaper om hur olika delar benämns och hur tal i bråkform kan se ut som tal.
En tydlig bild i temat var att så tidigt som möjligt använda matematikspråket i undervisningen. Matematikspråket är gynnsamt att använda även om alla elever inte befäster begreppen i introduktionen om bråk. Data visar att det inte går att tänka att begreppen ska behandlas i ett senare skede, utan begreppen behöver användas hela tiden. Viktigt är även att lärarna hela tiden själva använder bråkbegreppen i undervisningen för att eleverna ska få förståelse för bråk och känna att bråk går att använda i det verkliga livet. 5.2 Undervisning om bråk som möter alla elever
En tydlig bild i temat för att undervisningen om bråk ska kunna möta alla elever var att först ta reda på elevers förkunskaper. Data visade på olika sätt hur lärarna går tillväga för att veta vad elever besitter för kunskaper om bråk samt vad de har för erfarenheter inom området. En viktig aspekt som data visade var kommunikationen mellan förskoleklass och årskurs 1 för att få reda på vad enskilda elever tidigare visat kunskaper om inom matematiken. Data visade att det var av stor vikt att veta vad matematikundervisningen har inkluderat i förskoleklass, för att veta vad undervisningen har behandlat samt vad eleverna har för förkunskaper.
En ytterligare tydlig bild i temat var att undervisningen hela tiden måste utgå från var eleverna ligger i sin kunskapsutveckling samt att det är elevernas kunskapsutveckling som lärares planering ska utgå från. Data visade att en viktig aspekt är att undervisningen om bråk hela tiden ska försöka utgå från vad eleverna visar för kunskaper vid varje lektionstillfälle. Således visade data att undervisning om bråk kan anpassas beroende på vad elever behöver befästa för kunskaper inför nästkommande lektioner. Data visade även att ett samspel mellan lärare och elev är betydelsefullt för att få kunskaper om var eleven befinner sig i sin utveckling. Att ha en god kommunikation med sina elever framhålls som
viktigt i resultatet eftersom det kan bli enklare att veta var eleven befinner sig samt hur eleven känner sig i sitt eget lärande.
Genom att använda ett förtest flera gånger kan elever själva se sin egen utveckling. Det kan ge eleverna en boost. (Lärare A)
Citatet syftar till att visa att ett test kan används i syfte att se vad eleverna har för förkunskaper om bråk men även för att se vad eleverna lärt sig. Data visade att när samma test använts flera gånger kan lärare med hjälp av testet kommunicera med varje enskild elev och konkret visa på elevers framgångar i kunskapsutvecklingen, vilket i sin tur kan vara gynnsamt för elevens intresse och motivation.
En tydlig bild i temat för att anpassa undervisningen om bråk visade sig vara att ha ett kooperativt lärande. Data visade att elever genom det kooperativa lärandet får möjlighet att lära i samspel med andra genom exempelvis diskussioner, reflektioner och samarbeten. En viktig aspekt som data visade var att det kooperativa lärandet kan ge alla elever möjlighet att få chans att uttrycka sig i klassrummet eftersom grupperna då är mindre, vilket kan göra att eleverna känner en meningsfullhet i sitt eget lärande. Elever får både chans att tänka, förklara och sätta ord på hur de löst en uppgift. Det framhölls även att lärarens roll i det kooperativa lärandet är betydelsefullt. Lärare kan bland annat cirkulera i klassrummet och föra dialoger med elever för att se var de är i sin kunskapsutveckling. Data visar att undervisningen om bråk behöver ge elever talutrymme för att de ska få chans att diskutera och samtala. Undervisningen utgår då inte endast från lärares ord och förklaringar utan elever bör ses som en tillgång i undervisningen samtidigt som de får möjlighet att själva utmanas när de får förklara och beskriva hur de tänker.
En viktig aspekt som data visade var att undervisning om bråk ska innehålla flera aktiviteter och exempel inför varje lektionstillfälle. Data visade på att en del elever kan behöva sitta i grupp och laborera med bråkdelar för att få syn på att de alltid måste vara lika stora medan en del elever kan behöva arbeta med arbetsscheman där förberedda uppgifter finns, exempelvis QR-koder och problemlösning.
Lärare måste spänna bågen rejält under alla genomgångar för att skapa en
Utdraget syftar till att styrka att undervisningen om bråk ska inkludera flera olika exempel med varierande svårighetsgrad under varje lektionstillfälle för att undervisningen ska kunna anpassas utifrån alla elevers enskilda behov och kunskaper.
En tydlig bild i temat var användandet av digitala medel när undervisningen ska anpassas. För att skapa en undervisning med en varierad svårighetsgrad utifrån alla elevers olika kunskapsutveckling framkom det att lärplattor kan användas. Materialet på lärplattor kan enkelt anpassas utan att det blir utpekande och synligt för andra. En mindre framträdande bild om digitala medel i studiens data var att digitala medel kan användas vid grupp- eller par aktiviteter.
5.3 Viktiga aspekter i undervisningen om bråk
En tydlig bild i temat var att elever måste utveckla kunskap om vissa bråkbegrepp för att få förståelse för bråk. Viktiga bråkbegrepp som framkom var: Nämnare, täljare, bråkdel, helhet, bråkstreck, stambråk, icke stambråk samt hur bråktal benämns, exempelvis en tredjedel. Data visade även att det är viktigt att använda bråkbegrepp i flera sammanhang för att elever ska kunna utveckla förståelse för vad exempelvis en tredjedel innebär. En aspekt som framkom var att redan från början låta eleverna bekanta sig med bråkbegrepp och att det är viktigt att benämna begreppen korrekt samt uppmuntra eleverna till att själva använda bråkbegreppen. Data visade att elever ska känna att bråkbegrepp är användbara i vardagen och att elever behöver få möjlighet träna på begreppen både muntligt och skriftligt samt möta dem i olika situationer.
Jag vill att eleverna ska få en undervisning där det känns naturligt för dem att använda sig av begrepp. (Lärare A)
Citatet syftar till att visa att elever gynnas av att använda och möta bråkbegrepp i flera olika kontexter i skolan för att de ska känna mening med att använda bråkbegreppen i naturliga situationer.
En viktig aspekt som data visade var att alla framställningar av bråk är betydelsefulla. Viktigt var däremot att elever behöver utveckla grundläggande kunskaper om bråk innan olika framställningar introduceras i undervisningen. En tydlig bild i temat var att lärare måste planera flera exempel på uppgifter om att bråk inte endast handlar om del av helhet
och att elever måste få möjlighet att få syn på att man kan tänka på olika sätt beroende på vad det är för sorts uppgift.
Jag brukar visa flera matematiska problem för att elever ska förstå att olika
framställningar av bråk passar till olika uppgifter. … exempelvis %- av en
helhet men när det kommer till antal kan %- handla om 4 stycken eftersom
antalet är 12 från början. (Lärare B)
Citatet visar på att det är viktigt att synliggöra bråks olika framställningar och använda olika uppgifter i undervisningen där de olika framställningarna behandlas för att elever ska få förståelse för att bråk kan användas i olika situationer.
Data visade vikten av att använda olika geometriska figurer i undervisningen om bråk eftersom elever behöver få syn på att helheten kan se olika ut och att delarna som bråket är uppdelat i alltid är lika stora. Data visade att det är viktigt för eleverna att bekanta sig med både cirklar, rektanglar, kvadrater, trianglar och andra geometriska figurer, för att eleverna ska få syn på att bråkdelar måste vara lika stora samt att bråkdelar kan delas upp från olika håll, exempelvis lodrätt och vågrätt.
Jag vill att eleverna ska få förståelse för att bråk inte endast handlar om cirklar eller att man fastnar i att undervisa om en pizza. (Lärare A)
Citatet styrker vikten av att undervisa med hjälp av olika figurer tidigt, för att eleverna ska få möjlighet att utveckla förståelse för att exempelvis %
- kan se olika ut beroende på
helheten.
Data visar på vikten av användandet av den formativa bedömningen samt att målet med den formativa bedömningen är att fånga upp elevers kunskaper innan den summativa bedömningen görs, för att alla elever ska få möjlighet att nå målen. Data visade även att den formativa bedömningen både är gynnsam för att lärarna ska veta vad eleverna kan samt för lärares egen skull i planeringen av bråkundervisningen. Det framkom även i temat att den summativa bedömningen är viktig och att den görs efter avslutat område genom prov eller diagnoser för att mäta elevers slutliga kunskaper.
Efter avslutat område när den summativa bedömningen görs, planerar jag alltid in en vecka i form av uppföljning för att eleverna ska få möjlighet att utveckla mer kunskaper innan nästa område i matematiken påbörjas. (Lärare C)
Citatet syftar till att förklara att det är viktigt att följa upp det som framkommer på proven om bråk. Om en elev inte visat kunskaper om en aspekt, kan inte läraren bara lämna det. Data visade att lärare förhoppningsvis får reda på vad elever utvecklat för kunskaper innan den summativa bedömningen genom den formativa bedömningen. Däremot framkom det som en bra struktur att använda sig av vid bedömning och för att alla elever ska få möjlighet att nå kunskapsmålen. Mindre framträdande var att summativ bedömning inte behöver vara i form av skriftliga prov.
För att summera elevers kunskaper brukar jag använda mig av muntliga prov eller ha en dialog med mina elever eftersom eleverna får möjlighet att förklara hur de tänker och jag kan ställa följdfrågor. (Lärare B)
Citatet syftar till att visa betydelsen av att skriftliga prov inte ger tillräckligt med kunskap om vad elever utvecklat kunskaper om. Data framhåller att när en summativ bedömning görs ska eleverna få möjlighet att vara aktiva och arbetar i par eller grupp för att läraren ska kunna cirkulera och föra en dialog med eleverna, exempelvis fråga hur de tänker.
6. Diskussion
Diskussionskapitlet består av tre delar. Först behandlas studiens metodavsnitt i form av en metoddiskussion. Vidare diskuteras resultatet som kopplas till tidigare forskning, studiens syfte och frågeställningar samt till det sociokulturella perspektivet som studien är inspirerad av. Kapitlet avslutas med avslutande ord.
6.1 Metoddiskussion
Studiens syfte var att bidra med kunskap om hur lärare beskriver sin undervisning om bråk i grundskolans tidiga år. Eftersom studiens syfte var att undersöka lärares beskrivningar, valdes en kvalitativ metod då metoden ansågs stämma överens med undersökningens intresse. För att undersöka studiens frågeställningar valdes semistrukturerade intervjuer eftersom det fanns en vinning i att ha möjlighet att ändra på frågornas ordning utifrån den förberedda intervjuguiden beroende på respondenternas svarar. Det sociokulturella perspektivet hade betydelse och användes som ram när intervjuguiden skulle konstrueras. När materialet skulle analyseras var den valda teorin vägledande och materialet tolkades genom teoribelagda begrepp. För att studien skulle ha inspiration till det sociokulturella perspektivet och lärares uppdrag om språket och anpassning utifrån elevers egen kunskapsutveckling (Skolverket, 2019) innefattade frågorna hur lärare undervisar och planerar en undervisning där språket är centralt samt utifrån varje elevs individuella utvecklingszon (Säljö, 2014). Till en början övervägdes om kvantitativa enkäter skulle användas som metod. Metoden valdes bort eftersom lärarnas enkätsvar hade kunnat bli för ytliga och korta, vilket inte skulle passa denna studie. När analysen gjordes var det en fördel att kunna återgå till transkriberingarna för att finna rätt material som skulle ligga till grund för studiens resultat.
Det går inte att generalisera och dra slutsatser utifrån det målstyrda urvalet och bekvämlighetsurvalet eftersom de fyra respondenterna inte kan representera alla F-3 lärares beskrivningar om bråk i Sverige. För att få mer tillförlitlighet till studien hade fler intervjuer kunnat genomföras med fler lärare från andra skolor. Det låga antalet av medverkande gör att resultatet inte går att generalisera (Bryman, 2018). Studiens syfte är däremot inte att kunna generalisera utan att kunna bidra med kunskap om lärares beskrivningar.
Vid förfrågan om lärarnas medverkan i studien var samtliga positiva och tackade ja, vilket gjorde att det inte blev några bortfall i studien. Tidigare relationer till respondenterna kan ha påverkat och bidragit till en positiv inställning till medverkan (Bryman, 2018). Hade däremot förfrågan skickats till okända lärare kan det inte uteslutas att det hade blivit bortfall bland de tillfrågande lärarna.
Vid förfrågan om respondenterna ville medverka i studien nämnde två av lärarna att de gärna ville få intervjufrågorna i förväg via mejl. Detta motiverades med att de ville få chans att förbereda sig. För rättvisans skull valde skribenten att delge alla fyra lärare intervjufrågorna via mail tre dagar innan vardera intervjun. I detta skede var skribenten medveten om att intervjusvaren kunde bli annorlunda eftersom lärarna fick chans att planera sina svar i förväg. Varför skribenten valde att delge intervjufrågorna till lärarna var eftersom de bad om det och skribenten ville visa tillit och lyssnade därmed till deras önskemål.
6.2 Resultatdiskussion
6.2.1 Introduktionen om bråk
Resultatet visade på att elevers taluppfattning för de tio första talen är grundläggande för vidare förståelse för olika matematiska områden, exempelvis bråk. Alla bråktal inkluderar naturliga tal i täljarens och nämnarens position, vilket gör att elever behöver ha utvecklat en god taluppfattning för att förstå vilka olika värden ett bråktal kan ha. Detta är något som även Neuman (1989) framhåller som grundläggande för förståelsen för bråk. I resultatet framkom det att bråk introduceras som ett matematiskt område i slutet av årskurs 1 eller i årskurs 2, vilket kan bero på att undervisning i årskurs 1 behandlar elevers förståelse för talen 0–9. De tio första talen kan däremot göra att svårigheter kan uppkomma när elever exempelvis ska storleksorda tal i bråkform. Om elever inte utvecklat grundläggande kunskaper för täljare och nämnare beskriver Mohyuddin och Khalil (2016) att elever kan hamna i svårigheter om de endast använder sina kunskaper om de naturliga talens värden. Ett tal skrivet som ett naturligt tal, exempelvis 9 och 4, har inte samma egenskaper som när samma tal står skrivet i nämnarens position. En slutsats som eventuellt kan dras utifrån tidigare forskning och studiens resultat är att förståelsen för de tio första talen och för täljare och nämnare är minst lika viktiga när det kommer till förståelsen för bråk.
Resultatet visade att elever i introduktionen om bråk bör utveckla kunskaper om att de delar som helheten är indelad i, alltid ska vara lika stora. Resultatet visade att undervisningen redan från början behöver inkludera olika typer av material för att på så vis kunna visualisera att en helhet kan se olika ut. En helhet kan exempelvis vara ett papper, en frukt eller andra föremål. Däremot är delarna som helheten är indelad i alltid lika stora i förhållande till helheten. Alkhateeb (2019), Başürk (2016), Deringöl (2019), Kullberg och Runesson (2013) och Mohyuddin och Khalil (2016) redogör också för förståelsen att en helhet som delas in i lika stora delar är grunden för att förstå bråk. Det är just denna aspekt som undervisning ska behandla i introduktionen för bråk för att elever ska utveckla en grundläggande förståelse. Både studiens resultat och forskning framhåller att det gynnar elevers lärande att använda konkret och vardagsnära material i undervisningen när helheten och dess delar ska visualiseras.
En annan aspekt som framkom i resultatet var användandet av det matematiska språket. Det matematiska språket bör redan från början uppmärksammas för att elever ska utveckla förståelse för bråk. Det beskrivs som viktigt att lärare hela tiden lyfter fram olika bråkbegrepp samt att språket används korrekt av eleverna. Clarke och Roche (2009) beskriver liknande aspekter samt att språklig korrekthet hämmar att elever hamnar i svårigheter. Både Skolverket (2016) och studiens resultat redogör för att bråkbegrepp benämns korrekt i grundskolans tidiga år eftersom elever kan blanda ihop ordet bråk som har en annan betydelse i det vardagliga språket. Resultatet visar på att matematiska begrepp är viktiga för elevers förståelse för bråk vilket även Skolverket (2016), Clark och Roche (2009) och Post et al., (1985) påvisar. Matematikspråket och dess betydelse kan kopplas till det sociokulturella perspektivet där språket utgör en stor del av lärandet där utveckling och lärande kan ske med språket som redskap (Säljö, 2014). Även Skolverket (2019) belyser att elever behöver utveckla sin förmåga att analysera och använda matematiska begrepp samt att de ska kunna se sambanden mellan dem. Utifrån resultatet och det som framfördes i bakgrunden, kan en eventuell slutsats dras om att matematikspråket och språklig korrekthet är viktigt redan från början i undervisningen om bråk.
Resultatet visar på att lärarna undervisar om täljaren, nämnaren och bråkstrecket i introduktionen om bråk eftersom de tre begreppen anses vara grundläggande för att elever ska utveckla förståelse. Forskning framhåller liknande aspekter och redogör för att elever
behöver befästa kunskaper om täljaren och nämnaren samt relationen mellan dem (Kullberg & Runesson, 2013; Mohyuddin & Khalil, 2016).
Basürk (2016) och Fonger et., al (2015) menar att undervisningen redan från början ska inkludera konkreta och abstrakta representationsformer. Deringöl (2019) ställer sig emot användandet av abstrakta representationsformer i introduktionen om bråk och framhåller konkreta representationsformer som mer gynnsamma för att elever ska kunna utveckla grundläggande kunskaper. I resultatet framkom det att undervisningens fokus bör handla om förståelsen för helheten och delars lika storlek, där det konkreta representationsformerna beskrevs som det mest användbara. Det påvisades däremot i resultatet att kopplingar mellan språket och dess representationsform görs redan tidigt i undervisningen, exempelvis en koppling mellan delen en fjärdedel, begreppet en fjärdedel och uttrycket %&. Däremot är inte de abstrakta representationsformerna det primära i undervisningen i ett så tidigt skede av lärandet om bråk. Resultatet visar på att det är viktigt att använda abstrakta representationsformer som komplement till konkreta representationsformer. Vidare beskrevs det i resultatet att det är betydelsefullt att använda båda representationsformer i ett senare skede i undervisningen.
Av resultatet framkom det att det är viktigt för lärare att ta reda på elevers individuella förkunskaper eftersom undervisning om bråk ska utgå från vad elever kan sedan tidigare för att sedan kunna utmana dem på rätt nivå. Detta kan kopplas till den proximala utvecklingszonen i det sociokulturella perspektivet där elevers kunskaper och erfarenheter är i fokus. Genom att identifiera elevers kunskaper och erfarenheter kan lärare ge rätt stöttning och utmaning på individuell nivå (Säljö, 2014). En eventuell slutsats som kan dras är att det är givande för elevers lärande att undervisning om bråk utgår från den individuella eleven eftersom alla elever har olika erfarenheter och kunskaper om ämnet. Det kan vara en fördel att ta reda på elevers förkunskaper redan från början för att få kunskap om vad alla elever kan, vilket i sin tur gynnar både elever i deras kunskapsutveckling samt lärarens planering.
6.2.2 Lärares planering och undervisning om bråk
Enligt resultatet kan den formativa bedömningen ligga till grund för innehållet i den vidare undervisningen. Lärare får genom den formativa bedömningen veta vad eleverna kan och kan ha elevers visade kunskaper som utgångspunkt för att planera nästkommande lektion.
Detta kan knytas an till det sociokulturella perspektivet, där läraren kan planera nästkommande undervisning utifrån vad eleverna visar för kunskaper. Enligt det sociokulturella perspektivet behöver lärare känna till elevers nuvarande kunskaper och erfarenheter för att kunna ge rätt stöttning och vägledning inför nästkommande lärandetillfälle (Säljö, 2014).
I resultatet framkom det att digitala medel och varierande aktiviteter är gynnsamma för elevers kunskapsutveckling både på individ- och gruppnivå. Genom digitala medel kan undervisningen anpassas utan att det blir utpekande. På ett likande sätt beskriver Karaoglan Yilmaz et al., (2018) digitala medel och framhåller det som bra när undervisningen ska individanpassas. Vidare beskriver Karaoglan Yilmaz et al., (2018) att aktiviteter också kan användas för att ge elever möjlighet att samtala och diskutera, vilket i sin tur kan leda till att eleverna blir mer delaktiga i undervisningen. När elever får möjlighet att samtala med varandra, får de chans att sätta ord på hur de tänker och varför de gör som de gör. Både studiens resultat såväl som forskning framhåller att lärande kan ske i samspel mellan elever och när elever känner delaktighet, som båda kännetecknas av ett sociokulturellt sätt att se på lärande. En fråga som ställs är hur elever med funktionsvariation eller nyanlända elever som inte utvecklat kunskaper om det svenska språket, gynnas av att diskutera eller samtala om bråk. En aspekt som skribenten funderar över är hur lärare ska kunna skapa diskussioner och samtal som gynnar alla elever.
Bråks olika framställningar ska enligt Skolverket (2019) inkluderas i undervisningen om bråk. Bråks olika framställningar kan enligt Kilborn (1999) vara klurigt att förstå och lärare behöver därför genom undervisningen synliggöra hur olika bråk kan framställs genom varierande exempel. I resultatet framkommer det att elever behöver utveckla kunskaper för de grundläggande aspekterna för bråk, innan olika framställningar introduceras i undervisningen. Vidare beskrevs det i resultatet att lärare behöver visa olika framställningar av bråk i undervisningen. Ett sätt att synliggöra bråks olika framställningar är att skapa olika matematiska uppgifter som behandlar samma bråktal. För att undervisningen ska passa alla elever, behöver lärare förbereda olika exempel och uppgifter som behöver vara anpassade utifrån elevernas kunskaper. Eleverna kan sedan förklara och berätta om hur de löst sin matematiska uppgift för en klasskamrat, vilket enligt resultatet kan göra att elever blir mer delaktiga i sitt lärande eftersom interaktion sker mellan elever. En liknande aktivitet beskrivs av Lemondis & Kaiafa (2019) där lärare kan skapa
