Föreläsning 8 i Inledande matematik för Z/TD.
Gränsverden och deras egenskaper. Informell
def-inition.
0.1
Introduktion.
Flera funktioner saknar välde…nierade värden i en gränspunkt a av deras de…ni-tionsmängd. Man vill gärna undersöka om dessa funktioner kan utvidgas till dessa punkter på något naturligt sätt.
Det …nns också situationer då vissa värden intressanta för tillämpningar inte kan beräknas direkt, men kan approximeras med godtyckligt bra noggranhet. Detta gäller en del intressanta irrationella tal som och e, ‡era geometriska formler, deras area eller volum, farten av fysikaliska processer.
Alla dessa frågor leder till begreppet gränsvärde, som beskriver trenden för en funktion f att dess värden f (x) går mot ett visst reelt tal betecknat med limx!af (x) då argumentet x blir tillräckligt nära något särsildt tal a.
Vi kommer att studera under nästa två föreläsningar gränsvärdes begrepp, dess mening och egenskaper för olika kombinationer av funktioner. Dessa resultat och ideer kommer att användas senare i den kursen och i två utterligare kurser i matem-atik.
Ett exempel som visar användning av dessa ideer som är 2500 år gamla är beräkiningen av arean av en cirkelskiva med radien r.
Vi vet at längden av en cirkel med radien r är lika med C = 2 r.
Vi vill försöka beräkna arean av en cirkelskiva med att använd den formeln och dela cirkelskivan i n likadana trianglar på det sättet som på bilden. Talet approximeras egentligen också med hjälp av samma idee.
Vi kommer att låta talet n i indelningen växa oändligt och skall observera om totala arean av dessa trianglar har en trend att gå mot ett särskildt tal som vi kan kalla för gränsvärde. Det talet är naturligt att betrakta som skivans area.
En typisk triangel OAB i indelningen har arean
AreaOAB =
1
2jABj jOMj
Sidor i triangeln OAB kan framställas genom radien av cirkeln r och likadana vinklar n.
n =
1
2(2 =n ) = =n vid triangelns spets O:
jABj = 2 jAMj = 2r sin( =n) OM = r cos( =n) Vi får att AreaOAB = 1 2(2r sin( =n)) (r cos( =n)) = r 2sin( =n) cos( =n) Längden av omkretsen Pn= njABj = n (2r sin( =n)) ! C = 2 r
Arean Anav hela polygonen är summa av areor av alla trianglar lika med
trian-geln OAB:
An = n AreaOAB = n r2sin( =n) cos( =n) = (nr sin( =n)) (r cos( =n))
Vi uttrycker nr sin( =n) = Pn=2och sätter in i uttrycket för An:
An = (Pn=2) r cos( =n)
Vi förutsätter här att omkretsen Pngår mot längden av cirkeln 2 r och cos( =n)
måste gå mot 1 då n går mot oändligheten, eftersom argumentet =n går mot noll då n växer oändligt och längden av polygonen måste approximera längen av cirkeln.
Dessa observationer ger oss i gränsen formeln för cirkelskivans area An !
n!1S = r 2
Exempel.
Vad händer med uttrycket
1 + 1 n 1=n = n s 1 + 1 n
då Man kan observera att värden av det uttrycket närmar sig ett konstigt tal 2; 718281828459045:::
då n växer oändligt. Det talet är irrationellt och även har en egen beteckning e. Det kommer ganska snart att spela en stor rol i våra beräkningar.
Typisk situation då man behöver betrakta gränsvärden är funktioner som är på grund av praktiska omständigheter är de…nierade så att några enstaka punkter från R är uteslutna från deras de…nitionsmängd.
Exempel.
Betrakta G(x) = 1 x
1+x och G G(x) (ode…nierad i x = 1, vi kan inte dela med
noll!!!) G G(x) = 1 1 x 1+x 1 + 1 x1+x = 1+x 1+x 1 x 1+x 1+x 1+x + 1 x 1+x = (1+x) (1 x) 1+x (1+x)+(1 x) 1+x = f el_om_x= 1 !!! = (1 + x) (1 x) (1 + x) + (1 x) = 2x 2 = x!!!
Försök förenkla det uttrycket ... =) G G(x) = x !!! gäller för x 6= 1: Är då de…nitionsmängden D(G G) = R ???
Felaktigt resonemang som använder multiplikation och division med 1 + x leder till det konstiga slutsatsen...
1 x 1 x 6= 1 , för alla x!!! 1 11+xx 1+11+xx 5 2.5 0 -2. 5 -5 5 2.5 0 -2. 5 -5 x y x y
Första steget till gränsvärdesbegrepp.
Vi kan istället titta på vad händer runt punkter där en funktion är ode…nierad. Exempel.
Vad händer med följande funktion runt x = a? Eller mera exakt, vad händer godtyckligt nära a men inte i själva "dåliga punkten" a?
f (x) = 1 x 1 a x a Exempel.
Vad händer med följande funktion runt x = 4? Eller mera exakt, vad händer godtyckligt nära x = 4 men inte i själva "dåliga punkten" 4?
Tips. multiplicera med konjugat regeln om ni har skillnaden av två rötter i ett bråkuttryck. f (x) = p x 2 x2 16 = (px 2) (px + 2) (x2 16) (px + 2) = (px)2 22 (x2 16) (px + 2) (x 4) (x2 16) (px + 2) = (x 4) (x 4) (x + 4) (px + 2) kancellera_(x 4) = 1 (x + 4) (px + 2)
Vi observerar att 1 (x+4)(px+2) = 1 (4+4)(p4+2) = 1 8 4 = 1 32 för x = 4!!!
Vi lyckades kancellera en av två dåliga pukter i de…nitionsmängden!!!
Funktionen efter transformationnen är fortfarande ode…nierad för negativa x på grund av roten i uttrycket.
: ( Grafen till xp2x 216 5 3.75 2.5 1.25 0 0.125 0.1 0.075 0.05 x y x y
De…nition. Informell de…nition av gränsvärde.
Låt en funktion f , vara de…nierad för alla x nära punkten a, men kanske inte i själva punkten a. Det kan till exempel vara ett öppet interval (a e; a + e) som innehåller punkten a men med utesluten punkt a.
Om L 2 R är ett reelt tal sådant att man kan garantera att alla värden f(x) blir godtyckligt nära L i fall vi väljer x 6= a tillräckligt nära punkten a, så säges att L är gränsvärdet av f då x går mot a. Man skriver då
lim
x!af (x) = L
eller
f (x) !
x!a L
Den de…nitionen är inte 100% strikt här, eftersom uttrycket "godtyckligt nära" och "tillräckligt nära" är inte kvantitativt speci…cierade här. Vi kommer att ge en strikt de…nition och några formella bevis till en del satser på nästa föreläsning.
Exempel
Självklara exempel av gränsvärden är limx!ax = a och limx!aconst = const. Vi kan nu tolka föregående exempel med hjälp av begreppet gränsvärde.
lim x!a 1 x 1 a x a = limx!a a x ax (x a) = limx!a (x a) ax (x a) = limx!a 1 ax = 1=a 2 lim x!4 p x 2 x2 16 = 1 32 (beräknat faktiskt tidigare)
Motexempel. När gräsvärde inte existerar?
Det …nns tre sätt för en funktion f att sakna ett gränsvärde vid en punkt x = a. 1) Funktionen f (x)växer oändligt i absolutbelopp då x ! a.
f (x) = 1 x a; 5 3.75 2.5 1.25 0 25 12.5 0 -12.5 -25 x y x y a=3 g(x) = tan(x 2); a = 0 2 1 0 -1 -2 20 10 0 -10 -20 x y x y
2) Värden f (x) av funktionen f svänger inom ett begränsad interval för x godtyckligt nära a.
f (x) = sin 1
2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 1 0.5 0 -0.5 -1 x y x y
Funktionen sin(x) svänger mellan +1 och 1 oändligt många gånger på R.
2 0 1 0 0 -1 0 -2 0 1 0.5 0 -0.5 -1 x y x y
Vi kan observera att sin x 11 = 1 för x1
k 1 = =2 + 2 km för alla k 2 Z. Detta
ger oändligt många punkter xk = 1 + =2+2 k1 där f (xk) = 1.
Vi kan observera att sin x 11 = 1 för ex1
n 1 = =2 + 2 n m för alla n 2 Z.
Detta ger oändligt många punkter exn= 1 + =2+2 k1 ; där f (xn) = 1.
Vi ser att xk ! 1 då k ! 1, och exn ! 1 då n ! 1. Vi gör slutsatsen att vår
funktion antar värden +1 och 1 godtyckligt nära punkten x = 1.
Funktionen f i det exemplet kan inte ha ett gränsvärde eftersom funktionen inte kan närma sig något tal L då x ! 1.
3) Funktionen har begränsade språng i några punkter. Det syns på dess graf som består av några separata kurvor med språng mellan dem. Bästa exemplet är golvfunktionen:
Vi ser att den …nkltionen saknar gränsvärden i alla hela punkter x = 1; 2; 3; :::. Funktionen är lika med n då x gär mot n 2 Z från höger och den är lika med n 1 då x går mot n 2 Z från vänster. Detta utesluter möjligheten för fuktionen att ha gränsvärden i hela punkter på reella axeln.
Sista exemplet ger oss motivation att betrakta ensidiga gränsvärem: vänster och höger gränsvärden.
De…nition. Informell de…nition av vänstergränsvärde.
Låt en funktion f , vara de…nierad på ett öppet intervall (b; a), men kanske inte i själva punkten a.
Om L 2 R är ett reelt tal sådant att man kan garantera att alla värden f(x) blir godtyckligt nära L i fall vi väljer x 6= a tillräckligt nära punkten a, i intervallet (b; a), så säges att L är ett vänster gränsvärde av f då x går mot från vänster a. Man skriver då lim x!a f (x) = L eller f (x) ! x!a L
med a som markerar att värden av x är mindre än a vid den gränsövergången. Högergränsvärden de…nieras helt likadant.
De…nition. Informell de…nition av högergränsvärde.
Låt en funktion f , vara de…nierad på ett öppet intervall (a; c), men kanske inte i själva punkten a.
Om L 2 R är ett reelt tal sådant att man kan garantera att alla värden f(x) blir godtyckligt nära L i fall vi väljer x 6= a tillräckligt nära punkten a, i intervallet (a; c), så säges att L är ett höger gränsvärde av f då x går mot a från höger. Man skriver då lim x!a+f (x) = L eller f (x) ! x!a+L
Exempel. Signum funktionen sgn(x) = jxjx = 1 ; x > 0 1 ; x < 0 5 2.5 0 -2.5 -5 1 0.5 0 -0.5 -1 x y x y
har ensidiga gränsvärden +1 och 1i x = 0 där funktionen är ode…nierad. Vanliga gränsvärdet existerar naturligtvist inte i den punkten.
Sats. Theorem 1 sid 68 i Adams.
En funktion f har gränsvärde limx!af (x) = L om och endas om den har höger och vänster gränsvärden som båda är lika med det talet: limx!a f (x) = limx!a+f (x) = L:
Exempel.
Betrakta funktionen f de…nierad av formeln
f (x) = jx 2j x2+ x 6
Undersök och beräkna i fall de existerar limx!2f (x) ; limx!2+f (x)och limx!2 f (x). Observera först att 22+ 2 6 = 0 och både täljaren och nämnaren är lika med
noll vid x = 2. Detta gör funktionen f ode…nierad i punkten x = 2. Betrakta limx!2 f (x) först.
För detta betraktas värden x < 2 eftersom x går mot 2 underifrån i limx!2 :Detta medför att x 2 < 0: Vi transformerar uttrycket för funktionen med förutsättning att x 2 < 0: jx 2j x2+ x 6 x 2<0 = 2 x x2+ x 6 = 2 x (x + 3) (x 2) = 1 x + 3 Vi kan nu beräkna gränsvärdet:
lim x!2 jx 2j x2+ x 6 = limx!2 1 x + 3 = 1 5
Betrakta limx!2+f (x)nu (högergränsvärde). För detta betraktar värden 2 < x; eller x 2 > 0eftersom x går mot 2 uppifrån i limx!2+:Vi transformerar uttrycket för funktionen med förutsättning att x 2 > 0:
jx 2j x2+ x 6 x 2>0 = x 2 x2+ x 6 = (x 2) (x + 3) (x 2) = 1 x + 3 Vi kan nu beräkna gränsvärdet:
lim x!2+ jx 2j x2+ x 6 = limx!2+ 1 x + 3 = 1 5 Detta medför att gränsvärdet limx!2 x2jx 2j+x 6 existerar inte
jx 2j x2+x 6 5 3.75 2.5 1.25 0 0.125 0 -0.125 -0.25 x y x y
Sats. Theorem 2 in Adams sid. 69. Regler för beräkning av gränsvärden.
och k vara en konstant:
Då existerar förljande gränsvären och uppfyller följande relationer: lim x!a(k f (x)) = k L lim x!a(f (x) + g(x)) = L + M lim x!a(f (x)g(x)) = LM lim x!a f (x) g(x) = L M; om M 6= 0
För m; n 2 Z och n > 0; _L > 0 och jämna n och för L 6= 0 i fall m < 0.
lim
x!a(f (x)) m=n
= Lm=n
Bevis till en del av dessa regler kommer på nästa föreläsning efter att strikta de…nitioner blir formulerade.
Exempel.
limx!2p2x + 1 =p5:
Gränsvärden bevarar olikheter.
Om f (x) g(x) på ett öppet intervall som innehåller a, så gäller samma olikheten för deras gränsvärden om de existerar.
lim
x!a( f (x)) x!alim( g(x))
Observera, att strikta olikheter för gränsvärden
följer inte från strikta olikheter för funktioner!!!
Bevis av en del av dessa satser kommer på nästa föreläsning efter att strikta de…nitioner blir introducerade.
Sats. Theorem 3 Adams sid. 70. Om P (x) är värden av ett polynom P
lim
x!a P (x) = P (a)
Om P (x) och Q(x) är värden av polynom P och Q, spdana att Q(a) 6= 0; så gäller lim x!a P (x) Q(x) = P (a) Q(a)
Sats 4. Instängningssatsen. Theorem. 4, sid. 71 i Adams
Satsen om två polismännen.
Polismännen Fredrik och Harald leder brottslingen Gustav mot polisstationen. Gustav måste komma till polisstationen eftersom Fredrik och Harald håller honom hårt från båda sidor.
Låt relationen
f (x) g(x) h(x)
gälla för alla x på ett öppet intervall som innehåller punkten a förutom kanske själva punkten a där dessa tre funktioner f; g; h; kan vara ode…nierade. Intervallet kan vara till exempel (a d; a + d), med d > 0.
Låt gränsvärden i a existera för både f och h och låt dessa gränsvärden vara lika:
lim
x!af (x) = limx!ah(x) = L
Då måste g också ha samma ett gränsvärde i a och det gränsvärdet måste vara lika med L :
lim
Exempel. Kommer att betraktas på nästa föreläsning. Betrakta …nktionen f (x) = x2sin 1
x . Den är ode…nierad i punkten a = 0:
An-vänd instängningssatsen för att visa att f har ett gränsvärde i 0 och limx!0x2sin 1 x =
