Dissertatio astronomica de elementis orbitarum et motus corporum coelestium determinandis. Quam venia ampl. facult. philos. Upsaliens. publice ventilandam deferunt mag. Jonas J. Brändström ... et Henricus Falck Gestricius in audit. Gustav. die X Aprilis M

H

DISSERTATIO ASTRONOMICA DE

ELEMENTIS ORBITAR UM ET MOTUS

CORPORUM COELESTIUM

DETERMIN AN DIS,

v

-QUAM,

VENIA AMPL, FACULT. PHILOS. UPSALIENS»

PUBLICE VSNTILANDÅM DEFERUNT

MAG.

JONAS

J.

BRÄNDSTRÖM

MATH, ET PHILOSOPHIE NATURALIS _ADJUNCTUS E. O.

ET

HENRICUS FALCK

GESTRICHJS

IN AUDIT. GUSTAV. DIE X APRILIS MDCCCXI. H, A. M. €.

UPS AtliE,

DITTERIS TYPOGRAPHQRUM ACADEMI/g

Huldaste FORALDRASj

Miß framtids sållhefc var alltid målet for Edra önsknin¬

gar Edr a ©nuorger0 Denna

sållhefc

år

blott

möjlig:

Igenom

förmågan

atfc

uppfylla de.

oms

pligtei

som

åligga

1

i " _

«st-,tacksamt» Soe.

DE

ELEMENTIS ORBITARUM ET MOTUS

CORPORUM COELESTIUM

; DETERMINANDIS'.

§. I.

Üsquequo

tus, theoriain

Eulerus,

motus

Newtoni

_corporutn

gravitationis

_coeleftiuin

lege fufful-

_lub fuum _{rigidum vocare inceperit examen, plunma huc}

fpeétantia altioris indaginis problemata, feiicisfimus, quem

antehae _{fperabant Geometrse, latuit, Analyleos}

ope, folvendi aditus. Alii _{quidem fummi norninis viri cir¬}

ca eadem _{argumenta occupatt, quae a Nevvtono haud}

iatis delibata, vel mrnori lollertia _{propofita, in liquidum}

pe^ducere funt conati, Illiös vero inprimis acerrimi

de-betnus ingenii fagacitati hanc theoriam, longe ultra li-mites Newtonianos _{promotam, atque ad id faftigium,}

quo hucusquefere eminuerit, eveétam Ubi fcilicet

New-tonus verborum _{parcus, & pluj-ima fublimi volvens} inge-nio, ut Uli _{faepenumero moris eft, in ardua qnadam}

fubftiterit aftronomiae _{pbyficae quseftione, eamdem e}

theo-ria _{gravitatis evolvendam fufcepit Eulerus. Recentioris}

tarnen & noftri aevi _{Analyftis, praeter alios, Alembertium} loquor, Fnfium, La Grange, fed in primis La Place,

immortalitati defervire vifum _{opere fuo : Mechanique}

Celeße, reli&um esfet, in his caftris adeo omnera

ex-plere numerum, ut jam fere nil amplius videatür

defi-derandum,

Usqae ad initium

hujus feculi

invaluerafc Dondam

quidem

fpernendus

mos, per

fuppofitiones

Hypothefei-cas, approximatam unius vel alterius

elementi

cogni-tionem adquirendi, antequam rigidior fufciperetur

eie-mentorum calculus. Ab armis vero retro haud multis,

de Problemate orbitam Corporis, absque omni

fuppofi-tione _Hypothetica, determinandi, inter

eruditos omni

agi inceptum eft cura, quodque,

licet inter

plurimos

tunc _{temporis de} ejus _{posfibilitate}

haud fatis

conftarefc,

fua tarnen difficultate & elegantia Geometras &

Ana-lyftas vere magnos aliiciebat

folvendum.

Hoc

adeo,

poft multas vigilias,

votis

fuccesfit,

ut

jam jam dubitent

nulli» tres obfervationes Geocentricas, vel tria loca

Geo-centrica, femper fufficere elementis orbitae vel inotus

Corporis cujusdam coeleftis

determinandis,

eo

cafu

fpe-ciali, numquam forte fe oblaturo> excepto,

quando

inclinatio orbitse ad Ecclipticam vel exigua eft, vel

ni-tiilo evadit _{aequalis, ubi Latitudines omnes}

_&

Heliocen-äricae & Geocentricae evanefcunt, & haud amplius tria

a fe invicem independentia conftituunt data, _quo

cafu

quattuor faltem requiruntur

obfervationes,

fi

problema

volueris determinatum.

Plurima funt in Theoria Motus Corporum

proble-mata, quse ad illud folvendum amicam & faerliorem

parant väam; Inter ifta haud minimi eft moment!, quo, e

duobus radiis vecftoribus _{magnitudine & pofttione datisT}

tina cum _{tempore quo Corpus fpatium inter}medium de»

fcribit, vel orbitse elemento uno, ipfa determinatur

orbi-ta. _Neque nos dubitavimus, hoc plus quam fimplici

vice meditativ in his partibus quasdam confumere vigi¬

lias, licet, in tam gravi negotio, diffiteamur forsfifcany nosr eis _qui his deleftantur ftudiis, aliquid polliceri

§. II.

Loca _{Corporum Coeleftium} in

orbifcis

fuis, fecun=

dum _{Leges Attradionis defcriptis,}

apprime

determinata

concipies per diftantias

re&arum

ab aliis, in

piano

orbi-taa du&is, & in punéto quodamfixo,

fub

angulo

quodam

dato, fe invicetn lecantibus. Si fcilicet

hae

diftantias

x

&

y dicantur,

&

reliquarum

recftarum in

ter

lektion

ein

in

ipfo

orbitae foco, fub angulo redo fieri ponatur,

denotante

infuper r ipfius loci a

foco

diftantiaro,

vel radium

vedo¬

rem, e Theoria Curvarum patet

asquationem

r

-f-

ax

-4- by ~ p, exhibere

relationem

continuam

inter

x,

y%

r. Quocunque praeterea

modo, variet

fitus

redarum

per

focum tranfeuntium, dummodo ad

angulos

redos

egu-um

fiafc interfedio, darum eft nullo modo mutari

valorem

sequationis, licet a & b perpetuo novos

natrcifcantur

va¬

löres. _{iEque evidens} eft,

ejusmodi

dari

posfe fitum

ubi

quantitas b

evanefcat &

nihilo

evadat

aequalis,

quo

po-fito, fcribatur e pro a & aequationis

forma erit

r -ex

= _p. Denotare

deinde

pntetur p

femiparametrum,

c

excentricitatem , & fit linea in qua

interfedio fit,

Linea

quaediciturApfidum,

Orbitae

Curva,

ad

quam

hae

quantita-tes _{pertinent, quarumque}

relatio hac

exprimitur

aequa*

tione, Sedio quaedam

Conica,

licet

diverfae

fpeciei, prout

e nihilo aequalis, unitate minor,

unitati

aequalis,

vel

uni«

täte _{major, quorum}

jam

fecundum

poninaus

cafum.

§. HL

Si _{jam per v}

_denotetur

_{aftgulus inter}

_lineam

Apfi¬

dum & Radium Vedorem, qui etiam Anomalia Vera

du

citur, habemus ob

Triangulum

Redangulum

ubi

Hypo

the-> 4 (

thenufa ~ r, x reprefentafc Cofinum ra v^ x =2

rCofv, quo in sequatione noftra introdu&o valöre, fuborit^ur

P

t =r _ . . Sumendo verö medium arithmeticum

i eCof_v

inter valorem minimum & maximum tadii veftoris-, hoc

eft inter valöres iftos, qui e formula nuperrime dara

emer-gunt, quando Cof v r= z, & Cofv zn -— z, obtinetur va»

lor illius _{medius, vel diftantia media, quae etiam}

femia-P

xem _aequat; hoc modo erit _{z=z ay} & igitqr _{r =}

I ■1■ ß

a i — e~ i _{■+- e} Cof_v

Quoniam vero ex Trigonometricis patefc esfe Cof. v

sr 2 Cofr\v— _{i sr i — 2} Sin.---_{v, tres} alios nancifcimur valöres, eosdem ac antea,ficet diverfam praebeant formam,

ß. i — &z a i — e2

fcilicet: r =r ———, r~ - ^& r.

i- e _{-f-2 etoj 2±v t —J— e —zeSinv2|}

a. ? 9Cl

. Ubi etiam p (szzkz _— e2),

i-h_{eCofa*v~\-i -eSin2^v}

& melius vifum iueritj numeratoris vice fungi poteft.

§• IV.

Jam radium veftorem per a, e, v,

vel

p

expresfum

ififtunt. formulae _{praecedenfes; pro noftro fine vero} in-terdum _{praeftat eum per Anomaliam, quae}

_Excentrica

ci-citur, exhibere. Sit eum m finem z Ano maHa Excentri-ca, & a _{principiis apud aitronomos fepisfime evolutis,}

j/1 -4~ e

tiovimus esfe: _{Tang, =: ZZH. Tang.^ztve\ Tang7~z}

yL — e

i - e

= -— . Tang*£ v

, fi fcilicet a ponatur unitati

aequa-/-4-ß

Iis, & Anomaliaa, ut _{quibusdam moris eft,} a Perihelio

.Sin2 numer entur. _{Quum praeterea Tang7}

= —, erit exiti-Cof2 i — ß • Sin2i- v. CoJ2^ z de Cor-l.v = . , & Sin?±v = i _{-fr- e, Sin7^z 1} i -fr* £. Cof7{v. Sin*- z ~

m , per quorum valorum, unius poft

i -e._Cof7-Lz

alterum, debltam fubftitutionem, ultimo data _formula,

duas alias _{recipit formas; erit eniiii:}

" 111"

V a. i -heSin*

^z

& r ~

Sin2f- vCof*~z -f- Sin*^ v . Sin2

a . i — e. Cof_2iz

n r- , n~rCi i TTFT. Ti—> ve^ quoniam Sin*iz

Cof2lv.Cof2±z~i-Cöf*%v.Sm*±z

H

T

r», a i "+" e-Sin*^z a.i-tCof*l&

+ _{Copl—z i,r = —,&r=}

Sm2

z v / Cof*~u

Si horum valorum dimidia _{addant-ur, bab?vmus} etiam

®b 2 Sin* ~v zz. i — Cofv, &

rss a, fi —e.Cof*%z-f-

Sin*£zJr & ultimo

V zza.ft

— eCofzJ, ob «Sm2~ z

—

Cofz±z

zz —

Cof.

z,

in

qnibus

niilla3 ingrediuntur quantitates, präster

Excentricitatem,

anomaliam Excentricam, & prasterea quamcunque

ma-fueris a vel _p.

§. v.

His fuffulti _principiis, nos

accingimus

ad

formuias

quasdam

eruendas,

quas,

quodammodo

propms

,

quem

nobis _propofuimus,

fpeétant

finem.

Quum

obtinuimus

r= a . i — t. Cof2~z i q- e

Sin2^z^

zz

a.(i

■—eCofz),

exinde habetur, quod

aliunde

etiam

novimus,

Sin\z

/1 — Cof.J z: Xr.o _{qnnruam r}. _zz ß.i—e._{_}

CopLz

=

2

Cof2

iy

e _-t- Cof._v

a.(i—.eCofz),Cofzzz-

I _{-J- 6} —-CoI._V,

unde

Sin^z,\/i-\-eCof.vzzSin^v.

\fi-e, vel,

quoniam

/

-f-

eCofv

=

ß.i —c

Sinlz.

\f

_ß.i-f-

ezz

Sin±v.\/r.

Per

eamdem

r

omnino viam, & fimili prorfus

modo,

habeas

Cof

Lz

zz

m

,1 -t-Cofz^^jejn{je£pß i

.\-eCof

vzz

Cof

{v. Vi-i-e,

& ultimo;

Cof-z.^/a.

i—ezzCof^v.\Jr,

Si

igitur

duasAnomaliae v,u

propofitae

esfent,

illisque

relponden-tes Anomali» Excentric»

fignis

z9

|

notarentur,

Radii

ve-) i c

vero Veftores fignisr, Iiquet bas qaattuor

nobis prsefto

©sfe _{aequationes fcilicet:}

Sin.1-z. Vfl. i ■+•e = Sin.\v.Vv.

Cof*Z.

\/a

• I — e ==

CoJ.\v*\fYc

Sin_{-21 . \fa. i +« = Sin.\u, Vf°}

Co/• i—e == Cof.hi.

V£►

$. VL

Ut* quae fequuntur relationen, fimpliciores fiantr^ fit rf _{aequaiis dimidio difFerentise inter anomalias Veras}

vSc it, ^sequalis différentiae inter anomalias Excentrican % Sc £, _{s aequalis} dirnidio Summae Anomaliarum _verarum,

11 — v

Sc c aequalis Summae Excentricarum, vel _—-— =

rf

_t

% —- z » -f-v 14- z

= ö,-' == i- & = sv Introducatur

prae-i va a

fcerea _{pro Excentricitate e, angulus q, cujus}

_Sinus

_eft

rpfa quantitas e, vet e^Sin.q. ad J'equentia, quas in Trigonometrie , de quocumque angulo, q demonftrantur:

Vi -i- Sin. q = Cö/f. 450 — |q). \/2, Vi — _/

_=-"

; _{f450 4- I q).Vi = &»• f45* — é?• V2» Sin 45° =}

ro/ 45® = ——, attendendo, erit Y1 - «*= Vi +«

V2

Cr/2, Vi +■ ' = Cof.(45°— Vi—ezzCof.t

) 8

_(;

V r— e

+

_iq)f*

— Sin.

C45*

—

$q).

s/i,

rm. = \/1 4~ e

Sin _{(.45° — lq)} - . „ —

-——; _{7 =}

Tang.

(45

_—

\A

+

_—

Cof.Cv -iqj

= _{zCof.\ q,} ^i-i-e _{— ~ e zn 2} Sin _{\q, atque} etiam

\A -+- 0 = Cof.^q -f- Sin^q, &

Vz

-e—

CVI#

~Sin\q .

-His valoribus ita determinatus, ducatur Sm 4 (7

-+-$J

in _{primatn aequationum, quae ad finem}

_§:i

_{p aecedentis}

datae funt, & CoJ.^fs-+- in fecundam, quod, licet per

calculum _{prolixiorem & longe operofum, peragitur, ope}

Theorematis Trigonometrici, quo Sinus vel Cofinus

Summae vel d.fferentiae inter duos angulos computatui;

fi _{produéta addantur}

_prodit

_aequatio:

Cof. f[(d -f-

$)

~

Sin^%.

Sins

■+• —* 1 e

r

Cof. \z.Cof.'iC

+

r

1

Quumvero, nt fupra datum

eft, ^i-t-e

—

Cof^q-^-Sin^q,

& _Vz — e = Co/,iq — Sin^q, illa hane fufcipit formam:

CoßiCd -*■

i)

= Cof.iq . Cof.(I s — \c -f-

Jj.

V- —

V

Sin_{% q.Cof.4.(s}

«4-Y

Si rurfus _{multiplicetur tertia sequationum, ad calcem}

prae-praecedentis

§:i,

per

Sin

quarta per

Cof.^fs

-

J)t

producta vero addantur„ Iocoque quantitstum

V1

4- '»

%jfi

-§, illarum valöres fubßituantur, modo baud

disfi»

mili fubo iturr:

taf-We*

*J

— ieCof.ln.Cof.ar-

i»J

Vf

s a1

— Sin*

q. Cof\(s

f

SI inter has ampas aequaribnes differentise; fumantur? ab

hac fcilicet ilJam fubtrraheado,, _hahetur;

'

A/a

CoJ. \(d 4-

h

2-Cof^q.-Sin

<h

Sin\(s — s) ~t

—

yr

quae, ope anguli cujusdam auxiliaris , ponendo nimirum

l/f' -t- Tang,w)*- (Cof.w -f-Sinwj*

jf— es'- — zzz — , ultimo abit

"

r- (i _{— Icmg'.w(CofwSin wj? '}

ih hane _fcquentem^

Co/Tfa?. Sin$, 4ya8

——

.1/

—.. Si nullo,

lang 2 w v rq

lie _{quidem minimo, difeirimine, eidem confnlueris}

pro-cedendi methodotres _{quae fequuntur, una cum illa} Tumtiii ni o ment_{i, fefe ofFerunt sequationesr}

Sin _{fq. Sin <J 4a®}

Cbfi(d —

ij..

= Sin.\ C + O--n, •

V—

Tang. 2 w rq 3 Sm_Ifdrh

_i)=

_{CoJ.Kr-s) Coj. \}

_q.SinL

_Cof.zw

.

rq

Sm\(d-oJzrCof. § (s -ff.s). Sin\q.

5W.

Cof.zw \t~—..

rt

> «6 (

§. vir.

lilas, quas jam exhibuimus,

ad fcopum

noftrum

quam apprime vergentes,

relationes,

ejus esfe,

nemi¬

nem fugit, indolis, nt per eas,

fi

ambo

radii

ve&ores,

una cum differentia inter ambas anomalfas Veras, quod

ponamus,

cogniti

esfent;

non

tantutn

reliquas

ibidem

in-gredientes, verum

etiaffi,

quse ex

illis pendenfc,

quanti-tates, absque ullo negotio

determinari

posfe,

per

fun&io-nem quamdam _rts

A

Ule igitur,

qui

reiht labor

eft,

ut videamus, utrum posfibile fit, quantitatem

J

per

alias

quasdam datas

vel

cognitas

exhibere,

nec ne;

quod

fi

iuccedat, nulla ampliori propofiti evolutio

difflcultate

la-borat. Eum in finein fit b femiaxis minor, quse igitur

—

V0/7» & ex fupra

datis

refumantur aequationes,

Sinl%\//a.

i -f- « =

Sin\z

\/

—

=

Sin

f

v

,

&

CoJb%\/a.i-*

^Cof.CofiWr.

ubi

etiam pro z, «/, r9

refpeftive

poni

posfunt

per

harum identicam multiplicationem habetur

Sin\z

.

Cof\

£

Vre

Vr?

=s Sin*v. Cof\u.~ — , Sin .

Cof

-}z

—Sin

f

u.

Cof

$

v.——; eft vero Sind =: Sin zuCof~v — Cof\u.

Sin

§v,

&

Sin$

=

SinJ|Co/ —

Co/

§

£

.Sin~z,

unde

facillime obtinetur

b

Sin,d= —3. SinS,& nullo,nifiquod e natura

quantitatum

Vre

b *