Matematiska Institutionen, KTH
Tentamensskrivning i SF1610 Diskret Matematik för CINTE 14 aug 2019, kl 08.00–13.00.
Examinator: Armin Halilovic, tel 08 790 4810
Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.
Tentamen består av 10 frågor i tre delar.
Totalsumma poäng vid denna tentamensskrivning är 37p (+ eventuella extra bonuspoäng från KS.)
OBS:: En komplett lösning med fullständiga motiveringar krävs för alla uppgifter.
Betygsgränser:
13 poäng totalt eller mer ger minst omdömet Fx 15 poäng totalt eller mer ger minst betyget E 18 poäng totalt eller mer ger minst betyget D 22 poäng totalt eller mer ger minst betyget C 27 poäng totalt eller mer ger minst betyget B 32 poäng totalt eller mer ger minst betyget A DEL I
Var och en av nedanstående fem uppgifter svarar mot en kontrollskrivning. Godkänt resultat på kontrollskrivning nr i under vårterminen 2019 ger automatiskt full poäng på uppgift nr i.
Att lösa en uppgift som man på detta sätt redan har till godo ger inga extra poäng.
1. (3p)En av följande tre diofantiska ekvationer är lösbart (över hela tal).
i) 4x+16y =10 ii) 3x+ y15 =6 iii) 25x+10y =1
a) (1p) Bestäm vilken av ovanstående ekvationer är lösbart över hela tal och motivera svaret.
(0 poäng om du inte korrekt motiverar ditt svar. )
b)(2p) Bestäm samtliga lösningar (x,y) till den lösbara diofantiska ekvationen.
2. (3p) Bestäm antalet sätt att fördela 5 olika böcker bland tre barn så att inget barn blir utan bok. (Svaret ska vara ett heltal)
3. (3p) Låt π beteckna permutationen (2 4 6 8 10 12)(1 3 5 7 9 11 13 14 15 16 ).
a) Bestäm ordningen av permutationen π.
b) Ange de värden på det positiva heltalet k förr vilka permutationen πk har ordning 5.
4. (3p) Låt f vara den Booleska funktionen f(x,y)= y(y+x). Bestäm alla Booleska funktioner g =g(x,y) sådana att
0 ) , ( ) ,
(x y ⋅g x y =
f för alla x,y
och
f(x,y)+g(x,y)=1 för alla x,y.
Sida 1 av 2
5. (3p)
a) Hur många kanter har en komplett graf med 200 noder?
b) Hur många kanter har ett träd med 50 noder?
c) Vilka möjligheter finns det för antalet kanter i en sammanhängande planär graf G (utan loopar och utan multipla kanter) som har 41 noder?.
DEL II
6. (4p)
Bevisa med hjälp av den matematiska induktionen att 27
40
32n+3+ n−
är delbart med 64 för alla heltal n≥0.
(OBS. Du får 0 poäng om du inte använder induktionsbevis.)
7. (4p)
a) Hur många ”kombinatoriska ord” kan vi bilda med bokstäverna A,B,C,D,E,F (genom att permutera bokstäverna) så att A och B inte ligger bredvid varandra? (Ett ”ord” innehåller varje bokstav A,B,C,D,E, F exakt en gång.)
b) Hur många 5-siffriga koder (med decimala siffror 0,1,…9) finns det som innehåller exakt 4 olika siffror? (Här är två exempel på sådana koder: 23134 eller 48749.)
8. (4p) Bestäm (eventuella) lösningar till följande ekvationssystem
= +
= +
= +
1 2
2 2
1 2
z x
z y
z x
a) i Z b) i 5 Z 3
DEL III
9. (5p) Låt S4 beteckna den symetriska gruppen vars element är alla permutationer av 1,2,3 och 4. Låt H vara den minsta delgruppen till S4 som innehåller permutationerna
1 =
π ( 2 1 3 4) och π2 =( 1 2 4 3) .
a) (4p) Bestäm H dvs ange alla element i delgruppen H. Motivera svaret och bevisa att H är en delgrupp till S4.
b) (1p) Visa att H inte är en cyklisk grupp.
10. (5p) Bevisa Lagranges sats: Om H är en delgrupp till den ändliga gruppen G då gäller att
|H| delar |G|.
Lycka till.
Sida 2 av 2
