GBAILUHD JACOBUS

FUNCTIONES SYMMETRICAS PARTIALES QÜATTÜOR

QUAiNTITATUM

DISQUISITIO

CUJUS PARTEM QUARTAM

PRO SPECIMIISE ACADEMICO

EX SPEC1 ALI REGIS GRATIA

ET CONSENSU AMPLISS. FACULT. PHILOS. UPSAL.

p. p.

JACOBUS N1COLAUS GBAILUHD

PHIL. CAND.

ET

ZACHARIAS «RAPS

NORRLAND!.

IN AUDITOltIO GUSTAVIANO DIE XV JUNII MDCCCXLVII.

Η. Α. Μ. VIII.

UPSALI^E

^vaiilström et c.

-

:.Λ\^·

.

·-' >· ^.

■-t,--■ -»

- .· -7>.: '" · ' ·;. ·,·- ·'

■ ----- ■ . . ··'.· ·-

-

■ /-v *·- γ γ , s >■ ■■ ■ ··

v

■ ;Υ'Ύ'"

Υ Υ" ^{. .} Υ ' ".·, νν:;,.,ϊΛ- ^γ ' , :■., ·■ ν-^;--,?»·->

■■

* ."--:'4

*Υ·Υν,;;ΥΎ· >Υ Υ- : ΥΥ·ν

'

.

&i. -· "■ :. ' ·' ■u ■ ' ■ ■ .:.···'

... ■< ... .. . - , / -

.

■'7f:

;ώΥ*l

III- Do Usu FuncUonum

Symmetricarum

Generalem Quarti Gr^adus.

§. 8.

iEquatio generalis quarti gradus sit eadem atque aequatio (5) paragraphi 2. Sint praeterea 1, α, α2 et a3 radiees aequa- tionis y4-i=ov scilicet ^«= unde ct2=-1 et c? ^—-V-\.

Quasratnus igitur radiees η, fe, c et d agquationis generalis quarti gradus funetionibus symmetricis partialibus adjuti. Pri-

fflum autem videamus', ^num expressiones radieum, quae vulgo obiinent, funetionibus radieum symmetricis totalibus et partia¬

libus adjuti invenire possimus; tum alias quoque ternas ex¬

pressiones radieum proponere liceat. Expressiones autem vul¬

gares hoc modo inveniuntur. Sine ulla dubitatione ita scri- bere possumus:

(i=f(λ-{-/>-}-c4-if)-f- (jet\-b-\-ct~c+cf dy4"τb+c+ct~d}+ +i(a+efb+edc+d),

b ^—ϊ(n+b-f-c+d)-f-1(u-\-b-\-ct c-^-ct2dy-\-&(et u-\-b-\-cc c-\-dy+

, +3(^05 (i-\-b-\-c-\-cddy, c—Ί"(^d-^-b-\~C-\-dy-f-jr(j%2Λ·\-α b-\-c-\-dy-f·ΐ(^it-^-a2b-{-c-{-cc dy~\-

+l(a2rt+/>+e+a2rf),

d—Tf(a+b+C+d) + ϊ(α2α+α2/»+ϋ+ίF)+i(a2a+b+a2c+d)+

+i(a+«2/>+a2c+d).

Sed, brevitatis caussa positis:

Ar^a+b+a^c+a^d, 4r2=a+a2b+c+a'ld, 4r3=a+cc2b+cc2c+d, ...(2)

qttum praeterea sit:

a+b+ e +d^—_-p7 (5)

4

aequationes (1) hac quoque ratione scrihi possunt:

αρ-ip+rt+r2+ A=-Tp4-r1+«V2 + aV3,

c=-ip~l·cc2rt+r2+«V3, d=-ip~i~ce2rt -f- a2r2+ r3.) Restat, ut quantitates r1? r2 et r3 functionibus radicum symmetricis totalibus et partialibus exprimere possimus. ,Per- spieuum igitur est:

4rx=±

V

ad),\

4r2= ± S2-j- 2P.ac-f- 2a2(P. ab-f-P.ad)^,

j ^

4r3=± -f-2P.ad-j-2a2(P. ab-{-P.ac).

J

De signis autem in expressionibus (5) eiigendis ita prae-

cipitur, ut, aequatione in eam formam redacta, ut sit p=o,

signum + sumatur, si coeffieiens ipsius x, quae in aequatione

a nobis proposita r dicitur, sit <05 Signum si ^r > o.

Quae quidem ratio sufficiet, si quantitates rt, r2 et r3 erunt

reales5 sin minus, ^non Semper. Exemplum faeillimum po-

namus. Est, ut scimus, ± V -5-4v/-l= ±(l-2\/-l); sed

numsit

+/

-\//-5-4\/-l=-i+2\/-l,

an 4γ/-1 —-l-j~2v/-l et

-\/-5-4v/-l

ejus rei dijudicatio non in promtu esse videlur. Potius hoc exemplum indicare videtur, non Semper formulis tantum al- gebraicis et signis radicalibus res omnes absolvi. Nam inter-

dum aliae relationes quantitatum ad propositum non minus

conferunt.

Itaque alias quaeramus radicum expressiones ita _compa- ratas, ut valöres harum radicum _Semper rite inveniri possint,

sive sint radices illae reales, sive imaginariae, ceterum _quae- libet. Nam expressionibus radicum vulgaribus ita tantum vere uti possumus, si aequatio proposita eoefficicntibus realibus

est instructa, unde, si ^una radicum est ^ex. gr. ττ + ρν7-!, sequitur, ut Semper altera nescio quae sit ^n- qs/-1. Sed

ratio functionum symmetricarum postulat, ut radices α, 6, ^c

et d quaelibet esse possint.

§· 9·

Quum verum sit, aequationi n:ti cujuslibet gradus η tan-

tum valöres diversos _pro λ* Substitutes salisfacere posse, faeiie

fieri potuit, ut aequationi generali n:ti gradus u tantum di-

versae expressiones radicum algebraicae convenire putarentur.

Neque fuit, cur aliter existimandum videretur, consideratis expressionibus algebraicis, quae aequales radieibus aequationum quattuor graduum poni sunt solitae. Sed postquam forma generalis expressionum algebraicarum, quae aequationibus gra¬

dus cujuslibet satisfacere possent, diligentius examinari est coepta, res aliter comparatae fuerunt. Nam fieri non potuit, quin quaereretur, »um pluribus rationibus radices aequationum exprimi possent$ quamquam ea quaestio nondum ad exitum

addueta videtur. Neque enim de aliis aequationibus, ^quam

quarum gradus numeris primis exprimuntur, dictum est, ne¬

que de aequationibus ejusmodi graduuni, ut videtur, satis.

Sed quum nobis boc ^tempore de quarfo tantum gradu

sit dicendum, in quem non valent ea, quae de gradibus, qui

numeris primis exprimuntur, proprie sunt dicta, tarnen ipsius quaestionis mentio facienda videbatnr. Etenim expressiones radicum, quas sumus proposituri, ejusmodi sunt, ut, si sin- gulas probaveris, binas alias, permutatis inter se radieibus, probes, necesse sit. Ceterum bas expressiones tarn perspicue

proponere conabimur, ut de veritate earum dubitari ^non

posse videatur.

§· 10.

Hac igitur ralione sine dubio seribere possumus:

a—i(a+b+c+(I) 4-\

(a+a2b+ac+ct*d)

i (a+b+a9c+oi*d)+\

4-i(a+a2b+a^c+ad)^?

j

&=-j^rt+ft+c+il)4-τ(#2rt4-|&4-<23c4-#d)+τ

(a+b+cc2c+ci2d)+i

+ I(«2rt+&+«c+«3J)

,\

c=I(ü+b+C+d)+T

(o^U+Ctb+C+C^d)

fc+c+iZ^+i

+i(«rt+a3Ä+c+a2il)⁵¹

d—i(a+b+c+d)^4-\(&a+<x*b+(x

c+d)

i («2ft+«8&+c+ii)+

4" i(oj3(t-\-ccb4"ci C+d)·

Unde, permutatis inter se radicibus b et c, exsislunt sequationes:

a—i(a+b+c+d)4-ϊ(a+ab+ct2c+ d) +i(a+a b+c+ad) 4·^

4- \(a+a?b+a2c+ud)

J

b^=.I((a+b+c+d)4-i(c^a+b+ac+cfd)+i (a2a+b+a2c+d)+J

4- ϊ(aa+b+a^c+a'd)

j(

C—{(a+b+c+d)4-τ(cra+a*b+c+ad)4-i (rt4-«2i>4-c-fα2<1)4-

4- i(a2a+ab+C+a3d) ^?

d⁼I(«4-&4-C4-d)4"i(aa+a2b+a2c+d)4·i(a a+b+a c+d)+

4-i (cfa+cdb+ac+d).'

Permutatis autem in ajquationibus (1) inter se radicibue

b et d9 exsistunt sequationes:

a=i(a4-&4-C4-df)4-ϊ(a+ab+a3c+ci*d)+\

(a+a2b+a2c+d)+\

4- τ(ii+asb+ccc+(x2d)^?

I

b —\(a+b+c+d)4"ϊ(a3a+b+a2c+ad)4~i

(a~a+b+c+a2d)+J

+ ^τ(cca+b+ct2c+ct*d)

A

C=4 (a+b+c+d)4- i(a«4-a2&4-C4-«3i/)+i(a2a+b+c+d2

d)+l

4- \(a3a+a2b+c+ad),1

d^—\(a+b+c+d)+{(cfa+cdb+ac+d)4-i (a+a2b+a2c+d)+

|

+{ (a2a+ab+a3c+d).

J

Quae quidem expressiones radicum (I), (2) et (5) rei

propositae nostroque instituto maxime convenire

videatur

unde

no« eae tantum, de quibus in paragrapho 8 dixiuius, sed

etiam aliae expressiones radicum elici possunt.

§· 41-

Sed ut valöres quantitatum, quae in paragraplio 10 ad exprimendas radicés aequationis propositae

pertinent, invenia-

mus, primura quantitates «+a26+«G-j-a3d9

c(a-\~a3b-\-cc2c-\-d,

a2«H-fe+«3c+ßd et α*α-\-αΙ)-\-ο-\-α2ιΙ in dignitatem biquadratäm,

quam eamdem habent, elevemus. Quo

facto invenimus:

(a-^ci^b-^-ccc-Jrc^dy⁼(cca-j-ct^b-^cc^c^rdy ^{= ,}

= [a2a-\-b-\-a3c-\rady⁼

a2d)4

i

S4+6l»a2&2+i2l>(rt2cd, &)+«[4P(a3c,

d)+12P(a*bd,d)\ + ....(l)

b)-\-6(P.a2c2 -\-P.a2d'2)-hMs]+cc3[AP(ac3, d) -f■\

+12P(a2bc:c)\'

Radiei igitur nescio eui biquadratae

4Rl}

hac dignitate

extractae, aequalis erit una quantitatum

a+«26+c<:c+«3d

cca+«3i»+«2c+d, a2a\-b-\~cizc-\-ad et

a3rt+c«6+c+«2d. Quod

si huic radiei biquadratae aequalis erit ex. gr.

quantitas a-\-a2b-]r

+ac+a3d*)? inde efficitur:

rt+«2fc+ac+a3d=4/i1j aa+a36+ß2C+d=AaRx^, _{"j ^}

«2rt+ft+a3C+ad^—Ac^Ry ? ß3«+ai>+C+ß2</=AaaRt^.

J

Eodem modo invenimus:

(a+aft+a2c+«3d)4⁼

(«a+a2&+a3c+d)4

= (ti2rt+a3ft+C+«d)4=

(a3fl+h+ac+«2d)4

1

S^P.a2c2+PlP(a2bd,c)+a[AP(a3b,

d)+12P(a2cd, d)]+ ....(5)

+a2[4P(a3c? c)+6(P.«2/>2

+P.a2d2)+24s]+a3[4P(«63, d) + '

6)]J

*) Si radiei biquadratae 41?! aequalem posuissemus aliamnescio quamquanti¬

tatum illarum, easdem tarnen Semper expressiones radicum, etiamsj alio ordinc,

iiiTCHiremus.

Quod si radici nescio cui biquadratae 4ϋλ, ^ex hac dignitate

extractae, aequalis erit ex. gr. quantitas a+ab+a2c+a3d *), inde sequitiir:

a+ab+a'ic+aid=4P2, aa+aib+a3c+d=4alt3,

a8rt+o:3ft+c+ad⁼4«8/fg, a3a+b+ac+a2d⁼4α3/ί3.

Eadem denique ratione concludinus:

(a+ccb+a3^c+a2d)4==(«λ+aib+c+α3</)4 =

=. («2«+ + ac +d)4=(a3a+b+a*^c+ad)4⁼

S4+OJ®. n2d2+12jP(a26c,</)+«[4JP(a3ft, c)+12iP(ålcd, c)]⁺

j ....(5)

+a*[/iP(a3d, d)+d(P.aibi⁺P.aic2)+24s]+a3(åP(ab3,

c)+(

+PlPyfbd, &)].]

Radici autem nescio cui biquadratae 4Itä, ex bac dignitate extractae, aequalis poni potest ^{ex. gr.} quantitas a+ab+a3c+a'id**),

unde sequitur:

a+ab+a3c+a'id=4R3, aa+a2b+c+a3d=4αΙΙΆ, a2ß+a3&+ac+d=4a2jß2, ce3a+&+«2c+«d=4α3Ρ3.

§. 12.

Ad inveniendos aiitein valöres reliquarum quantitatum,

quae ad exprimendas radices aequationis proposilae in para-

grapho 10 pertinent, non opus erit aliis radicibüs extractis,

quam quae aut in 4Iti9 4Ii2 et 4 It3 insunt, aut cum ipsis

4 Rt, 4 It2 et 4 R3 pro cognitis haberi possunt. Perspicuum

enim est:

ζ_{C~\~CC (X}2

(a+oc'lb+ac+a3dyX(a+b+a2c+a'id)(a+a!ib+ac+a3dy

— 1 ■"·■1 ■ ι — -■■ -- ■■■'' ■ "" *

(a+a2b+ac+a3dy .ί>3+α2Γ. «26+2y.abc+2cdP(rt2c, d)+2«3/>(«c2, d)

=- _____

=4J»,.(4Ä,)V..(1)

*) Si radici biquadratae 4Ri aequalis posita esset quantitas ««-fß2b+rt3e+(i

aut quantitas K1a4a3ß+c4-«<i aut quantitas α3α+64«c-f«2rf, nibil, nisi ordo radicum, mutaretur.

**) IViliil, uisi ordo radicum, mutaretur, si radici biquadratae 4 /tj aequa- lein posuissemus quantitatem aa-^aib-{-casd aut quantitatem αϊα-\· a$b⁺«c+<t

aut quantitatem arSa-fb\-a2c-{-ad.

(*R,V =

v. .

D

Si+aiT.a2b+'2T.abc+^aP(a'c,d)+^a3P(ac2,d)

ubi 4i _t

— ^__—_ brevita-

(4 Rty

tis caussa posuinius. Deinde vero patet:

a+c(*b+ct*c+(x(l

(α+(χ2^+α€+(χ3ίΨ ^{^} (^+^2b+a3c+ad)(a+ce2b+ac+a9d)

(a+a1 b+ac+ct3d)*

S^+Qa^Puib

°

m,r

·'·■(*)

. . S^a-Pab

ubi brevitatis caussa 4 Q, = — posuimus. Unde

(4/1,) 1

cffieitur, ut a>quationes (1) paragraphi 10 ita scribi possint:

a=-\p+/1,⁺/>,.(4Rt)2+ Q,. (4/1,)%

ft=-ip+

«tÄ1+P1.(4Ä1)1+«aei.(4Ä1)»,(

c=-ip+a'Ri+a'iPi.(åRlY+aQl.(ARi)\

d=-ip+

ccRl+a*Pi.(SiRiyi+cc*Ql.(4Riy.

(»)

Cognita ^autem functione symmetrica partiali P.ab, valö¬

res ceterarum

quoque functionum symmetricarum parlialium simplicium vel complexarum, quae in (4 /I,)4 i. e. in 4/1,,

in 4 /*, et 4 Q, insunt, facile inveniri possunt. Nam valöres

functionum P.a2b2, P(alcdy b) et P{a b1b), nullis aliis radi- cibus, quam quaj in P.ab insunt, extractis, inveniuntur. Cc-

teruin est P.a'c2+P.a2d2 ^—T.a^b^-P.ab2. Sed valöres fun¬

ctionum P(a'c,d) et jP(«c% d), P(a3c,d) et P(ac3)d)9 P((iibdJd)

et jP(«'l»c,c) ^novas eonferunt radices extractas. Quam ^rem explicare conabimur. Est enim:

P(a*c, d)+P(a2bc, c)⁼St ^XP(«2c,rf)^-P(alcrf, b)-

- (Ρα V+/> a'rf2), P(ac\rf)+P(a5K d) =SlX P(ac\d)-

-P(a*cd,b)-(P.a*c*+P.a*d*) (4) Unde, cognita functione P(a2c,rf), summa functionum P(a3c,d)

et P(a> bc^cj invenitur. At in bis functionibus prseter signa

novarum radicum extractarum nihil erat incognitum. Itaque

valöres functionum P(a3cvd) et P(ac3, rZ),

P(a2bd, d)

cognitis haberi

Permutatis autem in-

ter se valoribus functionum l>(a2c, d) et JP(rtc2,fZ), valöres

eiiam functionum P(a3c,d) et jP(«c3, d),

P(a2bd,d)

JP(«2Z>c,e)

inter se permutantur. Quo facto

in aequationibus (i)

quantitatis a+a^b+ccc+ct^d invenitur

lör quantitatis a+a~b+ct*c+ccd)

valoresque radicum

et d in-

tcr se permutantur, iisdem tarnen

expressionibus radicum

manentibus.

Valöres autem ceterarum quantitatum, quae

in aequatio¬

nibus (2)

paragraphi

ad exprimendas radices aequationis

propositae

conferunt,

bis aequationibus inveniuntur:

(a-\-txb+cilc+a3d)'tX(a+ctib+c+ct'id)(a+ab+cc2

c+u*d)

a+uVf+cWd= ^{- —} =

(a+ab+a c+a d)

S3+a2T.λ2Ζ>+2Τ.ahc+QccP^b,d)

2«3jP(«fc>2, <Z)/ä

= __ (4 ,) =

=4/».(4Äi)% ^. ..(S)

S0+cfT.a^b+%T.abc+

2α.Ρ(α'2Ζ>, d)

2«sjP(«62, fZ)

»bi 41» =

^ '

(a+a&+a2c+«3fZ)3x(«+tt3fe+a2c+afZ)(a-}-aj&+a2c+a3fi)

(«+afc+«2C+a3<Z)4

jSj+2a^P.ac a+ci3b+a~C+ad=

(AR^AQ^AR,)',

....(β)

ι · ,/> St+

Sct^P.ac

tibi 4(),= brevitatis caussa posuimus; et:

(4Ii,)4

I>»6, <i)+P(a'bc,b)=

S,

Ρ(α!6, (l)-P(a'bd, c)

- (/>.

a'b'+P.a'd!), =S,X P(ab',d) P(ab\ d)

P(a*cd,d)

-P(axbd,c)-(P.alb·'

P.axdx) (7).

Unde efficitur:

a=-?p+H2 +JP2.(4/?2)3+0.ϊ·{£ί*·ι)3?

b^—-ίρ+^ΙΙ^α2 P2.(All.iy +aQ,l.(AJll)3,

c—-

d=

ipWJR.+P^iJ^rWQUiR,)',

ι <S)

ip+cclt2+a2 P2.(4iJ2)2+cc 3Q2.(AR.±)s.

Valöres denique ceterarum quantitatum^? quaé in aeqna- tionibus (3) paragrapbi 10 ad exprimendas radices aequationis propositie conferunt, ex bis ajquationibus inveniuntur:

(a+ab+cc3c+cttdYX(a+ct2b+a2c+d)(a+ab+c<5c+ci~dy

a+a b+cc~c+d= . - —— —— =

(a+ccb+ac+ct*d) S3+a2T.aib-\-(2iT.abc+<2,(xP(a2bic)+2cc3P(ab2, c)

= —

{A'h) =

=

4JP3.(4Äs),...|))

S3+ct2T.a2b+^T.abc+^aPia2b, c)+cla3P(ab2,c)

ubi AP»⁼ _,

(4J*3)4

o . (rt+«ft+a3C+cfV)3x(e+a'ft+ac+a'dliß+a^+^t'+t^rfy

Λ+a*b+cic+a*d= _{:— -i}

(a+ab+cc3c+cc2d) S.y+Qa2P.ad

(4 R,Y (4fiJ)'=4Q3.(4«1)»,....(10) S1+2a2jP.rti2 ^...

nbi 40,= brevitatis caussa posiwmus; et:

(4iis)4

J>(a>b, i:)^'(a-h,L b)=S,XP(a'b,c)^- </)-

-(P.a'b'+P.a'c"-), P(abs,c)+P(a*cd,c)⁼S,XP(ab'-,c)-

-P(a-bc,d)-(P.a*b*+P.a1c*) (II)

Unde concluditur:

a=-ip+R +P,.(illsy+Q, m,}', b=-ip+cc>RsWP3.(tR3)*

t=-!/<+«B,+rt'/», .(4B,)1 +«'(>,.(1B,)

d= B,+J>,.(AR,)~+a~ Q,.('i B,)s.